精品解析：福建省泉州第五中学2026年九年级下学期数学阶段性检测(五)

泉州五中2026届初三下学期数学阶段性检测（五） （满分：150分；考试时间：120分钟） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 目前人类能够计算到圆周率的314万亿位．把数据“314万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：314万亿． 4. 如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：根据三视图的定义，可知该几何主视图和左视图相同． 故选：A． 5. 为弘扬泉州非遗文化，某校组织学生参与“妆糕人技艺进校园“实践活动，记录了6个小组完成一件作品的耗时《单位：分钟》：23，23，24，26，27，38．则这组数据的中位数是（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的计算规则，对已排序的数据取中间位置两个数的平均数即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据已经按从小到大排序，共有个数据，数据个数为偶数，中位数为排序后第个和第个数据的平均数， 又∵第个数据为，第个数据为， ∴这组数据的中位数为． 6. 使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得，求出，从而可判断出正确答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： 7. 已知，是关于的一元二次方程的两个根且，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用关系得到两根和与两根积，代入已知等式即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根． ∴，． 又∵． ∴代入，得． 解得． 验证得判别式，方程有两个实根，符合题意． 8. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 9. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键. 10. 如图，点是函数的图象上的点，点，的坐标分别为，．试利用性质：“函数的图象上任意一点都满足”求解下面问题：作的角平分线，过作的垂线交于，已知当点在函数的图象上运动时，点所经过的路径是（ ）的一部分 A. 直线 B. 圆 C. 抛物线 D. 反比例函数的曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理，圆等知识，解题的关键是学会添加辅助线，利用三角形的中位线定理解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图：延长交的延长线于，连接．只要证明是的中位线，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图：延长交的延长线于，连接． ， ， ，， 为的平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点在以为圆心为半径的圆上运动． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 12. 已知，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，根据即可求解． 【详解】解：已知 ，， 由同底数幂的乘法法则，得 ， 故答案为： 6． 13. 已知函数，若，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据y值可确定x的取值范围，根据x的取值范围结合函数关系式列方程求出x的值即可得答案． 【详解】∵0≤x＜1时，0≤x2＜1，， ∴y=2时，x≥1， ∴2x-2=2， 解得：x=2， 故答案为：2 【点睛】本题考查函数值，根据y值结合各函数关系式得出对应的x的取值范围是解题关键． 14. 如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的边与角的特征是解题关键． 矩形的对角线相等，每个内角都是直角，在直角中，使用勾股定理计算出，结合，计算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 连接、、、、、，根据四边形是正方形得到，根据正五边形内接于，得到，进而得到、的度数，据此求解的度数即可． 【详解】如图，连接、、、、、， 四边形是正方形， ， 过圆心， ，， 正五边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，将沿斜边翻折后点的对应点，点是线段上的动点，且，已知，则线段的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由翻折可得，，．注意到，可在对称边上截取，利用翻折的对称性构造等腰，使对称轴垂直平分底边．再过点作双垂线构造矩形，将放入直角三角形中，用勾股定理建立关于的二次函数，配方求最值即可． 【详解】解：在上截取，连接，交于点，作于，作于， ∵将沿斜边翻折，点的对应点为， ∴， ∴，，， 又∵，，， ∴， ∴，， ∴，， 设， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和零指数幂的定义，解题关键是牢记相关定义与性质．本题先计算绝对值、乘法和零次幂，再按顺序计算加减即可求解． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，即可证明． 【详解】证明：四边形是正方形， ． ， ， ． 20. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要动力，为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种AI软件，他将四种图标依次制成，，，四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），将四张卡片背朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到豆包卡片的概率为_____________； （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽取的卡片中，含有豆包卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单事件的概率，所有可能情况有4种，抽到豆包卡片的情况有1种，则可求得概率； （2）根据题意画出树状图，得到所有可能情况及含有豆包卡片的情况，再结合概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽到豆包卡片的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图如下： 所有可能情况共有12种，其中含有豆包卡片的情况有6种，则含有豆包卡片的概率为． 21. 已知：是射线上一点，四边形是正方形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作中点；在射线上作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，连接交于点交于点．当时，直接写出线段的长为___________．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，相似三角形的判定与性质，正方形的性质； （1）尺规作线段的垂直平分线，得到中点；以为圆心为半径画弧与射线交点即为，使得； （2）先画出图形，根据求出，再根据得到，即可求出线段的长． 【小问1详解】 解：如图，中点；在射线上作一点，使得； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点交于点． ∵正方形，， ∴，， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 如图，四边形是平行四边形，，相交于点，为边的中点，连接，过点作于点，过点作于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，且，，求矩形的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）矩形的面积为24． 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质得，进而证明是的中位线，得，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （）根据菱形的性质得到，，由，设，，根据勾股定理得到，求得，，据此计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点, ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，即， 设，， 由勾股定理得，即， 解得（舍去负值）， ∴，， ∵，是的中位线， ∴，， 解得，， ∴矩形的面积． 23. 已知点是抛物线的顶点． （1）当时，直接写出点的坐标：___________； （2）若点，都在抛物线上，求证：； （3）若，且抛物线与线段有公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）将的值代入解析式，化成顶点式求解； （2）利用解析式求出的值，利用完全平方式进行证明； （3）利用临界点坐标，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 证明：将代入得， ， 将代入得， ， ∴； 【小问3详解】 解：将代入得， ， 解得或； 将代入得， ， 解得或； ∴时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段有交点， 时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段有交点． ∴若，且抛物线与线段有公共点时，或． 24. 综合与实践：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 根据以下素材，探索完成任务：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小琴家想要设置的储物盒样式，放置它的区域可以近似看成一个长方体，区域底面尺寸如图2所示． 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板． 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒（如图5）． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒（如图6）． 目标1 熟悉材料 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全填满储物区域底面，则长方形纸板的宽为_______． 目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，求当储物盒的底面周长为时储物盒的高． 储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面周长．家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否按图示的姿态完全放入储物盒．        【答案】（1）（2）当储物盒的底面周长为时储物盒的高为 （3）玩具机械狗不能完全放入该储物盒 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程． （1）根据图2中储物盒放置区域底面长为即可求出长方形纸板①四角截去的小正方形的边长，由此再根据几何关系即可求出； （2）设角上裁去的四个小正方形边长为，用表示储物盒的底面长和宽，根据底面周长列出方程，解方程求出即可求得储物盒的高； （3）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为，表示出折叠后的储物和长宽高，根据几何关系列出方程组，求解方程组得到和的值，从而求出储物盒的长宽高，与机械狗的长宽高进行比较即可进行判断． 【详解】解：（1）图2中储物区域底面长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则①中的四角裁去小正方形的边长为， 则储物盒的宽小正方形的边长． 故答案为：； （2）已知，储物盒底面周长为，设角上裁去的4个小正方形边长为，， 则， 解得， ∴储物盒的高为； （3）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为，折叠后的储物盒如图： 则， 解得， ∴，， ∴制作的储物盒的高为，底面长为，宽为， ∵玩具机械狗长，宽，高，，，， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 25. 已知中，，连接交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在上取一点，使，连接并延长，交圆于点，连接，求证：； （3）如图3，当与重合时，连接并延长，在延长线上取一点，连接交圆于点，连接，交于点，在边上有一点，连接，且满足：交于点，交于点，连接， ①求的值； ②当时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）①；②的长为． 【解析】 【分析】（）连接，先证明，所以，则，所以，由圆周角定理得，然后通过等角对等边得，再通过线段的和与差即可求证； （）连接，由，则，所以，得，则点三点共线，所以是的直径，故有，从而得； （）①先证明点三点共线，是的直径，设，则，，进而求出， ，，，证明得，然后根据正切定义求解即可； ②如图，设与交于点，连接，，过作于点，则，点三点共线，得，如图，取中点，连接，证明是等边三角形，所以，证明，又，则点四点共圆，设，则，则，，通过勾股定理可得，由，然后代入求出，则． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴是的直径， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵当与重合时，则， ∴点三点共线， ∴是的直径， ∴． ∵， ∴， 设，则，． ∵，， ∴， ∴ ∴． ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，设与交于点，连接，，过作于点，则， 当与重合时，则， ∴点三点共线， ∴是的直径，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，取中点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在以为圆心，为直径的圆上， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：（负值已舍去）， ∴， ∴的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2026届初三下学期数学阶段性检测（五） （满分：150分；考试时间：120分钟） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 目前人类能够计算到圆周率的314万亿位．把数据“314万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 5. 为弘扬泉州非遗文化，某校组织学生参与“妆糕人技艺进校园“实践活动，记录了6个小组完成一件作品的耗时《单位：分钟》：23，23，24，26，27，38．则这组数据的中位数是（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 6. 使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是关于的一元二次方程的两个根且，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 8. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 10. 如图，点是函数的图象上的点，点，的坐标分别为，．试利用性质：“函数的图象上任意一点都满足”求解下面问题：作的角平分线，过作的垂线交于，已知当点在函数的图象上运动时，点所经过的路径是（ ）的一部分 A. 直线 B. 圆 C. 抛物线 D. 反比例函数的曲线 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 若，则___________． 12. 已知，则___________． 13. 已知函数，若，则_________． 14. 如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为______． 15. 如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为________． 16. 如图，将沿斜边翻折后点的对应点，点是线段上的动点，且，已知，则线段的最小值为___________． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 20. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要动力，为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种AI软件，他将四种图标依次制成，，，四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），将四张卡片背朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到豆包卡片的概率为_____________； （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽取的卡片中，含有豆包卡片的概率． 21. 已知：是射线上一点，四边形是正方形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作中点；在射线上作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，连接交于点交于点．当时，直接写出线段的长为___________．（如需画草图，请使用图2） 22. 如图，四边形是平行四边形，，相交于点，为边的中点，连接，过点作于点，过点作于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，且，，求矩形的面积． 23. 已知点是抛物线的顶点． （1）当时，直接写出点的坐标：___________； （2）若点，都在抛物线上，求证：； （3）若，且抛物线与线段有公共点，求的取值范围． 24. 综合与实践：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 根据以下素材，探索完成任务：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小琴家想要设置的储物盒样式，放置它的区域可以近似看成一个长方体，区域底面尺寸如图2所示． 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板． 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒（如图5）． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒（如图6）． 目标1 熟悉材料 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全填满储物区域底面，则长方形纸板的宽为_______． 目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，求当储物盒的底面周长为时储物盒的高． 储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面周长．家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否按图示的姿态完全放入储物盒．        25. 已知中，，连接交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在上取一点，使，连接并延长，交圆于点，连接，求证：； （3）如图3，当与重合时，连接并延长，在延长线上取一点，连接交圆于点，连接，交于点，在边上有一点，连接，且满足：交于点，交于点，连接， ①求的值； ②当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $