第三章 概率初步【期末复习讲义】培优版-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第三章 概率初步【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 事件的分类 题型二 判断事件发生的可能性的大小 题型三 求某事件的频率 题型四 概率的意义理解 题型五 关于频率与概率关系说法的正误 题型六 由频率估计概率 题型七 用频率估计概率的综合应用 题型八 列举随机实验的所有可能结果 题型九 判断实验所得结果是否是等可能的 题型十 列举法求概率 题型十一 根据概率公式计算概率 题型十二 根据概率作判断 题型十三 已知概率求数量 题型十四 游戏的公平性 题型十五 几何概率 题型十六 概率在转盘抽奖中的应用 题型十七 概率在比赛中的应用 题型十八 概率的其他应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 确定事件与不确定事件 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【易错点拨】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点二 频率与概率 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【易错点拨】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 事件的分类 【例1】（2024七年级下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件 C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D．“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查了不可能事件、随机事件和必然事件，根据事件发生的可能性大小判断即可求解，掌握不可能事件、随机事件和必然事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件，说法正确，符合题意； 故选：． 【变式】（23-24七年级下·山东济南·期末）下列事件属于必然事件的是（   ） A．负数大于正数 B．经过红绿灯路口，遇到红灯 C．抛掷硬币时，正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据相关概念逐项判断即可． 【详解】解：A、负数大于正数，是不可能事件，不符合题意； B、经过红绿灯路口，遇到红灯，随机事件，不符合题意； C、抛掷硬币时，正面朝上，随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； 故选：D． 题型讲练二 判断事件发生的可能性的大小 【例2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）一般情况下，下列事件属于不确定事件的是（    ） A．三角形的内角和等于180° B．任意抛掷一枚一元硬币，结果正面朝上 C．抛出去的篮球会下落 D．从一个只装有白球的袋子中摸出红球 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A． 三角形的内角和等于180°，必然事件，选项错误，不符合题意；     B． 任意抛掷一枚一元硬币，结果正面朝上，不确定事件，选项正确，符合题意； C． 抛出去的篮球会下落，必然事件，选项错误，不符合题意；         D． 从一个只装有白球的袋子中摸出红球，不可能事件，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．打开电视，正在播放世界杯 B．袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球 C．5年后某中学初一1班的数学科代表会考上清华大学 D．2021年全年有367天 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、打开电视，正在播放世界杯，是随机事件，故此选项不符合题意； B、袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球，是必然事件，故此选项符合题意； C、5年后某中学初一1班的数学科代表会考上清华大学，是随机事件，故此选项不符合题意； D、2021年全年有367天，是不可能事件，故此选项不符合题意， 故选：B． 题型讲练三 求某事件的频率 【例3】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 【答案】(1)①③ (2)估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率约为 (3)将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）根据频率可得的值，再利用频率来估计概率即可； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①③． （2）解：， 故． （3）解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【变式】（24-25七年级下·江西吉安·期末）某校组织篮球队，在一次定点2分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 150 200 命中次数n 9 25 52 75 98 命中率 (1)完成表格； (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员2分投篮18次的得分数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)分 【分析】（1）用对应的n除以m即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮2分球命中率的概率； （3）根据（2） 的估计得到投篮18次命中18×0.5= 9次，然后用9乘以2即可． 【详解】（1）解：投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率分别为： 、、、， 投篮次数m 20 50 100 150 200 命中次数n 9 25 52 75 98 命中率 （2）解：这个运动员投篮2分球命中率的概率是； （3）解：这个运动员2分球投篮18次大约命中（次）， ∴这个运动员2分球投篮18次的得分大约为（分）． 题型讲练四 概率的意义理解 【例4】（2023·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（    ） A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖 B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件 C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件 D．为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查 【答案】D 【分析】根据概率的意义对A进行判断；根据随即事件和必然事件对B、C进行判断；根据全面调查和抽样调查对D进行判断． 【详解】A、某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票可能中奖，故A错误； B、从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件，故B错误； C、篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是随机事件，故C错误； D、为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查，故D正确； 故选：D． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）请将下列事件发生的概率标在图中：    （1）随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1； （2）抛出的篮球会下落； （3）从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是红球（这些球除颜色外完全相同）； （4）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，正面朝上． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据点数之和不可能是1，可知是不可能事件，然后在图中标出即可； （2）抛出的篮球会下落是必然事件，在图中标出即可； （3）求出恰好是红球的概率为，然后在图中标出即可； （4）求出正面朝上的概率为，然后在图中标出即可． 【详解】解：（1）因为每一枚质地均匀的骰子，抛掷后朝上面的点数最小为1， 所以两枚朝上面的点数之和最小为2， 因此点数之和为1是不可能发生的，如图：    （2）在地球万有引力的作用下，抛出的篮球会下落，这是必然发生的， 所以可能性为1，如图：    （3）因为口袋中装有3个红球、7个白球，共有10个球， 所以任取一个球，恰好是红球的概率为，如图：    （4）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，正面朝上与反面朝上的概率相同，都为，如图：    题型讲练五 关于频率与概率关系说法的正误 【例5】（24-25七年级下·河南三门峡·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关 B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件 D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 【答案】C 【分析】根据抛硬币简单概率求法判断选项A，利用求概率的方法判断选项B，根据三角形的内角和是180°判断选项C，求出两次抛骰子的所有可能结果和点数和为偶数的结果数即可判断选项D，即可做出选择． 【详解】A、抛一枚质地均匀的硬币，出现的情况有两种一正一反，正面朝上的概率是，与抛硬币的次数无关，故原选项正确； B、随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎的共有4种等可能的结果，其中，都是男孩的有1种，所以随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为，此原选项正确， C、任意一个三角形的内角和为180°，所以任意画一个三角形内角和为360°是不可能事件，为确定性事件，不是随机事件，故原选项不正确，； D、连续投两次骰子，前后点数之和共有36种等可能的结果，其中点数之和是偶数的有18种结果，所以前后点数之和为偶数的概率是，故原选项正确， 故选择：C． 【变式】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是______（填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 【答案】③ 【分析】根据随机事件以及频率和概率的意义分别分析即可； 【详解】①买彩票中奖是个随机事件，但是中奖的可能性很小，此选项错误． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%，此说法错误，只有当实验次数较多时，才能用实验结果推算概率，是一个估计值，不是准确值； ③在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是0.48和0.51，此说法正确； ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是必然事件，此说法错误； 故答案为：③． 题型讲练六 由频率估计概率 【例6】（24-25七年级下·陕西西安·月考）某地组织居民开展义务献血活动．参与的所有献血者的血型检测结果有“”“”“”“”四种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了下面两幅不完整的统计图表． 血型 人数 (1)上表中的 ． ． (2)若活动中该地有人参与义务献血，请根据抽样结果回答： 从所有献血者中随机抽取一人，其血型是型的概率是多少？ 估计这人中有多少人是型血． 【答案】(1)，； (2) ； 人． 【分析】本题考查了扇形统计图，统计表，频率估计概率，用样本估计总体等，读懂统计图、统计表，从中找到必要的信息是解题的关键． （1）用型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，用总人数乘以型的人数所占比得到的值，再用总人数乘以减去型、型、型人数计算出型人数的值； （2）通过频率估计概率即可；用乘以型的人数所占比即可求解． 【详解】（1）解：随机抽取了部分献血者的人数为（人）， ∴（人）， ∴， 故答案为：，； （2）解：由扇形统计图可知“”血型所占比为， ∴从所有献血者中随机抽取一人，其血型是型的概率是， （人）， 答：估计这人中有人是型血． 【变式】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的投篮训练情况，制成表格如下： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)______，______； (2)估计该队员投篮命中的概率．（结果精确到） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式． （1）用对应的除以即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率的概率． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）解：估计该运动员投篮命中率的概率是． 题型讲练七 用频率估计概率的综合应用 【例7】（2024·山东青岛·二模）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 【答案】C 【分析】小明共摸了100次，其中80次摸到白球，20次摸到黑球，摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数． 【详解】解：由题可得：312（个）． 故答案为：12． 【变式】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 0.101 0.100 0.102 (1)柑橘损坏的概率约为______（精确到0.1）； (2)当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是______． A．99.32kg    B．203.45kg    C．486.76kg    D．894.82kg (3)若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 【答案】(1)0.1 (2)B (3)2.6元 【分析】（1）根据随着总质量的增加，频率的稳定值可得答案； （2）总质量乘以柑橘损坏的概率即可得出答案； （3）设每千克定价为x元，根据“销售额-总成本=利润”列方程求解即可． 【详解】（1）根据表格信息，柑橘损坏的概率约为0.1， 故答案为：0.1； （2）当抽取柑橘总质量n=2000kg时，损坏柑橘质量m约为2000×0.1=200（kg）， 故选：B． （3）根据柑橘损坏的概率约为0.1，可得能够出售的柑橘为： （kg） 则定价为：（元） 答：每千克大约定价2.6元比较合适． 题型讲练八 列举随机实验的所有可能结果 【例8】（24-25七年级下·全国·单元测试）九年级（1）班有50名同学，学校发了8张参观券，老师决定任意分给8名同学，他将50名同学按1～50进行编号，用计算机随机产生________～________之间的整数，随机产生的________个整数所对应的编号的同学就领取参观券． 【答案】 【分析】共有50名同学，每一张参观券分给的同学都有50种可能，所以分8次实验，每次实验都要产生1-50之间的数． 【详解】解：用计算机随机产生1∼50之间的整数，随机产生的8个整数所对应的编号的同学就领取参观券， 故答案为：1，50，8． 【变式】（24-25七年级下·天津·期末）五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序．为了抽签在盒中放五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1，2，3，4，5．把纸团充分搅拌后，小军先抽，他任意（随机）从盒中抽取一个纸团．请思考以下问题： (1)抽到的数字有几种可能的结果？ (2)抽到的数字是1的概率是多少？ (3)抽到的数字会是0吗？ (4)抽到的数字小于6的概率是多少？ (5)抽到的数字不大于4的概率是多少？ 【答案】(1)有五种可能的结果 (2)抽到的数字是1的概率是 (3)不可能 (4)抽到的数字小于6的概率是1 (5)抽到的数字不大于4的概率为 【分析】（1）根据数字的数量可以判断出结果； （2）据概率公式解答就可求出抽到的数字是1的概率． （3）纸团中没有数字0，故可得结论； （4）由数字1，2，3，4，5均小于6可得结论； （5）根据数字不大于4有4个，故可得结论． 【详解】（1）解：共有五个数字，每个数字都有可能被抽到，所以有五种可能的结果； （2）解：数字1，2，3，4，5中，数字1只有1个， 故抽到的数字是1的概率是； （3）解：数字1，2，3，4，5中，没有数字0， 故不可能抽到数字0； （4）解：∵数字1，2，3，4，5均小于6， ∴抽到的数字小于6的概率是1； （5）解：∵数字1，2，3，4，5中，数字不大于4有1，2，3，4，共4个， ∴抽到的数字不大于4的概率是. 题型讲练九 判断实验所得结果是否是等可能的 【例9】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率． 【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为， ∴选择周二打疫苗的概率为：， 故选：B． 【变式】（24-25七年级下·山东烟台·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是 B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为 C．小明参加篮球投篮游戏，因为投篮一次，只有两种可能的结果，不是“投中”就是“未投中”，所以投中的概率为 D．掷一枚只有六个面骰子，合数点朝上的概率是 【答案】D 【分析】A．根据概率公式解答； B．用列举法列举出所有可能结果，然后根据概率公式解答； C．先判断是否为等可能事件，即可作出判断； D．1、2、3、4、5、6中，合数为4、6，根据概率公式解答即可． 【详解】解：A．摸到红球的概率是，故该选项错误； B．掷一枚硬币两次，出现的可能结果为: 正正、正反、反正、反反，所以出现两次都是反面的概率为，故该选项错误； C．小明参加篮球投篮游戏，投中和不投中的可能性不一样，所以不是等可能事件，无法计算其概率，故该选项错误； D．掷一枚只有六个面骰子，合数点朝上的概率是，故该选项正确． 故选：D． 题型讲练十 列举法求概率 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可． 【详解】设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C． 【变式】（2024·四川成都·一模）将长度为9厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，2和2，5，2相同），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是____． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可得出答案． 【详解】解：将长度为9厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数，共有1、1、7，1、2、6，1、3、5，1、4、4，2、2、5，2、3、4，3、3、3七种情况， 能构成三角形的有1、4、4，2、3、4；3、3、3三种情况， 则截成的三段木棍能构成三角形的概率是， 故答案为：． 题型讲练十一 根据概率公式计算概率 【例11】（25-26七年级下·河南安阳·月考）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有2个黄球和6个红球，乙口袋中装有4个黄球和12个红球，每个口袋中的小球除颜色外完全相同，现分别从两个口袋中摸出1个球． 小明说：“因为乙口袋中黄球比甲口袋中黄球多，所以从乙口袋中摸到黄球的概率大于从甲口袋中摸到黄球的概率．” 小丽说：“因为甲口袋中红球比黄球多4个，乙口袋中红球比黄球多8个，所以从甲口袋中摸到黄球的概率大于从乙口袋中摸到黄球的概率．” 你认为谁的说法正确，说明理由． 【答案】小明和小丽的说法都是错误的，理由见解析 【分析】根据古典概型概率公式：，分别求出从甲、乙口袋中摸到黄球的概率，比较所求概率的大小后判断说法的正误即可． 【详解】解：∵甲口袋中装有2个黄球和6个红球， ∴P（甲口袋中摸到黄球）， ∵乙口袋中装有4个黄球和12个红球， ∴P（乙口袋中摸到黄球）， ∵， ∴从甲口袋中摸到黄球的概率等于从乙口袋中摸到黄球的概率， 故小明和小丽的说法都是错误的． 【变式】（25-26七年级下·广西河池·期末）为了解我县初中在校生的课外阅读情况，现从中随机抽取部分学生分为“：每天阅读1小时以上”“：每天阅读小时”“：每天阅读小时以下”“：从不阅读”四类，绘制了如下扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出)． (1)本次调查共抽取_________名学生；扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为_____ (2)补全条形统计图； (3)若从此次调查抽取的样本中，随机抽取1名学生做进一步访谈，恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率是多少？ 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查扇形统计图与条形统计图的综合应用，以及概率的计算，核心是利用扇形圆心角与人数的比例关系求出总样本数，进而分析各类数据． （1）通过类学生的人数和对应百分比，根据“”求出总人数，根据“类圆心角类人数占比”计算圆心角； （2）根据总人数和类人数占比求出的类人数，在条形图中绘制对应高度的直条即可补全图形； （3）根据类人数占比即可求出抽到类学生的概率． 【详解】（1）解：从条形图和扇形图可以得到类有人，占总人数的， ∴总人数为名； ∵类占总人数的， ∴扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为； 故答案为：；． （2）解：∵类占总人数的， ∴类人数为人， 在条形统计图中，补全类对应的条形如图； （3）解：“每天阅读1小时以上”的学生占总人数的， ∴恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率为． 题型讲练十二 根据概率作判断 【例12】（24-25七年级下·山东烟台·期中）李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（    ） A．摸到黄球、红球的概率均为 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率均为 C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为、、 D．摸到黄球、红球、白球的概率都是 【答案】B 【分析】分析各个选项中的概率之和即可选出不成功的选项． 【详解】A.； B.，不成立； C.; D.; 故选：B． 【变式】（2024·北京西城·模拟预测）一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是_____． （2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有______个球． 【答案】 红 20 【分析】（1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是红球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）∵如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒． ∴若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是红球， 故答案为：红； （2）根据题意可知，取两个球往盒子中放入有以下4种情况： ①红＋红，则乙盒中红球数加1个； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个； ④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个； ∵红球和黑球的个数一样， ∴①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机； ∵乙盒中最终有5个红球， ∴①的情况有5次， ∴红球至少有10个， ∵红球、黑球各占一半， ∴黑球至少也有10个， ∴袋中原来最少有20个球， 故答案为：20． 题型讲练十三 已知概率求数量 【例13】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个不透明口袋中装有红球个，黄球个，绿球个，这些球除颜色外没有任何其他区别．从中任意摸出一个球． (1)计算摸到的是绿球的概率． (2)如果要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个绿球？ 【答案】(1)； (2)再放入个绿球． 【分析】本题考查概率公式，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 口袋中共有个球，每个球被摸到的机会相等，其中有个绿球，所以摸到绿球的概率为； 设需要在这个口袋中再放入个绿球，因为增加后摸到绿球的概率是，所以增加绿球后绿球的个数占总数的，列方程求解即可． 【详解】（1）解：口袋中装有红球个，黄球个，绿球个，共个球， 其中绿球的个数是个， 任意摸出一个球是绿球的概率为； （2）解：设需要在这个口袋中再放入个绿球， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：需要在这个口袋中再放入个绿球． 【变式】（24-25七年级下·广东河源·期末）一个口袋中放有190个涂有红、黑、白三种颜色的小球除颜色外，其它均相同若红球个数比黑球个数的2倍少60个，从袋中任意取一个球是白球的概率为 (1)袋中白球的个数为______； (2)求从袋中任取一个球是黑球的概率． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了概率公式．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 球的总个数乘白球的概率即可； 先求出黑球的个数，继而根据概率公式可求从袋中任取一个球是黑球的概率． 【详解】（1）解：白球的个数为（个， 故答案为：10； （2）红、黑两种球的个数和为（个， 黑球个数为（个， 则从袋中任取一个球是黑球的概率是． 题型讲练十四 游戏的公平性 【例14】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． (1)P（转出的数字为奇数）； (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)应选择方式，理由见解析 【分析】本题考查随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． （1）根据概率公式可计算出转出的数字为奇数的概率； （2）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：转出的数字有9种结果，并且每种结果出现的可能性相同， 其中奇数有1，3，5，7，9共5种， ∴P（转出的数字为奇数）； （2）解：应选择方式，理由如下： 由题意可得，A．猜“是3的倍数”有；B．猜“是大于等于5的数”有， ∴，，， ∵， ∴方式获胜的可能性更大， ∴应选择方式． 【变式】（24-25七年级下·山东青岛·期中）垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，3，4，5的6张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比3大的卡片，小明去；否则，小亮去，你认为这个规则公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式，游戏公平性的判断，熟练掌握概率公式解题的关键； 通过分别计算小明和小亮去的概率，再比较概率大小来判断规则是否公平． 【详解】解：∵从张卡片中任取一张，每张卡片被抽到的可能性是相等的， ∴所有可能的抽取结果有种． ∵抽到所印数字比大的卡片，小明去．在这张卡片中，数字比大的卡片有和，共张． ∴小明去的概率 抽到所印数字不大于的卡片，小亮去．在这张卡片中，数字不大于的卡片有、、、，共张． 小亮去的概率： ∵， ∴这个规则不公平． 题型讲练十五 几何概率 【例15】（25-26七年级下·四川达州·月考）如图1，一个长，宽的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.4，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.4，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.4，于是把0.4作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 ， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：A． 【变式】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，同心圆的大小圆半径比为，随机向该同心圆及其内部区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，用r表示出大圆和小圆的面积，进而可得阴影部分的面积，再求出阴影部分面积与总面积之比即可得到飞镖击中阴影区域的概率，熟练掌握一般用阴影区域表示所求事件，然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率是解决此题的关键． 【详解】解：∵同心圆的大小圆半径比为， ∴设同心圆的大小圆半径分别为，， 大圆面积：， 小圆面积：， 阴影部分面积：， 飞镖击中阴影区域的概率：， 故答案为：． 题型讲练十六 概率在转盘抽奖中的应用 【例16】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【答案】(1)0.305，148 (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式的应用． （1）根据频率的计算公式即可得出结果； （2）由大量重复试验中频率稳定值估计概率，根据前面统计的数据可知，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，即转动一次转到“谢谢参与”的概率约是0.3； （3）根据概率公式分别计算和然后进行大小比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.305，148． （2）解：当转动转盘的次数n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3． （3）解：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“盲盒”有2份，奖品“贴纸”有5份， ∴，， ∴． 【变式】（23-24七年级下·河南周口·期末）某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是： （1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算； （2）根据可能性的大小，保证“护眼灯”有3张即可，设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：， 故答案为：； （2）解：设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 如图： 题型讲练十七 概率在比赛中的应用 【例17】（2025七年级下·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·山西运城·期中）某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 【答案】盈利了，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用，根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可． 【详解】解：盈利了． 理由如下： 游乐场收入：（元）． 游乐场支出：（元）． 因为，所以盈利了． 题型讲练十八 概率的其他应用 【例18】（25-26七年级下·北京·月考）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 【答案】 黑 【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． （1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·广东·单元测试）某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为________（填“出海”、“不出海”）． 【答案】出海 【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可． 【详解】解：预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，， 下月是好天气的可能性坏天气的可能性； 又若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费， 出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）（元， 不出海：（元， ， 船队队长作出决策为：出海． 故答案为：出海． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（2026·河北沧州·模拟预测）如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有、、、四个， 所以，最终从点H驶出的概率为． 2．（2026·河北·模拟预测）如图．有一些只写有数字的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，若摸到数字的概率为，则这些卡片所标数字合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率公式计算即可． 【详解】根据概率公式： 由图可知，总共有张卡片，题目要求摸到的概率为，因此写有的卡片数量应为：张， 逐一验证选项： A：共有张写的卡片，概率为，不符合； B：共有张写的卡片，概率为，不符合； C：共有张写的卡片，概率为，符合要求； D：共有张写的卡片，概率为，不符合． 3．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，一只蚂蚁在如图所示位置向上爬，在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每一个岔路口都会随机地选择一条路径，那么这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是（    ） A．F的概率大 B．E的概率大 C．同样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，分别求出这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率，比较大小即可得出结果，解题的关键是熟练掌握两步完成的事件的概率第一步事件的概率与第二步事件的概率的乘积． 【详解】解：这只蚂蚁爬到树枝头E的概率为， 这只蚂蚁爬到树枝头F的概率为， ∵， 故这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是同样大， 故选：C． 4．（25-26七年级下·河南信阳·期末）一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是___________． 【答案】24 【分析】本题考查了利用频率估计概率，由摸到红球的概率稳定在0.2，根据概率公式求总球数，再求白球数即可． 【详解】解：设口袋中球的总数为ｘ个， 根据频率估计概率，摸到红球的概率为0.2，即， 解得， 因此白球的个数为， 故答案为：24． 5．（25-26七年级下·浙江杭州·自主招生）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是_____________________ ． 【答案】 【分析】题目主要考查列举法求概率，理解题意，得出所有的情况数及符合条件的情况数是解题关键． 根据题意列出所有的情况数及符合题意的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：设4名同学分别为A、B、C、D，书包依次对应a、b、c、d，随机拿书包的总情况数为：， ， ， ，共有24种， 恰好两名拿对：共有6种情况， 不存在恰好有三名同学拿对书包的情况， 恰好有四名同学拿对书包的情况有1种， ∴符合条件的情况数为种， 概率为， 故答案为：． 6．（2025·江苏镇江·模拟预测）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连续整数数字1，2，3，…，n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于4”的概率是，则n的取值为_____． 【答案】24 【分析】本题主要考查几何概率，大于4的数字的个数除以总个数=对应概率列出关于n的方程，解之可得． 【详解】解：∵“指针所落区域标注的数字大于4”的概率是， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：24． 7．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）在一个不透明的袋中装有32个黄球，16个紫球和24个蓝球，从中任意摸出一个球，摸到不是紫球的概率为__________． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，根据概率公式解答即可． 【详解】解：摸到不是紫球的概率为， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图所示的程序是一个数值转换程序，其中输入x的值满足． (1)若输入x的值为，求输出的结果为多少； (2)事件“输入任一符合条件的x，则输出的结果不小于1”是一个________事件（填随机或必然）； (3)若所输入的值是满足条件的整数，求输出结果为2的概率． 【答案】(1)3 (2)必然 (3) 【分析】（1）将代入计算即可； （2）分别求出当、、时，输出的结果的取值范围，由此即可得； （3）分别求出所有的输出结果，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：若输入的值为，则输出的结果为． （2）解：当时，输出的结果为， 当时，，则输出的结果为， 当时，，则输出的结果为， ∴当时，输出的结果不小于1， ∴事件“输入任一符合条件的，则输出的结果不小于1”是一个必然事件． （3）解：当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 则当所输入的值是满足条件的整数时，输出结果共有8种等可能的情况，其中，输出结果为2的情况有3种， 所以输出结果为2的概率为， 答：输出结果为2的概率为． 9．（25-26七年级下·山西太原·期中）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球2个、白球3个、黑球1个，将袋子中的小球摇匀后从中随机摸出1个小球． 现有两种游戏规则： ①摸出白球则甲胜，摸出非白球则乙胜； ②摸出黑球则甲胜，摸出白球则乙胜，摸出红球重新摸球． 为使游戏对甲、乙双方公平，应选择规则 ，并说明公平的理由． 【答案】①，见解析 【分析】规则①中，甲、乙的获胜结果数相同，概率均为，游戏公平； 规则②中，摸出红球需要重摸，实际有效结果为白球和黑球，双方获胜概率不相等，游戏不公平． 【详解】解：为使游戏对甲、乙双方公平，应选择规则①； 理由：随机摸一次球，总共有6种等可能的结果，其中摸出白球的结果有3种， 非白球的结果有3种， 所以， 因为，即， 所以游戏对甲、乙双方公平． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，投掷这枚骰子一次，则： (1)向上一面的数字是6的概率是________，向上一面的数字是0的概率是________； (2)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明获胜，否则小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平． 【答案】(1)，0 (2)这个游戏不公平 【分析】（1）先求出标“6”的面有5个，然后分别利用概率公式求解即可； （2）先求数字是奇数共有9个面，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：投掷质地均匀的正二十面体形状的骰子，一共有20个面，每个面出现的可能性相同． 向上一面的数字是“6”的共有个面， ∴向上一面的数字是“6”的概率是， 向上一面的数字是“0”的个数是0， ∴向上一面的数字是“0”的概率是； （2）解：∵骰子质地均匀， ∴个面每个面向上的可能性相同， 若投到1、3、5，则为奇数，共9个面， ∴（小明获胜）， ∴（小红获胜）， 由可知：这个游戏不公平． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第三章 概率初步【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 事件的分类 题型二 判断事件发生的可能性的大小 题型三 求某事件的频率 题型四 概率的意义理解 题型五 关于频率与概率关系说法的正误 题型六 由频率估计概率 题型七 用频率估计概率的综合应用 题型八 列举随机实验的所有可能结果 题型九 判断实验所得结果是否是等可能的 题型十 列举法求概率 题型十一 根据概率公式计算概率 题型十二 根据概率作判断 题型十三 已知概率求数量 题型十四 游戏的公平性 题型十五 几何概率 题型十六 概率在转盘抽奖中的应用 题型十七 概率在比赛中的应用 题型十八 概率的其他应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 确定事件与不确定事件 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【易错点拨】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点二 频率与概率 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【易错点拨】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 事件的分类 【例1】（2024七年级下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件 C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D．“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件 【变式】（23-24七年级下·山东济南·期末）下列事件属于必然事件的是（   ） A．负数大于正数 B．经过红绿灯路口，遇到红灯 C．抛掷硬币时，正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和是 题型讲练二 判断事件发生的可能性的大小 【例2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）一般情况下，下列事件属于不确定事件的是（    ） A．三角形的内角和等于180° B．任意抛掷一枚一元硬币，结果正面朝上 C．抛出去的篮球会下落 D．从一个只装有白球的袋子中摸出红球 【变式】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．打开电视，正在播放世界杯 B．袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球 C．5年后某中学初一1班的数学科代表会考上清华大学 D．2021年全年有367天 题型讲练三 求某事件的频率 【例3】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 【变式】（24-25七年级下·江西吉安·期末）某校组织篮球队，在一次定点2分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 150 200 命中次数n 9 25 52 75 98 命中率 (1)完成表格； (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员2分投篮18次的得分数． 题型讲练四 概率的意义理解 【例4】（2023·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（    ） A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖 B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件 C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件 D．为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）请将下列事件发生的概率标在图中：    （1）随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1； （2）抛出的篮球会下落； （3）从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是红球（这些球除颜色外完全相同）； （4）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，正面朝上． 题型讲练五 关于频率与概率关系说法的正误 【例5】（24-25七年级下·河南三门峡·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关 B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件 D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 【变式】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是______（填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 题型讲练六 由频率估计概率 【例6】（24-25七年级下·陕西西安·月考）某地组织居民开展义务献血活动．参与的所有献血者的血型检测结果有“”“”“”“”四种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了下面两幅不完整的统计图表． 血型 人数 (1)上表中的 ． ． (2)若活动中该地有人参与义务献血，请根据抽样结果回答： 从所有献血者中随机抽取一人，其血型是型的概率是多少？ 估计这人中有多少人是型血． 【变式】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的投篮训练情况，制成表格如下： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)______，______； (2)估计该队员投篮命中的概率．（结果精确到） 题型讲练七 用频率估计概率的综合应用 【例7】（2024·山东青岛·二模）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 【变式】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 0.101 0.100 0.102 (1)柑橘损坏的概率约为______（精确到0.1）； (2)当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是______． A．99.32kg    B．203.45kg    C．486.76kg    D．894.82kg (3)若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 题型讲练八 列举随机实验的所有可能结果 【例8】（24-25七年级下·全国·单元测试）九年级（1）班有50名同学，学校发了8张参观券，老师决定任意分给8名同学，他将50名同学按1～50进行编号，用计算机随机产生________～________之间的整数，随机产生的________个整数所对应的编号的同学就领取参观券． 【变式】（24-25七年级下·天津·期末）五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序．为了抽签在盒中放五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1，2，3，4，5．把纸团充分搅拌后，小军先抽，他任意（随机）从盒中抽取一个纸团．请思考以下问题： (1)抽到的数字有几种可能的结果？ (2)抽到的数字是1的概率是多少？ (3)抽到的数字会是0吗？ (4)抽到的数字小于6的概率是多少？ (5)抽到的数字不大于4的概率是多少？ 题型讲练九 判断实验所得结果是否是等可能的 【例9】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·山东烟台·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是 B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为 C．小明参加篮球投篮游戏，因为投篮一次，只有两种可能的结果，不是“投中”就是“未投中”，所以投中的概率为 D．掷一枚只有六个面骰子，合数点朝上的概率是 题型讲练十 列举法求概率 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式】（2024·四川成都·一模）将长度为9厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，2和2，5，2相同），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是____． 题型讲练十一 根据概率公式计算概率 【例11】（25-26七年级下·河南安阳·月考）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有2个黄球和6个红球，乙口袋中装有4个黄球和12个红球，每个口袋中的小球除颜色外完全相同，现分别从两个口袋中摸出1个球． 小明说：“因为乙口袋中黄球比甲口袋中黄球多，所以从乙口袋中摸到黄球的概率大于从甲口袋中摸到黄球的概率．” 小丽说：“因为甲口袋中红球比黄球多4个，乙口袋中红球比黄球多8个，所以从甲口袋中摸到黄球的概率大于从乙口袋中摸到黄球的概率．” 你认为谁的说法正确，说明理由． 【变式】（25-26七年级下·广西河池·期末）为了解我县初中在校生的课外阅读情况，现从中随机抽取部分学生分为“：每天阅读1小时以上”“：每天阅读小时”“：每天阅读小时以下”“：从不阅读”四类，绘制了如下扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出)． (1)本次调查共抽取_________名学生；扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为_____ (2)补全条形统计图； (3)若从此次调查抽取的样本中，随机抽取1名学生做进一步访谈，恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率是多少？ 题型讲练十二 根据概率作判断 【例12】（24-25七年级下·山东烟台·期中）李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（    ） A．摸到黄球、红球的概率均为 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率均为 C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为、、 D．摸到黄球、红球、白球的概率都是 【变式】（2024·北京西城·模拟预测）一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是_____． （2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有______个球． 题型讲练十三 已知概率求数量 【例13】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个不透明口袋中装有红球个，黄球个，绿球个，这些球除颜色外没有任何其他区别．从中任意摸出一个球． (1)计算摸到的是绿球的概率． (2)如果要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个绿球？ 【变式】（24-25七年级下·广东河源·期末）一个口袋中放有190个涂有红、黑、白三种颜色的小球除颜色外，其它均相同若红球个数比黑球个数的2倍少60个，从袋中任意取一个球是白球的概率为 (1)袋中白球的个数为______； (2)求从袋中任取一个球是黑球的概率． 题型讲练十四 游戏的公平性 【例14】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． (1)P（转出的数字为奇数）； (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 【变式】（24-25七年级下·山东青岛·期中）垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，3，4，5的6张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比3大的卡片，小明去；否则，小亮去，你认为这个规则公平吗？请说明理由． 题型讲练十五 几何概率 【例15】（25-26七年级下·四川达州·月考）如图1，一个长，宽的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，同心圆的大小圆半径比为，随机向该同心圆及其内部区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率是_________． 题型讲练十六 概率在转盘抽奖中的应用 【例16】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【变式】（23-24七年级下·河南周口·期末）某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 题型讲练十七 概率在比赛中的应用 【例17】（2025七年级下·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【变式】（24-25七年级下·山西运城·期中）某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 题型讲练十八 概率的其他应用 【例18】（25-26七年级下·北京·月考）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 【变式】（24-25七年级下·广东·单元测试）某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为________（填“出海”、“不出海”）． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（2026·河北沧州·模拟预测）如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北·模拟预测）如图．有一些只写有数字的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，若摸到数字的概率为，则这些卡片所标数字合理的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，一只蚂蚁在如图所示位置向上爬，在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每一个岔路口都会随机地选择一条路径，那么这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是（    ） A．F的概率大 B．E的概率大 C．同样大 D．无法比较 4．（25-26七年级下·河南信阳·期末）一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是___________． 5．（25-26七年级下·浙江杭州·自主招生）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是_____________________ ． 6．（2025·江苏镇江·模拟预测）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连续整数数字1，2，3，…，n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于4”的概率是，则n的取值为_____． 7．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）在一个不透明的袋中装有32个黄球，16个紫球和24个蓝球，从中任意摸出一个球，摸到不是紫球的概率为__________． 8．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图所示的程序是一个数值转换程序，其中输入x的值满足． (1)若输入x的值为，求输出的结果为多少； (2)事件“输入任一符合条件的x，则输出的结果不小于1”是一个________事件（填随机或必然）； (3)若所输入的值是满足条件的整数，求输出结果为2的概率． 9．（25-26七年级下·山西太原·期中）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球2个、白球3个、黑球1个，将袋子中的小球摇匀后从中随机摸出1个小球． 现有两种游戏规则： ①摸出白球则甲胜，摸出非白球则乙胜； ②摸出黑球则甲胜，摸出白球则乙胜，摸出红球重新摸球． 为使游戏对甲、乙双方公平，应选择规则 ，并说明公平的理由． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，投掷这枚骰子一次，则： (1)向上一面的数字是6的概率是________，向上一面的数字是0的概率是________； (2)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明获胜，否则小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $