精品解析：山东省聊城市阳谷县铜谷中学2026年初中学业水平检测数学模拟试卷

2026年初中学业水平检测数学模拟试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数轴上，表示下列四个数的点在和之间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了数轴及有理数的比较大小，解决此类问题的关键是注意负数比较大小绝对值大的反而小的理解．本题是对有理数的大小比较的综合考查，注意负数比较大小绝对值大的反而小． 【详解】解：， 在和之间． 故选：C． 2. 如图是一个电风扇的旋钮开关，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可． 【详解】解：从上面看，是一个圆，且中间有两条竖的实线， ∴俯视图如下： ∴D选项符合题意． 3. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 我国已经启动第二阶段技术试验，人工智能逐渐融入人类生活下列设计的人工智能图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式逐一判断选项正误． 【详解】解：A、∵，∴A错误． B、∵，∴B错误． C、∵，∴C正确． D、∵，∴D错误． 6. 如图，直线，将一块含角的直角三角板（）按如图方式放置，其中顶点和分别落在直线和上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作直线，结合，得，得出，得，又因为，得出的度数，即可作答． 【详解】解：依题意， 过点作直线， ∵直线， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：A． 7. 某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该旅游团人数为人，根据“单独购票总费用减去团体购票总费用等于节省的费用”列方程求解即可． 【详解】解：设该旅游团人数为人， ， 解得． 故选：C． 8. 已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. ，且 B. ，且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查根据方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．分类讨论：当时，方程的解为，满足题意；当时，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，从而即可求解． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，满足题意； 当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：． 综上可知，． 故选C． 9. 如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点G作于点H，证明，可求，当点P与点H重合时，取最小值，即可求得此时的长． 【详解】解：如图，过点G作于点H，则， ， ， 由作图可知，平分， ， ， ， ， ， 当点P与点H重合时，取最小值，此时． 10. 已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；再结合给定的最大值和最小值，分析函数在时的增减性与最值取得的位置，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数解析式为，将其化为顶点式： ． ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，函数取得最大值． ∵的最大值为， ∴必须在取值范围内，即． 抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，到对称轴的距离为． 函数的最小值为， 将代入解析式得， ∴函数在处取得最小值， 要保证在时的最小值，则需满足，即到对称轴的距离不大于到对称轴的距离， ∴， 解得， 综上，的取值范围为． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 12. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从H口驶出的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点H、G、E、F处都是等可能情况，从而得到在四个出口H、G、E、F也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有H、G、E、F四个， ∴最终从点H驶出的概率为． 13. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径为，扇形面积为，则圆锥的底面半径为________． 【答案】8 【解析】 【分析】圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据扇形面积公式求出扇形弧长，再结合圆的周长公式求解底面半径即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 已知扇形半径，扇形面积， 由扇形面积公式得： ， 解得， 因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，因此： ， 解得 ∴圆锥的底面半径为． 14. 若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】先解方程得到，根据方程的解为正整数且方程不能有增根得到为正整数，且；求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组的解集情况求出a的取值范围，再结合为正整数求出a的值即可． 【详解】解：解方程 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵关于的分式方程的解为正整数，且要满足，即， ∴为正整数，且，即 解不等式， 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式得， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴或 ∴或（舍去）． 15. 如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点O，连接， 由折叠的性质可得， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，的长度最小，此时， ∵在矩形中，， ， ∴， ． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（）根据二次根式性质，负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可； （）先根据分式混合运算法则进行计算，然后代入数据求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时， 原式． 17. 某校为了解学生体育锻炼情况，从甲、乙两班各随机抽取10名学生进行问卷调查及体育质量检测．名学生的体育测试成绩（满分分）以及每周课外锻炼时间的统计数据如下表所示： 20名学生测试成绩数据分析表 统计量 班级 成绩平均数 成绩方差 成绩中位数 成绩众数 甲班 乙班 20名学生体育测试成绩与每周课外锻炼时间统计表 甲班10名学生成绩（分） 甲班学生锻炼时间（小时） 乙班10名学生成绩（分） 乙班学生锻炼时间（小时） 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1） ， ； （2）甲班有名学生，估计甲班学生每周课外锻炼时间大于（不包括）小时的人数； （3）结合统计量分析每周课外锻炼时间与学生成绩之间的相关程度． 【答案】（1）， （2）人 （3） 解：甲、乙两班成绩平均数均为，但乙班方差远小于甲班，说明乙班成绩更稳定； 乙班学生锻炼时间更集中在小时，高时长（小时）人数更多；甲班锻炼时间集中在小时，低时长人数更多； 乙班中位数（）、众数（）均高于甲班（中位数、众数），说明锻炼时间更充足的乙班，成绩整体水平更高； 综上，锻炼时间越充足，成绩的整体水平越高、稳定性越强；锻炼时间不足的班级，成绩波动大、整体水平偏低． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行求解即可； （2）用总体乘以样本所占的比例即可； （3）根据平均成绩和锻炼时间的变化，进行分析即可． 【小问1详解】 解：根据甲、乙两班的时间统计表，可判断出，． 【小问2详解】 解：用样本估计总体得（名）． 【小问3详解】 略 18. 随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． （1）求A，B两种型号的帐篷的单价； （2）据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】（1）A，B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 （2）购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个，根据题意列不等式，得到，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元，则，根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元， 根据题意得， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； 【小问2详解】 解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时， ， 答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 19. 如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． （1）求的长； （2）如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，交于点，证明矩形，然后选择适当的直角三角形求解即可； （2）延长、交于点，在中，求得，再解，求解即可． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，交于点， 在中， ， ， ， ， ， 又， 得平行四边形， 平行四边形是矩形， ，， ， 在中， ， ， ； 【小问2详解】 解：延长、交于点， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 答：出水管的长为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为15，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点代入，求出反比例函数的表达式；可求出点坐标，再将，两点的坐标代入，利用待定系数法求出直线的表达式； （2）设直线与轴交于点，平移后的直线与轴交于点，连接，，则，依据，即可得出的面积与的面积相等，可求得，即可得出平移后的直线的函数表达式． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象过点，点的坐标是， ，即， 反比例函数的表达式为， 反比例函数的图象过点，的纵坐标是， 时，， ． 把点，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与轴交于点，平移后的直线与轴交于点，连接，， 令，则， ， ， 的面积与的面积相等， ， 即， ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 平移后的直线的函数表达式为． 21. 如图，是的切线，点为切点，点为上一点，射线，交于点，连接，点在上，过点作，交于点，作，垂足为点．，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是的切线，点为切点， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，易证得，进而得到，根据切线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据求出的长，利用勾股定理求出的长，进而得到，利用求解的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即的半径为． 22. 【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为轴，大棚横截面中的“抛物线拱形”的对称轴为轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地测量：矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米；“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． （1）结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围． 【问题解决】 （2）为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图1，矩形脚手架结构为：，均垂直于地面，平行于地面，且、两点落在抛物线上，，两点落在上．其中三根支架，，的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值； （3）在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形的样式，且米，米，米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下降的高度是多少米？ 【答案】（1） （2）脚手架总长度的最大值为米； （3）米 【解析】 【分析】（1）理解题意，得出顶点坐标为，，再设解析式为，把代入，解得，即可作答． （2）先证明四边形是矩形，再设， 故，运用二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）理解题意得新抛物线解析式为，结合米，米，米，得，，将，，代入新抛物线，整理得：，解得，最后代入①计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． ∴如图1，即顶点坐标为， ∵矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米 ∴ 即， 依题意，设“抛物线拱形”对应的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 【小问2详解】 解：∵，均垂直于地面，平行于地面， ∴， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得， 设， 依题意，， 设三根支架，，的长度之和为， 即， ∵ ∴当时，有最大值， 把代入，得 即脚手架总长度的最大值为米； 【小问3详解】 解：设抛物线下降高度为米， ∴新抛物线解析式为， 设， ∵米， 得， ∵米，米 ∴，， 将，，代入新抛物线， 得：， 消去展开整理得：， 解得， 将代入①得：， 答：抛物线应下降的高度为米 【点睛】本题考查了抛物线的应用，求二次函数的解析式，矩形的判定与性质，二次函数的最值问题，，二次函数的平移问题，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 在中，，，点D为边上一个动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，线段的长度恰好为线段的2倍，与交于点G，若，求的长度； （2）如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； （3）如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，过点D作交于点H， ，， ，， ， ，， ，， ， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ，， ∴， ∴， ，， ， 又，， ∴， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，求出，由旋转的性质可得，，即可得出结果； （2）过点D作交于点H，先证明，得出，，从而可得，再证明，得出，即可得证； （3）在上截取，连接，先证明，得出，，从而得出当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，分别求出，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：，， ， ，， ， ∵线段的长度恰好为线段的2倍， ∴， ， ， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，在上截取，连接， ∵平分， ， 又， ∴， ∴， ， ∴当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，如图4： ，， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ， ， ∴， 又∵， ∴点B，点Q，点D三点共线， 由折叠的性质得，， ， ，， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平检测数学模拟试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数轴上，表示下列四个数的点在和之间的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个电风扇的旋钮开关，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 我国已经启动第二阶段技术试验，人工智能逐渐融入人类生活下列设计的人工智能图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，将一块含角的直角三角板（）按如图方式放置，其中顶点和分别落在直线和上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. ，且 B. ，且 C. D. 9. 如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 5 10. 已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：____________． 12. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从H口驶出的概率是________． 13. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径为，扇形面积为，则圆锥的底面半径为________． 14. 若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的的值为________． 15. 如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某校为了解学生体育锻炼情况，从甲、乙两班各随机抽取10名学生进行问卷调查及体育质量检测．名学生的体育测试成绩（满分分）以及每周课外锻炼时间的统计数据如下表所示： 20名学生测试成绩数据分析表 统计量 班级 成绩平均数 成绩方差 成绩中位数 成绩众数 甲班 乙班 20名学生体育测试成绩与每周课外锻炼时间统计表 甲班10名学生成绩（分） 甲班学生锻炼时间（小时） 乙班10名学生成绩（分） 乙班学生锻炼时间（小时） 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1） ， ； （2）甲班有名学生，估计甲班学生每周课外锻炼时间大于（不包括）小时的人数； （3）结合统计量分析每周课外锻炼时间与学生成绩之间的相关程度． 18. 随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． （1）求A，B两种型号的帐篷的单价； （2）据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 19. 如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． （1）求的长； （2）如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为15，求平移后的直线的函数表达式． 21. 如图，是的切线，点为切点，点为上一点，射线，交于点，连接，点在上，过点作，交于点，作，垂足为点．，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为轴，大棚横截面中的“抛物线拱形”的对称轴为轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地测量：矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米；“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． （1）结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围． 【问题解决】 （2）为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图1，矩形脚手架结构为：，均垂直于地面，平行于地面，且、两点落在抛物线上，，两点落在上．其中三根支架，，的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值； （3）在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形的样式，且米，米，米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下降的高度是多少米？ 23. 在中，，，点D为边上一个动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，线段的长度恰好为线段的2倍，与交于点G，若，求的长度； （2）如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； （3）如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $