精品解析：山东威海乳山市（五四制）2025-2026学年九年级下学期期中数学试题

初四数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 山东威海冬季某天的气温从开始，经过一段时间的升温后，温度上升了，此时温度计上显示的温度是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. GDP（国内生产总值）是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果．2025年前三季度我国GDP累计达102.5万亿元，其中数据102.5万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某班学生到博物馆参加“探寻古代数学智慧”研学活动，博物馆为同学们准备了三款分别以“汉代算筹”“宋代活字印刷模具”“明代算盘雕花珠子”为主题的具有数学文化特色的文创纪念品．每位同学可从中随机抽取一款，且抽到每款文创纪念品的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到以“明代算盘雕花珠子”为主题的文创纪念品的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多)．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 有公共顶点，公共边的正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，连接并延长，交正六边形于点，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，连接．若四边形的面积为12，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了如图所示的“鹊桥”函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 图象的对称轴是 B. 当且仅当时，随的增大而增大 C. 若则 D. 若，则（m为任意实数） 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是______． 12. 分解因式：___________． 13. 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为8，则的面积等于_________． 14. 对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一动点自点处向上平移1个单位长度至点处，然后向右平移2个单位长度至点处，再向下平移3个单位长度至点处，再向左平移4个单位长度至点处……按此规律平移下去，若这点平移到点处时，则点的坐标是________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16. 计算、化简求值 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中a满足． 17. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，，，且．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度是________（结果取整数，参考数据：，） 18. 为弘扬中华优秀传统文化，某区准备在全区初中举行唐诗诵读比赛．某校七（1）、（2）两个班各有学生50人，学校要在这两个班中挑选一个班代表学校参加今年的比赛，为了了解这两个班唐诗诵读情况，现对这两个班的学生进行唐诗诵读测试，并各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 七（1）班：65，75，75，90，60，50，75，90，85，65； 七（2）班：90，55，80，70，55，70，95，80，65，70. 整理数据： 七（1）班 1 3 3 1 2 七（2）班 2 1 m 2 n 分析数据： 平均数 中位数 众数 七（1）班 73 x 75 七（2）班 73 70 y 应用数据： （1）表中______， ______， ________， ________； （2）若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生唐诗诵读为优秀，请估计七（2）班50名学生中唐诗诵读为优秀的学生人数； （3）如果选取了一个班级参加区里组织的比赛，你建议选择七（1）班还是七（2）班，并说明理由． 19. 某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 20. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若点E为的中点，，求阴影部分的面积； 21. 我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． （1）请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． （2）如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； （3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 23. 矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 山东威海冬季某天的气温从开始，经过一段时间的升温后，温度上升了，此时温度计上显示的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数加法的实际应用，温度上升需在初始温度基础上加上升的度数，计算即可得到结果. 【详解】∵初始气温为，温度上升了， ∴此时温度为 ， 因此温度计显示的温度为． 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：B、C、D选项找不到沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合,不是轴对称图形，不符合题意；选项A能找到沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合,是轴对称图形，符合题意． 3. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个长方形． 故选：C． 4. GDP（国内生产总值）是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果．2025年前三季度我国GDP累计达102.5万亿元，其中数据102.5万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法要求将数表示为 的形式，其中 ， 为整数，解题关键是正确确定 和 的值。 【详解】∵ 1万，1亿， ∴ 102.5万亿， 根据科学记数法对 的要求，将小数点左移2位得到 ，满足 ， 此时指数， ∴ 102.5万亿用科学记数法表示为． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、完全平方公式、积的乘方法则逐一判断选项． 【详解】选项A：，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：，C错误． 选项D：，等式成立，D正确． 6. 某班学生到博物馆参加“探寻古代数学智慧”研学活动，博物馆为同学们准备了三款分别以“汉代算筹”“宋代活字印刷模具”“明代算盘雕花珠子”为主题的具有数学文化特色的文创纪念品．每位同学可从中随机抽取一款，且抽到每款文创纪念品的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到以“明代算盘雕花珠子”为主题的文创纪念品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率计算，先找出所有等可能的结果总数，再找出满足条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】设三款文创纪念品分别记为（汉代算筹），（宋代活字印刷模具），（明代算盘雕花珠子）， ∵甲有种等可能的抽取结果，乙也有种等可能的抽取结果， ∴所有等可能的结果总数为， ∵甲、乙同时抽到的结果只有种， ∴所求概率． 7. 《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多)．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据题意提取两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组. 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， ∵甲得到乙的9只羊后，甲的羊数是乙的2倍，此时甲的羊数为，乙剩余羊数为， ∴可得方程 ； ∵乙得到甲的9只羊后，两家羊数相等，此时乙的羊数为，甲剩余羊数为， ∴可得方程 ； 因此列出的二元一次方程组为 ． 8. 有公共顶点，公共边的正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，连接并延长，交正六边形于点，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形的内角，可得，再根据四边形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵正五边形的内角是， ∴， ∴， ∵正六边形的内角是， ∵， ∴． 9. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，连接．若四边形的面积为12，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】解：延长交轴于点，根据，轴，轴，证得四边形为矩形，设点，则得到，，由四边形的面积为12，得到，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交轴于点， ∵，轴， ∴轴， ∴四边形为矩形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为12， ∴， ∴， 即，解得． 10. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了如图所示的“鹊桥”函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 图象的对称轴是 B. 当且仅当时，随的增大而增大 C. 若则 D. 若，则（m为任意实数） 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像与轴交点求对称轴排除A，由图像分析函数性质排除B，由对称轴得、代入特殊值判断符号确定C正确，再利用二次函数的最值性质判断不等号方向排除D． 【详解】解：A、由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线， 故选项A错误，不符合题意； B、当或时，函数值随值的增大而增大， 故选项B错误，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴由图可知，当时，，当或时，， ∴当时，， ∴， ∴， 故选项C正确，符合题意； D、∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴(为任意实数)， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴(为任意实数)， ∴， ∴， 综上，若，则（m为任意实数）， 故选项D错误，不符合题意． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为0．二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0． 【详解】解：由题意可知，，且， 解得：，且， 则使代数式有意义的x的取值范围是． 12. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 13. 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为8，则的面积等于_________． 【答案】 16 【解析】 【分析】根据角平分线的尺规作图可知，平分，结合直角三角形的性质，可得，再利用同高三角形的面积比等于底边长之比，即可由的面积求出的面积． 【详解】解：过点作于点，根据题意，得平分， ， ，， ，， ， 的面积为8， ． 14. 对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一动点自点处向上平移1个单位长度至点处，然后向右平移2个单位长度至点处，再向下平移3个单位长度至点处，再向左平移4个单位长度至点处……按此规律平移下去，若这点平移到点处时，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，坐标与图形变化—平移，根据题意可求出的坐标，进而可得点的横坐标为，纵坐标为，再根据即可得到答案． 【详解】解：由题意得，是向上平移5个单位长度得到的， ∴的坐标为，即， 是向右平移6个单位长度得到的， ∴的坐标为，即， 是向下平移7个单位长度得到的， ∴的坐标为，即， 是向左平移8个单位长度得到的， ∴的坐标为，即， 是向上平移9个单位长度得到的， ∴的坐标为，即 ……， 以此类推可知，点的横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴点的坐标是，即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16. 计算、化简求值 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】（1）3 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ； ∵要使原分式有意义，须满足，且， 解得，且， 又∵， 解得或， ∴的取值为 ∴原式=． 17. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，，，且．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度是________（结果取整数，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，在和中，可构造和，进而计算可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 则根据题意可知，, ,,, 在中，, ∴， 在中，, ∴， ∵, ∴， ， 解得：, ∴． 答：世纪钟建筑的高度约为． 18. 为弘扬中华优秀传统文化，某区准备在全区初中举行唐诗诵读比赛．某校七（1）、（2）两个班各有学生50人，学校要在这两个班中挑选一个班代表学校参加今年的比赛，为了了解这两个班唐诗诵读情况，现对这两个班的学生进行唐诗诵读测试，并各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 七（1）班：65，75，75，90，60，50，75，90，85，65； 七（2）班：90，55，80，70，55，70，95，80，65，70. 整理数据： 七（1）班 1 3 3 1 2 七（2）班 2 1 m 2 n 分析数据： 平均数 中位数 众数 七（1）班 73 x 75 七（2）班 73 70 y 应用数据： （1）表中______， ______， ________， ________； （2）若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生唐诗诵读为优秀，请估计七（2）班50名学生中唐诗诵读为优秀的学生人数； （3）如果选取了一个班级参加区里组织的比赛，你建议选择七（1）班还是七（2）班，并说明理由． 【答案】（1）3，2，75，70 （2）20人 （3） 解：建议选择七（1）班，理由如下： ∵两个班各抽取的10名学生成绩中，平均数相等，七（1）班成绩的中位数及众数均高于七（2）班， ∴建议选择七（1）班． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、用样本估计总体以及众数、中位数的应用，掌握用样本估计总体及众数、中位数求法是解题的关键． （1）根据抽取的七（2）班的成绩分别得出m、n的值，再根据中位数及众数定义求出x、y值即可； （2）由七（2）班的总人数乘以抽取的10名学生成绩中成绩在80分（含80分）以上人数所占的百分比即可得； （3）根据所抽取人数的成绩的平均数、中位数及众数比较可得． 【小问1详解】 解：由题意得：七（2）班抽取的10名学生成绩在的有3个， ∴； 成绩在的有2个， ∴； 将七（1）班抽取的10名学生成绩按从小到大顺序排列：50，60，65，65，75，75，75，85，90， 90； ∴七（1）班抽取的10名学生成绩的中位数是分； 七（2）班抽取的10名学生成绩中出现次数最多的数是70， 故七（2）班抽取的10名学生成绩的众数是分； 【小问2详解】 解：∵七（2）班抽取的10名学生成绩中成绩在80分（含80分）以上的有4人， ∴估计七（2）班50名学生中唐诗诵读为优秀的学生人数为人； 【小问3详解】 略 19. 某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴则甲款书签价格为（元） 答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元． 20. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若点E为的中点，，求阴影部分的面积； 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的半径，恰好经过点D，交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，即可证明结论； （2）设的半径为R，易得，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为R， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴阴影部分的面积为． 21. 我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． （1）请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． （2）如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答． （2）先根据勾股定理算出，设，，结合勾股定理整理得，代入数值得，再证明是的中位线，则，分别算出和，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形， 图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：③； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等内接四边形， ∴四点共圆，且为直径， 把的中点记为点，即四点在上， 连接，，相交于点， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 则在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴ 则 即， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 则． ， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； （3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，先求出，进而求出；由正方形的性质可得，证明，得到；设，则；导角证明，得到，解得到，则，据此可求出，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案； （3）分别求出，，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，抛物线经过点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， 令 ∴ ， ∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上， 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）； 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去） 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于构造全等三角形，从而用点F的横坐标表示出点D的坐标；解（3）的关键在于构造新二次函数，通过讨论对称轴的位置求解． 23. 矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】（）证明：连接， 由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （）； （） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； （3）过点作于，交于点，证明，可得，设，，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到，．，，． 设，则，．在中，根据勾股定理求出，即可求解． 即的长为5． 【详解】（1）略 （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． （3）解：过点作于，交于点， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 设，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得． ∴，．，，． 设，则，． 在中，， ∴． 解得，， 即的长为5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $