北京市顺义区第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

顺义二中2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. “点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知平面向量，且，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 在中，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 4. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 在中，“”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在中，，设，则（ ） A. B. C. D. 1 9. 海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 10. 祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱，形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在中，，则________． 12. 已知向量，则向量__________，向量夹角的大小为__________． 13. 如图，有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为4，高为6，圆锥的高为3，则这个木质工艺品的体积为__________；表面积为__________． 14. 如图，已知正方形边长为4，为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为______． 15. 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，有以下四个说法： ①可能与相交； ②与不可能平行； ③与是异面直线； ④三棱锥的体积为定值； 其中，所有正确说法的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明． 16. 已知，与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）当为何值时，？ 17. 在中，． （1）求； （2）若，求边． 18. 如图，直三棱柱中，D是的中点，四边形为正方形. （1）若为等边三角形，，直接写出直三棱柱的体积. （2）求证：平面； （3）在第一问的条件下，直接写出异面直线与所成角的余弦值. 19. 在中，． （1）求； （2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： （1）平面平面； （2）是线段的中点； （3）平面． 21. 已知为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，如此经过次变换后得到的向量记为．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数． （1）设，直接写出的所有可能结果； （2）求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次； （3）设，求的聚数的所有可能结果． 顺义二中2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】B 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】或 【12题答案】 【答案】 ①. 5 ②. 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明． 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 如图，连接，交于点E，再连接. 由已知得，四边形为正方形，所以E为的中点， ∵D是BC的中点， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）证明： 因为为正方形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，所以平面平面. （2）证明:设，连接， 因为平面，平面，平面平面，则， 平行四边形中，， 又因为，则为平行四边形，则， 且为中点，则， 即，所以是线段的中点. （3）证明： 因为为正方形，则，， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面，所以平面. 【21题答案】 【答案】（1）或或 （2） 设，，则，，，，， ，，所以， ，，所以， 即， 所以维可聚向量经过一次变换后得维向量仍然是可聚向量， 这样经过次变换后变成一个数， 所以对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $