第三章 概率初步【期末复习讲义】基础版-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第三章 概率初步【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 事件的分类 题型二 判断事件发生的可能性的大小 题型三 求某事件的频率 题型四 概率的意义理解 题型五 关于频率与概率关系说法的正误 题型六 由频率估计概率 题型七 用频率估计概率的综合应用 题型八 列举随机实验的所有可能结果 题型九 判断实验所得结果是否是等可能的 题型十 列举法求概率 题型十一 根据概率公式计算概率 题型十二 根据概率作判断 题型十三 已知概率求数量 题型十四 游戏的公平性 题型十五 几何概率 题型十六 概率在转盘抽奖中的应用 题型十七 概率在比赛中的应用 题型十八 概率的其他应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 确定事件与不确定事件 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【易错点拨】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点二 频率与概率 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【易错点拨】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 事件的分类 【例1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在一个不透明的袋中装有除颜色外其他都相同的12个小球，其中5个红色球、4个蓝色球、3个白色球．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．从袋中随机取出1个球，是红色球 B．从袋中随机取出5个球，全是蓝色球 C．从袋中随机取出7个球，没有红色球 D．从袋中随机取出10个球，三种颜色的球都有 【变式】（24-25七年级下·福建漳州·期中）下列事件中属于必然事件的是（   ） A．买一张彩票，中奖 B．将汽油滴入水中，汽油浮在水面上 C．任意投掷一枚质地均匀的硬币，硬币停止后，正面朝上 D．长、宽分别为m，n的矩形面积是 题型讲练二 判断事件发生的可能性的大小 【例2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）下列说法正确的是（    ） A．昆明明天降雨的概率为，表示昆明明天有一半的时间在下雨 B．掷一枚质地均匀的硬币100次，恰好有50次正面朝上 C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数是必然事件 D．明天太阳从东方升起是必然事件 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口，问： (1)他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？ (2)他遇到红灯的概率是多少？ 题型讲练三 求某事件的频率 【例3】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； 【变式】（2025七年级下·全国·专题练习）对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)计算并直接填写表中投篮次、次相应的命中率； (2)这个运动员投篮命中的概率约是______； (3)估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 题型讲练四 概率的意义理解 【例4】（25-26七年级下·天津河东·期末）下列说法，正确的是（    ） A．“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件 B．概率很大的事件一定会发生 C．掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖 【变式】（2025七年级下·全国·专题练习）一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 题型讲练五 关于频率与概率关系说法的正误 【例5】（2024·山东潍坊·一模）（多选）如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（） A．当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是 B．当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是 【变式】（24-25七年级下·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 题型讲练六 由频率估计概率 【例6】（25-26七年级下·山东青岛·期中）下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 600 800 1000 合格数m 48 93 143 189 573 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【变式】（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 题型讲练七 用频率估计概率的综合应用 【例7】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【变式】（23-24七年级下·广东梅州·期末）经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为． (1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆； (2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 题型讲练八 列举随机实验的所有可能结果 【例8】（23-24七年级下·江苏南京·期末）已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为____________． 【变式】（24-25七年级下·江西吉安·期末）口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有2，3，4，5和6，口袋外面有2张卡片，分别写有4和6，现随机从口袋中取出一张卡片，与口袋外面的两张卡片放在一起，以卡片上的数分别作为三条线段的长，回答下列问题： (1)写出三条线段长的所有可能结果； (2)求这三条线段能组成三角形的概率； (3)求这三条线段能组成等腰三角形的概率 题型讲练九 判断实验所得结果是否是等可能的 【例9】（2024·福建福州·一模）一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【变式】（24-25七年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 题型讲练十 列举法求概率 【例10】（25-26七年级下·北京·期末）临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为 (1)求m和n的值； (2)小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 【变式】（25-26七年级下·甘肃武威·月考）酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有3瓶溶液标签缺失，分别为（酸溶液），（碱溶液），（碱溶液），若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（　　） A． B． C． D． 题型讲练十一 根据概率公式计算概率 【例11】（25-26七年级下·陕西西安·期中）现有一张“西安大唐不夜城”的“盛唐密盒”互动体验门票，小明和小亮都想得到它，小红为他们出了一个主意，方法就是：从写有数字1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片中任取一张，抽到比4大的卡片，小明去：否则，小亮去．（每张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后抽取） (1)求小明抽到卡片4的概率． (2)你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由． 【变式】（25-26七年级下·陕西西安·期中）一个不透明的袋子中放有个白球，个黑球，若干个红球，每个球除颜色外都相同． (1)某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球，记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球次，其中摸出红球的次数为次，这次摸球活动中红球出现的频率为___________； (2)若袋子中白球的数量比红球的数量的倍还多个，求从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率． 题型讲练十二 根据概率作判断 【例12】（25-26七年级下·河南郑州·期中）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； ③比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续掷两次，掷出的点数分别是1，4．小明也是连续掷两次，掷出的点数分别是3，5．请问： (1)如果小颖继续掷，那么点数和不超过10的概率是 ； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子粒数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子粒数 187 282 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个说法： ①种子粒数是700时，发芽种子的粒数是624，所以种子发芽的概率是0.91； ②随着试验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9； ③试验的种子粒数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是该作物种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽． 其中合理的是____________（填序号）． 题型讲练十三 已知概率求数量 【例13】（25-26七年级下·山东济南·月考）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右． (1)“王颖摸出一个球，她摸出的是黑球”是______________事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； (2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)如果要使摸到黑球的概率为，需要从盒子里取走多少个白球？ 【变式】（25-26七年级下·山东淄博·期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到）； (2)盒子里约有白球________个； (3)若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测可能是多少？ 题型讲练十四 游戏的公平性 【例14】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【变式】（25-26七年级下·全国·月考）如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 题型讲练十五 几何概率 【例15】（25-26七年级下·山东泰安·月考）如图，一枚匀质的陆战棋棋子，各棱长的大小关系是，用、、分别代表字母所在的面及其相对的一面，通过抛掷棋子的试验，比较、、朝上各事件的概率的大小． 【变式】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)求小明转出的数字大于3的概率； (2)小颖认为，小明转出的数字大于3的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．她的看法正确吗？为什么？ 题型讲练十六 概率在转盘抽奖中的应用 【例16】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【变式】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，游乐场一个转盘被等分成12个扇形．其中有部分扇形标注了颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针指向某个扇形区域内为转动一次转盘（如果指针指在等分线上，则重新转动转盘）． (1)请在没有标注颜色的扇形上标注扇形颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，其余部分为黄色； (2)商家规定：任何人都可以参与（1）中的这个转动转盘游戏，但必须遵循以下规则：每人每次转一次转盘，若指针落在红色区域，参与者给商家5元；若指针落在白色区域，商家奖励参与者2元；若指针落在黄色区域，商家奖励参与者3元．你认为商家设置的这个转盘游戏会亏本吗？请说明理由． 题型讲练十七 概率在比赛中的应用 【例17】（2023七年级下·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 题型讲练十八 概率的其他应用 【例18】（24-25七年级下·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 【变式】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（24-25七年级下·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．某彩票的中奖概率是，因此买张彩票一定会有5张中奖 C．射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种结果，所以它们发生的概率都是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，掷了3次，其中2次正面朝上，1次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 D．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 3．（25-26七年级下·河南郑州·期中）以下说法合理的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．小明做了3次掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了5次，其中有2次正面朝上，3次正面朝下，由此他说硬币正面朝上的概率是 4．（25-26七年级下·重庆·期中）袋子里有3个红球，若干个白球，这些球除了颜色不一样，其他完全一样．小明从袋子里面摸出一个球，记下颜色后放回，试验记录如表所示，则袋子里的白球有___________个． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 摸到红球的频率 0.25 0.22 0.22 0.21 0.19 0.20 5．（25-26七年级下·四川·期中）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着n颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷，小明先点一个小方格，显示数字2，其意义是2这个小方格没有地雷，但围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（我们把包含数字2的黑框区域记为）．小明点完第一步之后，小明的第二步随机踩在区域外的某个小方格上，他踩中地雷的概率为，则的值为________． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 7．（2026·四川泸州·模拟预测）某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 8．（25-26七年级下·山东威海·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个小球，其中红球个，黑球个． (1)先从袋子中取出个红球后，再从袋子中随机摸出个球，将“摸出黑球”，记为事件．请完成下列表格． 事件 必然事件 随机事件 的值 (2)先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个球是黑球的概率是，求的值． 9．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）分别写有数字的10张卡片．它们除数字外完全相同．将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)分别求出卡片上的数字是3的倍数的概率和不是3的倍数的概率； (2)分别求出卡片上的数字是质数的概率和不是质数的概率； (3)由（1）（2），你有什么发现？ 10．（25-26七年级下·广东佛山·期中）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)若从口袋里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为 （精确到0.01）； (2)估算口袋里黑球的个数； (3)若向口袋里再放入n个除颜色以外其他完全相同的球，这n个球中白球有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意取出一个球，记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，估算n的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第三章 概率初步【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 事件的分类 题型二 判断事件发生的可能性的大小 题型三 求某事件的频率 题型四 概率的意义理解 题型五 关于频率与概率关系说法的正误 题型六 由频率估计概率 题型七 用频率估计概率的综合应用 题型八 列举随机实验的所有可能结果 题型九 判断实验所得结果是否是等可能的 题型十 列举法求概率 题型十一 根据概率公式计算概率 题型十二 根据概率作判断 题型十三 已知概率求数量 题型十四 游戏的公平性 题型十五 几何概率 题型十六 概率在转盘抽奖中的应用 题型十七 概率在比赛中的应用 题型十八 概率的其他应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 确定事件与不确定事件 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【易错点拨】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点二 频率与概率 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【易错点拨】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 事件的分类 【例1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在一个不透明的袋中装有除颜色外其他都相同的12个小球，其中5个红色球、4个蓝色球、3个白色球．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．从袋中随机取出1个球，是红色球 B．从袋中随机取出5个球，全是蓝色球 C．从袋中随机取出7个球，没有红色球 D．从袋中随机取出10个球，三种颜色的球都有 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类，必然事件是指一定发生的事件．袋中共有12个球（5红、4蓝、3白），取出10个球后只剩2个球．由于每种颜色球的数量均大于2，因此取出10个球时必然包含所有三种颜色． 【详解】解：A、可能取出蓝球或白球，不是必然事件； B、只有4个蓝球，无法取出5个蓝球，是不可能事件； C、非红球共7个（4蓝+3白），取出7个球可能没有红球，但也可能包含红球，不是必然事件． ∵袋中红球5个、蓝球4个、白球3个，总球数12个， ∴取出10个球后，剩余2个球． ∵红球数量，蓝球数量，白球数量， ∴剩余2个球不可能包含所有红球、所有蓝球或所有白球， 即取出10个球时，不可能缺少任何一种颜色， ∴取出10个球必然三种颜色都有． 故选项D是必然事件． 故选：D． 【变式】（24-25七年级下·福建漳州·期中）下列事件中属于必然事件的是（   ） A．买一张彩票，中奖 B．将汽油滴入水中，汽油浮在水面上 C．任意投掷一枚质地均匀的硬币，硬币停止后，正面朝上 D．长、宽分别为m，n的矩形面积是 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，找到一定发生的事件的选项即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、买一张彩票，中奖，是随机事件，故选项不符合题意； B、将汽油滴入水中，汽油浮在水面上，是必然事件，故选项符合题意； C、任意投掷一枚质地均匀的硬币，硬币停止后，正面朝上，是随机事件，故选项不符合题意； D、长、宽分别为m，n的矩形面积是，是不可能事件，故选项不符合题意； 故选：B． 题型讲练二 判断事件发生的可能性的大小 【例2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）下列说法正确的是（    ） A．昆明明天降雨的概率为，表示昆明明天有一半的时间在下雨 B．掷一枚质地均匀的硬币100次，恰好有50次正面朝上 C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数是必然事件 D．明天太阳从东方升起是必然事件 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义和随机事件的定义，本题解决的关键是理解概率的意义． 利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析即可得出答案． 【详解】解：A、降雨的概率是，指有的可能性会下雨，也有50%的可能性不下雨，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币100次，不一定有50次正面朝上，故不符合题意； C、任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件，故不符合题意； D、明天太阳从东方升起是必然事件，故符合题意． 故选：D． 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口，问： (1)他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？ (2)他遇到红灯的概率是多少？ 【答案】(1)绿灯的概率大 (2) 【分析】（1）直接利用概率的意义得出遇到绿灯的概率大； （2）利用绿色灯亮的时间除以三种颜色灯的设置时间，进而得出遇到红灯的概率． 【详解】（1）解：每一时刻经过的可能性都相同，南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯 ∵绿灯时间比红灯时间长， ∴他遇到绿灯的概率大； （2）解： ∵在内，红灯的时间是 ∴他遇到红灯的概率是． 题型讲练三 求某事件的频率 【例3】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； 【答案】(1)0.6025 (2)0.6 (3)20 【分析】本题主要考查了统计中的计算问题，解题关键是正确应用频率估计概率． （1）根据频率公式可得； （2）根据表格可得，当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6； （3）根据频率公式估计即可； 【详解】（1）解：； 故答案为：0.6025； （2）解：根据表格可得，当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6； 故答案为：0.6； （3）解：估计袋子中有白球（个）； 故答案为：20； 【变式】（2025七年级下·全国·专题练习）对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)计算并直接填写表中投篮次、次相应的命中率； (2)这个运动员投篮命中的概率约是______； (3)估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 【答案】(1)， ； (2)； (3)分． 【分析】本题主要考查了用频率估计概率．从表中可以看出：随着投篮次数的增加，命中的频率接近，所以这个运动员分球投篮命中的概率大约是． 根据表中的数据分别求出投篮次、次相应的命中率即可； 用频率估计概率．随着投篮次数的增加，命中的频率接近，所以这个运动员分球投篮命中的概率大约是； 由可知这个运动员分球投篮命中的概率大约是，估计投篮次命中次，共得分． 【详解】（1）解：投篮次的命中率为， 投篮次的命中率为； 故答案为：，； （2）解：这个运动员投篮命中的概率约是， 故答案为：； （3）解：估计这个运动员分球投篮次能得：分， 答：估计这个运动员分球投篮次能得分． 题型讲练四 概率的意义理解 【例4】（25-26七年级下·天津河东·期末）下列说法，正确的是（    ） A．“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件 B．概率很大的事件一定会发生 C．掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖 【答案】C 【分析】本题考查了事件的概率，事件的分类，理解概率、事件分类的概念是解题的关键．根据概率、事件分类的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，故“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是必然事件，不是随机事件，故选项说法错误，不符合题意； B、概率很大的事件不一定发生，故选项说法错误，不符合题意； C、掷两枚均匀的硬币一次，每枚硬币有正反两种可能，且相互独立，故共有种等可能结果：正正、正反、反正、反反，故选项说法正确，符合题意； D、中奖概率为表示每次抽奖中奖的可能性是，但抽奖次不一定恰好中奖次，可能中奖次或多次，故选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式】（2025七年级下·全国·专题练习）一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义作答即可． 【详解】解：不正确． 5次试验属于少量试验，频率为0是可能出现的偶然情况（如连续掷5次硬币都正面朝上）． 若该同学摸球1000次，每次放回摇匀，摸出白球的频率会逐渐趋近于，从而验证概率的正确性． 题型讲练五 关于频率与概率关系说法的正误 【例5】（2024·山东潍坊·一模）（多选）如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（） A．当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是 B．当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是 【答案】AC 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是，故此次次数约是，选项A符合题意； 当投掷次数是时，此时“钉尖向上”的频率是，但“钉尖向上”的概率不一定是，选项B不合题意； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．选项C符合题意； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率可能是，但不一定是，选项D不符合题意． 故选：AC． 【变式】（24-25七年级下·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 题型讲练六 由频率估计概率 【例6】（25-26七年级下·山东青岛·期中）下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 600 800 1000 合格数m 48 93 143 189 573 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【答案】(1) (2) (3)60件 【分析】（1）根据合格率，计算即可； （2）求出合格品的频率 ，由此估计出合格品的概率； （3）根据次品数，计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：抽查总体件数：， 合格品数：， ∴抽合格品的频率为：， ∴估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率约为； （3）解：（件）， 答：从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有60件． 【变式】（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率，折线统计图，画树状图求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．分别求出每项的概率，然后比较即可． 【详解】解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； 、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意； 、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意； 、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下， 一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种， 所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意； 故选：． 题型讲练七 用频率估计概率的综合应用 【例7】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】(1)①3②2或1 (2)1 【分析】（1）①在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球，要使“摸出红球”是必然事件，则袋子中必须全是红球，故需将3个白球全部取出，所以． ②要使“摸出红球”是随机事件，则袋子中必须既有红球又有白球，故取出的白球个数需满足，因为为整数，所以的值是1或2； （2）先从袋子中取出个白球，再放入个一样的红球，此时袋中有个红球，个白球，球的总数为个，随机摸出一个红球的概率为，因为随机摸出一个红球的频率在附近摆动，所以，解得． 【详解】（1）解：①如果事件A是必然事件，则m的值为3； ②如果事件A是随机事件，则m的值为2或1； （2）解：根据题意，可得袋子里共有10个球， 则， 解得， 故的值为1． 【变式】（23-24七年级下·广东梅州·期末）经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为． (1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆； (2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 【答案】(1)汽车在此左转、右转、直行的车辆各是辆、辆、辆 (2)左转、右转、直行的绿灯亮的时间为秒，秒，秒 【分析】本题考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率之间的关系是解题的关键. （1）用汽车总量乘以频率即可得出结果； （2）由频率估计概率，即可得出结果. 【详解】（1）解：汽车在此左转的车辆数为：(辆)， 汽车在此右转的车辆数为：(辆)， 汽车在此直行的车辆数为：(辆) 答：汽车在此左转、右转、直行的车辆各是辆、辆、辆. （2）根据频率估计概率的知识，得 ∵汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为秒， ∴可调整绿灯亮的时间如下： 左转绿灯亮的时间为(秒)， 右转绿灯亮的时间为(秒)， 直行绿灯亮的时间为(秒). 题型讲练八 列举随机实验的所有可能结果 【例8】（23-24七年级下·江苏南京·期末）已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为____________． 【答案】13 【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 【详解】解∶①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 【变式】（24-25七年级下·江西吉安·期末）口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有2，3，4，5和6，口袋外面有2张卡片，分别写有4和6，现随机从口袋中取出一张卡片，与口袋外面的两张卡片放在一起，以卡片上的数分别作为三条线段的长，回答下列问题： (1)写出三条线段长的所有可能结果； (2)求这三条线段能组成三角形的概率； (3)求这三条线段能组成等腰三角形的概率 【答案】(1)有5种：（2，4，6）；（3，4，6）：（4，4，6）；（5，4，6）；（6，4，6） (2) (3) 【分析】（1）从袋中任取出一张卡片，与袋外两张卡片放在一起，分别作为三条线段的长度，共有5种情况：（2，4，6）；（3，4，6）：（4，4，6）；（5，4，6）；（6，4，6）； （2）5种结果中，只有（2，4，6）不能组成三角形，其余4种结果能组成三角形，所以； （3）5种结果中，能组成等腰三角形的有（4，4，6）和（6，4，6）共2种结果，所以． 【详解】（1）解：三条线段长的所有可能结果有5种：（2，4，6）；（3，4，6）：（4，4，6）；（5，4，6）；（6，4，6）； （2）∵所有等可能的结果有5种，只有（2，4，6）不能组成三角形，能组成三角形的有4种， ∴； （3）∵所有等可能的结果有5种，能组成等腰三角形的有（4，4，6）和（6，4，6）共2种， ∴． 题型讲练九 判断实验所得结果是否是等可能的 【例9】（2024·福建福州·一模）一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【答案】(1)摸到号球或号球或号球或号球或号球 (2)可能性相同，它们的概率分别是 【分析】本题主要考查了列举随机实验的所有可能结果，判断实验所得结果是否是等可能的，判断事件的概率等知识点，深刻理解随机事件的概念是解题的关键． （1）列举出所有可能的结果即可； （2）判断每个结果出现的可能性是否相同，并估计它们的概率分别是多少． 【详解】（1）解：搅匀后任意摸出一个球，可能的结果有种：摸到号球或号球或号球或号球或号球； 答：会出现的可能结果有：摸到号球或号球或号球或号球或号球； （2）解：∵这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球， ∴每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是， 答：每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是． 【变式】（24-25七年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 题型讲练十 列举法求概率 【例10】（25-26七年级下·北京·期末）临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为 (1)求m和n的值； (2)小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）由概率公式求出，即可得出； （2）列举法得出共有6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为， ∴， ∴， ∴； （2）解：把没有“红酥梨”的1箱记为A，混入了1个“红酥梨”的记为、，混入了2个“红酥梨”的记为C，从4箱中随机挑选两箱的情况有、、、、、，共6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有，共2种， ∴两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率为． 【变式】（25-26七年级下·甘肃武威·月考）酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有3瓶溶液标签缺失，分别为（酸溶液），（碱溶液），（碱溶液），若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率计算，掌握简单事件的概率计算公式是解题的关键． 总共有3瓶溶液，任取2瓶混合，找出所有可能取法和发生中和反应的取法数，再求概率即可． 【详解】∵溶液有3瓶：HCl（酸）、NaOH（碱）、KOH（碱）， 任取2瓶混合，所有可能取法有三种，是否能反应如下： 1.和→酸和碱，发生中和反应； 2.和→酸和碱，发生中和反应； 3.和→碱和碱，不发生中和反应； ∴总取法数为3，发生中和反应的取法数为2. 故概率为， 故选D． 题型讲练十一 根据概率公式计算概率 【例11】（25-26七年级下·陕西西安·期中）现有一张“西安大唐不夜城”的“盛唐密盒”互动体验门票，小明和小亮都想得到它，小红为他们出了一个主意，方法就是：从写有数字1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片中任取一张，抽到比4大的卡片，小明去：否则，小亮去．（每张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后抽取） (1)求小明抽到卡片4的概率． (2)你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小明去和小亮去的概率，比较大小可得方法不公平． 【详解】（1）解：从8张卡片中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种， 每种结果出现的概率都相等，其中抽到卡片4的结果有2种． 所以，小明抽到卡片4的概率是． （2）解：不公平． 理由如下：从8张卡片中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种， 每种结果出现的概率都相等，其中抽到比4大的结果有3种． 所以，． 所以小明获得门票的概率为，小亮获得门票的概率为：． 因为， 所以，游戏不公平． 【变式】（25-26七年级下·陕西西安·期中）一个不透明的袋子中放有个白球，个黑球，若干个红球，每个球除颜色外都相同． (1)某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球，记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球次，其中摸出红球的次数为次，这次摸球活动中红球出现的频率为___________； (2)若袋子中白球的数量比红球的数量的倍还多个，求从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据概率的定义，概率等于事件发生的次数除以总试验次数，代入数据直接计算即可． （）先根据白球与红球的数量关系列方程求出红球个数，再根据概率公式计算摸到红球的概率即可． 【详解】（1）解：由题可知一共摸球次，其中摸出红球的次数为次， ∴红球出现的概率为； （2）设红球的数量为，则白球的数量为（）， 由题知白球数量为， ∴， ∴， ∴红球有5个，球的总数为， ∴从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率为． 题型讲练十二 根据概率作判断 【例12】（25-26七年级下·河南郑州·期中）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； ③比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续掷两次，掷出的点数分别是1，4．小明也是连续掷两次，掷出的点数分别是3，5．请问： (1)如果小颖继续掷，那么点数和不超过10的概率是 ； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） 【答案】(1) (2)停止掷，见解析 【分析】（1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过的概率； （2）分别计算出点数和超过和不超过的概率，比较大小即可解题． 【详解】（1）解：由题可知：小颖已掷出的点数和为， 再掷一次，只有掷出6点时，其点数和才会超过10， 小颖继续掷，点数和不超过的概率是； （2）解：停止掷；理由如下： 小明前两次掷出的点数和是， 若再掷一次，点数为1，2时，得分为9或10， ∴（小明得分9或10）； 点数为3，4，5，6时．得分为0， ∴（小明得分0）． ， ∴停止掷． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子粒数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子粒数 187 282 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个说法： ①种子粒数是700时，发芽种子的粒数是624，所以种子发芽的概率是0.91； ②随着试验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9； ③试验的种子粒数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是该作物种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽． 其中合理的是____________（填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，掌握大量重复试验中频率稳定值可估计概率是解题的关键． 根据频率与概率的关系，大量重复试验中频率稳定值可估计概率，但单次试验频率不一定等于概率． 【详解】解：①错误，当种子粒数为700时，发芽的频率为；且用频率估计概率需要大量重复试验，单次试验的结果具有偶然性，不能代表一般情况，故该说法错误，不符合题意； ②正确，因为随着试验种子数量的增加，发芽频率在0.9附近摆动，显示出稳定性，可估计概率约为0.9，符合题意； ③错误，频率与概率不一定相等，不符合题意； ④正确，用概率0.9估计，不能发芽的概率约为0.1，1000kg种子中不能发芽的种子约为100kg，符合题意． 故答案为：②④． 题型讲练十三 已知概率求数量 【例13】（25-26七年级下·山东济南·月考）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右． (1)“王颖摸出一个球，她摸出的是黑球”是______________事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； (2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)如果要使摸到黑球的概率为，需要从盒子里取走多少个白球？ 【答案】(1)随机 (2)白球15个，黑球45个 (3)6 【分析】（1）根据盒子里装有颜色不同的黑、白两种球可得答案； （2）用总数乘以摸到白球的概率，得出白球的数量，进而得到黑球的数量； （3）设需要从盒子里取走x个白球，根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵盒子里装有颜色不同的黑、白两种球， ∴“王颖随机摸出一个球，她摸出的是黑球”是随机事件； （2）解：∵摸到白球的频率为0.25，黑、白两种球共60个， ∴盒子里白球为：个， 盒子里黑球为：个； （3）解：设需要从盒子里取走x个白球， 根据题意得：， 解得：， 答：需要从盒子里取走6个白球． 【变式】（25-26七年级下·山东淄博·期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到）； (2)盒子里约有白球________个； (3)若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测可能是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察表格中频率的稳定趋势，取近似值即可得到摸到白球的概率. （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可估算白球数量． （3）根据加入球后的频率稳定值得到概率，结合白球数量与总球数列出方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为． （2）解：∵盒子中共有个球， ∴盒子里约有白球(个) ． （3）解：∵加入个球后，总球数变为，白球个数变为，且摸到白球的概率为， 故可列方程得， 整理得， 解得， 答：推测可能是． 题型讲练十四 游戏的公平性 【例14】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【详解】（1）解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； （2）解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 【变式】（25-26七年级下·全国·月考）如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1)； (2)游戏公平．理由见解析． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ， 故答案为：； （2）解：游戏公平．理由如下： 因为笔画数不小于8的汉字有“骄”“傲”“是”“国”，笔画数小于8的汉字有“我”“中”“人”， 所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为． 因为，所以游戏公平． 题型讲练十五 几何概率 【例15】（25-26七年级下·山东泰安·月考）如图，一枚匀质的陆战棋棋子，各棱长的大小关系是，用、、分别代表字母所在的面及其相对的一面，通过抛掷棋子的试验，比较、、朝上各事件的概率的大小． 【答案】 【分析】分别求出个面的总面积，个面的总面积，个面的总面积，长方体陆战棋棋子的表面积，再由概率公式求出概率，然后比较即可． 【详解】解：个面的总面积为，个面的总面积为，个面的总面积为， 长方体陆战棋棋子的表面积为：， 朝上的概率，朝上的概率，朝上的概率， ， ， ，即． 【变式】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)求小明转出的数字大于3的概率； (2)小颖认为，小明转出的数字大于3的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．她的看法正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)她的看法对，理由见解析 【分析】（1）共有9种结果，“转出的数字大于”的结果有6种，利用概率公式计算即可； （2）计算小亮转出的颜色是红色的概率，再与（1）算出的概率比较即可． 【详解】（1）解：图1被平均分成9等份，分别标有9个数字．即共有9种等可能的情况， 其中转出的数字大于3的情况有6种， 则小明转出的数字大于3的概率是； （2）解：她的看法对，理由如下： 图2绿色部分的扇形圆心角是， 则图2红色部分的扇形圆心角是， 所以转出的颜色是红色的概率是， 所以两者概率相同． 题型讲练十六 概率在转盘抽奖中的应用 【例16】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【答案】(1)0.305，148 (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式的应用． （1）根据频率的计算公式即可得出结果； （2）由大量重复试验中频率稳定值估计概率，根据前面统计的数据可知，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，即转动一次转到“谢谢参与”的概率约是0.3； （3）根据概率公式分别计算和然后进行大小比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.305，148． （2）解：当转动转盘的次数n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3． （3）解：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“盲盒”有2份，奖品“贴纸”有5份， ∴，， ∴． 【变式】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，游乐场一个转盘被等分成12个扇形．其中有部分扇形标注了颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针指向某个扇形区域内为转动一次转盘（如果指针指在等分线上，则重新转动转盘）． (1)请在没有标注颜色的扇形上标注扇形颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，其余部分为黄色； (2)商家规定：任何人都可以参与（1）中的这个转动转盘游戏，但必须遵循以下规则：每人每次转一次转盘，若指针落在红色区域，参与者给商家5元；若指针落在白色区域，商家奖励参与者2元；若指针落在黄色区域，商家奖励参与者3元．你认为商家设置的这个转盘游戏会亏本吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)商家不会亏本，理由见解析 【分析】本题考查了概率在转盘抽奖中的应用，熟练掌握事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示是解题的关键． （1）根据事件的概率可以用部分区域的面积和整个区域的面积的比来表示，分别求得红色、白色、黄色的小的扇形个数即可； （2）设有人参与，当指针落在红色区域，商家的收益为，同理可得当指针落在其它两种颜色区域时，商家需要付出多少，再和收益比较即可得到结论． 【详解】（1）解：转盘被等分成12个小扇形． 若要使指针落在红色区域的概率为，，因此，有6个小的扇形是红色的； 指针落在白色区域的概率为，， 因此，有4个小的扇形是白色的； 指针落在黄色区域的概率为，， 因此，有2个小的扇形是黄色的． 如图所示即为所求： （2）解：从概率的角度，商家不会亏本，理由如下： 设有人参与，则有， 指针落在红色区域的概率为，商家的收益为； 指针落在白色区域的概率为，商家需要付出； 指针落在黄色区域的概率为，商家需要付出； 商家的最终收益为：． 所以，商家不会亏本． 题型讲练十七 概率在比赛中的应用 【例17】（2023七年级下·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式，熟练地利用概率公式进行计算是解本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先求出A盘转出的数字大于4的概率和B盘转出数字“4”的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域， 所以（A盘转出数字“2”）， 因为B盘被分成3个面积相等的扇形区域， 所以（盘转出数字“2”）， （2）解：正确，理由如下： 因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域，其中数字大于4的区域有2个， 所以（A盘转出的数字大于4）． 因为盘被分成3个面积相等的扇形区域，其中数字为4的区域有1个， 所以（盘转出数字“4”）， 所以小华的看法正确， 题型讲练十八 概率的其他应用 【例18】（24-25七年级下·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 【变式】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 【答案】(1)随机 (2)，， (3)见解析 【分析】（1）根据“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”的定义判断即可； （2）利用概率公式直接进行计算． （3）设计摸球游戏中的球总数为，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数即可． 【详解】（1）解：小明可能中奖也可能不中奖 小明中奖是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：袋中共有个球，其中红球个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与， ， ， ． 故答案为：； （3）解：有足够多的球，从中选个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率， 只要球的总数为个，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数， 可设计如下：选红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球个，其中红球和白球都是个，黑球个，其他的球都是黄色球． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（24-25七年级下·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．某彩票的中奖概率是，因此买张彩票一定会有5张中奖 C．射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种结果，所以它们发生的概率都是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，掷了3次，其中2次正面朝上，1次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 【答案】D 【详解】解、A、“汽车累计行驶，从未出现故障”是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，不是不可能事件，原选项错误； B、概率表示事件发生的可能性大小，不代表必然发生，中奖概率为不能说明买100张彩票一定有5张中奖，原选项错误； C、射击的“中靶”与“不中靶”不是等可能事件，二者概率不相等，不一定都是，原选项错误； D、质地均匀的硬币抛掷是独立事件，每次抛掷正面朝上的概率不受之前结果的影响，始终为，原选项正确 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 D．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 【答案】D 【分析】根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，即可作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率约为，不合题意； C．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； D．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期中）以下说法合理的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．小明做了3次掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了5次，其中有2次正面朝上，3次正面朝下，由此他说硬币正面朝上的概率是 【答案】B 【分析】根据概率的定义和随机事件的性质，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A选项：概率表示事件发生的可能性大小，不代表必然发生，中奖概率为时，买100张彩票是随机事件，不一定有5张中奖，原说法不合理，不符合题意； B选项：均匀硬币每次抛掷，正面朝上和反面朝上是等可能事件，且前次试验不影响下一次抛掷的概率，因此再掷一次正面朝上的概率仍为，原说法合理，符合题意； C选项：射击的中靶与不中靶不是等可能事件，两种结果发生的概率不相等，因此击中靶的概率不是，原说法不合理，不符合题意； D选项：概率是事件固有的属性，试验次数较少时，频率不能等同于概率，质地均匀的硬币正面朝上的概率固定为，原说法不合理，不符合题意； 4．（25-26七年级下·重庆·期中）袋子里有3个红球，若干个白球，这些球除了颜色不一样，其他完全一样．小明从袋子里面摸出一个球，记下颜色后放回，试验记录如表所示，则袋子里的白球有___________个． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 摸到红球的频率 0.25 0.22 0.22 0.21 0.19 0.20 【答案】12 【分析】观察表格发现，随着试验总次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在0.20附近，那么从中摸出1个球是红球的概率的估计是0.20，再用概率公式求解． 【详解】解：观察表格发现，随着试验总次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在0.20附近， ∴从中摸出1个球是红球的概率的估计是0.20， 设袋子里的白球有个， 由题意得，， 解得， 经检验：得是方程的解， ∴袋子里的白球有个． 5．（25-26七年级下·四川·期中）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着n颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷，小明先点一个小方格，显示数字2，其意义是2这个小方格没有地雷，但围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（我们把包含数字2的黑框区域记为）．小明点完第一步之后，小明的第二步随机踩在区域外的某个小方格上，他踩中地雷的概率为，则的值为________． 【答案】14 【分析】由概率公式可得小明的第二步随机踩在区域外的某个小方格上，他踩中地雷的概率等于区域外的地雷数除以区域外的方格数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查的是几何概率，根据图中阴影部分的面积与空白部分的面积相等，可知飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等，所以这个游戏对甲、乙来说公平． 【详解】解：由图可知，靶面上阴影部分的面积与空白部分的面积相等， 飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等， 这个游戏对甲、乙来说公平． 7．（2026·四川泸州·模拟预测）某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.5 【分析】大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，计算不同投篮次数对应的投中频率，观察频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：计算各组投中频率如下： ． ． ． ． ． ． ． 由计算结果可知，随着投篮次数不断增加，投中的频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率，可得这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为． 8．（25-26七年级下·山东威海·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个小球，其中红球个，黑球个． (1)先从袋子中取出个红球后，再从袋子中随机摸出个球，将“摸出黑球”，记为事件．请完成下列表格． 事件 必然事件 随机事件 的值 (2)先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个球是黑球的概率是，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得的值即可． 【详解】（1）解：当袋子中全为黑球，即摸出个红球时，摸到黑球是必然事件； ， 当摸出个或个红球时，摸到黑球为随机事件； 事件 必然事件 随机事件 的值 或 （2）解：依题意，得， 解得． 9．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）分别写有数字的10张卡片．它们除数字外完全相同．将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)分别求出卡片上的数字是3的倍数的概率和不是3的倍数的概率； (2)分别求出卡片上的数字是质数的概率和不是质数的概率； (3)由（1）（2），你有什么发现？ 【答案】(1)卡片上的数字是3的倍数的概率为，卡片上的数字不是3的倍数的概率为 (2)卡片上的数字是质数的概率为，卡片上的数字不是质数的概率为 (3)随机事件A发生的概率与随机事件A不发生的概率和为1 【分析】（1）根据概率公式计算，即可求解； （2）根据概率公式计算，即可求解； （3）根据（1）（2）进行分析，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，从中任意抽出一张共有10种等可能结果，其中卡片上的数字是3的倍数有3种结果，卡片上的数字不是3的倍数有7种结果； ∴卡片上的数字是3的倍数的概率为，卡片上的数字不是3的倍数的概率为； （2）解：依题意，从中任意抽出一张共有10种等可能结果，其中卡片上的数字是质数有4种结果，不是质数有6种结果， ∴卡片上的数字是质数的概率为，卡片上的数字不是质数的概率为； （3）解：由（1）、（2）知，， 随机事件A发生的概率与随机事件A不发生的概率和为1． 10．（25-26七年级下·广东佛山·期中）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)若从口袋里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为 （精确到0.01）； (2)估算口袋里黑球的个数； (3)若向口袋里再放入n个除颜色以外其他完全相同的球，这n个球中白球有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意取出一个球，记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，估算n的值． 【答案】(1) (2)黑球个数约为16个 (3)估算n的值为12 【分析】（1）观察表格中频率的稳定趋势，取近似值即可得到摸到白球的概率； （2）先估算出白球数量，再用总球数减去白球数量得到黑球个数； （3）根据加入球后的频率稳定值得到概率，结合白球数量与总球数列出方程，求解即可得到n的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为； （2）∵口袋中共有40个球，摸到白球的概率约为， ∴口袋里约有白球（个）， ∴黑球个数约为（个）； （3）由题意得：， 解得：， 答：估算n的值为12． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $