第十章 二元一次方程组 单元练习卷2025-2026学年人教版七年级数学下册

七年级数学（人教版）下册 第十章《二元一次方程组》单元练习卷 （满分：120 分 时间：90 分钟） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是 A. B. C. D. 2. 已知，是方程的解，则的值为 A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 3. 用代入法解方程组时，下列变形正确的是 A. 由①得 B. 由①得 C. 由②得 D. 由②得 4. 解方程组时，消去的正确步骤是 A. ①×4＋② B. ①×2－② C. ①＋②×2 D. ①×2＋② 5. 《九章算术》记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.” 设人数为，羊价为，可列方程组 A. B. C. D. 6. 已知方程组，则的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知、满足方程组，且，则的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 一根长 20m 的钢管截成 2m 和 3m 两种规格（根数为整数），恰好用完，且 2m 的根数不少于 3m 根数的 2 倍，则 3m 的钢管最多可截 A. 5 根 B. 4 根 C.3 根 D. 2 根 9. 在解方程组时，一同学把看错了而得到，正确的解是，则、、的值分别是 A. ，， B. ，， C. ，， D. 不能确定 10. 对于有理数、，定义新运算，其中、为常数.已知，，则的值为 A. 24 B. 22 C. 20 D. 18 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 把方程改写成用含的式子表示的形式： . 12. 若，则 . 13. 若方程组中与的值相等，则 . 14. 定义一种运算 “※”，规定，其中、为常数，且，，则 . 15. 如图，将7张相同的长方形纸片不重叠的放在长方形ABCD内，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且，若未被覆盖的两个长方形周长相等，则a与b的数量关系用等式可表示为_____． 16. 某校组织师生共 200 人参加植树活动.若每位老师植树 5 棵，每位学生植树 3 棵，则师生共植树 800 棵.若每位老师植树 6 棵，每位学生植树 2 棵，且植树总数量不变，则学生人数应变为原来的 倍. 三、解答题（本题共 7 小题，共 72 分） 17. （本小题满分 8 分）解方程组： （1） （2） 18. （本小题满分 8 分） 已知方程组的解也是关于、的方程的解，求的值. 19. （本小题满分 10 分） 甲、乙两件服装的成本共 500 元.商店老板将甲服装按 50% 的利润定价，乙服装按 40% 的利润定价，实际出售时均按九折销售，结果共获利 157 元.求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 20. （本小题满分 10 分） 在某场篮球比赛中，运动员小李一人得了 46 分（无罚球得分）.已知他投进的 2 分球个数比 3 分球个数的 2 倍还多 2 个. （1）求小李投进了多少个 2 分球和多少个 3 分球？ （2）后来技术统计更正，发现漏算了 1 个 2 分球和 1 个 3 分球，且这并不影响小李是全场最高分（全场第二高分是 43 分）.请判断更正后小李是否还是得分王，并说明理由. 21. （本小题满分 10 分） 阅读下列材料： 我们规定：若关于、的二元一次方程的一组解满足，则称此解为 “- 关联解”. 例如：方程的解满足，则称该解为 “3 - 关联解”. （1）已知是方程的一个解，判断它是否为 “关联解”？若是，请求出的值；若不是，请说明理由. （2）已知关于、的方程组的解是 “3 - 关联解”，求的值. 22. （本小题满分 12 分） 规定：形如的方程组，若且，则称该方程组为 “和谐方程组”. （1）判断方程组是否为 “和谐方程组”，并说明理由. （2）已知关于、的方程组是 “和谐方程组”，且它的解满足，求、的值. 23. （本小题满分 14 分） 某物流公司有 31 吨货物需要运输，计划同时租用 A 型车和 B 型车，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.已知每辆 A 型车载满货物一次可运货 3 吨，每辆 B 型车载满货物一次可运货 4 吨. (1) 请你帮该公司设计租车方案. (2) 若 A 型车每辆需租金 100 元 / 次，B 型车每辆需租金 120 元 / 次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费. (3) 在（2）的省钱方案下，物流公司开始运输.途中经过一座限重桥，桥头标志显示 “总质量超过 15 吨的车辆禁止通行”.已知每辆 A 型车自重 2.5 吨，每辆 B 型车自重 3 吨，货物已经装载.请问该省钱方案的车辆能否全部安全通过该桥？请说明理由. 附加题： 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上，直线是二元一次方程的图象，直线是二元一次方程的图象． (1) 直接写出点的坐标； (2) 点在直线上， ①若△AOD的面积是4，求点的坐标； ②直线与轴交点，若三角形的面积与三角形面积的差大于2，直接写出m的取值范围． 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D B C B D A D 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. （或） 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题（共 72 分） 17.（8 分） 解：（1）①＋②得，解得. 代入①得，解得. ∴方程组的解为………………………………（4 分） （2）①×6 得，与②矛盾. ∴方程组无解.………………………………………（4 分） 18.（8 分） 解：解方程组 ①＋②得，解得. 代入②得，解得.……………………………（4 分） 将代入得， 解得.……………………………………………（4 分） 19.（10 分） 解：设甲服装的成本为元，乙服装的成本为元.……………（1 分） 根据题意得…………………（3 分） 化简第二个方程：.………………………（2 分） 联立解得，.………………………………（3 分） 答：甲服装的成本为 300 元，乙服装的成本为 200 元.……………（1 分） 20.（10 分） 解：（1）设 2 分球个，3 分球个. 根据题意得……………………………（3 分） 代入解得，.…………………………………（3 分） 答：2 分球 14 个，3 分球 6 个. （2）更正后得分：（分）.…（2 分） ∵，∴更正后小李仍是得分王.………………………（2 分） 21.（10 分） 解：（1）， ∴是 “关联解”，.…………………………………（3 分） （2）解方程组 由②得，代入①得， 整理得，∴， 则.………………………………………（4 分） 由得， ，解得……………………（3 分） 22.（12 分） 解：（1）第一个方程：，满足条件； 第二个方程：，不满足条件. ∴该方程组不是 “和谐方程组”.………………………………（4 分） （2）由 “和谐方程组” 定义得 ……………………………（3 分） 解得.…………………………………（2 分） 此时方程组为 两式相减得，解得，代入得，满足.…（3 分） 23.（14 分） 解：（1）设租用 A 型车辆，B 型车辆， 则（、为正整数）.……………………………（2 分） 解得三组解：.……………（4 分） （2）方案①费用：（元）； 方案②费用：（元）； 方案③费用：（元）.…………………（3 分） ∴方案①最省钱，最少租车费为 940 元.………………………（2 分） （3）方案①中： A 型车总质量：（吨）吨； B 型车总质量：（吨）吨.………………………（2 分） ∴全部车辆均可安全通过该桥.………………………………（1 分） 附加题 (1) 解：∵直线是二元一次方程的图象， ∴当时，，解得：，即； ∵直线是二元一次方程的图象， ∴当时，，解得：，即； 联立，解得：，即． 综上，． (2) 解：①直线是二元一次方程的图象，即， 设D的坐标为 ， ∵三角形的面积是4， ∴，即，解得：或1， ∴或， ∴或； ②如图：当点E在点C上方时，延长交y轴于，连接，过B作， ∵， ∴， ∴， 当点E在点C上方时，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：； 当时，点E在直线上，即点D在直线上，此时A、B、D共线，不能构成三角形，不符合题意； ∴且； 如图：当点E在点C下方时，过A作的平行线交y与F，过A作轴交于点G，则点D的横坐标为4， ∴把代入可得：，解得：，即， ∵， ∴直线向下平移个单位得到直线， ∴，即， 如图：当点E在线段上时，点D在二、三象限，即时，显然，不符合题意； 如图：当点E在F的下方时，即，延长交y轴于，过B作，则 ∴， ∴恒成立，即时，三角形的面积与三角形面积的差大于2恒成立． 综上，当或且时，三角形的面积与三角形面积的差大于2恒成立． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $