精品解析：重庆市巫山县白坪初级中学2025-2026学年 七年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年白坪初中七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可． 【详解】解：，2，和中，，2，是有理数，是无理数； 故选C． 2. 下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的定义作出判断即可． 【详解】解：A、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，不是对顶角，不合题意； B、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，不是对顶角，不合题意； C、∠1的两边是∠2的两边的反向延长线，是对顶角，符合题意； D、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 3. 下列各点中，在第三象限的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征，判断点所在的象限即可，熟练掌握不同象限内点的符号特征，是解题的关键． 【详解】解：A、，在第四象限，不符合题意； B、，在第二象限，不符合题意； C、，在第三象限，符合题意； D、，在第一象限，不符合题意； 故选C． 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 和0之间 C. 2和3之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A． 5. 若，则的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为3； 故选D． 6. 对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新定义，列出二元一次方程组，进行求解即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选A． 7. 下列命题是假命题的是（ ） A. 同角的余角相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段叫作点A到直线l的距离 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断真假命题，同角（或等角）的余角相等，平行线的判定，垂线性质，点到直线的距离，根据同角（或等角）的余角相等，平行线的判定，垂线性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、同角的余角相等，是真命题，故该选项不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故该选项不符合题意； D、过点作直线的垂线，垂足为，线段的长度叫作点到直线的距离，原命题是假命题，故该选项符合题意； 故选：D． 8. 下列判断：①10的平方根是；②与互为相反数；③0.1的算术平方根是0.01；④，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根的定义及非负数的性质，熟练掌握“正数平方根的特征、立方根的符号性质、算术平方根的计算、非负数和为的条件”是解题的关键．依次根据平方根、立方根、算术平方根的定义以及非负数的性质，对四个判断进行分析． 【详解】解：∵ 正数的平方根有两个，且互为相反数，是正数， ∴ 的平方根是，故①正确． ∵ 立方根性质：，即， ∴ 与互为相反数，故②正确． ∵ 算术平方根是非负数，且，， ∴ 的算术平方根是，不是，故③错误． ∵ 非负数（算术平方根、平方数）之和为时，各项均为， ∴ 由，得，， 解得，，则，故④正确． 综上，①②④正确，共个， 故选：． 9. 如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若开始输入的数据为，那么第步之后，显示的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先按操作步骤算出前几步找到循环周期，再用总步数除以循环周期，根据余数确定结果． 【详解】解：当输入的数据为， 则第一步为，第二步为，第三步为， 第四步为，第五步为，第六步为， 可知每六步一个循环， ， 则第步后显示的结果应为． 10. 如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，过点作，，分别表示出、，即可分析出答案． 【详解】解： ①正确； 过点作，， ， ， 设，，则， ， ②正确； ， ， 而 ③错误； ， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平方根，准确把握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数是的平方根，结合平方运算的结果特征，得出正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 将点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的平移，根据平移规则左减右加，上加下减，进行求解即可，熟练掌握点的平移规则，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：点，即：； 故答案为：． 13. 如图，直线相交于点平分，则的度数为______． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角求角度，垂直的定义等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据垂直的定义以及求出的度数，再根据邻补角互补求出，最后由角平分线的意义即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 14. 数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 15. 对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：，．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据根整数的定义，首先求出根整数为的最大整数为，再求出根整数为的最大整数，即为所求的的最大值． 【详解】解：，， 根整数为的最大整数是， ，， 根整数为的最大整数是， 连续求两次根整数后的结果为的最大整数为． 16. 一个各数位数字互不相等且均不为0三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去4等于十位数字，则称这个三位数为“至善数”，例如：631，因为，则称631是“至善数”；则最大的“至善数”与最小的“至善数”之差是__________；若正整数，记．且，是两个不同的“至善数”（，，，且y，z，m，n均为整数），且能被17整除，的值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除等知识，分类讨论是解题的关键 根据最大的“至善数”可得，进而根据定义求得，同理求得最小的“至善数”的，再求得的值，求两数的差，即可求解．，是两个不同的“至善数”，可得方程组；再根据列代数式，最后根据能被17整除进行分类讨论，即可得答案． 【详解】解：∵是“至善数”， ∴，则 最大的“至善数”可得，则，则最大的“至善数”为 最小的“至善数”的，则，则最小的“至善数”为 ∵，是两个不同的“尚美数， 得，即， ． ∵，，， ． ∵能被整除， ∴或或或或51． ①当时，即， ∴， 当时，，，， ∴ ②当时， 当时，，，， ∴ ③当时， 当时，，，， ∴（舍去） ④当时， 当时，，，， ∴ ⑤当时， 当时，，，， ∴，（相同，舍去） 综上所述，， 故答案为：；． 三、解答题（本大题8个小题，17题16分，其余每题10分，共86分） 17. （1）计算： （2）计算： （3）解方程： （4）解方程： 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义和立方根化简各式，然后合并即可； （2）先去绝对值，化简算术平方根与立方根，然后进行合并即可； （3）原式进行移项，然后开平方即可计算； （4）原式进行移项，然后开立方即可计算． 【详解】解：（1） （2） （3） ∴ ∴或 （4） ∴ ∴ 18. 解下列方程组． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键： （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 把①代入②，得：，解得：； 把代入①，得：； ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 原方程组转化为： ，得：，解得：； 把代入③，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 19. 把下列推理过程补充完整： 如图，已知交BC于点M，交BC于点E，，，求证：． 证明：，， ，（ ① ）． （等量代换）． （ ② ）． ③ （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． ， （内错角相等，两直线平行）． （ ⑤ ）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据垂直的定义，平行线的判定方法，平行线的性质进行作答即可，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】证明：，， ，（垂直的定义）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． ， （内错角相等，两直线平行）． （平行于同一条直线的两直线平行）． 20. 数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一． 请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ，b都是有理数，，也是有理数， 是无理数，，， ，， 解决问题：设m，n都是有理数，且满足，求的平方根． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，实数的运算，仿照题干的解题思路，得到，进而求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ∵m，n都是有理数， ∴为有理数， ∵为无理数， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴的平方根为或． 21. 平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，，． （1）三角形向右平移个单位长度得到三角形，请在图中画出平移后的三角形； （2）求三角形的面积； （3）点在轴的负半轴上，连接，交于点，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握坐标与图形，图形的平移，“割补法”求不规则图形的面积等知识是解题的关键． （1）根据图形平移的规律即可求解； （2）运用“割补法”求不规则图形的面积即可； （3）连接，设，分别求得，，进而根据图形可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，三角形即为所求， 【小问2详解】 解：三角形的面积为 【小问3详解】 解：如图所示， 连接，设， ∴ ∵ ∵ ∴ 解得： ∴ 22. 如图，在中，点E，F在边上，点D在边上，点G在边上，连接，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键： （1）同位角相等，两直线平行得到，进而得到，进而得到，即可得证； （2）两直线平行同位角相等，得到，进而得到，结合，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，且，点在直线上，连接． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）我们可以用“面积法”求m的值，方法如下： 一方面， ， ； 另一方面，过点C作轴于点D，我们可以用含m的式子表示三角形的面积为： ； 根据“”可得关于m的方程为 ，解这个方程得，m的值为 ． （3）若点E的纵坐标为，且点E在直线上，求点E的坐标． 【答案】（1）， （2）4，2，，，3 （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性与二次根式的非负性即可求解的值即可求解； （2）根据三角形的面积公式即可求解； （3）连接OE，设，其中，由即可求解的值． 【小问1详解】 解：， ， 故点A的坐标为，点B的坐标为； 【小问2详解】 ，点， ，； ； 可得关于m的方程为， m的值为3． 【小问3详解】 点E的纵坐标为，， 点E在第二象限， 连接OE，设，其中 由和可得： 由和可得： ，解得 点E的坐标为 24. 问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数． 小明的思路是： 过点P作PE//AB， ∴∠PAB+∠APE=180°． ∵∠PAB=130°， ∴∠APE=50° ∵AB//CD，PE//AB， ∴PE//CD， ∴∠PCD+∠CPE=180°． ∵∠PCD=120°， ∴∠CPE=60° ∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°． 问题迁移：如果AB与CD平行关系不变，动点P在直线AB、CD所夹区域内部运动时，∠PAB，∠PCD的度数会跟着发生变化． （1）如图3，当动点P运动到直线AC右侧时，请写出∠PAB，∠PCD和∠APC之间的数量关系？并说明理由． （2）如图4，AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠AQC和∠APC的数量关系 ． （3）如图5，点P在直线AC的左侧时，AQ，CQ仍然平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠AQC和角∠APC的数量关系 【答案】（1）∠PAB+∠PCD=∠APC，理由见解析；（2），理由见解析；（3）2∠AQC+∠APC=360°，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点P作PF∥AB，可得∠PAB=∠APF，根据AB∥CD，PF∥AB，可得∠PCD=∠CPF，所以∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC，即可证得∠PAB+∠PCD=∠APC （2）已知AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，根据角平分线性质，可得∠QAB=∠PAB，∠QCD=∠PCD，∠QAB+∠QCD=∠PAB+∠PCD=(∠PAB+∠PCD)，再根据（1）结论，即可证明∠AQC=∠APC． （3）过点P作PG∥AB，根据平行线的性质可得∠PAB+∠APG=180°，由已知可得PG//CD，∠PCD+∠CPG=180°，证明得∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，再根据AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，可得∠QAB+∠QCD=∠PAB+∠PCD=(∠PAB+∠PCD)，即可证明得出结论2∠AQC+∠APC=360°． 【详解】（1）∠PAB+∠PCD=∠APC 理由：如图3，过点P作PF∥AB， ∴∠PAB=∠APF， ∵AB∥CD，PF∥AB， ∴PF∥CD， ∴∠PCD=∠CPF， ∴∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC， 即∠PAB+∠PCD=∠APC 故答案为：∠PAB+∠PCD=∠APC （2） 理由：如图4， ∵AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD， ∴∠QAB=∠PAB，∠QCD=∠PCD， ∴∠QAB+∠QCD=∠PAB+∠PCD=(∠PAB+∠PCD)， 由（1），可得∠PAB+∠PCD=∠APC， ∠QAB+∠QCD=∠AQC ∴∠AQC=∠APC 故答案为：∠AQC=∠APC （3）2∠AQC+∠APC=360° 理由：如图5，过点P作PG∥AB ， ∴∠PAB+∠APG=180°， ∵AB∥CD，PG∥AB， ∴PG//CD， ∴∠PCD+∠CPG=180°， ∴∠PAB+∠APG+∠PCD+∠CPG=360°， ∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°， ∵AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD， ∴∠QAB=∠PAB，∠QCD=∠PCD， ∴∠QAB+∠QCD=∠PAB+∠PCD=(∠PAB+PCD) 由（1）知，∠QAB+∠QCD=∠AQC， ∴∠AQC=(∠PAB+∠PCD) 2∠AQC=∠PAB+∠PCD， ∵∠PAB+∠PCD+∠APC=360°， ∴2∠AQC+∠APC=360°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质．作出平行线辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年白坪初中七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点中，在第三象限的点是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 和0之间 C. 2和3之间 D. 和之间 5. 若，则的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 3 6. 对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是假命题的是（ ） A. 同角的余角相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段叫作点A到直线l的距离 8. 下列判断：①10的平方根是；②与互为相反数；③0.1的算术平方根是0.01；④，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若开始输入的数据为，那么第步之后，显示的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 的平方根是___________． 12. 将点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是__________． 13. 如图，直线相交于点平分，则的度数为______． 14. 数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 15. 对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：，．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为_____． 16. 一个各数位数字互不相等且均不为0三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去4等于十位数字，则称这个三位数为“至善数”，例如：631，因为，则称631是“至善数”；则最大的“至善数”与最小的“至善数”之差是__________；若正整数，记．且，是两个不同的“至善数”（，，，且y，z，m，n均为整数），且能被17整除，的值是__________． 三、解答题（本大题8个小题，17题16分，其余每题10分，共86分） 17. （1）计算： （2）计算： （3）解方程： （4）解方程： 18. 解下列方程组． （1） （2） 19. 把下列推理过程补充完整： 如图，已知交BC于点M，交BC于点E，，，求证：． 证明：，， ，（ ① ）． （等量代换）． （ ② ）． ③ （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． ， （内错角相等，两直线平行）． （ ⑤ ）． 20. 数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一． 请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ，b都是有理数，，也是有理数， 是无理数，，， ，， 解决问题：设m，n都是有理数，且满足，求的平方根． 21. 平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，，． （1）三角形向右平移个单位长度得到三角形，请在图中画出平移后的三角形； （2）求三角形的面积； （3）点在轴的负半轴上，连接，交于点，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在中，点E，F在边上，点D在边上，点G在边上，连接，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 23. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，且，点在直线上，连接． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）我们可以用“面积法”求m的值，方法如下： 一方面， ， ； 另一方面，过点C作轴于点D，我们可以用含m的式子表示三角形的面积为： ； 根据“”可得关于m的方程为 ，解这个方程得，m的值为 ． （3）若点E的纵坐标为，且点E在直线上，求点E的坐标． 24. 问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数． 小明的思路是： 过点P作PE//AB， ∴∠PAB+∠APE=180°． ∵∠PAB=130°， ∴∠APE=50° ∵AB//CD，PE//AB， ∴PE//CD， ∴∠PCD+∠CPE=180°． ∵∠PCD=120°， ∴∠CPE=60° ∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°． 问题迁移：如果AB与CD平行关系不变，动点P在直线AB、CD所夹区域内部运动时，∠PAB，∠PCD的度数会跟着发生变化． （1）如图3，当动点P运动到直线AC右侧时，请写出∠PAB，∠PCD和∠APC之间的数量关系？并说明理由． （2）如图4，AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠AQC和∠APC的数量关系 ． （3）如图5，点P在直线AC的左侧时，AQ，CQ仍然平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠AQC和角∠APC的数量关系 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $