精品解析：福建泉州第五中学2025-2026学年九年级下学期数学阶段性检测（四）

泉州五中2026届初三下数学阶段性检测（四） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 中国是世界上首先使用负数的国家．如果把收入50元记作元，那么支出50元记作（ ） A. 元 B. 0元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相反意义的量，根据正负数的意义，收入与支出为相反意义的量，收入记为正，则支出记为负．据此进行解答即可． 【详解】解：题目中规定收入50元记作元，因此支出作为相反意义的量，应记为负数．支出50元应为元， 故选：C． 2. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算各选项的结果，即可得到答案． 【详解】A. ，故选项正确，符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：A 3. 若，则的余角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的余角，根据余角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为余角，即可求解． 【详解】解：已知，则的余角为， 故选：B． 4. 下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不合题意； B.不是轴对称图形，不合题意； C.不是轴对称图形，不合题意； D.是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 5. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 6. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 正六边形的每个内角为 C. 数据2，4，5，5，5，4，3的众数是4 D. 方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对顶角的性质，正多边形内角公式，众数的定义，方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键，利用以上知识点逐一分析判断即可得到答案． 【详解】A、相等的角不一定是对顶角（如平行线的同位角），故此项错误； B、 正六边形内角和为，每个内角为，故此项错误； C、数据中出现次数最多的数为5，故众数为5，故此项错误； D、方差反映数据波动程度，方差越大波动越大，方差越小波动越小，故此项正确． 故选：D． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根． 故选：B 8. 如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 9. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 10. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】①∵抛物线的开口向上， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即． 故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ， 故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤，有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 13. 某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】用360度乘以落在一等奖区域的概率即可得到答案． 【详解】解：， ∴一等奖区域所对的圆心角度数为． 14. 如图，正五边形内接于，过点C的直径与交于点F，连接，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆．连接，，先求得，利用等边对等角求得即可． 【详解】解：连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， 的度数为． 故答案为：． 15. 如图，Rt△ABC的边BC在x轴上，点D为斜边AB的中点，AC＝3，BC＝4，若反比例函数y＝的图象过点A、D，则k的值为 ___． 【答案】6 【解析】 【分析】作DE⊥x轴于E，得出DE∥AC，可得，由点D为斜边AB的中点，即可得出,,设A(m，3)，D(m+2，)，代入反比例函数解析式，求出m即可求得k值． 【详解】解：作DE⊥x轴于E，如图： ∵∠ACB＝90°， ∴DE∥AC， ∴, ∴, ∵点D为斜边AB的中点， ∴E是BC的中点，即, ∴DE＝AC＝， 设A(m，3)，则D(m+2，)， ∵反比例函数 的图象过点A、D， ∴k＝3m＝(m+2)×， ∴m＝2， ∴k＝3m＝6， 故填：6． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合,以及相似三角形的性质和平行线分线段成比例，解题关键是将几何关系转化为数量关系，从而求出反比例函数的k值． 16. 如图，已知的面积是1．若分别是边和上距离点最近的6等分点，与相交于点，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，得到，，，则可证明，；再证明，得到；证明，得到，则，则，据此可得答案． 【详解】如图所示，连接， ∵M，N分别是边和上距离C点最近的6等分点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵的面积是1， ∴， ∵M是靠近点C的六等分点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 18. 先化简，再求值：．其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值；先计算同分母分式加法，将分子进行因式分解，再进行约分化简，然后代值计算，即可求解． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 19. 如图，已知线段、相交于点，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法及性质是解题的关键． 根据“边角边”证明，再由全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】证明：∵线段、相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：把点代入，得，解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得， ， 把，代入得，解得 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于x的不等式的解集或． 21. 如图，是内非直径的两条弦，用反证法证明：与不能互相平分． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据反证法的步骤进行证明：先假设能互相平分，结合垂径定理的推论，进行推理，得到矛盾，从而肯定命题的结论正确． 【详解】证明：如图，设交于点P，连接． 假设与能互相平分，则． 是内非直径的两弦， ． 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾， ∴假设不成立，与不能互相平分． 【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是掌握反证法的步骤． 22. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，） 【答案】9.2尺 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度． 【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺． ∴，即， ∵， ∴，即， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数． ∴春分和秋分时日影长度为． 答：春分和秋分时日影长度9.2尺． 23. 已知整数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 【答案】（1）证明见详解 （2）不可以，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了完全本小题考查整式的运算、因式分解、奇数偶数等基础知识：考查运算能力、推理能力以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）由a，b，m，n为整数，n为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∵ ∴为非负数． 【小问2详解】 不可以，理由如下： ∵a，b，m，n为整数，n为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为偶数， ∴a，b同为偶数或者同为奇数， ∴为偶数， 若为奇数，则为奇数， ∴为奇数， ∴为奇数与为偶数矛盾， ∴不可以为奇数． 24. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见解析；[知识迁移]证明见解析；[延伸拓展] 证明见解析 【解析】 【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可； [问题再探] 以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点； [知识迁移]根据点为线段的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明； [延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明． 【详解】[问题初探] 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； [问题再探] 解：如图，点即为的黄金分割点： [知识迁移] 证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展] 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 25. 规定：如果某函数的图象关于直线（为常数）对称，则称该函数为“长榆函数”，直线叫做“振万直线”． （1）下列函数，是否为“长榆函数”？若是，请在横线上填写“是”，若不是，请在横线上填写“否”． ①______；②______；③______． （2）函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”，且其“振万直线”为同一直线．若直线与、的图象相交于、、、，其中．求证：． （3）若关于的“长榆函数”的“振万直线”为，其函数图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为；函数的图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为，以、、、为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出的值，若不能请说明理由． 【答案】（1）是，否，是； （2） 证明：①当时，，如图： 依题意，函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”， 且其“振万直线”为同一直线， 根据抛物线的对称性可得， ②当时， ∵的“振万直线”为同一直线， ， 设， 如图所示，过E，G分别作x轴的平行线，过点F，H分别作y轴的平行线，交于点P，Q，则，， ， 联立， ， ，同理可得， ， 即， 即， ， ， 综上所述，； （3）四边形为矩形，． 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数以及一次函数，二次函数的性质结合新定义，即可求解； （2）分情况讨论，①当时，②当时，分别画出图形，根据二次函数与一元二次方程的解的关系，得出； （3）根据解析式得出A，B，C，D的坐标，进而根据图形，结合矩形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①关于直线对称，是“长榆函数”； ②其函数图象不关于直线对称，不是“长榆函数”； ③，对称轴为直线，是“长榆函数”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图： ∵关于x的“长榆函数”，的“振万直线”为，与x轴交于点A、B（点A在点B的右边）， 当，即， ， 令，即， 解得：，， ∴， 当时，，则，， 函数的图象与x轴交于点C、D（点C在点D的右边），其顶点为N， ， 令，即， 解得：，，则对称轴为直线， ，， 当时，，则， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵在x轴上， ∴不可能垂直于， ∴四边形不可能是菱形， 当四边形为矩形时， ， 即， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2026届初三下数学阶段性检测（四） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 中国是世界上首先使用负数的国家．如果把收入50元记作元，那么支出50元记作（ ） A. 元 B. 0元 C. 元 D. 元 2. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的余角为（ ） A. B. C. D. 4. 下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 正六边形的每个内角为 C. 数据2，4，5，5，5，4，3的众数是4 D. 方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 8. 如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5 10. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 13. 某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 14. 如图，正五边形内接于，过点C的直径与交于点F，连接，则的度数为________． 15. 如图，Rt△ABC的边BC在x轴上，点D为斜边AB的中点，AC＝3，BC＝4，若反比例函数y＝的图象过点A、D，则k的值为 ___． 16. 如图，已知的面积是1．若分别是边和上距离点最近的6等分点，与相交于点，则四边形的面积为______． 三、解答题（共86分） 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：．其中． 19. 如图，已知线段、相交于点，，．求证：． 20. 如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 21. 如图，是内非直径的两条弦，用反证法证明：与不能互相平分． 22. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，） 23. 已知整数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 24. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 25. 规定：如果某函数的图象关于直线（为常数）对称，则称该函数为“长榆函数”，直线叫做“振万直线”． （1）下列函数，是否为“长榆函数”？若是，请在横线上填写“是”，若不是，请在横线上填写“否”． ①______；②______；③______． （2）函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”，且其“振万直线”为同一直线．若直线与、的图象相交于、、、，其中．求证：． （3）若关于的“长榆函数”的“振万直线”为，其函数图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为；函数的图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为，以、、、为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出的值，若不能请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $