第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线的倾斜角与斜率、直线方程”核心考点，依据高考评价体系明确探索几何要素、理解概念、掌握方程形式的考查要求，通过梳理倾斜角与斜率关系、五种直线方程及应用，分析选择填空高频题型占比，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题改编+方法提炼+素养培养”，精选教材改编题及汕头模拟题，如过定点问题用参数分离法，最值问题结合基本不等式，培养数学思维与运算能力。特设“斜率讨论口诀”“方程应用模板”，帮助学生掌握得分技巧，教师可依托此课件实现精准复习与高效备考。

第一节 第八章　平面解析几何 直线的倾斜角与斜率、直线方程 【目标要求】　1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为_____________. (3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是______________. 0° 0°≤α<180° 2.斜率公式 (1)定义式:直线l的倾斜角为α,则斜率k=tan α. (2)坐标式:设点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k=. 3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 两点式 =(x1≠x2,y1≠y2) 不含直线x=x1和直线y=y1 截距式 +=1(其中a≠0,b≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0) 平面内所有直线都适用 小|题|快|练 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若直线的倾斜角为α,则0°≤α≤180°.(　　) (2)若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等.(　　) 若直线的倾斜角为α,则0°≤α<180°. 解析 当倾斜角为90°时,直线对应的斜率不存在,不能相等. 解析 (3)直线3x+y-2=0在y轴上的截距为-2.(　　) (4)截距一定为非负数.(　　) 令x=0,求得y=2,则直线3x+y-2=0在y轴上的截距为2,故错误. 解析 截距是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可是零. 解析 2.(人A选一P55T4改编)已知点A(2,0),B(3,),则直线AB的倾斜角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 由题意得直线AB的斜率k==,设直线AB的倾斜角为α ,则 tan α=,因为0°≤α<180° ,所以α=60° .故选B. 解析 3.(北师大选一P8T3改编)过点(1,2)且方向向量的坐标为(-1,2)的直线的方程为(　　) A.2x+y-4=0 B.x+y-3=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y-3=0 由题意可知直线的斜率k==-2,由点斜式方程得,所求直线的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.故选A. 解析 4.(人A选一P67T7改编)已知直线l过点(1,2),且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍,则直线l的方程为(　　) A.2x-y=0 B. 2x+y-4=0 C.2x-y=0或x+2y-2=0 D. 2x-y=0或2x+y-4=0 由题意设直线l 与x 轴的交点为(a,0),则与y 轴的交点为(0,2a),当a=0 时,直线l 过原点,斜率为=2,故直线l 的方程为2x-y=0;当a≠0 时,直线l 的斜率为=-2,故直线l 的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.故选D. 解析 5.(人A选一P80T16改编)直线x+(m+1)y+m=0(m∈R)所过的定点坐标为_____________. 直线x+(m+1)y+m=0(m∈R)可以化为m(y+1)+y+x=0,令故所过的定点坐标为(1, 1). 解析 (1, 1) (1)直线x-y+2 026=0的倾斜角是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 考点一 直线的倾斜角与斜率………………自练自悟 解析 (2)(多选题)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3, 倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k2<k1 C.α1<α3<α2 D.α3<α2<α1 如题图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则k2>k3>0,k1<0,故>α2>α3>0,且α1为钝角.故选AD. 解析 (3)已知直线l的方程为x+ysin α+1=0(α∈R),则直线l的倾斜角的取值范围为(　　) A. B.∪ C. D.∪ 当sin α≠0时,直线l的斜率为k=-∈(-∞,-]∪[,+∞),设直线l的倾斜角为θ,则有k=tan θ∈(-∞,-]∪[,+∞), 结合正切函数的图象可知,倾斜角θ的取值范 围为∪,当sin α=0时,倾斜角为θ= ,综上,直线l的倾斜角取值范围为.故选C. 解析 (4)(2026·汕头模拟)经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2), B(,2)两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角θ的取值范围是 ________________. ∪ 由题意得,kPA==-1,kPB==,如图所示,因为l与线段AB相交,由题意设直线l的斜率为k,所以kPA≤k≤ kPB,所以-1≤k≤,所以0≤tan θ≤或-1≤ tan θ<0.由于y=tan x在上均单 调递增,所以直线l的倾斜角θ的取值范围为 ∪. 解析 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan x在∪上的单调性求解,这里特别要注意,正切函数在∪上并不是单调的. 2.过一定点作直线与已知线段相交,求直线斜率取值范围时,应注意倾斜角为时,直线斜率不存在. 【例1】　(1)已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为_______________. 考点二 求直线的方程 解析 4x-3y-4=0 (2)已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则直线l的方程是____________________________. 2x+3y=0或x+y-1=0或x-y-5=0 解析 (3)经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且一个方向向量为ν=(-3,2)的直线方程为_____________. 2x+3y-5=0 解析 直线方程的求法 1.直接法:根据已知条件,求出直线方程的确定条件,选择适当的直线方程的形式,直接写出直线方程. 2.待定系数法:设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式),进而根据已知条件求解. 3.涉及截距问题,还要考虑截距为0这一特殊情况. 【训练】　(1)已知△ABC的三个顶点分别为A(1,1),B(3,1),C(4,5),M为AB的中点,则中线CM所在直线的方程为(　　) A.2x+y-3=0 B.2x-y+3=0 C.x-y+1=0 D.2x-y-3=0 由题知点M的坐标为(2,1),又C(4,5),由直线的两点式方程得=,即中线CM所在直线的方程为2x-y-3=0. 解析 (2)已知定点M(5,0),若直线l1过定点M且方向向量是n1=(-5,5),直线l2过定点M且方向向量是n2=(5,-3),直线l1在y轴上的截距是a,直线l2在y轴上的截距是b,则a-b=_____________. 因为直线l1方向向量是n1=(-5,5),所以直线l1的斜率为k1==-1,所以直线l1:y=-1(x-5),即l1:y=-x+5,所以直线l1在y轴上的截距a=5.因为直线l2方向向量是n2=(5,-3),所以直线l2的斜率为k2==-,所以直线l2:y=-(x-5),即l2:y=-x+3,所以直线l2在y轴上的截距b=3,所以a-b=5-3=2. 解析 2 考向❶ 过定点问题 【例2】　直线kx-y+1-3k=0,当k变动时,所有直线都通过定点(　　) A.(3,1) B.(0,1) C.(0,0) D.(2,1) 考点三 直线方程的应用 解析 考向❷ 最值(范围)问题 【例3】　已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴,y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程. 解 解 1.求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值. 2.求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决问题. 【题组对点练】 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❷ (1)直线(a-1)x-(a+1)y+2=0恒过定点(　　) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1) 将(a-1)x-(a+1)y+2=0变形为(x-y)a-x-y+2=0,令x-y=0且-x-y+2=0,解得x=1,y=1,所以直线恒过定点(1,1).故选A. 解析 (2)(2026·开封质检)若直线l:+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时,=(　　) A.2 B. C. D. 因为直线l:+=1过点(1,2),所以+=1,又a>0,b>0,所以a+b=(a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即=时取等号. 解析 (3)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4.当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,则实数a=_____________. 由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2-a,直线l2在x轴上的截距为a2+2,所以四边形的面积S=×2×(2-a)+×2×(a2+2)=a2-a+4=+.又0<a<2,所以当a=时,四边形的面积最小. 解析 1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀:“斜率变化分两段,90°是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论”. 2.直线Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)的一个法向量n=(A,B),一个方向向量v=(-B,A). 根据题意,设直线x-y+2 026=0的倾斜角为α,因为其斜率k=tan α=,又由0°≤α<180°,所以α=60°. 由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为,则tan α=,所以直线l的斜率k=tan 2α===,所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=(x-1),即4x-3y-4=0. 当直线l的截距为0时,此时直线l的方程为y=-x,即2x+3y=0.当直线l的截距不为0时,设直线l的方程为+=1,则 当a=1,b=1时,可得直线l的方程为x+y=1,即x+y-1=0;若a=5,b=-5时,可得直线l的方程为+=1,即x-y-5=0.综上所述,直线l的方程为2x+3y=0或x+y-1=0或x-y-5=0. 联立所以直线过点(1,1).因为直线的方向向量ν=(-3,2),所以直线的斜率k=-,则直线的方程为y-1=-(x-1),即2x+3y-5=0. 直线kx-y+1-3k=0可以为y-1=k(x-3),表示过点(3,1),斜率为k的直线,所以所有直线都通过定点(3,1).故选A. 解含参数的直线恒过定点问题的策略 1.任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解. 2.含有一个参数的二元一次方程,若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y +C2)=0,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的所有直线必过定点(x0,y0). 解法一:设直线l的方程为y-1=k(x-2),则可得A,B(0,1-2k).因为l与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点,所以所以k<0.于是S△AOB=·|OA|·|OB|=·(1-2k)==4.当且仅当-=-4k=2,即k=-时,△AOB面积有最小值为4,此时,直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. 解法二:设所求直线l的方程为+=1(a>0,b>0),则+=1.又因为+≥2,所以ab≥4,当且仅当==,即a=4,b=2时,△AOB的面积S=ab有最小值为4.此时,直线l的方程是+=1,即x+2y-4=0. $