精品解析：江苏宿迁市宿城区2025-2026学年第二学期期中调研测试 九年级 数学

2025-2026学年度第二学期期中调研测试 九年级数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卡上，写在试卷或草稿纸上无效． 3．答选择题时使用2B铅笔，把答题卡上对应题号的选项字母涂满、涂黑．如需修改，清用绘图橡皮轻擦干净再选涂其他选项． 4．答非选择题时使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 5．答作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，掌握倒数的定义是解决本题的关键． 根据倒数的定义，一个数的倒数是指与之相乘结果为1的数，据此求解即可． 【详解】解：∵的倒数为， ∴， 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断． 由同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； D、，故不符合题意， 故选：B． 3. 2026年宿迁清明春假期间，全市纳入统计的31家重点景区共接待国内外游客153.87万人次，将153.87万用科学记数法表示，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：153.87万． 4. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平角定义可得，然后利用平行线的性质即可解答． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直棱柱的展开图，解题关键是掌握常见的立体图形的展开图． 根据三棱柱，想像出侧面展开图，再作出选择． 【详解】解：三棱柱的侧面展开图是三个矩形拼成的矩形， 故选：D． 6. 九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据小船数量表示大船数量，再根据总人数列方程． 【详解】解：设有x只小船，则大船有只． ∵小船每只坐4人，∴小船共坐4x人． ∵大船每只坐6人，∴大船共坐人． ∵总人数为38人， ∴． 故选D． 7. 若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　） A. 3a＜3b B. ac2＞bc2 C. a﹣c＞b﹣c D. ﹣ac＜﹣bc 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】A、若a＞b，两边同乘以3得3a>3b，故本选项不符合题意； B、若a＞b，则ac2≥bc2（当c=0时，ac2=bc2），故本选项不符合题意； C、若a＞b，两边同减去c得：a﹣c＞b﹣c，故本选项符合题意； D、若a＞b，当c＜0时，则-c>0得-ac>-bc，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 8. 如图，点A在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，则的面积为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据反比例函数系数的几何含义，得到，，再结合等腰三角形三线合一的性质，推出，证明，得出，进而得到，即可得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点A在双曲线上， ， ，轴， ， ， 点B在双曲线上， ， ， ， ， ， ， ， ． 二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 使代数式有意义的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，可得， 解得． 10. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 11. 某校体育期末考核“立定跳远”和“米”两项，两项成绩分别按的比例算出期末成绩．小林这两项的成绩分别为分、分，则小林的体育期末成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，利用加权平均数公式直接计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，期末成绩分， 故答案为：． 12. 五边形的内角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：五边形的内角和为． 13. 已知点和关于轴对称，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 14. 已知圆锥的侧面积为，底面半径为4，则圆锥的高是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 设圆锥的母线长为l,根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到，然后求出l，再利用勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为l, 根据题意得，解得， 所以圆锥的高． 故答案为：． 15. 关于的分式方程有增根，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【详解】解：关于的分式方程有增根， ， 解得， 由得， ， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键． 16. 如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：正方形的边长为5，边在y轴上，， ，，轴， ， 由旋转的性质可知，，，在x轴上， 点的坐标为． 17. 定义：若一个钝角三角形中，两个锐角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“倍角互余三角形”．在中，，，，点P为上一个动点，若为“倍角互余三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据“倍角互余三角形”的定义，分两种情况讨论，第一种为，构造辅助线结合等腰三角形性质与勾股定理列方程求解，第二种为，推导可得平分，结合角平分线的性质与解直角三角形知识列方程求解． 【详解】解：在中，，，， ， 点P在上， ， 即为钝角三角形，两个锐角为和， 为“倍角互余三角形”， 可分两种情况： 当时， 在上取点，连接，使，过点作于点， ，， ， ， ， 在中，， 在中，， 设，则， ，，， 由勾股定理得， ， 解得或（舍去）， ； 当时， ， ， 平分， 过点P作于点H， ， ， 设，则， 在和中，， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 即； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题分两种情况讨论，针对每一种情况，利用勾股定理列方程，或者利用三角函数列方程，也可以利用相似三角形列方程求解． 18. 在矩形中，，，某一时刻，动点E从点D出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点C匀速运动；同时，动点F从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接、，交于点M，在上取一点P，使得，在这一运动过程中，点P所经过的路径长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，求出，设运动时间为秒，则，，进而证明，推出，再证明，得出，即点在以为圆心，半径长为的圆上运动，路径为，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，，， ， ， 设运动时间为秒，则，， ， 又， ， ， ， ， 如图，当点在点位置时，此时点、、重合， ， ， 当点在点位置时，此时点、重合，， ，即， 又， ， ， 取中点，以为圆心，长为半径作圆，则， 点在以为圆心，半径长为的圆上运动，即路径为， ， ， 的长为， 点P所经过的路径长是 三、解答题（本大题共10小题，满分96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】6 【解析】 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 某校为了学生身心健康发展，保证学生每天的运动时间不低于2小时，开展了丰富多彩的体育社团活动课，开设了5种球类运动社团活动课：A．篮球，B．足球，C．排球，D．羽毛球，E．乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动社团活动课，要求每位学生必须参加且限报一项，该校从全体学生中随机抽取部分学生进行调查，将收集的数据整理后，绘制了如下两幅统计图，请你结合图中所给的信息解答下列问题： （1）本次一共调查了___________人，___________； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有3000名学生，请你估计该校最喜欢“C．排球和D．羽毛球”的学生共有多少人． 【答案】（1）200，25 （2）补全条形统计图如图所示： （3）1200人 【解析】 【分析】（1）根据最喜欢“A．篮球”的人数除以占比得出调查人数，再根据最喜欢“D．羽毛球”的学生人数求出； （2）求出最喜欢“C．排球”的学生人数，再补全条形统计图； （3）用学校总人数乘以最喜欢“C．排球和D．羽毛球”的学生占比求解． 【小问1详解】 解：（人）， ，即； 【小问2详解】 解：最喜欢“C．排球”的学生人数为， 图略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校最喜欢“C．排球和D．羽毛球”的学生共有1200人． 22. 某校开展春季研学，研学过程要乘坐观光车，观光车有A，B，C三种类型，小明和小亮乘坐A，B，C三种类型的观光车的机会均等． （1）“小明乘坐类型D观光车”是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求小明和小亮乘坐不同类型的观光车的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、画树状图求概率，熟练掌握概率公式、正确画出树状图是解题的关键． （1）根据事件发生的可能性进行判断； （2）根据“小明和小亮都可以从这三辆车中任选一辆搭乘”，画出树状图，根据概率公式得出概率即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， “小明乘坐类型D观光车”是不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：树状图如下所示， 由上可得，一共有9种等可能性，其中小明和小亮乘坐不同类型的观光车的可能性有6种， 小明和小亮乘坐不同类型的观光车的概率为． 23. 如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点． （1）求证：； （2）连接，若，的周长为，求线段的长． 【答案】（1） 证明：由作法得垂直平分， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定以及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质与判定定理是解答本题的关键． （1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，结合矩形对边平行的性质，利用“角边角”（）判定定理证明； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，将的周长转化为，结合已知条件求出的长度，最后在中利用勾股定理计算对角线的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为矩形， ， 垂直平分， ， ， ， ， 在中， ． 24. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点作于点， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； 【小问2详解】 过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 25. 如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：过点O作于点E， 于点D， ， ，， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， 是的半径， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作于点E，根据圆的切线的性质，以及等角的余角相等，证明，得到，则是的半径，即可得证； （2）由勾股定理可得，利用相似三角形的性质，分别求出，，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ， 由（1）可知，， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即的半径． 26. 如图1，中，点是边的中点，点从的顶点出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点，在运动过程中，线段的长度随时间（秒）变化的关系图象如图2所示，点是曲线部分的最低点． （1）求图2中点的坐标； （2）求图1中线段的长． 【答案】（1）点的坐标为； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据图象得出，，再根据勾股定理列方程求解； （2）求得，得到是等边三角形，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意和函数的图象得：， 过D作于点H，则， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴是等边三角形，∴， ∴， ∴． 27. 根据要求完成下列各题： （1）如图1，在中，作一个，使D、E、F分别在、、上． （2）如图2，在矩形中，，，P为矩形内部一点，且，求周长的最小值． （3）如图3，在中，，，M、N分别为、上的动点，且，点O为的中点，当最大时，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先作，再在上截取，即可得到； （2）过点作交、于点、，利用三角形面积公式求出，作点关于的对称点，则当点、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得解； （3）过作的平行线交于点，连接，，根据条件可以推导出是的中点，从而确定是在三角形的中位线上的一个动点，然后过作使与相切于点，根据圆周角定理的推论可以确定当与重合时，最大，再画出点与重合时，的位置，最后求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作交、于点、， 在矩形中，，， ， ， ， 作点关于的对称点，连接， ，， ， 当点、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，， 有最小值为， 周长的最小值为． 【小问3详解】 解：如图，过作的平行线交于点，连接，， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又是中点， ， ， ， ， ， 共线，且是中点， 过作的平行线交于点，交于点， 则， 为的中位线， 过作，使其与相切于点，连接，， 连接，，设交于点，连接， 当与不重合时，，， ， ∴当与重合时，， 此时，最大， 延长交于点，作交于， 过作的平行线交于， 当与重合时，与重合，与重合， 作于点，设交于， ，， ， ， 解得， ， ， ， ， 连接，交于点，连接， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当最大时，． 【点睛】本题是一道综合性大题，考查了尺规作图，将军饮马模型，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，本题的关键是确定点O的轨迹，找到使最大时，点O的位置． 28. 如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）若点P是抛物线上在直线上方一点，连接，当直线把分成面积比为的两部分时，求点P的坐标； （3）将射线绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿射线方向平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M）．设这两条抛物线的交点为Q． ①求旋转角度的正弦值； ②当时，请直接写出原抛物线平移的距离． 【答案】（1）； （2）或； （3）①，② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，令与的交点为，根据题意分两种情况求解：①当时；②当时，利用同底等高三角形面积比等于高之比，得出点的纵坐标，再代入直线得出点的坐标，从而求出直线的表达式，再求出直线与抛物线的交点坐标，即可得解； （3）①先求出顶点的坐标，从而得出直线的表达式，过点作交轴于点，过点作于点，则，求出直线的解析式，则，利用等面积法，求出，再根据坐标两点距离公式，求出，即可得出旋转角度的正弦值； ②分别过点、作轴和轴的垂线交于点，根据抛物线沿射线方向平移，设抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度，则新的抛物线解析式为，进而得到顶点，再求出两个抛物线的交点，过点作轴于点，过点作的延长线于点，证明，得到，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：将点和代入得， ，解得：， 抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， 令，则， 解得：，， ， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为， 令与的交点为，直线把分成面积比为的两部分， ①如图，当时，则， ， ， 令，解得：， ， 设直线表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为， 联立，解得：，（舍）， ， 点P的坐标为； ②如图，当时，则， ， ， 令，解得：， ， 同法可得，直线的表达式为， 联立，解得：，（舍）， ， 点P的坐标为； 综上可知，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：①， ， ， 同法可得，直线的表达式为， 由旋转的性质可知，为旋转角， 如图，过点作交轴于点，过点作于点， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ，， ， ， ， ， 即旋转角度的正弦值； ②如图，分别过点、作轴和轴的垂线交于点， ，， ，， 抛物线沿射线方向平移， 设抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度， 新的抛物线解析式为， ， 联立，解得：， ， 如图，过点作轴于点，过点作的延长线于点， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， 抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度， 原抛物线平移的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中调研测试 九年级数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卡上，写在试卷或草稿纸上无效． 3．答选择题时使用2B铅笔，把答题卡上对应题号的选项字母涂满、涂黑．如需修改，清用绘图橡皮轻擦干净再选涂其他选项． 4．答非选择题时使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 5．答作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年宿迁清明春假期间，全市纳入统计的31家重点景区共接待国内外游客153.87万人次，将153.87万用科学记数法表示，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 6. 九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　） A. 3a＜3b B. ac2＞bc2 C. a﹣c＞b﹣c D. ﹣ac＜﹣bc 8. 如图，点A在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，则的面积为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 使代数式有意义的的取值范围是______． 10. 分解因式：2x2﹣8=_______ 11. 某校体育期末考核“立定跳远”和“米”两项，两项成绩分别按的比例算出期末成绩．小林这两项的成绩分别为分、分，则小林的体育期末成绩为______分． 12. 五边形的内角和为________． 13. 已知点和关于轴对称，则的值为_________． 14. 已知圆锥的侧面积为，底面半径为4，则圆锥的高是______． 15. 关于的分式方程有增根，则的值是____． 16. 如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 17. 定义：若一个钝角三角形中，两个锐角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“倍角互余三角形”．在中，，，，点P为上一个动点，若为“倍角互余三角形”，则的长为___________． 18. 在矩形中，，，某一时刻，动点E从点D出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点C匀速运动；同时，动点F从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接、，交于点M，在上取一点P，使得，在这一运动过程中，点P所经过的路径长是___________． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校为了学生身心健康发展，保证学生每天的运动时间不低于2小时，开展了丰富多彩的体育社团活动课，开设了5种球类运动社团活动课：A．篮球，B．足球，C．排球，D．羽毛球，E．乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动社团活动课，要求每位学生必须参加且限报一项，该校从全体学生中随机抽取部分学生进行调查，将收集的数据整理后，绘制了如下两幅统计图，请你结合图中所给的信息解答下列问题： （1）本次一共调查了___________人，___________； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有3000名学生，请你估计该校最喜欢“C．排球和D．羽毛球”的学生共有多少人． 22. 某校开展春季研学，研学过程要乘坐观光车，观光车有A，B，C三种类型，小明和小亮乘坐A，B，C三种类型的观光车的机会均等． （1）“小明乘坐类型D观光车”是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求小明和小亮乘坐不同类型的观光车的概率． 23. 如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点． （1）求证：； （2）连接，若，的周长为，求线段的长． 24. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 25. 如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 26. 如图1，中，点是边的中点，点从的顶点出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点，在运动过程中，线段的长度随时间（秒）变化的关系图象如图2所示，点是曲线部分的最低点． （1）求图2中点的坐标； （2）求图1中线段的长． 27. 根据要求完成下列各题： （1）如图1，在中，作一个，使D、E、F分别在、、上． （2）如图2，在矩形中，，，P为矩形内部一点，且，求周长的最小值． （3）如图3，在中，，，M、N分别为、上的动点，且，点O为的中点，当最大时，求的长． 28. 如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）若点P是抛物线上在直线上方一点，连接，当直线把分成面积比为的两部分时，求点P的坐标； （3）将射线绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿射线方向平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M）．设这两条抛物线的交点为Q． ①求旋转角度的正弦值； ②当时，请直接写出原抛物线平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $