精品解析：2025年江苏省宿迁市宿城区一模数学试题

2025年中考第一次模拟考试 数 学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卡上，写在试卷或草稿纸上无效． 3．答选择题时使用2B铅笔，把答题卡上对应题号的选项字母涂满、涂黑．如需修改，请用绘图橡皮轻擦干净再选涂其他选项． 4．答非选择题时使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 5．答作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上相应的题号后将正确选项涂黑） 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质分别计算比较即可． 【详解】解：∵， ∴绝对值最大的数是 ． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及合并同类项、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法运算，根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法运算法则逐项验证即可得到答案，熟记相关运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 跑在水美酒乡，梦在“迁马”绽放．3月30日上午7时30分，2025京东宿迁马拉松暨大运河马拉松系列赛（宿迁站）鸣枪开跑，来自世界各地的万名马拉松职业跑者、爱好者齐聚宿迁，在“春日最美赛道”上超越自我、争创佳绩．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，解题的关键是正确确定 的值以及 的值． 根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：万 故选：B． 4. 如图所示的是一个正方体的展开图，将该展开图折叠成正方体，则与汉字“青”相对的是（ ） A. 来 B. 奋 C. 斗 D. 用 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键；因此此题可根据正方体的展开图的特征进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：与汉字“青”相对的是“来”； 故选A． 5. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，得到，由平角定义即可求出 的度数． 【详解】解：如图： 两平面镜平行， ， ， ． 故选：A． 6. 如图，在 中，．小红作图过程如下：以点 为圆心， 长为半径作弧交 于点 ，连接 ，则 的长是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点 作 ，垂足为 ，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据30度所对直角边等于斜边的一半求得 ，然后利用勾股定理求得 ， ，最后由即可求得答案． 【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，如图 根据题意可知，， ， ， 在， ，， ， ， 在，， ， ， ． 故选：A． 7. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为 天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握分式方程是解题的关键．根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天，根据题意列方程得，解答即可． 【详解】解：根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天， 根据题意列方程得， 故选：A． 8. 如图，点 为函数图象上一点，连接，交函数的图象于点 ，点 是 轴上一点，且， 的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点 ,设，则，设直线的解析式为，得到，继而得到，得到求出或（舍去），即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点 , , , 设，则， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 或， ， 不符合题意， ， 故答案为：C． 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分，请将正确的答案填写在答题纸相应的位置上） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得 ， 故答案为： ． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 11. 若整数满足，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解决问题的关键． 利用夹逼法可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， 即， ∵整数满足， ∴， 故答案为：3． 12. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查方差．先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 【详解】解：∵，，．， ∴， ∴成绩最稳定的学生是丙， 故答案为：丙． 13. 已知，两点都在抛物线上，那么______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根与系数的关系；由题意知，是方程的两个根，由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵，两点都在抛物线， ∴是方程的两个根， 由根与系数的关系得：； 故答案为：4． 14. 如图， 是 的直径，在 上，若，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，直径所对圆周角是直角，直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，求出，得到，求出，根据圆周角定理得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是 的内接四边形，， ， 是 的直径， ， ， ， 故答案为：. 15. 底面半径为 的圆锥，其侧面展开图是半径为的扇形，则这个扇形的圆心角为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与圆锥有关的计算，根据底面圆的周长等于扇形的弧长，进行计算即可． 【详解】解：设圆心角的度数为，则：， ∴， 故答案为： ． 16. 如图所示，在 中，E、D分别是的中点，连结相交于点G，若，则四边形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中线等分面积． 连接，延长 到 ，使，连接 ，，证明四边形是平行四边形得，，由得到，，由此可得，，，，然后求出，，进而得，，由此可得四边形的面积． 【详解】解：连接，延长 到 ，使，连接 ，，如图所示： 则， 点 是 的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴ ∴， 点 是 的中点， ，， ，， ，， ，， ，， ， ，， 点 、 分别是 、 的中点， ，， ． 故答案为：24． 17. 矩形 中，，，点 在边 上运动，点 关于 的对称点为点 ，点 到 边的距离是点 到 边距离的3倍，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，①利用翻折的性质，线段的数量关系和勾股定理求出相关线段，证出，利用相似比即可求解；②利用翻折的性质，线段的数量关系求出相关线段，利用特殊角的三角函数值求出，进而利用平行线的性质和翻折的性质求出即可求解． 【详解】解： ①如图所示， 根据题意得，， 则， 根据翻折的性质可得，，， 在中，由勾股定理得， ,, ， 又， ， ； ②如图所示，，， 则， ∴在中，， ， ， ， 又， ， ， ， ； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数比等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并根据题意构造出图形进行求解． 18. 已知二次函数的图象与 轴交于，且，若，在此图象上，设，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，代数式的取值范围等知识点．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据函数图象上点的坐标特征得，则可将与看成二次函数中，当和时两个函数值，可确定，，进一步推出与不能同时取得最大值，可得答案． 【详解】解：∵，在二次函数的图象上， ∴，， ∴， 将与看成二次函数中，当和时两个函数值， 配方得：， ∵， ∴，， ∵， ∴与不能同时取得最大值， ∴， 即， ∴ 的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（共10小题，合计96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减． 此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． 先进行括号内分式的加法运算和括号外面分式的因式分解，然后利用分式的除法法则进行化简，代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，代入上式， 原式． 21. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题： 组别 分组（cm） 频数 A 3 B m C 20 D 14 E 5 （1）频数分布表中　　　　，扇形统计图中　　　　． （2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在　　　　组别． （3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？ 【答案】（1）8，40 （2）C （3）估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和频数表、中位数，用样本估计总体， （1）用A组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；用总人数减去其它组的人数，即可求得B组的人数，用C组的人数除以总人数即可求解； （2）根据中位数的求法，即可求解； （3）用总人数乘以样本中立定跳远成绩合格的男生人数所占，即可求解． 【小问1详解】 解：被抽取的学生数为：(人) 故（人）， ，即， 故答案为： ，； 【小问2详解】 解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数， ，， 把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组， 故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C组， 答案为：C； 【小问3详解】 解：（人） 答：该校立定跳远成绩合格的男生有人． 22. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是______； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，列举法求概率是解题的关键． （1）利用概率公式计算求解即可； （2）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，小明诵读《论语》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料有6种等可能的结果， ∵， ∴小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 23. 如图，在 中， ，点D是 的中点，连接 ，过点B作，过点C作， 、 相交于点E． （1）判断四边形的形状并说明理由； （2）过点D作于点F，交 于点G，连接EG．若，，求 的长． 【答案】（1） 四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 在 中， ，且点D是 的中点， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用直角三角形性质得到，利用勾股定理得到，结合菱形性质得到，并证明，利用全等的性质结合勾股定理即可得到 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在中，， ， 四边形是菱形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 24. 数学兴趣小组的成员在观察点 测得观察点 在 的正北方向，古树 在 的东北方向，；在 处测得 在 的南偏东的方向上，已知 在 正北方向上，即，求古树 ， 之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，， 【答案】62.9米 【解析】 【分析】过 作于 ，过 作于 ，根据矩形的性质得到，，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过 作于 ，过 作于 ， ∵，，点 在 的正北方向 ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， （米， ， ， ， （米， （米， 答：古树 、 之间的距离约为62.9米． 25. 如图， 为 的内接三角形， 为 的直径，将 沿直线 翻折到，点D在 上．连接 ，交 于点E，延长 ，，两线相交于点P，过点A作 的切线交于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵将 沿直线 翻折到， ∴． ∵ 为 的直径，是切线， ∴． ∴． （2） 证明：∵ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴． ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证； （2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）根据，设 ，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，设 ，则， ∴． ∴． 由折叠可得， ∴． ∵在中，， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26. 在这个“大众创业、万众创新”的互联网和大数据时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取网络销售和门店销售两种方式．调查发现，门店的月销量 （单位：件）与门店售价 （单位：元/件，且）满足一次函数的关系，部分数据如下： （元/件） 12 14 16 （件） 1200 1000 800 （1）求 与 的函数关系式； （2）若网络销售单价始终比门店销售单价便宜2元，且网络销售的月销量固定为400件． ①当 为多少时，两种销售方式的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； ②若门店销售的月利润与网络销售的月利润的差不低于800元，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） 与 的函数关系式为 （2）①当 为19时，两种销售方式的月利润总和达到最大，最大利润为7300元；② 的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质解答． （1）根据门店的月销量单位：件)与门店的售价单位：元件，满足一次函数的关系和表格中的数据，利用待定系数法可以求得y与x的函数关系式； （2）①根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到当x为多少时，两种销售方式月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润； ②根据题意，可以得到两种销售方式月利润差和x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到x的取值范围． 【小问1详解】 解：设 ，由表格信息可得：， 解得， 与 的函数关系式为（）； 【小问2详解】 解：设门店销售利润为元，网络销售利润为元，由题意得： ， ①设两种销售方式的月利润总和为 元，根据题意， 得 ， ， 当时， 最大，最大值为7300元， 答：当 为19时，两种销售方式的月利润总和达到最大，最大利润为7300元； ② 理由：设门店销售的月利润与网络销售的月利润的差为元， 令，则， 解得 ， ， 当时，的值不小于800， 又， 门店销售的月利润与网络销售的月利润的差不低于800元时， 的取值范围是． 27. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1， 中，点D是 边上一点，连接 ，若，则称点D是 中 边上的“比中项妙点”． （1）①在 中， ， 于点D，则点D ______ 填“是”或“不是”中 边上的“比中项妙点”； ②如图2， 的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出 边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 （2）如图3，平行四边形 中，点E为 边上一点，连接 交对角线 于点F，点F恰好是中 边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是 中 边上的“比中项妙点”； ②连接 并延长交 于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 【答案】（1）①是； ②解：如图2中，点M即为所求； （2） ①证明：∵点F恰好是中 边上的“比中项妙点”， ∴， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F也是 中 边上的“比中项妙点”； ② 【解析】 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质． （1）①证明，推出可得结论； ②取格点J，连接交 于点M，点M即为所求，此时，则，得到推出； （2）①先根据点F恰好是中 边上的“比中项妙点”，推出，再根据平行四边形的性质得，则，进而推出即可； ②首先证明，再证明即可． 【小问1详解】 ①解：如图， 在 中， ， 于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是 中 边上的“比中项妙点”． 故答案为：是； ②略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图3中， ∵四边形 是平行四边形， ∴，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是中边上的“比中项妙点”， ∴点F是中 边上的“比中项妙点”（同①证明）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 28. 已知，抛物线：交 轴于 、 两点（点 在点 的左侧），交 轴于点 ，顶点为点． （1）求 、 两点的坐标； （2）如图1，连接 ，设点 到直线 的距离为，点到直线 的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线，相交于 ， 两点，抛物线，位于 ， 两点之间的部分图形记作 ，过点 的直线与 相交于 ，两点，若 面积的最大值为4，请直接写出满足条件的的值． 【答案】（1）， （2）为定值， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，中心对称的性质，三角形面积最值问题等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活应用． （1）根据函数图象的性质，当函数值为0时转化成一元二次方程，解一元二次方程即可得到交点坐标； （2）过点作轴交 于点 ，作交 于点 ；过点 作轴交 于点，作交 于点 ，证明得出， 求出相关点的坐标，求得线段长度即可求比值； （3）连接，求出抛物线的解析式，联立解析式求得，分析三角形何时面积最大，进行求解即可． 【小问1详解】 解：当抛物线解析式函数值为0时得， 整理得 解得， ∴，； 【小问2详解】 解： 为定值，定值为2，理由如下： 如图所示，过点作轴交 于点 ，作交 于点 ；过点 作轴交 于点，作交 于点 ， ∵, ∴， 即， 假设直线 的解析式为 ，将代入解析式得 解得 ∴直线 的解析式为 通过抛物线解析式可求，则， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 假设抛物线的解析式为 根据中心对称的性质可得抛物线的，，，的对称点坐标分别为，则，求得， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线和得 解得 ∴ 由中心对称的性质可得，四边形为平行四边形，, 当点在 轴上时，的面积最大，即 面积的最大，值为4， ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考第一次模拟考试 数 学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卡上，写在试卷或草稿纸上无效． 3．答选择题时使用2B铅笔，把答题卡上对应题号的选项字母涂满、涂黑．如需修改，请用绘图橡皮轻擦干净再选涂其他选项． 4．答非选择题时使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 5．答作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上相应的题号后将正确选项涂黑） 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 跑在水美酒乡，梦在“迁马”绽放．3月30日上午7时30分，2025京东宿迁马拉松暨大运河马拉松系列赛（宿迁站）鸣枪开跑，来自世界各地的万名马拉松职业跑者、爱好者齐聚宿迁，在“春日最美赛道”上超越自我、争创佳绩．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的是一个正方体的展开图，将该展开图折叠成正方体，则与汉字“青”相对的是（ ） A. 来 B. 奋 C. 斗 D. 用 5. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中，．小红作图过程如下：以点 为圆心，长为半径作弧交 于点 ，连接 ，则 的长是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 3 7. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为 天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点 为函数图象上一点，连接，交函数的图象于点，点 是 轴上一点，且， 的面积为，则 的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分，请将正确的答案填写在答题纸相应的位置上） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 10. 因式分解：______． 11. 若整数 满足，则 的值是______． 12. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 13. 已知，两点都在抛物线上，那么______． 14. 如图，是 的直径，在 上，若，则______ ． 15. 底面半径为 的圆锥，其侧面展开图是半径为的扇形，则这个扇形的圆心角为______ ． 16. 如图所示，在 中，E、D分别是的中点，连结相交于点G，若，则四边形的面积为______． 17. 矩形 中，，，点 在边上运动，点 关于 的对称点为点 ，点 到边的距离是点 到 边距离的3倍，则的值为______． 18. 已知二次函数的图象与 轴交于，且，若，在此图象上，设，则 的取值范围是______． 三、解答题（共10小题，合计96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题： 组别 分组（cm） 频数 A 3 B m C 20 D 14 E 5 （1）频数分布表中　　　　，扇形统计图中 　　　　． （2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在　　　　组别． （3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？ 22. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是______； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 如图，在 中， ，点D是的中点，连接 ，过点B作，过点C作， 、 相交于点E． （1）判断四边形的形状并说明理由； （2）过点D作于点F，交 于点G，连接EG．若，，求 的长． 24. 数学兴趣小组的成员在观察点 测得观察点在 的正北方向，古树 在 的东北方向，；在处测得 在的南偏东的方向上，已知 在 正北方向上，即，求古树 ， 之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，， 25. 如图， 为 的内接三角形，为 的直径，将 沿直线翻折到，点D在 上．连接 ，交于点E，延长 ， ，两线相交于点P，过点A作 的切线交于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． 26. 在这个“大众创业、万众创新”的互联网和大数据时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取网络销售和门店销售两种方式．调查发现，门店的月销量 （单位：件）与门店售价 （单位：元/件，且）满足一次函数的关系，部分数据如下： （元/件） 12 14 16 （件） 1200 1000 800 （1）求 与 的函数关系式； （2）若网络销售单价始终比门店销售单价便宜2元，且网络销售的月销量固定为400件． ①当 为多少时，两种销售方式的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； ②若门店销售的月利润与网络销售的月利润的差不低于800元，直接写出 的取值范围． 27. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1， 中，点D是 边上一点，连接 ，若，则称点D是 中 边上的“比中项妙点”． （1）①在 中， ， 于点D，则点D ______ 填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2， 的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 （2）如图3，平行四边形 中，点E为 边上一点，连接 交对角线 于点F，点F恰好是中 边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是 中 边上的“比中项妙点”； ②连接 并延长交 于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 28. 已知，抛物线：交 轴于 、两点（点 在点的左侧），交 轴于点 ，顶点为点． （1）求 、两点的坐标； （2）如图1，连接 ，设点到直线 的距离为，点到直线 的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线，相交于 ， 两点，抛物线，位于 ， 两点之间的部分图形记作 ，过点 的直线与 相交于 ， 两点，若 面积的最大值为4，请直接写出满足条件的 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $