专题05分式与分式方程压轴专项训练(18大题型+压轴题型精析)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题05分式与分式方程压轴专项训练 【温馨提示】18大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲+梯度跟踪专练。 所有题目附标准答案+思路分析+步骤详解，无基础题，学生提分、教师备 课直接用，可编辑打印。 题型01.分式有意义与值为零的综合判断 题型02.分式值正负判定题型 题型03.分式混合运算综合题 题型04.分式化简整体代入求值 题型05.分式值为整数求解问题 题型06.分式裂项相消计算题 题型07.分式规律探究题 题型08.分式新定义运算题 题型09.分式方程增根求参数 题型10.分式方程无解分类讨论 题型11.分式方程解的情况求参数 题型12分式方程与不等式综合 题型13.分式方程工程问题 题型14.分式方程行程问题 题型15.分式方程销售利润问题 题型16.分式方程方案选择问题 题型17.分式方程经济问题 题型18.分式方程和差倍分问题 压 轴 题型01分式有意义与值为零的综合判断 【爽例】若分式2的值为0，则x 【跟踪专练1】.若分式X-2, 的值为0，则求x的值时应建立的式子是() x-2 A.|x|-2=0 B.|x-2=0且x-2≠0 C.x-2=0 D.|x|-2=0且x-2=0 【跟踪专练2】若代数式X-2的值为0，则x= 若代数式(x-2)(x+)的值为0， x+1 试卷第1页，共3页 则x= ;若代数式红-2+D的值为0，则= x+1 【跟踪专练3】若分式-1的值为0，则x= x2-2x-3 【跟踪专练4】己知有意义的分式： ,4,+0,请你写出一个含x的二次分式，当它有 x2-3x-4 意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0： 题型02.分式值正负判定题型 爽例)分式的值为正数的条件是( A.x<2 B.x<2且x≠0 C.0<x<2 D.x>2 【跟踪专练1】若上+>2，则a,b的值可能是() a b A.a<0,b<0B.a>1,b>1 C.a<0,b>1 D.a>1,b>0 【跟踪专练2】若分式+3 (x-1)2 的值大于零，则x的取值范围是 跟踪专练3】若分式。2的值为负数，x的取值范围晶 题型03.分式混合运算综合题 【典例】计算、化简： 0-2+号94： 6 【跟踪专练1】计算和化简 (1)计算：-2026-4+(-1)°. (2)化简： 【跟踪专练2】计算： (1)-2(x-y)2-y(2x-y): 3x xx2-9 【跟踪专练3】1)计算：+3+3+2+3x x2-4x+2x-2 (2)若1 a+2025 =2025,求1 0+2026的值. 试卷第1页，共3页 题型04.分式化简整体代入求值 m的值为 1m+1 【典例】己知m=√+1，则代数式m-二 【跟踪专练1】先化简，再求值： a2-4。+a+2’再从0,1,2三个中选一个适当的数 2aa-2,3a 作为a的值代入求值. x2-1-1x,其中x=2 【跟踪专练2】先化简，再求值：+2x+*2X+x 【跟踪专练3】先化简，再求值：(a-13a+1-3aa-+a+a÷-2 其中 a2-2a+1aa-1 Q=- +3tan30°. 题型05.分式值为整数求解问题 【典例】已知分式a-2的值为整数，则所有满足条件的整数a的值为 a 【跟踪专练1】若x为整数，且使分式，6 的值是整数，则x的值是 2x+1 3m-6 【跟踪专练2】若分式m中m-2的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是一， (x-2)(4-x2） 【跟踪专练3】已知x为整数，求能使分式 的值为整数的x的值， (x+22(x-2) 题型06.分式裂项相消计算题 【典例】阅读理解与应用阅读下面的材料，并解答下列问题： 已知： 2=1-11-111-11 1 1×2 2'2×323'3×434 (1)根据你发现的规律写出第n(n为正整数)个式子是； 1 1 1 1 (2)计算： 1×22×33×4 99×100 2 3 n 【跟踪专练1】计算1-1x1+2(1+2)×1+2+3) [1+2+…+(n-1](1+2+…+m) 【跟踪专练2】现有一列数：4,42,4,44，，an,4n（n为正整数)，规定a1=2，a2-a1=4, .1,1,1，，1504 a4,a4a,=1009,则的值为() a-a2=6,,an-a-1=2nn22),若+++…+ A.2015 B.2016 C.2017 D.2018 试卷第1页，共3页 【跟踪专练3】阅读下列解题过程： 1x5-4 5-4 =5-2 4+55+45-4（5-(4 1×6-5) 6-5 +666-万不°6- 请回答下列问题： ()利用上面所提供的解法，请化简：1+万++5+5+4+…+万++8+ (②)不计算近似值，利用上面提供的方法比较√3-√1与√5-√3的大小，并说明理由. (3)若a=V5+√6，请用a的代数式表示√6=·（要求表示a的代数式中不含根号） 题型07.分式规律探究题 1 【典例已知>0，S，S,=-S-L,S日3，S=-S,-1，$,三。…即当为大于 的合数时，点=名：当少为大于1的偶数时，5=一-51，则5。 【跟踪专练1】在计算分式-1的值时，若x分别取2026,2025,2024，，2,1,0,1， x2+11 11 1 11 2’3'2024’2025’2026 ,再将所得结果相加之和等于() A.-1 B.2026 C.2027 D.20261 2026 11 限踪专练2】观察下列等式：第1个等式a31-:第2个等式一 3》第3个式47》 1 1111 a2= 第4个等式 1111 a=7x9279… 按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：an== (n为正整数). 【跟踪专练3】观察下列各式： 1-1-11=111=11 1×22'2x3233x434… 求+1+1 1 十… 1×22×33×4 2023×2024的值. 11 1 (2)化简1×2+2x33×4 +…十 n(n+1· 其中n≥1，且n为整数. 题型08.分式新定义运算题 试卷第1页，共3页 【典例】定义f(x)= 文，即当=1时，训当x时 1 1 4 5,则 f-2026+f-2025)++f-2+f-+f0+/0+f2 【跟踪专练1】新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样 的式子称作交换对称式. 例如：x2+y2,(x-1)(y-1),它们都是交换对称式.己知：(x-a)(x-b)=x2-px+q, ①若p=2,=-1,则交换对称式+9三 a b ②若9=2，则交换对称式+2++2的最小值为 a b 【跟踪专练2】定义：我们将能使方程上+1=k成立的数对(x,称为的倒立数对”，例 x y 如：当x=2,y=2时，+ 22 =1成立，则(2,2)是“1的倒立数对”. (a-b)(b-c 若m,n)是“1的倒立数对”，且a=b+m,b=c+n,当分式 (a-c)2 的值为整数时， 符合条件的m+n的整数值有() A.1个 B.2个 C.3个 D.6个 13方，则方程 【跟踪专练3】定义一种运算：。8b三。二ba≠b,例如：1®3=3=-3 2⑧x=1 +1的解是(). x-2 1 A.x=2 B.x=3 C.x=2 D.x=-1 2 【跟踪专练4】定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样 a m+n+p b,2m 的分式称为繁分式.利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式， c+d n+p 11 例物化简号臣时，紫分式的分了分母同乘的到会若实数m,川满足m+日= b+a a b 3 ,mn=- t2+2 试卷第1页，共3页 ()m+n (用含t的式子表示)： mn ,612 2t+ ②求证：不论1取何值，分式，。g化简后都为一个定值，并求出该定值。 -t+ n m 题型09.分式方程增根求参数 【典例】解关于x的分式方程5+ m x-22- 一，若该分式方程产生增根，则的值为· 跟踪专练1送的方程一22+有增根，则增根是 ,1n= x+1 【跟踪专练2】若分式方程m,+,1=2有增根，则m的值为() x-2'2-x A.2 B.3 C.4 D.5 【跟踪专练3】关于的方程m,+!0有塔根，则m的值是() x-1x-1 A.3 B.2 C.1 D.-1 题型10.分式方程无解分类讨论. 【典例】若关于x的方程”，)1无解，则m的值为 x-44-x 【跟踪专练1】若关于x的分式方程2x-)+,m=1无解，则m= x-33-x 【跟踪专练2】若关于的分式方程乙+3无解，则m的值是() x-1 A.3或7 B.3或10 C.7 D.3 【跟踪专练3】如果关于x的分式方程m+x+2 =0无解，那么实数m的值为() 4-xx-4 A.4 B.5 C.6 D.7 6x+3k 【跟踪专练4】若关于x的分式方程 x-1xx-可x无解，则k的值为() A.-3 B.-3或-5 C.1或-3 D.1或-5 【跟踪专练5】已知关于x的方程2 1 x+a 一十 x+1x-1x2-1 (1)若a=4,求该方程的解； (②)若该方程无解，求实数a的值. 题型11.分式方程解的情况求参数 【典例】若关于x的方程×，-2=2m x-1 的解为正数，则m的取值范围是 x-1 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】已知关于x的分式方程m+2=-,3的解为正数，则m的取值范围是 x-1 1-x 【跟踪专练2】关于x的分式方程1+-2=1的解为正数，则a的取值范围是() x-22-x A.a>5且a≠3B.a<5且a≠3C.a>5且a≠2D.a<5且a≠2 【跟踪专练3】关于x的分式方程a-x-3=5. x-11-x (1)当a=3时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求a的值； (3)若此方程的解为正数，求a的取值范围. 题型12.分式方程与不等式综合 【典例】若关于x的方程，ax-1=3的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和 “1+xx+1 【跟踪专练1】若关于x的方程m-2 =1的解为非正数，则m的取值范围是。 x+1x+1 【跟踪专练2】若关于x的方程”，-，x=2的解为负数，则m的取值范围是 x-44-x 【跟踪专练3】已知关于x的分式方程+k x+1x-1 =1的解为负数，则k的取值范围是() A.t B.k<2 1 2 C.k>且k1 D.k<号且k#0 2 2 【跟踪专练4】已知关于x的分式方程”。-3=，3的解是非负数，则n的取值范围是() x-2 2-x A.n≥-9且n≠-3 B.n2-9 C.n≤-9且n≠-12 D.n≤-9 题型13.分式方程工程问题 【典例】为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充 电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任 务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 【跟踪专练1】马年春节联欢晚会上，宇树智能机器人的表演震惊全场，某车企迅速在甲、 乙两个车间引入宇树智能机器人，引入后，甲、乙两个车间同时生产了30天，共生产了 2700辆汽车，己知甲车间平均每天的生产量是乙车间平均每天的生产量的两倍。 试卷第1页，共3页 ()求甲、乙两车间平均每天各生产多少辆汽车： (②)为了进一步提升生产效率，两车间都进行了技术改进，甲车间平均每天多生产2m辆汽车， 乙车间平均每天多生产4m辆汽车，两车间同时开始生产，结果甲车间生产700辆汽车与乙 车间生产500辆汽车用时相同，求m的值. 【跟踪专练2】为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改 造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多 1O0平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的 4 (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干 天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任 务总共需要施工费用多少元？ 题型14.分式方程行程问题 【典例】甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40 分钟到达，A、B相距12千米 (1)求甲、乙速度； (2)甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？ 【跟踪专练1】某物流企业接到一笔紧急配送订单，需要将一批生鲜物资从甲地运往900公 里外的乙地.若使用特快货物班列配送，所需时间比高铁货运多3小时.己知高铁货运的速 度是特快货物班列的2倍，求使用高铁货运配送所需时间是多少小时， 【跟踪专练2五一”小长假期间，某旅行社组织了三峡研学活动，共有80名学生报名参加. 已知前往研学目的地有大巴车和游船两种出行方式，大巴车的速度是游船的2.5倍，在同时 出发的前提下，乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达，两种出行方式的路程及票价如 下表所示 游船 大巴车 路程 36km 60km 等票64元/人 票价 88元/人 :等票40元/人 试卷第1页，共3页 (I)求游船和大巴车的速度（单位：km/h): (2)该旅行社最终选择乘坐游船出行，若要使得所有学生的票价总和不超过3980元，则最多 购买多少张一等票？ 题型15.分式方程销售利润问题 【典例】某淘宝店主准备从广州一家服装店购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装 的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙 种服装的数量的2倍 (1)求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？ (2)该淘宝店甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，店主根据买家需求，决 定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4 件，若本次购进的两种服装全部售出后，总获利超过7160元，求该淘宝店本次购进甲种服 装至少是多少件？ 【跟踪专练1】2026年春节期间，电影《飞驰人生3》的热播带动了一批汽车模型的销售.某 商家推出A,B两种赛车模型，已知每个B种赛车模型的进价比A种赛车模型贵20元，用 2000元购进A种赛车模型和用2400元购进B种赛车模型的数量相同. (I)A,B两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过11200元的资金购进A,B两种赛车模型 共100个，那么最多能购进B种赛车模型多少个？ 【跟踪专练2】2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印 机产品.上半年，该公司A,B两款打印机的墨盒销量表现突出.己知用4O0毫升墨水量可 灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整 数次)，且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水， ()求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)己知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数 量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利海 为多少元？ A 进价（元） 1200 2000 试卷第1页，共3页 售价（元） 1400 2300 题型16.分式方程方案选择问题 【典例】.2025年山西省财政安排21.83亿元支持科技创新，科技创新是推动高质量发展的核 心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代 农业等六个领域项月，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变的新姿态. 某企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A,B新能源型号的机器.已知一台A型机器比 一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工 60个零件所用时间相等. (1)每台A,B型号的机器每小时分别加工多少个零件？ (2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成 任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，则至少需要安排几台A型机器. 【跟踪专练1】某厂家生产A,B两种智能分拣设备，已知A设备分拣1500件快件所用的时 间与B设备分拣1800件快件所用的时间相同，且A设备每小时比B设备少分拣100件快件。 ()求A设备每小时分拣多少件快件？ (②)一公司现需从该厂家购进A,B设备若干，由于费用限制要求A设备比B设备多购进2 个，若购进的这批设备1小时至少需要共同完成10900件快件的分拣任务，那么至少要购进 多少个B设备？ 【跟踪专练2】某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A,B 两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估 的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放 年污水处理总量 总量（单位：万吨）决定，污水处理率= 年污水排放总量 2025年A,B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理)厂 年污水处理总量/万吨 甲 90 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的80%，A厂的污水处理率高 试卷第1页，共3页 于B厂，且两者的差值为2.5%. ①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？ ②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加25%，现计划对A, B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的20%. 镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A,B两厂的污水处理率相同.不妨设 A厂的年污水处理总量增加Q万吨，B厂的年污水处理总量增加b万吨(a,b均为整数).若 作为镇长，你如何规划A,B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A,B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025 年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高 于A厂，且两者的差值为10%.为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城 镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小. 题型17.分式方程经济问题 【典例】钧瓷是河南省禹州市的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，是中国“五大名瓷”之一·某校 为了推行中原文化进校园，准备购买甲、乙两种钧瓷茶杯用于宣讲.已知每个甲种茶杯比每 个乙种茶杯多10元，花费900元购买甲种茶杯与花费600元购买乙种茶杯的数量相同. (1)求甲、乙两种茶杯的单价 (2)若学校决定购买甲、乙两种茶杯共60个，总费用不超过1600元，那么该校最多可以购 买甲种茶杯多少个？ 【跟踪专练1】普洱被誉为“中国咖啡之都”.某经销商从当地采购了甲、乙两种咖啡，甲种 咖啡用了20000元，乙种咖啡用了19200元，甲种咖啡的采购数量比乙种咖啡多50千克， 乙种咖啡的采购单价是甲种咖啡的1.2倍，求甲、乙两种咖啡的采购单价 【跟踪专练2】列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特 色黄牛面”.己知2份“经典臊子面和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典臊子面”和5份“特 色黄牛面”需78元. (1)求“经典臊子面”和特色黄牛面的单价： (②)面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二 试卷第1页，共3页 季度上涨了20%，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量 少了10千克，求第三季度面粉的单价. 题型18.分式方程和差倍分问题 【典例】在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术.己 知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时 间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾. ()求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； (2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有 机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙 种技术沼气池至少多少个？ 【跟踪专练1】某文具店计划购进A、B两种文件袋，购进A款共用960元，购进B款共用 1680元.B款数量是A款的1.5倍，B款的单价比A款贵4元. (1)求A、B两款文件袋的单价； (2)一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个A款文件袋， 【跟踪专练2】列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售.已知购买5件甲种商品 和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元， (1)求甲、乙两种商品每件的售价： (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲 种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多40%，求购买 乙种商品的数量. 试卷第1页，共3页 专题05分式与分式方程压轴专项训练 【温馨提示】18大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.分式有意义与值为零的综合判断 题型02.分式值正负判定题型 题型03.分式混合运算综合题 题型04.分式化简整体代入求值 题型05.分式值为整数求解问题 题型06.分式裂项相消计算题 题型07.分式规律探究题 题型08.分式新定义运算题 题型09.分式方程增根求参数 题型10.分式方程无解分类讨论 题型11.分式方程解的情况求参数 题型12.分式方程与不等式综合 题型13.分式方程工程问题 题型14.分式方程行程问题 题型15.分式方程销售利润问题 题型16.分式方程方案选择问题 题型17.分式方程经济问题 题型18.分式方程和差倍分问题 题型01.分式有意义与值为零的综合判断 【典例】．若分式的值为0，则x_______． 【答案】0 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，注意：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 根据分式值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且 解得． 故答案为：0． 【跟踪专练1】.若分式的值为，则求的值时应建立的式子是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为的条件，注意分子为，但分母不能为是解题关键． 分式的值为，需满足分子为且分母不为，据此进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴分子且分母， 即应建立的式子是且． 故选：． 【跟踪专练2】若代数式的值为0，则__________；若代数式的值为0，则__________；若代数式的值为0，则__________． 【答案】 2 或2/2或 2 【分析】本题考查了分式有意义的条件以及分式值为零的条件，两个整式乘积为0的条件，根据分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．以及两个整式乘积为0的条件一一计算即可． 【详解】解：若的值为0，即，即． 若代数式的值为0，则或，解得：或． 若代数式的值为0，则或，又使得分式有意义即，故只有当时，代数式的值为0， 故答案为：2；2或；2 【跟踪专练3】若分式的值为，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】∵分式的值为， ∴且， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练4】已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0：__________ 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件及分式不为零的条件，由有意义时，即可得到答案，熟记分式有意义的条件及分式不为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：有意义， ，即， 解得，且， ，则是一个含的二次分式，当它有意义时，可能大于0，可能小于0，不可能等于0， 故答案为：． 题型02.分式值正负判定题型 【典例】分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 【跟踪专练1】若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 【跟踪专练2】若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 【答案】且 【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值． 【详解】解：∵分式的值大于零， ∴x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键． 【跟踪专练3】若分式的值为负数，x的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】由结合分式有意义的条件与两数相除异号得负可得：，再解不等式组从而可得答案. 【详解】解： 由分式有意义的条件与两数相除异号得负可得： 由①得： 由②得： 所以： x的取值范围是且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是分式的值为负数，利用两数相除同号得正，异号得负确定分子或分母的符号是解本题的关键. 题型03.分式混合运算综合题 【典例】计算、化简： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，绝对值，最后计算加减； （2）先计算括号里的，变除法为乘法，化简求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 【跟踪专练1】计算和化简 (1)计算：． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【跟踪专练2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【跟踪专练3】（1）计算：． （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的方法是解题的关键； （1）先计算原式的倒数，求得最后结果再取倒数即可； （2）对已知式子取倒数后计算得出的值，对的值再取倒数即可求解． 【详解】解：（1）原式的倒数为 ， ． （2）， ， ， ． 题型04.分式化简整体代入求值 【典例】已知，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】先根据分式混合运算法则将原式化简，再将m的值代入求值即可．本题主要考查分式的混合运算以及二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【跟踪专练1】先化简，再求值：，再从0，1，2三个中选一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式的值为 【详解】解： ． 当或2时，原分式无意义， ． 当时，原式． 【跟踪专练2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的运算法则将原式化简，再将代入即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【跟踪专练3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先算括号内的分式减法，然后算分式的除法及整式的乘法，再算分式加减，得到化简结果，再计算a的值，最后将a的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 题型05.分式值为整数求解问题 【典例】已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【答案】 【分析】先对分式进行化简，再结合整数的条件分别求解即可． 【详解】解：分式， ∵该分式的值为整数，且为整数， ∴为整数， ∴当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 综上，所有满足条件的整数的值为． 【跟踪专练1】若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______． 【答案】，，0，1 【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可． 【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数， ∴或或或， 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 因此，x的值为，，0，1； 故答案为，，0，1． 【跟踪专练2】若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是_____． 【答案】0 【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 【跟踪专练3】已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 【答案】或或或 【分析】先根据分式的性质进行化简，结果为，再结合题意判断出是的因数，计算出结果，同时注意需要让原分式有意义． 【详解】解：∵原分式有意义， ∴， ∴， ， ∵分式的值为整数，且为整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或或或． 题型06.分式裂项相消计算题 【典例】阅读理解与应用阅读下面的材料，并解答下列问题： 已知： （1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是_______； （2）计算： ______ 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，有理数的混合运算，裂项相消是解答本题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可写出第n个式子； （2）利用（1）的规律将每个项拆分为差的形式，通过相互抵消简化求和． 【详解】解：（1）由已知等式 ，，，…， 可得第n个式子为， 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 【跟踪专练1】计算_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，根据题意总结出规律是解题的关键．根据题意先总结规律，然后进行计算即可． 【详解】解：设，则 ∴， 原式 故答案为：． 【跟踪专练2】现有一列数：（为正整数），规定，，，，，若，则的值为（　　） A．2015 B．2016 C．2017 D．2018 【答案】C 【分析】本题考查了分式化简求值，通过已知条件求出，再利用裂项法将求和式化简为 ，最后解方程求出． 【详解】解：，且对于，有， ， ， ， 以此类推，得， ， ， ， ， ， ，． 故选：C． 【跟踪专练3】阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)利用上面所提供的解法，请化简： (2)不计算近似值，利用上面提供的方法比较与的大小，并说明理由． (3)若，请用a的代数式表示______．（要求表示的代数式中不含根号） 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题干中的计算方法进行解答即可； （2）计算两个数的倒数的值，再进行比较即可； （3）求出，和已知条件相加即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 题型07.分式规律探究题 【典例】已知，，，，，即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，，则______． 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题．根据定义求出至，可得每6个一循环，结合，即可解答． 根据序列定义计算前若干项发现序列每6项循环一次利用周期性质求 【详解】解：， ， ， ， ， ……， 由此发现，每6个循环一次， ∵， ∴． 故答案为： 【跟踪专练1】在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 【跟踪专练2】观察下列等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式…… 按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：______＝______（n为正整数）． 【答案】 【分析】观察已知等式中分母的奇数规律与分式拆分形式，推导第个等式的表达式 【详解】解：第1个等式的分母为，拆分形式为； 第2个等式的分母为，拆分形式为； 第3个等式的分母为，拆分形式为； 以此类推，第个等式的分母为，拆分后为，即（为正整数）． 【跟踪专练3】观察下列各式： (1)求的值． (2)化简．其中，且n为整数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探究，并根据规律进行求解；能够根据已知找出规律进行计算是解题的关键． （1）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； （2）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： 题型08.分式新定义运算题 【典例】定义，即当时，；当时，，则_____． 【答案】 2027 【分析】先推导得到，且，据此对原式两两配对，再加上的值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 原式 ． 【跟踪专练1】新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 【跟踪专练2】．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由是“的倒立数对”，得到，推出，根据，，得到，，推出，则，再化简所求式子得到，即可求解． 【详解】解：是“的倒立数对”， 如果，那的值可以是，吗？ ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， 即的整数值有，，共个， 故选：B． 【跟踪专练3】定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中新定义的运算规则，将所求方程转化为常规分式方程，再按解分式方程的步骤求解，最后检验即可得到结果． 【详解】解：∵由新定义， ∴， ∵， ∴， 去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【跟踪专练4】定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 题型09.分式方程增根求参数 【典例】解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____． 【答案】 【分析】先确定分式方程的分母，令分母为零得到增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根， 方程两边同乘最简公分母去分母，得：， 将增根代入整式方程，得：， 解得． 【跟踪专练1】关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 【跟踪专练2】若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查分式方程增根的概念，分式方程的增根是使最简公分母为的未知数的值，先将分式方程化为整式方程，再代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程 有增根， ∴最简公分母，得， 方程两边同乘去分母得：， 整理得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 【跟踪专练3】关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程增根的概念，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将分式方程两边同乘去分母得， ∵原分式方程有增根， ∴分母， 解得， 将代入整式方程得， ∴． 题型10.分式方程无解分类讨论. 【典例】若关于的方程无解，则的值为_____． 【答案】3 【分析】先将分式方程去分母化成整式方程，根据分式无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时乘以，得， 整理得， ∵关于的方程无解， ∴方程有增根，增根为， 把代入， 得， 解得． 【跟踪专练1】若关于x的分式方程 无解，则________ 【答案】5 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无意义， ∴． 【跟踪专练2】若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可； 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论： ①若整式方程无解，则， ∵ 时， 等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为，∴增根为， 把代入 ，得，解得， 综上，的值为或． 【跟踪专练3】如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分式方程无解，说明该分式方程存在增根，增根是使分式分母为0的x的值.，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：原方程为， ∵方程无解则存在增根， 令，得增根. 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得， ∵方程无解， ∴为增根，代入得， ∴． 【跟踪专练4】若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 【跟踪专练5】已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）先把原方程去分母并整理得，解得，然后把代入即可求解； （）根据方程无解可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 题型11.分式方程解的情况求参数 【典例】若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数，以及分式方程不能有增根列出不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴且． 【跟踪专练1】已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 【答案】 且 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 整理得， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 【跟踪专练2】关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 【跟踪专练3】关于的分式方程． (1)当时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）原方程变为，两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解； （2）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值； （3）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入方程，得， 去分母得， 整理得， 即， 解得， 检验：当时，， 分式方程的解为； （2）解：方程两边都乘以得， ， 分式方程有增根， ， 解得， ， 解得； （3）解：方程两边都乘以得， ， 解得， 方程的根为正数， ，且， ∴且． 题型12.分式方程与不等式综合 【典例】若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 【答案】9 【分析】将原方程变形，用含的代数式表示出，根据为整数解，可得为4的因数，求出所有满足条件的整数的值，再根据分式方程的解不能使分母为0进行检验，排除不合题意的值，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵方程的解为整数解， ∴或或， ∴或2或3或或5或， 又即， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和为． 【跟踪专练1】若关于x的方程的解为非正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的代数式表示出，根据解为非正数建立不等式，再结合分式方程分母不为零排除使分式无意义的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母（），得， 移项整理得， ∵方程的解为非正数， ∴，即， 解得，， 又∵分式方程中分母不能为0，分式才有意义， ∴，即， 解得，， 综上，的取值范围是且． 【跟踪专练2】若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是___． 【答案】/ 【分析】先将分式方程化为整式方程，求出方程的解，再根据解为负数，结合分式方程分母不为零的限制条件，确定的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为 方程两边同乘最简公分母去分母得 整理得 ∵方程的解为负数 ∴，即 解得 又∵分式方程分母不能为， ∴，即，解得 ，则自然成立 故答案为 【跟踪专练3】已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，先将分式方程化为整式方程求解，再根据解为负数列不等式，同时保证原分式方程分母不为零，进而确定k的取值范围． 【详解】解：∵解分式方程， ∴两边同乘得：， 展开并化简：， ， 移项合并得：， ∴， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， 又∵原分式方程分母不能为0，即且， 当时，，解得，故， 当时，，解得，但，此情况不存在， 综上，且， 故选：C． 【跟踪专练4】已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的解法．解分式方程得到 ，根据解是非负数且分母不为零的条件，得到的取值范围即可． 【详解】解：，且 ， ∴ 方程化为 。 两边同乘得到，， 解得， ∵ 解是非负数， ∴ ， 即 ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴n的取值范围是且， 故选： A 题型13.分式方程工程问题 【典例】为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 【答案】原计划平均每月建成200座充电站 【分析】设原计划平均每月建成座充电站，分别表示出原计划和实际的时间，再根据“提前3个月完成任务”建立分式方程求解． 【详解】解：设原计划平均每月建成座充电站，根据题意可列方程为 ， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每月建成200座充电站． 【跟踪专练1】马年春节联欢晚会上，宇树智能机器人的表演震惊全场，某车企迅速在甲、乙两个车间引入宇树智能机器人，引入后，甲、乙两个车间同时生产了天，共生产了辆汽车，已知甲车间平均每天的生产量是乙车间平均每天的生产量的两倍． (1)求甲、乙两车间平均每天各生产多少辆汽车； (2)为了进一步提升生产效率，两车间都进行了技术改进，甲车间平均每天多生产辆汽车，乙车间平均每天多生产辆汽车，两车间同时开始生产，结果甲车间生产辆汽车与乙车间生产辆汽车用时相同，求的值． 【答案】(1)甲车间平均每天生产辆汽车，乙车间平均每天生产辆汽车 (2)的值是 【分析】（1）设乙车间平均每天生产辆汽车，则甲车间平均每天生产辆汽车，根据题意列出方程，并求解即可； （2）根据用时相同列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：设乙车间平均每天生产辆汽车，则甲车间平均每天生产辆汽车， 根据题意，得， 解得， ∴． 答：甲车间平均每天生产辆汽车，乙车间平均每天生产辆汽车． （2）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：的值是． 【跟踪专练2】为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1) 甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积 (2) 48000元 【分析】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用： （1）设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据题意列分式方程求解； （2）设甲工程队先做了天，用表示合作天数，根据单独完成和合作完成的效率列方程，求出甲队单独的时间，进而求解． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成平方米的绿化改造面积， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲队每天能完成平方米． 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． （2）解：设甲工程队先做了天， 则甲乙合作了天， 则， 解得：， 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：元． 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元． 题型14.分式方程行程问题 【典例】甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40分钟到达，A、B相距12千米． (1)求甲、乙速度； (2)甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？ 【答案】(1)甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时 (2)乙5分钟追上 【分析】（1）设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据“乙比甲早40分钟到达”列分式方程求解； （2）设乙出发t小时追上，根据题意列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时， 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴（千米/时） 答：甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时； （2）解：设乙出发t小时追上， 根据题意得，， 解得小时分钟， 答：乙5分钟追上． 【跟踪专练1】某物流企业接到一笔紧急配送订单，需要将一批生鲜物资从甲地运往900公里外的乙地．若使用特快货物班列配送，所需时间比高铁货运多3小时．已知高铁货运的速度是特快货物班列的2倍，求使用高铁货运配送所需时间是多少小时． 【答案】3小时 【分析】设使用高铁货运配送所需时间为小时，则使用特快货物班列配送所需时间为小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设使用高铁货运配送所需时间为小时，则使用特快货物班列配送所需时间为小时， 根据题意，得． 解得 经检验，是所列分式方程的解，且符合题目要求． 答：使用高铁货运配送所需时间为3小时． 【跟踪专练2】“五·一”小长假期间，某旅行社组织了三峡研学活动，共有80名学生报名参加．已知前往研学目的地有大巴车和游船两种出行方式，大巴车的速度是游船的倍，在同时出发的前提下，乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达，两种出行方式的路程及票价如下表所示． 游船 大巴车 路程 票价 一等票64元/人 88元/人 二等票40元/人 (1)求游船和大巴车的速度（单位：）； (2)该旅行社最终选择乘坐游船出行，若要使得所有学生的票价总和不超过3980元，则最多购买多少张一等票？ 【答案】(1)游船的速度为，大巴车的速度为 (2)最多购买32张一等票 【分析】（1）设游船的速度为，则大巴车的速度为，然后根据等量关系“乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达”列分式方程求解即可； （2）设购买a张一等票，则可购买张二等票，再根据不等关系“所有学生的票价总和不超过3980元”列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设游船的速度为，则大巴车的速度为 根据题意，，解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ，． 答：游船的速度为，大巴车的速度为． （2）解：设购买a张一等票，则可购买张二等票， 由题意可得：，解得：． 为整数 的最大值为32． 答：最多购买32张一等票． 题型15.分式方程销售利润问题 【典例】某淘宝店主准备从广州一家服装店购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍． (1)求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？ (2)该淘宝店甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，店主根据买家需求，决定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件，若本次购进的两种服装全部售出后，总获利超过7160元，求该淘宝店本次购进甲种服装至少是多少件？ 【答案】(1)每件甲种服装为200元，每件乙种服装为150元 (2)51 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为元，根据题意可列分式方程求解即可； （2）设购进甲种服装m件，则购进乙种服装件，根据题意可得不等关系：甲服装的利润+乙服装的利润元，根据不等关系列出不等式，解出解集，即可确定答案． 【详解】（1）解：设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为元， 由题意得：     解得：， 经检验是原分式方程的解， 则：． 答：每件甲种服装为200元，每件乙种服装为150元； （2）解：设购进甲种服装m件，则购进乙种服装件， 由题意得： ， 解得：． 答：该淘宝店本次购进甲种服装至少是51件． 【跟踪专练1】年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 【答案】(1) 种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元； (2) 最多能购进种赛车模型个． 【分析】（1）设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元． （2）解：设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个， 根据题意可得， 解得， ∴最多能购进种赛车模型个． 【跟踪专练2】2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 题型16.分式方程方案选择问题. 【典例】.2025年山西省财政安排亿元支持科技创新，科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变的新姿态．某企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B新能源型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等． (1)每台A，B型号的机器每小时分别加工多少个零件？ (2)如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，则至少需要安排几台A型机器． 【答案】(1)每台B型号的机器每小时加工6个零件，每台A型号的机器每小时加工8个零件； (2)至少需要安排6台A型机器． 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设每台B型号的机器每小时加工x个零件，则每台A型号的机器每小时加工个零件，根据一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等，列出分式方程，即可解答； （2）设需要安排a台A型机器，则需要安排台B型机器，根据该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每台B型号的机器每小时加工x个零件，则每台A型号的机器每小时加工个零件，依题意，得 解得： 经检验：是原方程的解， ∴ 答：每台B型号的机器每小时加工6个零件，每台A型号的机器每小时加工8个零件． （2）解：设需要安排a台A型机器，则需要安排台B型机器，根据题意得 解得： 答：至少需要安排6台A型机器． 【跟踪专练1】某厂家生产，两种智能分拣设备，已知设备分拣1500件快件所用的时间与设备分拣1800件快件所用的时间相同，且设备每小时比设备少分拣100件快件． (1)求设备每小时分拣多少件快件？ (2)一公司现需从该厂家购进，设备若干，由于费用限制要求设备比设备多购进2个，若购进的这批设备1小时至少需要共同完成10900件快件的分拣任务，那么至少要购进多少个设备？ 【答案】(1)设备每小时分拣500件快件 (2)至少要购进个设备 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设设备每小时分拣件快件，则设备每小时分拣件快件， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解． 答：设备每小时分拣500件快件． （2）解：设购进设备个，则购进设备个， 由题意得，， 解得，． 答：至少要购进个设备． 【跟踪专练2】某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=． 2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨 甲 A 90 乙 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为． ①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？ ②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小． 【答案】(1)①甲区域污水的排放总量是100万吨②A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨 (2)甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，分式大小的比较，解题的关键是理解题意． （1）①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据污水处理率列出方程求解即可； ②求出两个区域污水排放量和两个厂可提高的污水处理量，然后列方程求解列出方案，选择合适方案即可； （2）设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为，表示出，然后利用作商法比较大小即可． 【详解】（1）解：①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意； （万吨）， ∴甲区域污水的排放总量是100万吨； ②2026年甲区域污水排放总量为（万吨）， 2026年乙区域污水排放总量为（万吨）， 2026年A厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， 2026年B厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， ， 整理得，， ∵，均为整数， ∴；；；， 共四种方案， 为了提升B厂的污水处理能力，可取，且都符合题意， ∴A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨； （2）解：设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为，则扩建后B厂的污水处理率为， ∵污水处理能力不大于， ∴，且， ∴， 根据题意得， ，， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解，并符合题意， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大． 题型17.分式方程经济问题 【典例】钧瓷是河南省禹州市的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，是中国“五大名瓷”之一．某校为了推行中原文化进校园，准备购买甲、乙两种钧瓷茶杯用于宣讲．已知每个甲种茶杯比每个乙种茶杯多10元，花费900元购买甲种茶杯与花费600元购买乙种茶杯的数量相同． (1)求甲、乙两种茶杯的单价． (2)若学校决定购买甲、乙两种茶杯共60个，总费用不超过1600元，那么该校最多可以购买甲种茶杯多少个？ 【答案】(1)乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元 (2)该校最多可以购买甲种茶杯个 【分析】（1）设乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元，根据“花费900元购买甲种茶杯与花费600元购买乙种茶杯的数量相同”建立分式方程求解； （2）设购买甲种茶杯个，则购买乙种茶杯个，根据“总费用不超过1600元”建立不等式求解． 【详解】（1）解：设乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 甲种茶杯的单价为（元）， 答：乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元； （2）解：设购买甲种茶杯个，则购买乙种茶杯个， 由题意得，， 解得 答：该校最多可以购买甲种茶杯个． 【跟踪专练1】普洱被誉为“中国咖啡之都”．某经销商从当地采购了甲、乙两种咖啡，甲种咖啡用了20000元，乙种咖啡用了19200元，甲种咖啡的采购数量比乙种咖啡多50千克，乙种咖啡的采购单价是甲种咖啡的1.2倍，求甲、乙两种咖啡的采购单价． 【答案】甲种咖啡的采购单价为80元/千克，乙种咖啡的采购单价为96元/千克 【分析】设甲种咖啡的采购单价为x元/千克，则乙种咖啡的采购单价为元/千克，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设甲种咖啡的采购单价为x元/千克，则乙种咖啡的采购单价为元/千克； 由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴（元/千克）， 答：甲种咖啡的采购单价为80元/千克，乙种咖啡的采购单价为96元/千克． 【跟踪专练2】列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需78元． (1)求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； (2)面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 【答案】(1)“经典臊子面臊子面”的单价是7元，“特色黄牛面”的单价是10元 (2)第三季度面粉的单价是12元 【分析】（1）设“经典臊子面”的单价是x元，“特色黄牛面”的单价是y元．利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二季度面粉的单价是m元，则第三季度面粉的单价是元，利用数量总价单价，结合第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，可列出关于m的分式方程，解之经检验后可得出第二季度面粉的单价，再将其代入中，即可求出第三季度面粉的单价． 【详解】（1）解：设“经典臊子面”的单价是x元，“特色黄牛面”的单价是y元．由题意，得 ， 解得， 答：“经典臊子面”的单价是7元，“特色黄牛面”的单价是10元； （2）解：设第二季度面粉的单价是m元，则第三季度面粉的单价是元．由题意得 ． 解得． 经检验，是所列方程的解． ∴． 答：第三季度面粉的单价是12元． 题型18.分式方程和差倍分问题 【典例】在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． (1)求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； (2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 【答案】(1)甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨 (2)新建乙种技术沼气池至少4个 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，根据等量关系列分式方程解答即可； （2）设新建甲种技术沼气池共个，则新建乙种技术沼气池共个，根据不等式关系列出一元一次不等式解答即可． 【详解】（1）解：设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，则， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨． （2）设新建乙种技术沼气池共个，则新建甲种技术沼气池共个， ，． ，． 综上可知，． 答：新建乙种技术沼气池至少4个． 【跟踪专练1】某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元． (1)求、两款文件袋的单价； (2)一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋． 【答案】(1)款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元 (2)最少购进33个款文件袋 【分析】（1）先设款文件袋的单价为元，再根据题意列出分式方程，求解并检验即可解答； （2）先设购进款文件袋个，再根据题意列出不等式，最后解不等式，并结合为整数解答即可． 【详解】（1）解：设款文件袋的单价为元，则款文件袋的单价为元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元． （2）解：设购进款文件袋个，则购进款文件袋个， 由题意得，， 解得，， 又为整数， 的最小值为． 答：最少购进33个款文件袋． 【跟踪专练2】列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 【答案】(1)甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元 (2)购买乙种商品的数量为50件 【分析】此题考查了二元一次方程组以及分式方程的应用，弄清题意，根据等量关系列出方程是解本题的关键． （1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）设售价上涨的价格为元，再列式得，再解方程即可． 【详解】（1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元， ， 解得：， 答：甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元； （2）甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格为元， 则购买甲种商品数为，购买乙种商品数为， 又购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多， 所以， 解得，经检验，符合题意， 则， 答：购买乙种商品的数量为50件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $