8.7 抛物线 课件-2027届高考数学一轮复习

第八章 平面解析几何 第七讲　抛物线 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[55] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　抛物线的定义 平面内________________________________________________的点的轨迹叫抛物线．点______叫抛物线的________，直线______叫抛物线的________. 注：l经过F时，与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹为过F与l垂直的一条直线． 与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等 F 焦点 l 准线 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 知识点二　抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 焦点 F______ F________ F_______ F_______ 离心率 e＝______ 准线方程 __________ ________ _________ _________ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0， y0)) |PF|＝ ____________ |PF|＝ ___________ |PF|＝ __________ |PF|＝ __________ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 归 纳 拓 展 抛物线焦点弦的处理规律 如图，直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，CA⊥l于C，BD⊥l于D，BM⊥AC于M，交OF于N(l为抛物线的准线)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 则△HBD △HFQ △HAC △BFN △BAM等，且 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 (5)以AB为直径的圆与准线相切． (6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°. (7)A，O，D三点共线；B，O，C三点共线． (8)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点P(2p,0)作直线与抛物线交于A，B两点，则OA⊥OB；过原点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，B两点(即OA⊥OB)，则直线AB必过定点(2p,0)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2A．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 题组三　走向考场 4．(2025·高考新课标Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 5．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则(　　) A．l与⊙A相切 C．当|PB|＝2时，PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 考点突破 · 互动探究 返回导航 抛物线的定义及应用——多维探究 角度1　轨迹问题 (2026·山东名校考试联盟摸底)与直线y＝2相切，且与圆x2＋(y＋3)2＝1外切的圆的圆心轨迹为(　　) A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [解析]　记与圆x2＋(y＋3)2＝1外切的圆为圆C，设圆C的圆心为C(x，y)，半径为r，圆x2＋(y＋3)2＝1的圆心为A，因为圆C与圆x2＋(y＋3)2＝1外切，所以|CA|＝r＋1，设圆C圆心到直线y＝2的距离为d，则d＝r，所以|CA|＝d＋1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝3的距离，由抛物线的定义知：动点C的轨迹为抛物线．故选C. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 角度2　到焦点与准线距离的转化 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 角度3　到焦点(或准线)与定点距离之和(或差)的最值问题 1．(2026·福建漳州质检)已知点N(1,1)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是C上的动点，则|PN|＋|PF|的最小值为(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [解析]　过点P作PQ⊥抛物线C的准线l：y＝－1于点Q，由抛物线定义可得|PQ|＝|PF|，则|PN|＋|PF|＝|PN|＋|PQ|≥|NQ|，当且仅当N、P、Q三点共线，NQ⊥抛物线C的准线，即xP＝1时，|PN|＋|PQ|有最小值2.故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．设点P是抛物线C1：x2＝4y上的动点，点M是圆C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝4上的动点，d是点P到直线y＝－2的距离，则d＋|PM|的最小值是(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [引申]本例1中，|PF|－|PN|的最大值为________，最小值为_______. [答案]　1　－1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 角度4　到准线与定直线距离之和(或差)的最值问题 (2026·陕西西安质检)已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线y2＝8x上一动点P(x0，y0)到直线l的距离为d，则d＋|x0|的最小值是________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [引申]本例中d的最小值为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨：利用抛物线的定义可解决的常见问题 1．轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． 2．距离问题：利用抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离进行转化，把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题． 注：看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 【变式训练】 1．(角度1)(2026·河北邯郸模拟)在平面内，到定点(2,0)的距离比到定直线x＝－1的距离大1的动点M的轨迹方程是________. [答案]　y2＝8x 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(角度2)(2026·云南部分高中开学考试)已知抛物线x＝2y2上的点M到其焦点的距离为2，则点M的横坐标是(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 3．(角度3)(2026·江苏无锡等四地模拟)已知P(3,3)，M是抛物线y2＝4x上的动点(异于顶点)，过M作圆C：(x－2)2＋y2＝4的切线，切点为A，则|MA|＋|MP|的最小值为________. [答案]　3 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 4．(角度4)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 抛物线的标准方程——自主练透 1．过点P(－3,2)的抛物线的标准方程为________________． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程为___________，准线方程为____________. [答案]　y2＝16x或x2＝－8y　x＝－4或y＝2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨：求抛物线的标准方程的方法 1．求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可． 2．因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．一般焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝ay(a≠0)． 注：数形结合解题时，注意图形的对称性，不要丢解． 已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 【变式训练】 1．(2026·山东青岛调研)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(x,4)在C上，|MF|＝5，则C的方程为(　　) A．x2＝4y B．x2＝－4y C．x2＝－2y D．x2＝2y [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 抛物线的几何性质——师生共研 1．(2026·河南名校联盟摸底)抛物线y＝4x2的焦点坐标为(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(2026·安徽模拟)已知点P在抛物线y2＝4x上，则点P到点(4,0)的距离的最小值为(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 3．(2026·广东广州南沙区期中)直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [引申1]本例2中，若Q在直线l：4x＋y＋4＝0上，则|PQ|的最小值为________. [答案]　2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨： 1．求抛物线的焦点及准线方程的步骤 (1)把抛物线解析式化为标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向； (3)求出抛物线标准方程中参数p的值； (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义的应用，通过定义将焦点弦长转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 3．在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．注意抛物线上点到焦点距离与到准线距离的转化，关注图中的直角梯形(直角三角形)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 直线与抛物线的综合问题——师生共研 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(2026·浙江嘉兴模拟)过点M(6,4)的直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若M恰为AB的中点，则线段AB的长为________. [答案]　16 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 4．(2025·山西大学附中开学考)在直角坐标系xOy中，抛物线x2＝4y与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点． (1)若M点的横坐标为4，求抛物线在M点处的切线方程； (2)探究y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 (2)存在符合题意的点P(0，－a)，理由如下： 设点P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线PM，PN的斜率分别为k1，k2. 因为a>0，则Δ＝16k2＋16a>0， 可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 因为k不恒为0，可知当且仅当b＝－a时，恒有k1＋k2＝0， 则直线PM与直线PN的倾斜角互补， 故∠OPM＝∠OPN， 所以点P(0，－a)符合题意． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨： 1．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用根与系数的关系“整体代入”求解．注意根据抛物线方程确定消x还是消y，一般消一次项变量． 2．求解抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 【变式训练】 1．(2026·云南昆明摸底)过抛物线C：y2＝3x的焦点作直线l交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，若|AB|＝12，则|MN|＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(2026·湖南部分学校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为直线x＝－2，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则△AOB面积的最小值为(　　) A．18 B．16 C．12 D．8 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 巧解抛物线的切线问题 1．(2026·江苏南通如皋调研)过点P(m，－2)向抛物线x2＝4y引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，直线AB恒过的定点为________. [答案]　(0,2) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(多选题)(2024·湖北九师联盟联考)已知抛物线C：x2＝－8y的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线l1，l2，且l1，l2相交于点P，则(　　) A．|PF|＝4 B．点P在直线y＝2上 C．△PAB为直角三角形 D．△PAB面积的最小值为16 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨： 1．利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错． 注意：(1)过抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＝p(y＋y0)；过抛物线C：x2＝2py(p>0)外一点P(x0，y0)引抛物线的两条切线，切点分别为A、B，则AB：x0x＝p(y0＋y)． (2)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 提能训练　练案[55] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 A．(1,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,2) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(2025·重庆三模)已知A为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为4，到x轴的距离为2，则p＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 3．(2025·江苏南通如皋中学测试)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．y2＝±12x [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 4．(2026·广东部分学校联考)过抛物线E：y2＝6x的焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则|AB|＝(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 5．(2024·宁夏石嘴山三模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|＝2|BF|，|AE|＝3，则此抛物线的方程为(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 二、多选题 8．(2026·湖北华大新高考联盟质量测评)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，A，B在直线l：x＝－1上的射影分别为A1，B1，则(　　) A．以AB为直径的圆与直线l相切 B．∠A1FB1是钝角 C．|AB|的最小值是4 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 三、填空题 10．(2026·江西部分学校月考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(3,0)，P(2，t)是抛物线C上一点，则|PF|＝________. [答案]　5 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 11．(2025·广东部分名校摸底)省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面1.6 m时，水面宽6.4 m，当水面下降0.9 m时，水面的宽度为________米． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　8 [解析]　建立坐标系如图，设抛物线方程为x2＝ay且a<0， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 则根据题意可知图中A坐标为(3.2，－1.6)，所以3.22＝a×(－1.6)，可得a＝－6.4，所以抛物线方程为x2＝－6.4y，令y＝－(1.6＋0.9)＝－2.5，代入方程，解得|x|＝4，可得到水面两点坐标分别为(－4，－2.5)，(4，－2.5)所以水面的宽度为8米． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 四、解答题 14．(2025·河南五育联盟综合测试)已知曲线M上的任意一点到点(1,0)的距离比它到直线x＝－2的距离小1. (1)求曲线M的方程； (2)设点E(0,1)．若过点A(2,1)的直线与曲线M交于B，C两点，求△EBC的面积的最小值． [解析]　(1)由已知得，曲线M上的任意一点到点(1,0)的距离与它到直线x＝－1的距离相等， 所以曲线M的轨迹是以(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线， 所以曲线M的方程为y2＝4x. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 (2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 显然，过点A(2,1)的直线BC斜率不为0，设其方程为x＝my＋2－m， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 B组能力提升 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(2025·广东部分学校质检)抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为(　　) A．5 B．9 C．8 D．10 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 3．(多选题)(2025·广西钦州示范性高中开学考试)过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，过点A作抛物线的切线PA，则下列说法正确的是(　　) [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 ∴此时直线MN过定点(1,0)， 当t2＝4时，直线MN的方程为x＝1， 此时仍过点(1,0)即直线MN过定点． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 C组拓展应用(选作) A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE|·|BE|≥18 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 谢谢观看 x＝－　 x＝　 y＝－　 y＝　 x0＋ －x0＋ y0＋ －y0＋ (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p. (3)＋＝. (4)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|AB||d|＝|OF||y1－y2|. (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　) (4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　　) 题组二　走进教材 2．(选择性必修1P135例4)过抛物线y2＝4x的焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于A、B，则|AB|＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 [解析]　由题意知l：y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选B. 3．(多选题)(选择性必修1P136T1)过点M(5，－4)的抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝－y B．x2＝－y C．y2＝x D．y2＝x [解析]　若抛物线的对称轴为y轴，设其标准方程为x2＝－2py(p>0)，则25＝8p，∴p＝，抛物线方程为x2＝－y， 若抛物线的对称轴为x轴，设其标准方程为y2＝2px(p>0)，则16＝10p，∴p＝，抛物线方程为y2＝x，故选BC. [解析]　对lBF：y＝－2x＋2，令y＝0，则x＝1，所以F(1,0)，p＝2即抛物线C：y2＝4x，故抛物线的准线方程为x＝－1，故B(－1,4)，则yA＝4，代入抛物线C：y2＝4x得xA＝4.所以|AF|＝|AB|＝xA＋＝4＋1＝5.故选C. B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ [解析]　抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，⊙A的圆心(0,4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A正确；P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，由y＝4xP，得到xP＝4，故P(4,4)，此时切线长|PQ|＝＝＝，B正确；当|PB|＝2时，xP＝1，此时y＝4xP＝4，故P(1,2)或P(1，－2)，当P为(1,2)时，A(0,4)，B(－1,2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，不满足kPAkAB＝－1；当P(1，－2)时，A(0,4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，不满足kPAkAB＝－1；于是PA⊥AB不成立，C错误； 解法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，这里F(1,0)，于是|PA|＝|PB|时P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题，A(0,4)，F(1,0)，AF中点，AF中垂线的斜率为－＝，于是AF的中垂线方程为y＝，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得|PA|＝|PF|，D选项正确． 解法二：(设点直接求解)设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0,4)，又|PA|＝|PB|，根据两点间的距离公式，＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D正确．故选ABD. (2026·安徽部分学校学情检测)已知抛物线y＝x2上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点P的坐标为(　　) A． B． C．(4,2) D． [解析]　将抛物线y＝x2化为标准方程为x2＝8y，则抛物线的焦点坐标为F(0,2)，准线方程为y＝－2.设抛物线上一点P，x0>0，由抛物线的定义可知|PF|＝x＋2＝4，解得x0＝4，所以点P的坐标为(4,2)．故选C. A． B．2 C． D．3 A．5－2 B．5－1 C．5 D．5＋1 [解析]　抛物线C1：x2＝4y的焦点为F(0,1)，∴d＋|PM|＝|PF|＋1＋|PC2|－2＝|PF|＋|PC2|－1≥|FC2|－1＝5－1.(当且仅当F、P、C2共线时取等号)．故选B. [答案]　 [解析]　如图所示：若PC⊥直线l，PB⊥抛物线准线且交y轴于A点，则d＝|PC|，|x0|＝|PA|， 由抛物线定义知：|PF|＝|PB|＝|PA|＋，则|PA|＝|PF|－＝|PF|－2，所以d＋|x0|＝|PC|＋|PF|－2，要使目标式最小，即|PC|＋|PF|最小，当F，P，C共线时，又F(2,0)，此时(d＋|x0|)min＝－2＝. [答案]　 [解析]　d＝＝＝(y0－3)2＋，∴当y0＝3时，dmin＝. [解析]　由已知可得动点M满足到定点(2,0)的距离等于到定直线x＝－2的距离，由抛物线定义知动点M的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为(2,0)，则＝2，p＝4.因此轨迹方程为y2＝8x. A． B． C． D． [解析]　设点M的横坐标为x0，抛物线的标准方程为y2＝，该抛物线的准线方程为x＝－，因为抛物线x＝2y2上的点M到其焦点的距离为2，则x0＋＝2，解得x0＝.故选C. [解析]　依题意，设M(x0，y0)，x0>0，有y＝4x0，圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径r＝2，于是|MA|＝＝＝＝x0，因此|MA|＋|MP|＝x0＋|MP|，表示抛物线C上的点M到y轴距离与到定点P的距离的和，而点P在抛物线C内，当且仅当M是过点P垂直于y轴的直线与抛物线C的交点时，x0＋|MP|取得最小值3，所以|MA|＋|MP|的最小值为3. A． B． C．2 D． [解析]　直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则点P到直线l2：x＝－1的距离等于|PF|，过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P，所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和到直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值为＝2，故选C. [答案]　y2＝－x或x2＝y [解析]　设所求抛物线的方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)．∵抛物线过点(－3,2)，∴4＝－2p1·(－3)或9＝2p2·2.∴p1＝或p2＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y. [解析]　令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线方程为y2＝16x；当焦点为(0，－2)时，＝2，∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.∴所求的抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2. 3．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点A(2，y0)，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点M，满足2＝，则抛物线方程为(　　) A．y2＝8x 　　　 B．y2＝16x C．y2＝24x 　　　 D．y2＝32x [解析]　解法一：作AB⊥x轴，则AB∥MK，因为2＝，且A(2，y0)，所以＝＝＝，即2＝2＋，解得p＝12，所以抛物线方程是y2＝24x，故选C. 解法二：作AN垂直准线l于N，则|AN|＝|AF|，又2＝，∴|AN|＝|AM|，∴∠AMN＝.∴|AF|＝|MF|＝，即2＋＝，∴p＝12.故抛物线方程为y2＝24x.故选C. 解法三：由解法一与解法二知∠BFA＝，∴|BA|＝，∴A，代入抛物线方程得32＝4p，解得p＝12或(舍去)，∴抛物线方程为y2＝24x，故选C. [引申](1)本例3中若直线FA交抛物线于另一点B，则|AB|＝________. (2)本例3中若将“2＝”改为“2|FA|＝|AM|”则抛物线方程为____________. [答案]　(1)32　(2)y2＝24x或y2＝x [解析]　(1)由p＝12知|AF|＝8，又＋＝，∴|BF|＝24，∴|AB|＝32.(2)若A在第四象限，抛物线方程为y2＝24x，若A在第一象限，同理可求得抛物线方程为y2＝x. [解析]　抛物线x2＝2py(p>0)的开口向上，由于M(x,4)在C上，且|MF|＝5，根据抛物线的定义可知4＋＝5，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.故选A． 2．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为－2的直线交抛物线C于A，B.若|AB|＝，则抛物线C的方程为(　　) [解析]　AB的方程为y＝－2，即y＝－2x＋p，由得4x2－6px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝p，x1x2＝，∴＝|AB|＝＝p，解得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x，故选B. A． 　 B． C．(0,1) D．(1,0) [解析]　抛物线y＝4x2的标准方程为x2＝y，所以抛物线y＝4x2的焦点的坐标为.故选B. A．2 B．2 C．2 D．4 [解析]　记点M(4,0)，P(x0，y0)，则y＝4x0，所以|MP|2＝(x0－4)2＋y＝x－8x0＋16＋4x0＝(x0－2)2＋12，由x0≥0，所以|MP|2≥12⇒|MP|≥2，当且仅当x0＝2时，|MP|取最小值2.即点P到点(4,0)的距离的最小值为2.故选C. A． B．3 C． D． [解析]　解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∵|AF|＝3|BF|，∴x1＋1＝3(x2＋1)．即x1＝3x2＋2　①，且|y1|＝3|y2|，从而x1＝9x2　②，由①②可得x1＝3，x2＝，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C. 解法二：如图l为抛物线y2＝4x的准线，AM⊥l于M，BN⊥l于N，BH⊥AM于H，记|BF|＝λ，则|AB|＝4λ，|AH|＝|AF|－|BF|＝2λ，∴∠HAB＝60°，∴kAB＝.AB：y＝(x－1)，由得3x2－10x＋3＝0，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.故选C. [答案]　 [解析]　设P，则|PQ|≥＝≥. [引申2]本例3中，若l与抛物线的准线交于C，则＝________. 【变式训练】 1．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　) A． B． C．(1,0) D．(2,0) [解析]　因为直线x＝2与抛物线y2＝2px(p>0)交于E，D两点，且OD⊥OE，根据抛物线的对称性可以确定∠DOx＝∠EOx＝，所以D(2,2)，代入抛物线方程4＝4p，求得p＝1，所以其焦点坐标为，故选B. 2．(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________. [答案]　 [解析]　由题意可得：()2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，点A到C的准线的距离为1－＝. 1．(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 [解析]　直线y＝－(x－1)过点(1,0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，所以＝1，p＝2，2p＝4，则A正确；且抛物线C的方程为y2＝4x.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，B错误； 设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，∵d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|)＝|MN|，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C正确；又y1＝－(3－1)＝－2，y2＝－＝，∴|OM|＝＝，|ON|＝＝，所以三角形OMN不是等腰三角形，D错误．故选AC. [解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，∴kAB＝＝，∵AB的中点是M(6,4)，∴kAB＝＝1.∴直线AB的方程为y－4＝x－6，即x－y－2＝0，由得x2－12x＋4＝0，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，∴|AB|＝·＝16. 3．(2026·湖南益阳质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4,0)，过F作直线l交抛物线于A，B两点，则－的最小值为(　　) A．－ B． C． D． [解析]　如图，设抛物线y2＝2px的焦点坐标为，∵焦点为F(4,0)，∴＝4，得p＝8，∴＋＝＝，即＝－，∴－＝＋－1≥2－1＝(当且仅当|BF|＝6时取等号)．故选C. [解析]　(1)由已知，得M(4,4)，因为y＝x2，所以y′＝x，斜率k＝×4＝2， 因此，切线方程为y－4＝2(x－4)，即2x－y－4＝0. 联立方程得x2－4kx－4a＝0， 从而k1＋k2＝＋＝＋ ＝ ＝＝， [引申]本例1中＋＝________. [解析]　＋＝＝1. 3．“中点弦”问题的处理方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1(a>b>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝. [答案]　8 [解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：y＝k，联立l与C得k2x2－x＋k2＝0，所以x1＋x2＝，故|AB|＝x1＋x2＋＝＋＝12，解得k＝±，不妨取k＝，则直线l的倾斜角θ＝30°，过N作AM的垂线，垂足为H，则|NH|＝|AB|＝12，又NH∥AB，所以∠MNH＝30°，于是|MN|＝＝8. [解析]　依题意，－＝－2，解得p＝4，则抛物线C：y2＝8x，焦点F(2,0)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋2，由消去x得y2－8my－16＝0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，因此S△AOB＝|OF|·|y1－y2|＝＝≥8，当且仅当m＝0时取等号，所以△AOB面积的最小值为8.故选D. [解析]　解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵y＝x2，∴y′＝x，∴kPA＝x1＝＝·，整理得x－2mx1－8＝0，同理x－2mx2－8＝0，即x1，x2为方程x2－2mx－8＝0的根， ∴x1＋x2＝2m，x1x2＝－8.又kAB＝＝＝，∴AB的方程为y－y1＝(x－x1)，∴y－x＝x－，∴y＝x－，∴y＝x＋2，故直线AB过定点(0,2)． 解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则PA：x1x＝2(y＋y1)，PB：x2x＝2(y＋y2)，又切线过点P，∴mx1＝2(y1－2)，mx2＝2(y2－2)，∴AB：mx＝2(y－2)，∴直线AB过定点(0,2)． [解析]　由题可知，抛物线C：x2＝－8y的焦点F(0，－2)，显然直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，联立消去y并整理得x2＋8kx－16＝0，∴x1＋x2＝－8k，x1x2＝－16，由C：x2＝－8y得y＝－x2，∴y′＝－x，故切线PA的方程为y＋x＝－x1(x－x1)　①， 故切线PB的方程为y＋x＝－x2(x－x2)　②，联立①②得x0＝＝－4k，y0＝2，∴P(－4k,2)，∵P(－4k,2)，F(0，－2)，∴|PF|＝＝4≥4，故A不正确；∵P(－4k,2)，显然点P在直线y＝2上，故B正确；∵＝(x1＋4k，y1－2)，＝(x2＋4k，y2－2)，y1＝－x，y2＝－x，∴·＝(x1＋4k)(x2＋4k)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋4k(x1＋x2)＋16k2＋y1y2－2(y1＋y2)＋4，将y1y2＝xx，y1＋y2＝－，且x1＋x2＝－8k，x1x2＝－16， 代入上式化简得：∴·＝0，∴PA⊥PB，∴△PAB为直角三角形，故C正确；P到直线l的距离为d＝＝4，|AB|＝＝8(1＋k2)，∴S△PAB＝d|AB|＝16(1＋k2)，当k＝0时，(S△PAB)min＝16，故D正确．故选BCD. 2．过切点P(x0，y0)的圆锥曲线C：Ax2＋By2＋Cx＋Dy＋F＝0(A2＋B2≠0)的切线方程为Ax0x＋By0y＋(x＋x0)＋(y＋y0)＋F＝0. 【变式训练】 (2024·河北保定部分学校开学考)已知F是抛物线E：y2＝2px(0<p<3)的焦点，M是抛物线E上一点，以MF为直径的圆的方程为x2＋y2－3x－2y＋2＝0，则抛物线E在M处的切线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y－2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＋2＝0 [解析]　由x2＋y2－3x－2y＋2＝0变形得C：2＋(y－)2＝，故圆C的圆心为，r＝，故|FC|＝r＝＝，解得p＝2或4(舍去)，故E：y2＝4x，F(1,0)，设M(xM，yM)，由圆的对称性可知解得M(2,2)， 解法一：由2yy′＝4得y′＝，∴k切＝y′|y＝2＝，∴切线方程为y－2＝(x－2)，即x－y＋2＝0.故选D. 解法二：设抛物线在M处的切线方程为y＝k(x－2)＋2，联立得k2x2＋4(k－k2－1)x＋4(k2－2k＋2)＝0，Δ＝16(k－k2－1)2－16k2(k2－2k＋2)＝0，化简得(k－1)2＝0，k＝，所以y＝＋2，即x－y＋2＝0.故选D. 1．(2026·山东济宁模拟)抛物线y＝x2的焦点坐标是(　　) [解析]　抛物线的标准方程为x2＝4y，则2p＝4，可得＝1，因此，抛物线y＝x2的焦点坐标为(0,1)．故选B. [解析]　对于抛物线x2＝2py(p>0)，其准线方程为y＝－.已知点A到C的焦点的距离为4，由抛物线的定义可知，点A到准线的距离也为4.又因为点A到x轴的距离为2，所以点A到准线的距离为点A到x轴的距离加上，即2＋＝4.对2＋＝4进行求解，移项可得＝4－2＝2，解得p＝4.故选C. [解析]　设抛物线方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，依题意知＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.故选C. A．12 B． C． D． [解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则＝.因为线段AB的中点的纵坐标为1，所以y1＋y2＝2，则＝3.又直线AB过E的焦点，所以直线AB的方程为y＝3，则线段AB的中点的横坐标为，则x1＋x2＝，故|AB|＝x1＋x2＋p＝＋3＝.故选C. A．y2＝ B．y2＝9x C．y2＝ D．y2＝3x [解析]　如图所示，过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|＝a，则|BC|＝2|BF|＝2a，|BD|＝|BF|＝a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD＝＝，所以∠BCD＝30°，在直角△ACE中，因为|AE|＝3，可得|AC|＝3＋3a，由|AC|＝2|AE|，所以3＋3a＝6，解得a＝1，因为BD∥FG，所以＝，解得p＝，所以抛物线方程为y2＝3x.故选D. 6．(2026·宁夏银川一中模拟)抛物线E：x2＝4y与圆M：x2＋(y－1)2＝16交于A、B两点，圆心M(0,1)，点P为劣弧上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN的周长的取值范围是(　　) A．(6,12) B．(8,10) C．(6,10) D．(8,12) [解析]　如图，可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点，过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得MN＝NH故△PMN的周长l＝NH＋NP＋MP＝PH＋4，由可得B(2，3)．PH的取值范围为(4,6)，∴△PMN的周长PH＋4的取值范围为(8,10)． 7．(2025·安徽重点高中联盟校摸底)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2x的焦点为F，＝－＝－2，过点M的直线l与C交于A，B两点，且＝λ(0<λ<1)，直线BN与C的另一个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足kAN＝3kPM，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． [解析]　由题意得，F，M(－1,0)，N(1,0)．设直线l：x＝my－1，直线BN：x＝ny＋1，联立得y2－2my＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，则y1＋y2＝2m，y1y2＝2，联立得y2－2ny－2＝0， 故y2＋y3＝2n，y2y3＝－2，故y3＝－y1，故x3＝x1，故kAN＝，kPM＝＝－，由kAN＝3kPM，得＝3·，解得x1＝，y＝2x1＝1，则m＝＝±，故|AB|＝·＝，故选A． D．若|AF|＝3|BF|，则直线AB的斜率为± [解析]　如图，假设点A位于第一象限，根据抛物线的定义可知|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|，设AB中点为G，点G在抛物线的准线l上的射影为G1，所以|GG1|＝＝，则以AB为直径的圆与准线l相切，故A正确；因为|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，所以∠BB1F＝∠BFB1＝∠B1FO，∠AA1F＝∠AFA1＝∠A1FO，又因为∠BFB1＋∠B1FO＋∠AFA1＋∠A1FO＝π，所以∠B1FO＋∠A1FO＝，所以∠A1FB1＝，故B错误；设∠AFx＝θ，由焦点弦公式可得|AB|＝≥4，等号成立时θ＝，故C正确； 因为|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，|AF|＝3|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4|BB1|，过B作BT⊥AA1，BT∩AA1＝T，所以|cos∠AFx|＝|cos∠A1AF|＝＝＝＝，所以∠AFx＝或∠AFx＝，故直线AB的斜率为±，故D正确．故选ACD. 9．(2026·福建优质高中质检)设抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线y＝kx＋1(k>0)与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与x轴交于点C，|AF|＝，|BF|＝4，则下列说法正确的是(　　) A．p＝4 B．y1y2＝10 C．|AB|＝ D．△AFB与△AFC的面积之比为3∶1 [解析]　依题意，|AF|＝y1＋＝，|BF|＝y2＋＝4且y2>y1>0，则A在第二象限，B在第一象限，且p<8，由消去y，得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p，于是y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝2pk2＋2，y1y2＝·＝1，B错误；＝1，而p<8，解得p＝4，A正确；抛物线E：x2＝8y，F(0,2)，y1＝，y2＝2，因此A，B(4,2)，k＝，|AB|＝＝，C正确； 直线y＝x＋1与x轴交于点C(－4,0)，|AC|＝＝，S△AFB∶S△AFC＝|AB|∶|AC|＝∶＝3∶1，D正确．故选ACD. [解析]　由焦点坐标可知＝3，由抛物线定义可知|PF|＝2＋＝5. 12．(2026·八省八校T8联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为1的直线l与抛物线C交于M，N两点，则的值为________. [答案]　 [解析]　解法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由抛物线定义得|FM|＝x1＋，|FN|＝x2＋.∴＝＝＝. 解法二：如图，l为抛物线C的准线，MA⊥l于A，NB⊥l于B，NH⊥MA于H，由题意知tan∠FMH＝1，∴cos∠FMH＝，∴＝＝cos∠FMH＝. 13．(2025·广东六校联考)已知圆x2＋y2＝4与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，若|AB|＝2，则p＝________. [解析]　由抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l：x＝－，圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2，则圆心O到准线l的距离d＝，则|AB|＝2＝2＝2，解得p＝2. 联立整理得y2－4my＋4(m－2)＝0， 其中Δ＝16m2－16(m－2)＝16(m2－m＋2)＝162＋28>0， 由韦达定理得y1＋y2＝4m，y1y2＝4(m－2)， 所以△EBC的面积S＝×|EA|×|y1－y2|＝|y1－y2|＝＝＝4＝4， 当m＝时，Smin＝4＝4×＝2， 所以△EBC的面积的最小值为2. 1．(2026·湖南九校联盟联考)已知点P(x，y)满足＝|x＋1|，Q(4,0)，则|PQ|的最小值为(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 [解析]　因为表示点P(x，y)到点(1,0)的距离；|x＋1|表示点P(x，y)到直线x＝－1的距离，又＝|x＋1|，所以点P(x，y)到点(1,0)的距离等于点P(x，y)到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线，抛物线方程为y2＝4x，设P，则|PQ|＝＝＝≥2，当且仅当t＝±2时，等号成立，故选C. [解析]　解法一：由题意可知F(1,0)，设lAB：x＝ky＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线AB与抛物线方程⇒y2－4ky－4＝0⇒y1y2＝－4，所以x1x2＝·＝1，而|AF|＋4|BF|＝x1＋1＋4(x2＋1)＝x1＋4x2＋5≥2＋5＝9，当且仅当x1＝2，x2＝时取得等号．故选B. 解法二：由抛物线焦点弦性质可得＋＝＝1，∴|AF|＋4|BF|＝(|AF|＋4|BF|)＝5＋＋≥5＋2＝9.(当且仅当|AF|＝2|BF|＝3时取等号，即|AF|＋4|BF|的最小值为9.故选B.) A．|AB|的最小值为4 B．当＝3时，|AB|＝ C．以线段AB为直径的圆与直线x＝－1相切 D．当|AB|最小时，切线PA与准线的交点坐标为(－1,0) [解析]　依题意可设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1>0，x2>0，联立消x整理得y2－4my－4＝0，则y1y2＝－4，代入y2＝4x得x1x2＝1，则|AB|＝x1＋x2＋2＝x1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x1＝x2＝1时取等号，所以|AB|的最小值为4，故A正确； 结合A可得＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，由＝3，得解得|AB|＝x1＋x2＋2＝，故B错误；由题意得抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)，设A，B，M在准线上的射影为A′，B′，M′，则|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，所以以线段AB为直径的圆与直线x＝－1相切，故C正确； 结合A可得，当|AB|最小时，不妨取A(1,2)，则可设切线PA的方程为x＝n(y－2)＋1，联立消x整理得y2－4ny＋8n－4＝0，则Δ＝16n2－4(8n－4)＝0，解得n＝1，所以切线PA的方程为x＝y－1，联立解得x＝－1，y＝0，即切线PA与准线的交点坐标为(－1,0)，故D正确．故选ACD. 4．(2026·江西部分学校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F且倾斜角为的直线与C交于A，B两点(A点在x轴上方)，若|AF|＝6，则|BF|＝________. [解析]　解法一：如图作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BH⊥AM于H，由题意知∠HAF＝，∴2AH＝AB，即2(6－|BF|)＝6＋|BF|，∴|BF|＝2. 解法二：由题可知F，准线方程为x＝－，已知直线过F且倾斜角为，则直线的斜率为k＝tan ＝，∴直线方程为y＝，联立直线与抛物线方程得3x2－5px＋p2＝0　①， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，∵|AF|＝x1＋＝6，∴x1＝6－，∵直线的倾斜角为，∴cos ＝＝＝，∴p＝3，∴x1＋x2＝5，x1＝6－＝，∴x2＝5－x1＝5－＝，∴|BF|＝x2＋＝＋＝2. 5．双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴垂直的直线交双曲线C于A，B两点，△F1AB的面积为12，抛物线E：y2＝2px(p>0)以双曲线C的右顶点为焦点． (1)求抛物线E的方程； (2)如图，点P(t≠0)为抛物线E的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点． [解析]　(1)设F2(c,0)(c>0)，则c＝， 令x＝c代入C的方程有|yA|＝， ∴S△F1AB＝×2c×2|yA|＝＝12， ∴a＝1，故＝a＝1，即p＝2， ∴抛物线E的方程为y2＝4x. (2)证明：由(1)知：P(－1，t)(t≠0)，则M， 直线PO的方程为y＝－tx，代入抛物线E的方程有N， 当t2≠4时，kMN＝＝， ∴直线MN的方程为y－t＝， 即y＝(x－1)， (多选题)(2025·高考新课标Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A，B，过F且垂直于AB的直线交l：x＝－于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则(　　) [解析]　解法一：对于A，对于抛物线C：y2＝6x，则p＝3，其准线方程为x＝－，焦点F，则|AD|为抛物线上点到准线的距离，|AF|为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，|AD|＝|AF|，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P，由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE＝∠AFE＝90°，又|AD|＝|AF|，|AE|＝|AE|，所以△ADE≌△AFE，所以∠AED＝∠AEF，同理∠BEP＝∠BEF，又∠AED＋∠AEF＋∠BEP＋∠BEF＝180°，所以∠AEF＋∠BEF＝90°，即∠AEB＝90°，显然AB为△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误； 对于C，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得y2－6my－9＝0，易知Δ>0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，又x1＝my1＋，x2＝my2＋，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝m(y1＋y2)＋3＋3＝6m2＋6≥6，当且仅当m＝0时取等号，故C正确； 对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE＝∠EAF，所以Rt△ABE～Rt△AEF，则＝，即|AE|2＝|AF|·|AB|，同理|BE|2＝|BF|·|AB|，又|AF|·|BF|＝＝(my1＋3)(my2＋3)＝m2y1y2＋3m(y1＋y2)＋9＝－9m2＋18m2＋9＝9(m2＋1)，|AB|＝6m2＋6＝6(m2＋1)，所以|AE|2·|BE|2＝|BF|·|AF|·|AB|2＝9(m2＋1)×36(m2＋1)2，则|AE|·|BE|＝3(m2＋1)×6(m2＋1)＝18(m2＋1)≥18，故D正确．故选ACD. 解法二：对于A，对于抛物线C：y2＝6x，则p＝3，其准线方程为x＝－，焦点F，则|AD|为抛物线上点到准线的距离，|AF|为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，|AD|＝|AF|，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P，由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE＝∠AFE＝90°，又|AD|＝|AF|，|AE|＝|AE|，所以△ADE≌△AFE，所以∠AED＝∠AEF，同理∠BEP＝∠BEF，又∠AED＋∠AEF＋∠BEP＋∠BEF＝180°，所以∠AEF＋∠BEF＝90°，即∠AEB＝90°，显然AB为△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误； 对于C，当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝2p＝6；当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y＝k，联立消去y，得k2x2－(3k2＋6)x＋k2＝0，易知Δ>0，则x1＋x2＝3＋，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝×＝6>6，综上，|AB|≥6，故C正确； 对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE＝∠EAF，所以Rt△ABE～Rt△AEF，则＝，即|AE|2＝|AF|·|AB|，同理|BE|2＝|BF|·|AB|，当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝6，|AF|＝|BF|＝|AB|＝3；所以|AE|2·|BE|2＝|BF|·|AF|·|AB|2＝3×3×62，即|AE|·|BE|＝18； 当直线AB的斜率存在时，|AB|＝6，|AF|·|BF|＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝＋＋＝9，所以|AE|2·|BE|2＝|BF|·|AF|·|AB|2＝9×362，则|AE|·|BE|＝3×6＝18>18；综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确．故选ACD. $