专题12 圆（7大考点）（全国通用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦圆的7大核心考点，汇编多地区一模真题，基础题与综合题梯度分布，融入文化与生活情境。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约50题|垂径定理、圆心角圆周角、切线性质、弧长面积等|结合哈尼族蘑菇房考圆锥侧面积（题41），网格作图考查几何直观（题9）| |解答题|约25题|切线判定与证明、外接圆内切圆综合、圆与几何图形综合|青铜镜内接正五边形计算（题67），动态问题探究最值（题69）|

专题12 圆 7大考点概览 考点01垂径定理 考点02圆心角、圆周角 考点03切线的判定与性质 考点04三角形的外接圆、内切圆 考点05弧长与面积 考点06正多边形和圆 考点07圆的综合问题 垂径定理 考点01 1．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图，是的直径，弦于点．以，为邻边构造平行四边形，连接交于点，过点作交于点，垂足为点．若，，则的长度为________． 【答案】 【分析】先证明，得到，求出线段长度，再根据等面积法算出，再根据算出半径，最后根据算出即可． 【详解】解：连接，，过作交于， ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径为，则， 在中， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， 又∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 2．（2026·河南安阳·一模）如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴则半径的长为． 3．（2026·安徽宿州·一模）如图，已知的半径为10，弦，点C是上一点，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理求线段长度，熟练掌握垂径定理是解题关键．过点O作于点D，连接．根据垂径定理可知，从而在中，运用勾股定理求出线段的长，再在中，运用勾股定理求出线段的长． 【详解】解：如图，过点O作于点D，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 在中，． 故选：B． 4．（2026·云南大理·一模）如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 【答案】5 【分析】连接，由题意可得，由垂径定理可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·湖北武汉·一模）如图，是半径为的的一条弦，点在上，过点作的垂线交于点，，则的最大值是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】作于点，于点，连接，，利用垂径定理求得，则，中，利用勾股定理求得，再根据完全平方公式变形，求解即可． 【详解】解：作于点，于点，连接，， ∵， ∴四边形是矩形，设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 在中，，即 ， ∵， ∴， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为100， 又∵， ∴有最大值为10，此时，满足题意； ∴的最大值是． 6．（2026·云南文山·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再结合圆的半径，通过勾股定理求出相关线段的长度． 【详解】解：连接，如图， 因为是的直径，且， 可得． 由于， 所以． 在中，，， 根据勾股定理． 所以． 7．（2026·辽宁本溪·一模）如图，为的直径，点C，D在上，若于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，根据垂径定理，所以可得出弧和弧的关系可确定．已知，因为圆心角的度数等于所对弧的度数，所以可得出弧的度数，进而得到弧的度数．再求出弧的度数，再根据圆周角定理，即可求出的度数． 【详解】由垂径定理可知：． ∵， ∴的度数为， ∴的度数也为． 又∵是直径，共线， ∴， ∴的度数为． ∴的度数为 ， ∴ ． 8．（2026·山东德州·一模）如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦切小圆于点C，大圆的弦交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得的长，乙测得的长，丙测得与的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（   ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】D 【分析】连接，，根据垂径定理和勾股定理即可说明甲、乙同学可以测出阴影部分的面积；过点O作于点G，连接，，根据垂径定理和勾股定理即可说明丙同学可以测出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵与相切于点C， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵阴影部分的面积为：， ∴测出的长，即可求出阴影部分的面积，故甲同学符合题意； ∵， ∴阴影部分的面积为：， ∴测出的长，即可求出阴影部分的面积，故乙同学符合题意； 如图，过点O作于点G，连接，， 则，， 根据勾股定理得：，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为：， ∴测出和的长，即可求出阴影部分的面积，故丙同学符合题意； 综上，可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是甲、乙、丙． 9．（2026·天津红桥·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在经过点A的圆上． （1）线段的长为________； （2）l为过点A且与圆相切的直线，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在直线l上画出点Q，使，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 见解析 【分析】（1）由勾股定理求解； （2）借助网格，利用直径定理确定圆心，利用平行线分线段成比例确定中点，利用垂径定理确定垂直，最后利用线段的垂直平分线确定点的位置． 【详解】解：（1）由勾股定理得； （2）如图， 取圆与网格线的交点D，E，连接； 取格点F，连接与圆相交于点G； 取与圆的交点H，连接与相交于点O； 连接与网格线相交于点I，连接与网格线相交于点J； 连接，取与网格线的交点K，连接并延长，与相交于点P； 连接并延长，与直线l相交于点Q，则点Q即为所求． 10．（2026·广东珠海·一模）如图是一个圆弧形拱门，拱门圆弧所在圆的半径为米，拱门底部跨度米．现要在拱门内加装一根垂直于底边的加固立柱，点M在圆弧上，点N在上，且点N把线段分为的两部分，则线段的长度为______米． 【答案】或 【分析】分两种情况当时，当时，结合垂径定理以及勾股定理解答即可． 【详解】解：当时，如图，取圆心O，连接，过点O作于点C，，交延长线于点D，则米， ∵米， ∴米， ∴米，米， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， 解得：米， ∴米； 当时，如图，取圆心O，连接，过点O作于点C，，交延长线于点D，则米， 同理米， ∴米； 综上所述，的长为或米． 圆心角、圆周角 考点02 11．（2026·重庆秀山·一模）如图，点A，B，C在上，点是劣弧的中点，若，则 的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等弧对等角，圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据点是劣弧的中点即可求解． 【详解】解：连接， ∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（2026·江苏泰州·一模）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角和为，，则的面积为_____． 【答案】12 【分析】延长交于点，连接，可得，那么，故，然后结合勾股定理以及完全平方公式求解即可． 【详解】解：延长交于点，连接， 则是直径，， ∴， ∴ 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（2026·江苏盐城·一模）如图，是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，，且，则的度数为_____°． 【答案】20 【分析】先求得，根据四边形是半圆的内接四边形，可以求得 ，根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：，， ， ， 由四边形是半圆的内接四边形， ， 是半圆的直径， ， ； 14．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等弦对等弧可得，利用圆周角定理求得的度数，进而求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ． 15．（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】 80 【详解】解：， . ， ． 16．（2026·山西阳泉·一模）如图，四边形内接于，为的直径，，以下说法一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴，故选项正确； ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵不一定是的直径， ∴不一定等于， ∴不一定等于，即和不一定相等， ∴不一定等于，故选项错误； 由已知条件无法得出，故无法得到，故选项错误； ∵不一定是的直径， ∴不一定等于， ∴和不一定互补， ∴无法得出，故选项错误． 17．（2026·宁夏银川·一模）如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，根据可得，根据邻补角互补、“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”以及已知条件可得，最后根据三角形外角的定义和性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·云南昆明·一模）如图，是上的三个点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 19．（2026·河南南阳·一模）如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在量角器上对应的刻度为，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，所以点是外接圆的圆心，可得，所以可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点在量角器上对应的刻度为， ， 由图可知点是的中点， 点是外接圆的圆心， ， 点、、、四点共圆， ． 20．（2026·江苏南京·一模）是半径为5的的内接三角形，若，，则边上的高的长度是______． 【答案】 【分析】过点作于点，则即为边上的高，作直径，连接，在中，求出，利用圆周角定理的推论得到，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则即为边上的高，作直径，连接， 是的直径，半径为， ，， 在中，， ∴， 和都是弧所对的圆周角， ， ， ， 是直角三角形，， ， ， ． 21．（25-26九年级下·河南郑州·月考）如图，四边形内接于，，连接和．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据，得出，再得出，求出圆心角的度数，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（2026·山东菏泽·一模）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，再根据等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵所对圆心角为，所对圆周角为， ∴， ∵，是弦， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，则， ∵， ∴． 切线的判定与性质 考点03 23．（2026·天津东丽·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于，点C为格点，为直径，，． （Ⅰ）的长等于__________； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点C的的切线，与的延长线交于点P，简要说明点P位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】 如图，取圆与网格线交点D，E，连接交于点O，点O即为圆心，连接与网格线交于点F，取格点M，N，H，L，连接，，延长交于G，连接并延长，交格线于点K，连接并延长，交延长线于点P，点P即为所求；图见解析． 【分析】（Ⅰ）根据直径所对的圆周角是直角，得出 。 然后用勾股定理即可解答；（Ⅱ）取圆与网格线交点D，E，连接交于点O，则O为圆心．连接与网格线交于点F，取格点M，N，H，L，连接，．延长交于，连接并延长，交格线于点，此时．连接并延长，交的延长线于点P，则即为所求切线，点P即为所求． 【详解】（Ⅰ）因为是的直径，根据**直径所对的圆周角是直角**，可得： ，即是直角三角形． 在中，由勾股定理： 已知，，代入得： 所以，的长为． （Ⅱ）如图，取圆与网格线交点D，E，连接交于点O，点O即为圆心，连接与网格线交于点F，取格点M，N，H，L，连接，，延长交于G，连接并延长，交格线于点K，连接并延长，交延长线于点P，点P即为所求． ． 24．（2026·北京通州·一模）如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接，垂径定理得出，垂直平分线的性质得，则，根据，得，根据是半圆O的切线，得出，则，即，即可证明为圆O的切线； （2）作于M，如图2，根据垂径定理和，求出，，根据，得出，则，则，求出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的切线， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为圆O的切线． （2）解：作于M，如图2， ∵半圆O的直径为10，为半圆O的直径，， ∴， ∵， ∴设， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 25．（2026·江苏扬州·一模）如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，与相交于两点，以该两点为圆心任意长为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该点作射线，与的交点即为点； （2）作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； （3）在中，利用锐角三角函数结合勾股定理可求得，长，从而可得，长，设，在中，利用勾股定理列式解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足点即为所求； （2）解：如图，作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； 点在的角平分线上，，， ， 为半径， 是的切线，切点为； （3）解：中，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 即的半径长为． 26．（2026·天津北辰·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （1）线段的长为_____； （2）是圆的直径，圆与网格线交于点C，过点C作圆的切线，与网格线交于点M．过点M作圆的切线，切点为D（点D与点C不重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 画图见详解；取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求． 【详解】解：（1）； （2）如图：点D即为所求： 取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求． 27．（2026·福建三明·一模）如图，是的直径，与相切于点A，点B是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若弦，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，先由圆周角定理求解，即可求解，再由四边形内角和等于求解即可； （2）过点O作，垂足为D，先由等腰三角形得到，再解即可求解半径． 【详解】（1）解：证明：连接 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵与相切于点A ∴ 又∵，， ∴ 又∵点B是上的一点 ∴是的切线； （2）解：过点O作，垂足为D ∵，， ∴ 在中，， ∵，， ∴ ∴的半径为2． 28．（2026·河南郑州·一模）如图，为菱形的对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． (1)比较大小：___________（填或）； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若菱形的边长为2，，则的半径为___________ 【答案】(1) (2)与相切，理由见解析 (3) 【分析】（1）由菱形的对角线平分一组对角可得答案； （2）过点O作于点N，由切线的性质得到，由角平分线的性质得到，则与相切； （3）由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到；由切线的性质得到，，设，则，解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴； （2）解：与相切，理由如下： 如图所示，过点O作于点N， ∵与相切于点， ∴， 由（1）可得，即平分， 又∵， ∴， ∴与相切； （3）解：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵以点为圆心，长为半径的与相切于点， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，即的半径为． 29．（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】（1）连接，根据题意求得，，从而求出，，结合切线的判定即可求解； （2）设的半径，则，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 30．（2026·云南楚雄·一模）如图，C是以为直径的上一点，于点D，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，F是的中点，连接并延长与相交于点G，连接并延长与的延长线相交于点H，的半径为3． (1)若，求点C和点B间的距离； (2)求证：是的切线； (3)当时，请判断下列结论哪个成立？①，②，③，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)②成立，见解析 【分析】（1）结合勾股定理求出，即可作答． （2）先根据，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，得出，再分别证明，，故，结合F是的中点，得出，再运用等边对等角，以及，得，故，即是的切线； （3）过点G作于点K，则，根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，得到，，，，证明，，，进而证明，得到，可知，证明为线段的垂直平分线，得到，由（2）可知，即． 【详解】（1）解：∵的半径为3， ∴， 连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， 即点C和点B间的距离为的长度，即为； （2）解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线，与的延长线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 则， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴是的中线， ∵是的直径， ∴， ∵是的中线 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故， ∵是半径， ∴是的切线； （3）解：②成立． 理由如下： 如图，过点G作于点K，则． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴点K为中点． ∵于点K， ∴为线段的垂直平分线， ∴． 由（2）可知， ∴成立． 三角形的外接圆、内切圆 考点04 31．（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 32．（2026·河南安阳·一模）如图，在中，，． (1)用无刻度直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）． (2)补全图形：延长交于点，连接，．求证：四边形是正方形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，证明见解析 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆即可； （2）先证明四边形是矩形．再由即可证明结论成立． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）是的直径， ． 又， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形． 33．（2026·河北邯郸·一模）如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． 34．（2026·广东深圳·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作出的外接圆，并标注圆心．（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，是的外接圆，延长至点，使．连接并延长交于点，过点作，垂足为． 求证：为的切线； 若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由知是的直径，先作线段的垂直平分线，垂直平分线与的交点即为圆心，再以为圆心，长为半径作圆即可； （2）连接，由已知可得垂直平分，由垂直平分线的性质可知，由等边对等角可得，，等量代换结合平行线的判定定理可得，即可证得，进而得证；连接，通过同弧所对的圆周角相等结合，可证得，再根据同角的余角相等，等量代换可证得，从而证得，根据相似三角形的性质可解得的长，最后根据即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的的外接圆； （2）证明：如图，连接， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径； 为的切线； 解：如图，连接， 由知，， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， 解得， ． 35．（2026·河北邯郸·一模）如图1和图2，在菱形中，，点在射线上运动，是的外接圆． (1)如图1，当的长度为__________时，圆心落在边上； (2)如图2，当边与相切时，切点为，小明说：“此时劣弧与劣弧的长度相等．”请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； (3)延长交射线于点．当是直角三角形时，求的长； (4)点M在射线上运动的过程中，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)说法正确，理由见解析 (3)当是直角三角形时，或 (4)最小值 【分析】（1）根据菱形的性质得到，当圆心落在边上时，即为直径，此时，与重合，； （2）设，由圆周角定理可得，连接，，，根据切线得到，由，，则，即可得到，根据圆心角相等得到劣弧与劣弧的长度相等； （3）根据或分情况讨论，分别画出图形，根据菱形的性质和勾股定理计算即可； （4）作的垂直平分线，过作于，于，则四边形为矩形，，利用面积和勾股定理求出，则，根据是的外接圆，得到在的垂直平分线上移动，根据垂线段最短求出线段有最小值即可． 【详解】（1）解：连接交于， ∵在菱形中，， ∴，，，，， ∴，， ∵是的外接圆， ∴圆心落在边上时，即为直径，此时， ∴与重合， ∴； （2）解：说法正确，理由如下： 设，由圆周角定理可得， 连接，，， ∵边与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧与劣弧的长度相等； （3）解：当时，即，过作于， ∵， ∴， ∴，， 由菱形面积可得， ∴， ∴，， ∴， ∵中， ∴， 解得； 当时，即，交于，连接， 由过程同理可得，，，， ∴，， 由菱形的性质可得， ∴，， ∴和中， ∴， 解得； 综上所述，当是直角三角形时，或； （4）解：作的垂直平分线，过作于，于，则四边形为矩形，， ∴， 由菱形面积可得， ∴， ∴， ∴， ∵∵是的外接圆， ∴在的垂直平分线上移动， ∴当，即在点时，线段有最小值，最小值． 36．（2026·广东深圳·一模）如图，是等腰三角形，，是的外接圆，是圆心． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作以为对角线，、为边的平行四边形； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质即可求解； （2）利用平行四边形的性质可知即可判定； （3）根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如下图：作，，构造平行四边形． （2）证明：连接并延长交于点，连接，， ，， 点、点都在的垂直平分线上， 垂直平分， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又是的半径， 是的切线． （3）解：，垂直平分交于点， ， ，， ， ， ， 解得， 的半径长为． 【点睛】 37．（2026·山东淄博·一模）如图，点O，I分别是（）的外心和内心，其中是外接圆的直径．连接并延长交外接圆于点D，连接，． (1)测量并找出图中所有与相等的线段，并加以证明； (2)若图中，，求的周长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由三角形的内心性质得到，，然后利用圆周角定理得到，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （2）连接，过点作于点，于点，于点，根据内切圆的性质和角平分线性质得到，利用圆周角定理，解直角三角形的相关计算，以及勾股定理求出，进而即可求的周长． 熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【详解】（1）解：，证明如下： 连接， I是的内心， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，过点作于点，于点，于点， I是的内心， ，，，圆I是的内切圆， ∴， 是外接圆的直径， ， ，， ，， ， 的周长为． 38．（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 39．（2026·青海西宁·一模）如图，内切于四边形，且，则四边形的周长_______． 【答案】26 【分析】利用切线长定理进行求解． 【详解】解：如图所示，与相切于点，与相切于点，与相切于点，与相切于点， ∵内切于四边形， 即是的切线， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 40．（2026·湖南长沙·一模）如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接． (1)填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上） (2)如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值； (3)如图3，记，， ①试用含m，n的式子表示； ②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示． 【答案】(1) (2)2 (3)①；② 【分析】（1）先由圆周角定理得到，然后证明，再由勾股定理可得，，则；证明，则，证明，则，即可求解和； （2）先证明，则，设，，则，则，解得在中，，在中，，再由即可得到答案； （3）①设点到的距离为，边上的高为，先证明，则①，然后在中由勾股定理得到②．联立①②解得，，再证明，则得到； ②连接，先证明，由，求出．在中有，在中有，那么，由，求出，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 为的平分线， ， ，， ∴， ； ，， ，， ； ，， ， ， ，， ， ， ，． 故答案为： ； （2）解：，， ， ∵， ， ， ， ， 设，，则， ， 整理得：， 解得：或（负数舍去）， 在中，， 在中，， 即； （3）解：①设点到的距离为，边上的高为， 在中，平分， ， ∴， ①， ， 在中，②． 联立①②解得，， 又，， ， ， 即； ②连接， 点I是的内心， ，， ， 即， ． ，，， ， ． 在中，， 在中，， ． ∵， ∴， ， ， ． 弧长与面积 考点05 41．（2026·云南昆明·一模）哈尼族蘑菇房是云南极具特色的传统民居，其锥形茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该圆锥模型的底面周长为，母线长为6，则此圆锥的侧面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为，母线长为， ∴这个圆锥的侧面积为． 42．（2026·河南南阳·一模）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，以点为圆心，的长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【分析】连接，作，，证明，则，求得扇形的面积，即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：连接，作，． 正方形中，，，点为的中点，， ， ∵， ∴四边形是正方形， ∴扇形的面积是：， ∵四边形是正方形 ∴， ， ， 在和中， ， ， ． 则阴影部分的面积是：， 43．（2026·江苏南京·一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是______． 【答案】 【分析】先确定圆心的位置，然后根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：由题意可确定圆心位置，如图所示， 由图可知：， ∴的长度为． 44．（2026·山东临沂·一模）如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点的旋转路径为弧，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与交于点，连接，由题意得到，证明是等腰三角形，求出和即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 设与交于点，连接， 矩形绕点逆时针旋转至矩形， ， ， ， ∴， 是等腰直角三角形， ， ∵， ， 则阴影部分的面积为． 45．（2026·河南周口·一模）如图，在扇形中，点C为弧的中点，连接，与交于点D，点E为的中点，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】点是弧的中点，平分且垂直平分，利用等腰三角形性质或三角函数求出、的长度；是中点，可求长度，进而利用三角形面积公式求的面积；阴影部分面积用扇形面积减去的面积再加上的面积． 【详解】解：扇形中，，是弧中点， 平分，， ， ，， 在中，，， ，​， 是中点， ​， ​ ， ​​， ， ​​． 46．（2026·山东菏泽·一模）如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点D． (1)求证：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质，以及圆周角定理得到，，再利用平行线判定证明，即可解题； （2）过点A作交于点F，结合平行线性质，以及直角三角形性质得到，再证明四边形是正方形，结合正方形性质，以及进行求解，即可解题． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：过点A作交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴． ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴ ． 47．（2026·山东东营·一模）如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由主视图和左视图可以得到该物体为圆锥体且圆锥体的高为，再由俯视图得到圆锥体的底面圆的周长为，由勾股定理求得圆锥的母线长，进而即可求解． 【详解】提示：该物体为圆锥，底面周长为， 母线长为， 侧面展开图的面积为． 48．（2026·江苏常州·一模）已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则侧面展开图扇形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，明确圆锥侧面展开图的性质，即扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，根据圆锥侧面积计算即可． 【详解】解：． 49．（2026·贵州遵义·一模）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，重物上升了，则滑轮旋转了________度．（假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动） 【答案】120 【分析】设滑轮旋转了n度，然后根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设滑轮旋转了n度 根据题意， ∴． ∴滑轮旋转了120度． 50．（2026·河南安阳·一模）如图，半径为的圆周上有六个等分点，，，，，，分别以点，，为圆心，为半径画弧，则阴影部分的面积为____． 【答案】 【分析】连接、、，作于， 根据正多边形的中心角的求法求出，得到是等边三角形， 根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求出的长，最后根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接、、，作于， 点，，，，，是的等分点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 阴影部分的面积为． 51．（2026·广西防城港·一模）如图，在中，，．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 12π 【分析】先根据题意可知，，再根据 解答． 【详解】解：根据题意可知，， ∴ ． 52．（2026·山西晋中·一模）如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，经过的路径分别是、．若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，扇形的面积，以及分割法进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴ ． 53．（2026·云南·一模）若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的母线长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长的性质，结合弧长公式列方程求解母线长． 【详解】解：设该圆锥的母线长为 ∵圆锥底面半径为 ∴圆锥底面周长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图圆心角为直角，即， ∴ 解得 ∴该圆锥母线长为． 54．（2026·浙江宁波·一模）如图，扇形是某标志的外轮廓图，已知扇形半径，，则扇形的弧长为________．（结果保留） 【答案】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，扇形的弧长为． 55．（2026·青海西宁·一模）一个扇形弧长是，圆心角是，则扇形的面积是______． 【答案】 【分析】先根据扇形弧长，求出扇形半径，再由扇形面积公式计算得到结果． 【详解】解：设扇形的半径为，根据题意得：， 解得：． ∴扇形的面积是． 56．（2026·江西宜春·一模）如图，正八边形的边长为1，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为______． 【答案】 【分析】连接，，，延长交或其延长线于一点，可求得，结合六边形的内角和为，可求得，根据同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，可求得点与点重合，得到，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，延长交或其延长线于一点． ∵与正八边形的边和分别相切于点和点， ∴，． ∴． ∵八边形为正八边形， ∴． ∵六边形的内角和， ∴． ∴． ∵八边形为正八边形， ∴． 又∵，同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直， ∴直线与直线为同一条直线， ∴点与点重合． ∴． ∴． ∴劣弧的长． 57．（2026·山东青岛·一模）如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解直角三角形求出，，再用扇形的面积减去的面积即可得出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 正多边形和圆 考点06 58．（2026·河北·一模）已知平面内一个角，有一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的两边上截得的两条弦恰好都是一个正六边形的边，那么这个角的度数为___________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，即角的顶点在圆上和角的顶点在圆外两种情况，利用正多边形内角和、三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】分两种情况讨论： 当角的顶点在圆上时，圆与角的两边截得的两条弦为圆内接正六边形的两条相邻边， 即该角为正六边形的内角，如图： 正六边形的内角为，即此时该角度数为； 当角的顶点在圆外时，圆与角的两边各交于两点，截得的两条弦为该圆内接正六边形的两条边（非相邻），如图： 弦和均为正六边形的边，则， 故， ∴； 综上，这个角的度数为或． 59．（2026·河北石家庄·一模）如图，正四边形和正五边形内接于，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 60．（2026·广西梧州·一模）广西壮锦是国家级非物质文化遗产，纹样精美多样，包含正八边形、正方形等图案．如图，在的内接正八边形中，分别连接和．若，则长为______． 【答案】2 【分析】设为，通过作垂线，构造直角三角形，利用圆周角定理以及直角三角形的边角关系，可以用的代数式表示，，然后列方程即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点、分别作的垂线，垂足为、，则， 八边形是的内接正八边形， ， ， 同理得， 在中，，设， ， 同理， ， ， ， 解得， ． 61．（2026·山东济宁·一模）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 62．（2026·河南周口·一模）如图，为正八边形的外接圆，，为正八边形的边，P为优弧上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正多边形的性质得，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接、， 为正八边形的外接圆， ， ． 63．（2026·山东德州·一模）公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积和周长的方法．如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，设，则 ，构建关于的方程即可求出结论． 【详解】解：如图，连接，， 正八边形把圆分成了等分， 根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等， 可得, , , , 设，则 . 由对称性可知四个阴影部分是全等的等腰直角三角形， 等腰直角三角形，， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 64．（2026·山西忻州·一模）将两个全等的、边长均为6的等边三角形按如图所示的方式重叠，重叠部分恰好为正六边形，观察图形，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知六边形的性质可得，可得是等边三角形，同理是等边三角形，再说明四边形是菱形，进而得出，然后根据勾股定理求得，即可得，最后根据得出答案． 【详解】解：根据题意可知六边形是正六边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形，同理是等边三角形， ∴， ∴，同理可得， ∴四边形是菱形，且， ∴是等边三角形，， ∴，则， 根据勾股定理得，则， ∴ ． 65．（2026·河南南阳·一模）金砖国家（）是一个国际组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、中国．如图①是金砖国家的图标，可近似看作如图②所示的圆及其内接正五边形，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先利用正五边形内接于圆的性质，算出每段等弧的度数为，再依据圆周角定理，得出所对弧的圆周角为． 【详解】解：∵正五边形内接于圆，将整个圆五等分， ∴每段相等的弧的度数为：，即所对的圆心角度数为， ∵是圆周角，所对弧， ∴． 66．（2026·河南濮阳·一模）如图，是内接正边形的一条边，，这个正边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等腰三角形的定义结合三角形内角和定理求出，即可求出，再利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正边形的内角和是． 67．（2026·山东济宁·一模）某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习． 【项目背景】 某博物馆展出了一面珍贵的战国“山”字纹青铜镜（如图1所示），它的镜面是一个标准的圆形．为了更好地进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个的模型（如图2所示），首要任务就是精确找到镜面的圆心． 【项目任务】 (1)任务一圆心定位．请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心．请在图2中作出示意图，保留作图痕迹． (2)任务二博物馆提供了这面青铜镜的部分信息：镜面直径为，“山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正五边形的五个顶点上（如图3所示），请计算镜面的内接正五边形的边长（精确到0.1）．参考数据：，，． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在圆上任取三点A，B，C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心； （2）连接，作于点F，求出中心角的度数，利用垂径定理和解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：操作步骤： 第一步，在圆上任取三点A，B，C，连接； 第二步，作的垂直平分线； 第三步，作的垂直平分线，与相交于点O； 点O就是这面青铜镜镜面的圆心． 作图如下： （2）解：连接，作于点F． ∵正五边形， ∴，． ∵， ∴，． 在中，． ∴ ∴， 答：镜面的内接正五边形的边长． 圆的综合问题 考点07 68．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 【答案】(1)1 (2)①；② 【分析】本题考查切线长定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，点与圆的位置关系，全等三角形的性质和判定； （1）根据切线长定理可得，再根据正方形的性质求出即可； （2）①连接，先证明得出，再结合，可证明，得出,要求最小值，即求最小值，即求的最大值，连接并延长交于点，此时的最大值为，求出，即可求出的最小值； ②顺时针旋转到，可证明，得出，设，则，由，可得出，可得出，即，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，与相切于点， ∵与相切于， ∴． （2）解：①连接， ∵是上一点，为直径, ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵, ∴, ∴, 又∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵要求最小值，即求最小值， 又∵为已知正方形的边长，为定值， ∴最小值，即求的最大值， 连接并延长交于点，此时的最大值为， , ∴． ②∵顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴，解得：（舍去负根）或， ∴． 69．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】先求出，，则可判断点在的外接圆上，设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于，可求，利用等腰三角形的三线合一性质求出，，利用正弦定义求出，求出，可得，利用勾股定理求出，由，当、、三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， 点在的外接圆上， 设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为． 【点睛】本题以半圆为载体，融合圆周角定理、动点轨迹、最值问题，通过确定的轨迹圆，利用“点到圆的最短距离为圆心距减半径”求解，体现转化化归、数形结合的核心数学思想． 70．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，对于的弦和弦外一点P，给出如下定义：对于给定的角度，若在弦上存在两个不同的点M，N，使得，则称点P是弦的关联点，称的长度的最大值为点P与弦的关联值． (1)若与y轴的正半轴交于点B，在点，，中，点_____是弦的关联点，该点与弦的关联值为________； (2)当弦的长为2时，若直线上存在弦的关联点，直接写出b的取值范围； (3)设弦的长为．对于每一个m的值，点P是弦的关联点，且点P与弦的关联值为，记此时满足条件的所有点P到弦中点的距离的最大值为d．当点B在上运动时，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）以的中点为圆心，以为直径，作，当在圆上（不包括点）时，均满足，即弦的关联点在圆上（不包括点），故可以推导出弦的关联点的轨迹为是以为直径的圆围成的区域，包括边界（除线段外），设的中点为，只要点落在内部或者上（除线段外），均满足条件，即可判断； （2）以为底边，构造等腰三角形，使得，分别以为圆心，以长为半径画圆，先判断出弦的关联点的轨迹是和优弧（除外），以为底边，画等腰三角形，使得，再分别以点为圆心，以长为半径画圆，当的长度从0到2变动时，可知弦的关联点的轨迹在上以及内部（弦除外），那么只要与阴影部分有交点，即可满足题意，从而推出当与相切时，达到最大值，当与相切时，达到最小值，接着求得答案； （3）以为底边分别向上向下构造顶角的等腰三角形和等腰三角形，分别以为圆心，以为半径作圆，当线段从左到右移动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点，设线段的中点为，由题意可知，，过点作于点，作于点，那么∴，，，，结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，以的中点为圆心，以为直径，作， 当在圆上（不包括点）时，均满足，即弦的的关联点在圆上（不包括点）， ∵是弦上的不同两点， ∴， ∴当的长度在变动时，弦的关联点的轨迹为是以为直径的圆围成的区域，包括边界（除线段外），如下图阴影部分所示，设的中点为： ∴只要点落在内部或者上（除线段外），均满足条件， ∵的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴只有落在上，均在外部， ∴点是弦的关联点，且该点与弦的关联值为； （2）解：当时，，将代入，得，令，过点作轴的垂线交轴于点，如图 ∴， ∴， ∴， ∵的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A， ∴， 连接， ∵弦的长为2，的半径为2， ∴， ∴为等边三角形， ∴点可能在第一，或者第四象限， 如下图： 以为底边，构造顶角的等腰三角形，即 ，再分别以为圆心，以长为半径画圆，如图所示： ∵当在或的优弧时（不包括），都有， ∴或优弧上的点（不包括）都是弦的关联点， 以为底边，画顶角为的等腰三角形，即，分别以点为圆心，以长为半径画圆： ∵是弦上的不同两点， ∴， ∴当的长度在0到2变动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点， ∴弦的关联点的轨迹在上以及内部（包括边界，弦除外），如上图阴影部分所示， ∵直线上存在弦的关联点， ∴只要与阴影部分有交点，即可满足题意， ∴当与相切时，达到最大值，当与相切时，达到最小值， 如图，当与相切于，作于，连接，延长交于点，设交轴于， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴在上， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 不妨设， ∴， ∵与相切于点， ∴，， ∵与平行， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 同理可求得，当与相切时，； 故； （3）解：以为底边分别向上向下构造顶角的等腰三角形和等腰三角形，分别以为圆心，以为半径作圆，如下图所示： ∴在优弧上所有的点（除外）都满足， 当线段从左到右移动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点，即上图中阴影部分（不包含线段），当点与重合时，设线段的中点为，由题意可知，，过点作于点，作于点， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴ ，即， 又， 故． 71．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的图像与性质等知识点，能够掌握数形结合和极限思维是解题的关键． （1）根据题意可设为，为，根据待定系数法即可求得为，为，将分别代入上式，可得和，进而求出答案； （2）直线一条过点旋转的直线，可以先确定一条直线，根据定义画出图像，结合平行的性质，可以将进行平移，且，所以可以得到点坐标，从而利用待定系数法求解； （3）根据线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，确定点的运动轨迹，然后可以确定与该轨迹有交点的圆的位置，从而可以求出半径的范围． 【详解】（1）解：∵过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长， ∴，， 设为，为， 将点，点分别代入上面两个式子，即，， ∴，， ∴为，为， 将分别代入上面两个式子，即，， ∴点和 ∴， ∴线段关于直线的纵影长为． （2）解： 是一条过点旋转的直线，如图，根据定义可知，当线段关于直线的纵影长为4时，，则或， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 综上所述，或． （3）过点分别作直线和直线的平行线，分别交轴于点，， 当线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为时，， 如图，当，位于点两侧时，，过点作，与轴交于，与轴交于， 设， 与平行； ， ， 与平行， ， ， ， 则， ，即点的横坐标为， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 此时点的运动轨迹如图所示， 如图，当，位于点同侧时，设， 当在第一象限， 设过点分别与直线和直线平行的直线为，， 代入得，则， 故，， 令得，，， ，即在直线上运动， ， ， 同理可以找到在第二象限，第三象限和第四象限的运动轨迹，如下图， 整理可得完整的运动轨迹，以为圆心，为半径的圆需与此轨迹有交点， 当刚好与轨迹相切时，， 当过点时，， 综上，． 72．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形G、图形R和直线l，给出如下定义：若图形G上存在点T（T在直线l外），使得图形R上至少有个点到直线l的距离与点T到直线l的距离相等，则称图形R为图形G关于直线l的“等距”图形． (1)已知点，，，． ①当时，在线段，，中，线段______为点A关于y轴的“等距”图形，其中k的值为______； ②若线段为线段关于y轴的“等距”图形，则t的取值范围是______； (2)已知直线，的圆心为，半径为1．若存在实数s以及的弦，使得任意以点为中心且边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①，1；② (2) 【分析】（1）①先求出点A到y轴的距离为2，再根据“等距”图形的定义即可求解；②设线段上的点到y轴的距离为，当时，线段有2个点满足；当或时，线段有1个点满足；再结合线段为线段关于y轴的“等距”图形，即可求出t的取值范围； （2）由边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，得出这个等边三角形的中心点必然经过直线，即，且，再根据任意的弦，上都存在点，到直线l的距离的最大值也要为，可找到的临界状态，求出临界状态的的值，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，则点，如图所示： ∴点A到y轴的距离为2， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为1， ∴线段不是点A关于y轴的“等距”图形， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为1， ∴线段不是点A关于y轴的“等距”图形， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为3， ∴线段是点A关于y轴的“等距”图形， 设线段的解析式为， 则，解得， ∴线段的解析式为， 当时，， ∴线段上有1个点到y轴的距离为2， ∴k的值为1． ②∵，， ∴同理①的方法可得，线段的解析式为， 设线段上的点到y轴的距离为，如图所示： 当时，线段有2个点满足， 当或时，线段有1个点满足， 又∵线段为线段关于y轴的“等距”图形， ∴线段存在点T，使得点T到y轴的距离不大于， 又∵在y轴的右侧，且到y轴的距离为3， ∴点在直线上或直线的左侧，如图所示： ∴t的取值范围为． （2）解：∵边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形， ∴等边上存在3个点到直线的距离等于某个具体数值， ∵是以点为中心的任意一个等边三角形，且均存在3个点到直线的距离等于，如图所示： ∴这个等边三角形的中心点必然经过直线，即，且， ∴任意的弦，上都存在点，到直线l的距离的最大值也要为， 如图所示，点在直线上，作直线，，且， 作与直线相切于点， 若上存在一点到直线的距离达到，则与直线有交点即可， ∵直线， ∴， ∴、是等腰直角三角形， ∵的半径为1， ∴， ∴，， ∴， 同理，当点在直线的下方时，，， ∴， ∵点在第四象限， ∴点，即， ∴． 73．（2026·山东淄博·一模）如图，以为直径的半圆O与的两边，相交于点D，E．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据在同圆和等圆中，等弦所对的弧相等，等弧所对的圆周角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，，推得，根据等边对等角可得，结合题意求得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 74．（2026·安徽淮南·一模）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，于点，于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，结合垂直的定义和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）连接，根据等腰直角三角形的定义和勾股定理求得，根据全等三角形的判定和性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，根据相似三角形的判定和性质求得，即可求解； （3）根据相似三角形的判定和性质得出，根据平行线分线段成比例得出，进一步推得，，根据四点共圆和平行线的性质得出，根据垂径定理和垂直平分线的性质得出，根据勾股定理求得，，即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． （2）连接，如图： 根据题意可得，，， 故与均为等腰直角三角形， ∴， 即． ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 故， 即， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． ∵，， ∴． ∵， ∴点、、、在以为直径的圆上， 又∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴． 在中，， 故， 即， 故． 【点睛】根据相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例推得，根据四点共圆和垂直平分线的性质推得是解题的关键． 75．（2026·云南大理·一模）如图，是的直径，点是上异于、的点，点是延长线上一点，于点，且平分，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设的半径为． (1)当，求； (2)求证：是的切线； (3)在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在常数，，使等式成立，且，，理由见解析 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角进行解答即可； （2）连接，结合角平分线证明，得到，根据切线的判定定理进行即可证明； （3）连接，，证明，则，进一步得到，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ； （2）证明：连接， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立，且，，理由如下： 连接，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ， ∵， ， ， ， ， ∵， ，． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题12圆 ☆7大考点概览 考点01垂径定理 考点02圆心角、圆周角 考点03切线的判定与性质 考点04三角形的外接圆、内切圆 考点05弧长与面积 考点06正多边形和圆 考点07圆的综合问题 考点01 垂径定理 1.(2026重庆沙坪坝一模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB于点F.以AD,CD为邻边构造平行 四边形ADCE,连接DE交AB于点G,过点A作AH⊥DE交⊙O于点H,垂足为点M.若GF=1, AE=4,则AH的长度为 2.(2026河南安阳一模)如图，AB是⊙0的弦，半径0C⊥AB于点D,若AB=6cm,CD=2cm,则 半径0A的长为() D A.4cm B.5cm c.号cm D.号cm 3.(2026安微宿州一模)如图，已知⊙0的半径为10，弦AB=16,点C是AB上一点，且AC=4,则 0C的长为() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.8 B.2W13 c.2y15 D.45 4.(2026云南大理一模)如图，AB是⊙0的弦，点C是AB的中点，OC交AB于点D.若AB=8cm, 0D=3cm,则⊙0的半径为 cm. 5.(2026湖北武汉一模)如图，AB是半径为5√2的⊙0的一条弦，点C在AB上，过点C作AB的垂线交 ⊙0于点D,AB=14,则AC+CD的最大值是() D O。 A.16 B.17 C.18 D.19 6.(2026云南文山一模)如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为E,若AB=26 ,CD=24,则BE的长为() D E B A.13 B.12 C.10 D.8 7.(2026辽宁本溪一模)如图，AB为⊙0的直径，点C,D在⊙0上，若C0⊥BD于点E, ∠B0C=150°，则∠ACD的度数为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.150 B.30° C.45 D.600 8.(2026山东德州一模)如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C,大圆 的弦AD交小圆于点E和F.为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长 度：甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD与EF的长.其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的 同学是() D A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲、丙 D.甲、乙、丙 9.(2026天津红桥一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上，点C在经过 点A的圆上。 B (1)线段AB的长为 (2)1为过点A且与圆相切的直线，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在直线1上画出点Q,使 QC=QA,并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 10.(2026广东珠海一模)如图是一个圆弧形拱门，拱门圆弧所在圆的半径为2√5米，拱门底部跨度 AB=8米.现要在拱门内加装一根垂直于底边AB的加固立柱MN,点M在圆弧上，点N在AB上，且点N 把线段AB分为1：3的两部分，则线段AM的长度为 米. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 考点02 圆心角、圆周角 11. (2026重庆秀山一模)如图，点A,B,C在⊙0上，点C是劣弧AB的中点，若∠B0C=70°，则 ∠ABC的度数是( B A.25° B.30° C.35 D.40 12.(2026江苏泰州一模)如图，半径为5的⊙0中，弦AB,CD所对的圆心角和为180°， AB+CD=14,则△A0B的面积为： B 13.(2026江苏盐城一模)如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，AD=DC,且 ∠CAD=35°，则∠BAC的度数为°. 14.(2026辽宁沈阳一模)如图，AB为⊙0的直径，点C,D在圆上，且AC=CD.若∠ABC=32°， 则∠DAB的度数为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B O A.16° B.26° C.32° D.580 15.(2026陕西渭南一模)如图，0A、0B、0C都是⊙0的半径，连接AB、AC.若∠BAC=20°， AB=2BC,则∠A0B的度数为°. 16.(2026山西阳泉一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB,以 下说法一定成立的是() D B A.AB=CD B.DB=DC C.AD‖BC D.AB=BC 17.(2026宁夏银川一模)如图所示，BD是⊙O的直径，点A,C在⊙0上，AB=AD,AC与BD交于 点G,∠B0C=54°，则∠AGB的度数为() D G C B A.108° B.110° C.106° D.1170 18.(2026云南昆明一模)如图，A,B,C是⊙0上的三个点.若0A1OB,则∠ACB=() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.45° B.60° C.90o D.120 19.(2026河南南阳一模)如图，以点0为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直 径与直角三角板的斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为110°，连接CD.那么∠ACD的度数 为() 1211109 0 D A.55° B.45o C.35 D.25 20.(2026江苏南京·一模)△ABC是半径为5的⊙O的内接三角形，若AB=4,BC=8,则边AC上的 高的长度是 21.(25-26九年级下河南郑州月考)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD=CD,连接BD和OC.若 ∠ABD=25°，则∠0CD的度数是() A.50° B.65° C.60° D.55o 22.(2026山东菏泽.一模)如图，AB是⊙0的弦，0C⊥AB交⊙0于点C,点D是⊙0上一点，连接 BD,CD.若∠D=26°，则∠OAB的度数为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.62o B.56° C.38 D.260 考点03 切线的判定与性质 23.(2026天津东丽一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于⊙0，点C为格 点，AB为直径，AB=5,BC=V19 (I)AC的长等于 (Ⅱ)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点C的⊙O的切线，与BA的延长线交于点P,简 要说明点P位置是如何找到的（不要求证明） 24.(2026北京通州一模)如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC,BC,过点O 作OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接EC. E (1)求证：EC为圆O的切线； (2)连接BD并延长交AE于F,若半圆O的直径为10，tan∠CAB=,求AF的长. 25.(2026江苏扬州一模)如图，∠PAQ的边AQ上有一点B. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B 9 (I)用无刻度直尺和圆规在射线AP上求作点C,使得∠ACB=90°；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在(1)的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段AC的延长线上求作点0，使以点0为圆心，OC长为半径 的圆与AQ相切，切点为D;(保留作图痕迹，不写作法) (3)在(1)、(2)的条件下，若AB=5,sinA=寻，求⊙0的半径长. 26.（2026天津北辰一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上 (1)线段AB的长为： (2)AB是圆的直径，圆与网格线交于点C,过点C作圆的切线，与网格线交于点M.过点M作圆的切线， 切点为D(点D与点C不重合).请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D,并简要说明点D 的位置是如何找到的（不要求证明）· 27.(2026福建三明一模)如图，AC是⊙0的直径，PA与⊙0相切于点A,点B是⊙0上的一点，且 ∠BAC=30°，∠APB=60°. B (1)求证：PB是⊙O的切线： (2)若弦AB=2W3,求⊙0的半径 28.(2026河南郑州一模)如图，O为菱形ABCD的对角线AC上一点，以点0为圆心，OA长为半径的 ⊙O与BC相切于点M: 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)比较大小：∠ACB ∠ACD(填>、<或=)： (②)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由： (3)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，则⊙O的半径为 29.(2026新疆一模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M 作AD⊥MC,垂足为点D,已知AC平分∠MAD M B (1)求证：MC是⊙O的切线： (2)若AB=BM,MC=2W6,求⊙0的半径。 30.(2026云南楚雄一模)如图，C是以AB为直径的⊙0上一点，CD⊥AB于点D,过点B作⊙O的切 线，与AC的延长线相交于点E,F是CD的中点，连接AF并延长与BE相交于点G,连接CG并延长与AB的 延长线相交于点H,⊙O的半径为3. E 备用图 (1)若AC=5,求点C和点B间的距离； (2)求证：CH是⊙O的切线： (3)当BD=2时，请判断下列结论哪个成立？①FG>CG=BG,②FG=CG=BG,③FG<CG=BG, 并说明理由 考点04 三角形的外接圆、内切圆 31.(2026山东德州一模)如图，AB=AC,∠A=42°，O是△ABC的外接圆圆心，连接B0并延长， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交AC于点D,则∠BDC的度数为() B A.69° B.96° C.63° D.48o 32.(2026河南安阳一模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC, B C (1)用无刻度直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O(保留作图痕迹，不写作法). (②)补全图形：延长BO交⊙O于点D,连接AD,CD.求证：四边形ABCD是正方形， 33.(2026河北邯郸.一模)如图所示，在Rt△ABC中，己知∠C=90·,AC=8cm,BC=6cm,则 其内心O和外心M之间的距离是() A.10cm B.5cm C.v5cm D.2cm 34.(2026广东深圳一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°. 图1 图2 ①)尺规作图：作出△ABC的外接圆，并标注圆心O.(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，⊙O是△ABC的外接圆，延长CB至点D,使CB=BD.连接DA并延长交⊙O于点F,过点 B作BE⊥AD,垂足为E ①求证：BE为⊙0的切线： ②若AE=2,BE=22,求线段AF的长. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 35.(2026河北邯郸一模)如图1和图2，在菱形ABCD中，AB=10,BD=8V5,点M在射线BD上运 动，⊙0是△ABM的外接圆 O· D B M C 图1 图2 备用图 (I)如图1，当BM的长度为 时，圆心O落在边AB上； (②)如图2，当边BC与⊙O相切时，切点为B,小明说：“此时劣弧BM与劣弧AM的长度相等.”请你判断小 明的说法是否正确，并说明理由； (3)延长AM交射线BC于点N.当△ABN是直角三角形时，求MN的长： (4)点M在射线BD上运动的过程中，连接0C,请直接写出线段0C的最小值， 36.(2026广东深圳一模)如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆，O是圆 心. B 备用图 (I)请用无刻度的直尺和圆规在图中作以AC为对角线，AB、BC为边的平行四边形ABCD; (2)求证：AD是⊙O的切线： (3)若AB=3,BC=2,求⊙0的半径. 37.(2026山东淄博一模)如图，点O,I分别是△ABC(AC<BC)的外心和内心，其中AB是△ABC 外接圆的直径.连接CI并延长交外接圆于点D,连接AD,BD. D 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)测量并找出图中所有与DI相等的线段，并加以证明； (2)若图中C1=V2,DI=V2,求△ABC的周长。 38.(2026山东青岛一模)如图，⊙0是△ABC的内切圆，∠B0C=117°，则∠A的度数为() A.54° B.55° C.56 D.60° 39.(2026青海西宁，一模)如图，⊙O内切于四边形ABCD,且AB=8,CD=5,则四边形ABCD的周 长 40.(2026湖南长沙.一模)如图1，AC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，∠ADC的平分线DB交⊙O于点 B,交AC于M,连接AB、CB. D D 0 C M IM B B 图1 图2 图3 0填室：品+器- 器+品= 骆+器= (直接将结果写在 相应的横线上) (2)如图2，过点D作DN⊥AC,垂足为N,若AD=2W5CN,求tan∠ABD的值； (3)如图3，记DC=m,DA=n, ①试用含m,n的式子表示DM·MB; 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②若点I是△ACD的内心，试用含m,n的式子表示器. 考点05 弧长与面积 41.(2026云南昆明一模)哈尼族蘑菇房是云南极具特色的传统民居，其锥形茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞， 既美观又能适应山地多雨的气候.某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型.己知该圆锥模型的底面 周长为8T,母线长为6，则此圆锥的侧面积为() A.12m B.24π C.30m D.48元 42.(2026·河南南阳一模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点0是对角线BD的中点，以点0为圆心， OA的长为半径作圆心角为90·的扇形0EF,则图中阴影部分的面积为 43.(2026江苏南京·一模)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C均在格点上，则经 过点B的AC的长度是 B 44.(2026山东临沂.一模)如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG,点D的旋转路径为 弧DG,若AB=3V2,BC=6,则阴影部分的面积为() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E A.号 B. C.要+9 D.誓+9 45.(2026河南周口一模)如图，在扇形A0B中，∠A0B=120°，A0=6,点C为弧AB的中点，连接 OC,与AB交于点D,点E为OD的中点，连接BE,则图中阴影部分的面积为() D E A.12m- 9V3 2 B.12m-9 C.6π-5 2 D.6π-5 4 46.(2026山东菏泽.一模)如图，△ABC内接于⊙0，∠B=45°，连接A0,过点C作⊙0的切线，与 BA的延长线交于点D. B D C (I)求证：OA‖CD; (2)若∠BAC=75°，AD=8,求图中阴影部分的面积. 47.（2026山东东营：一模)如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为 () cm 主视图 左视图 俯视图 A.32πcm2 B.16W5πcm2 C.32W3πcm2 D.64πcm2 48.(2026江苏常州.一模)已知圆锥的母线长为12cm,底面圆的半径为5cm,则侧面展开图扇形的面积 为 cm2. 49.(2026贵州遵义一模)如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，重物上升了4πcm,则滑轮 旋转了 度.（假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动） 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 50.(2026河南安阳一模)如图，半径为2的圆周上有六个等分点A,B,C,D,E,F,分别以点B,D, F为圆心，2为半径画弧，则阴影部分的面积为· B 51.(2026广西防城港一模)如图，在△ABC中，AB=4,AC=8,以点A为旋转中心，将△ABC按 顺时针方向旋转90°，得到△ADE,则图中阴影部分的面积为一· B 52.(2026山西晋中.一模)如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，将△ABC绕点B按顺时针方 向旋转80°得到△DBE,点A,C经过的路径分别是AD、CE.若BC=2,则图中阴影部分的面积是() A.-1 B.s-2 C. D.钙-2 53.(2026云南一模)若圆锥的底面半径是1cm,它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的母线长为 () A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 54.(2026浙江宁波一模)如图，扇形A0B是某wifi标志的外轮廓图，己知扇形半径0A=6cm, ∠A0B=60°，则扇形的弧长为 cm.（结果保留π) 55.(2026青海西宁.一模)一个扇形弧长是2π，圆心角是90·，则扇形的面积是 56.(2026江西宜春.一模)如图，正八边形ABCDEFGH的边长为1，⊙0与正八边形的边AH和EF分别 相切于点A和点E,则劣弧AE的长为· A B 57.(2026山东青岛一模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=V6,BC=V2,以AB为半径画 弧，交BC延长线于点D,则阴影部分的面积为() A. 等π-V5 B.元-25 c.π-5 D.π-5 考点06 正多边形和圆 58.(2026河北一模)已知平面内一个角，有一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的两边上 截得的两条弦恰好都是一个正六边形的边，那么这个角的度数为 59.(2026河北石家庄一模)如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O,连接FD,则 ∠ADF的度数为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F D A.16° B.18° C.20° D.30° 60.(2026广西梧州一模)广西壮锦是国家级非物质文化遗产，纹样精美多样，包含正八边形、正方形等 图案.如图，在⊙O的内接正八边形ABCD EFGH中，分别连接BG和DG.若DG=2+2√2，则AB长 为 D E 61.(2026山东济宁.一模)如图，AB为弦，若∠ABC=30°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多 边形为() 0. A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形 62.(2026河南周口一模)如图，⊙O为正八边形的外接圆，AB,BC为正八边形的边，P为优弧AC上 一点，连接AP,CP,则∠P的度数为() B A.30° B.40o C.45o D.600 63.(2026山东德州一模)公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率 建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积 和周长的方法.如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. B号 C.24-162 D.48-32V2 64.(2026山西析州一模)将两个全等的、边长均为6的等边三角形按如图所示的方式重叠，重叠部分恰 好为正六边形，观察图形，图中阴影部分的面积为(） A.83-号πB.83-等π C.183-6mD.183-3m 65.(2026河南南阳一模)金砖国家(BRICS)是一个国际组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、 中国.如图①是金砖国家的图标，可近似看作如图②所示的圆及其内接正五边形ABCDE,则∠CAD的度 数为 BRICS 图① 图② 66.(2026河南濮阳.一模)如图，AB是⊙0内接正n边形的一条边，∠0BA=72·,这个正n边形的内角 和是() B A.900° B.1080 C.14400 D.1800° 67.(2026山东济宁一模)某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习. 【项目背景】 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 某博物馆展出了一面珍贵的战国“山”字纹青铜镜（如图1所示），它的镜面是一个标准的圆形.为了更好地 进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个1：1的模型（如图2所示），首 要任务就是精确找到镜面的圆心， B 图1 图2 图3 【项目任务】 (1)任务一圆心定位.请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心.请在图2 中作出示意图，保留作图痕迹， (2)任务二博物馆提供了这面青铜镜的部分信息：镜面直径为20cm,“山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正 五边形的五个顶点上（如图3所示)，请计算镜面的内接正五边形ABCDE的边长（精确到0.1）.参考数据： sin36°≈0.59，c0s36°≈0.81，tan36°≈0.73. 考点07 圆的综合问题 68.(2026广东江门一模)综合应用：已知正方形ABCD,以BC为直径作⊙O,点E在射线DC上运动， 连接AE B E 图1 图2 图3 (1)如图1，当BC=4,DE=3时，AE与⊙O相切于F,求EF (2)如图2，当E运动到BC右侧，连接AE,BE交⊙O于点M, ①在E运动过程中，求噩的最小值： ②AE与BC交于点G,与CM相交于点K,顺时针旋转△GKC使得点C落在AG上的点H上，得△GTH, 当HTIBC时，求tan∠BED 69.(2026江苏连云港.一模)如图，己知以AB为直径的半圆0，C为弧AB上一点，∠ABC=30°，P为 弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于D,连接BD,若AB=12,则BD的最小值为 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 70.(2026北京丰台一模)在平面直角坐标系x0y中，⊙0的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A,对 于⊙O的弦AB和弦AB外一点P,给出如下定义：对于给定的角度，若在弦AB上存在两个不同的点M, N,使得∠MPN=a,则称点P是弦AB的a关联点，称MN的长度的最大值为点P与弦AB的a关联值. (1)若⊙0与y轴的正半轴交于点B,在点P1(3,0),P2(2,2),P3(0,-2)中，点是弦AB的90 关联点，该点与弦AB的90°关联值为； (2②)当弦AB的长为2时，若直线y=V3x+b上存在弦AB的60°关联点，直接写出b的取值范围； (3)设弦AB的长为m(m≥2).对于每一个m的值，点P是弦AB的60°关联点，且点P与弦AB的60°关 联值为m,记此时满足条件的所有点P到弦AB中点的距离的最大值为d.当点B在⊙O上运动时，直接 写出d的取值范围， 71.(2026北京石景山一模)在平面直角坐标系xOy中，对于线段PQ和直线！（点P,Q均不在直线！上且 直线PQ不与直线！平行)，给出如下定义：过线段PQ的两个端点分别作直线的平行线，交y轴于点P1和Q1 ,称线段1Q1的长为线段PQ关于直线的纵影长 (1)如图，已知点P(1,1),点Q(0,3),线段PQ关于直线y=x-5的纵影长为 6 5 4 3￥0 6-5-4-3-2-1Q 123456x -2 -6 (2)己知点M(-1,2),点N(1,4),线段MN关于直线y=kx+2(k≠0)的纵影长为4，则k的值为 (3)已知A(1,0),⊙A的半径为r,若⊙A上存在点T,使线段0T关于直线y=2x一10的纵影长与线段 0T关于直线y=一x一10的纵影长的和为6，直接写出r的取值范围， 72.(2026北京海淀一模)在平面直角坐标系xOy中，对于图形G、图形R和直线1，给出如下定义：若 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图形G上存在点T(T在直线1外)，使得图形R上至少有k(k>0)个点到直线1的距离与点T到直线1 的距离相等，则称图形R为图形G关于直线1的“k-等距”图形. (1)已知点A(t,2t),B1(1,5),B2(-,0),B3(3,3) ①当t=2时，在线段0B1,B1B2,B2B中，线段为点A关于y轴的“k-等距"图形，其中k的值 为 ②若线段B1B2为线段AB3关于y轴的“2-等距”图形，则t的取值范围是 (2)已知直线：y=x,⊙C的圆心为C(S,a),半径为1.若存在实数s以及⊙C的弦MN,使得任意以 点(s,1)为中心且边长为3的等边△PQR均为弦MN关于直线1的3-等距图形，直接写出a的取值 范围 73.(2026山东淄博一模)如图，以BC为直径的半圆O与△ABC的两边AB,AC相交于点D,E.已知 DB=EC=4,BC-BD=号，则严的值为() D A.号 B. C. D.哥 74.(2026安徽淮南一模)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，DE⊥AF于点G, FH⊥AC于点H,交AB的延长线于点M,连接BH H B 图1 图2 (I)求证：DE=AF: (②)求器的值； (3)如图2，若BH川DB,求器的值. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 75.(2026云南大理一模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上异于A、B的点，点P是AB延长线上 一点，AD⊥PC于点D,且AC平分∠PAD,点E是弧AC上一动点（不与A、C重合），连接PE交⊙O于 点F,设⊙O的半径为r, D (I)当∠CAB=30°，求∠ABC; (2)求证：PC是⊙O的切线： (3)在点E的移动过程中，是否存在常数a,b,使等式EF.PF=aPC2+bPF2成立？若存在，请直接写出 一个a,b的值，并证明你写出的a,b的值，使EF.PF=aPC2+bP2F2成立；若不存在，请说明理由. 2/6