专题03平行线的判定和性质 2025-2026学年七年级数学下学期期中复习专项训练（北师大版）

专题03 平行线的判定和性质（期中复习专项训练） 题型导览 【题型1】判定是否能使直线平行 【题型4】利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 【题型2】利用平行线的性质求角度 【题型5】利用平行线的判定与性质确定角度定值问题 【题型3】平行线的判定和性质 【题型6】利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 题型汇总 【题型1】判定是否能使直线平行 1．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 2．已知，下列图形中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键． 根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 3．如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键． 根据平行线的判定知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； B、，则（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； C、，则，不能证明，故符合题意； D、，而，故，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； 故选：C． 4．如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①，不能判断，故①错误； ②，可以判断，不能判断，故②错误； ③，可以判断，不能判断，故③错误； ④，可以判断，故④正确； 综上，正确的有1个． 故选：A． 5．如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴， ∴能判断的条件有①④，共2个 故选：B． 【题型2】利用平行线的性质求角度 6．如图，，于点，若 ，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．图1为某学校大礼堂配备的可折叠礼堂椅实物图，图2是将其抽象得到的图形，，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线平行内错角相等求出 的度数，再根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 8．在光学实验中，平行于凸透镜主光轴的光线（注：平行于主光轴的光线经凸透镜折射后会聚于焦点）和，经过凸透镜折射后，折射光线相交于主光轴上的点（可认为是该凸透镜的焦点）已知，则______________°． 【答案】80 【分析】根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：，， ，． ，， ，， ． 9．将一副直角三角尺和三角形（其中，，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间，，在同一直线上，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】过点作，可得，依次计算角度、、、、，即可得出结果． 【详解】解：过点作，如下图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．解答下列各题： (1)如图1，直线，若，，则 如图2，直线，则 如图3，直线，那么的度数是 (2)如图4，直线，连接，直线，及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） ①当动点落在第①部分时，求证：； ②当动点落在第②部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立） ③当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明． 【答案】(1)；； (2)①见解析；②不成立；③当在射线右侧时：；当在射线上时：且；当在射线左侧时：，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图1，过点E作，根据两直线平行，内错角相等得到、，进而得到；如图2，过点E作，根据两直线平行，同旁内角互补得到、，进而得到；如图3，过点A作、过点作，过点C作，利用多次平行线的性质求解即可； （2）同（1）进行求解即可，当动点在第③部分时，要注意分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点E作， ， ， 、， ； 如图2，过点E作， ， ， 、， ， 即； 如图3，过点A作、过点作，过点C作， 同图1得：， ， ， ， ， ； （2）解：①过点作交于， ， 、， ， 即； ②不成立， 过点作交于， ， 、， ， 即； ③（a）当在射线右侧时，结论是：； （b）当在射线上时，结论是：且； （c）当在射线左侧时，结论是：； 选择（a）证明： 如图，连接，连接交于， ， ， ， ； 选择（b）证明： 如图，在射线上， ， ， ； 选择（c）证明： 如图，连接，连接交于， ， ， ， ． 【题型3】平行线的判定和性质 11．如图，，分别是，上的点，，，，求的度数． 【答案】 【分析】由，可得；等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行得到，由平行线的性质可得结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 12．如图，．求的度数． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得到，通过等量代换可知，再根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在中，于点，点在上，于点，过点作直线交于点，交的延长线于点，，，求的度数． 解：，（已知） ，（    ） ．（    ） ．（    ） ，（已知） ______．（同角的补角相等） ．（    ） ．（    ） ，（已知） （等量代换） （已知） （    ） ．（平角定义） ．（等式性质） （已证） （    ） 【答案】垂线的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂线的定义；两直线平行，同位角相等 【详解】解：，（已知） ，（垂线的定义） ．（同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，同旁内角互补） ，（已知） ．（同角的补角相等） ．（内错角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） （等量代换） （已知） （垂线的定义） ．（平角定义） ．（等式性质） （已证） （两直线平行，同位角相等） 14．如图，在四边形中，，，E为延长线上的一点，连接，，交于点F． (1)请说明的理由． (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，进而得到，证明，从而得出结论； （2）根据平行线的性质得到，由三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，从而求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 15．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型4】利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 16．如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数． (1)阅读并补充下面解答过程： 解：过点作， ___________，___________， ， ． (2)上述证明过程，了解并发现了“在解决几何时，适当地添加辅助线，可以有效地解决问题．”尝试解答下列问题： ①如图2，将直角三角板的顶点放在两平行线之间，，，探究与的数量关系，并说明理由； ②如图3，，，判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． 【分析】（1）利用平行线的性质即可证明； （2）①作，利用平行线的判定和性质即可得到； ②作，，利用平行线的判定和性质即可得到． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ； （2）解：①；理由如下： 作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下： 作，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 17．【问题背景】 2026马年春晚，26台人形机器人（G1／H2）与河南塔沟武术学校少年同台完成武术融合舞蹈《武BOT》的表演，实现了科技与传统武术的融合． 【提出问题】 图1是G1练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考问题】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． (1)【问题解决】解：如图2，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 所以（ ）． 因为． 所以 ， 所以 ． (2)【迁移应用】如图3是一款机器人推车的平面示意图，．请写出之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展提高】如图4，直线，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，交于点M，交于点，点、点在直线左侧，的角平分线相交于点，则_____． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；105 (2)，理由见解析； (3) 【分析】（1）先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （3）过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以， 所以．（根据两直线平行，内错角相等） 因为， 所以， 所以； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 18．嘉淇对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，嘉淇将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图2，嘉淇将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)嘉淇将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在射线上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果； 【详解】（1）解：∵，， ∴（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， ，即平分； （3）解：根据题意，分以下四种情况： ①如图1，当时， ； ②如图2，当时， ； ③如图3，当时， 则， ； ④如图4，当时，此时重合， ． 综上所述，的度数为或或或． 19．综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： (1)探究一：在图①中，试猜想，和之间存在什么数量关系，并说明理由． (2)探究二：在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． (3)探究三：在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先得到，设，可得，由于，可证，然后可求的度数； （3）过点P作，设，则，可得，设，得到，则，然后，由平行可得，最后求得，代入求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下：过点P作，如图①， 则， ，， ∴， ∴． （2）解：过点P作，如图②所示： ∵平分，， ∴， ∵平分， ∴设， 由（1）得：， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：过点P作，如图③所示： 设，则， ∴， 由对顶角相等得：， 设， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴，即， 由条件可知， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 20．在几何光学中，凹透镜对光线起发散作用．如图1，平行于主光轴的光线和通过凹透镜后发散，发散光线和的反向延长线相交于主光轴上的点． 【提出问题】，和三个角之间有怎样的数量关系？ 【分析问题】可以利用平行线相关知识进行研究． 【解决问题】 (1)解：因为， 根据①__________， 所以． 因为， 所以②__________ 因为， 根据③__________， 所以，和三个角的数量关系是④__________． 【迁移应用】 (2)如图2，已知直线，点是，之间的一点，点，分别在直线，上，连接，．和的平分线和相交于点． ①写出，和之间的数量关系式：__________； ②若，则__________． 【拓展提高】 (3)如图3，，，，若，则的度数为__________． 【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②；③等量代换；④ (2)①；② (3)160 【分析】（1）根据平行线的性质和已给推理过程求解即可； （2）①由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，再由（1）的结论可得答案；②求出，根据角平分线的定义得到，再由（1）的结论可得答案； （3）过点F作，则，根据平行线的性质和角的和差关系可推出，由（1）得，由平行线的性质得到，则，据此得到，则，可求出，则． 【详解】（1）解：因为， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 因为， 所以， 因为， 根据等量代换， 所以，和三个角的数量关系是． （2）解：①∵和的平分线和相交于点， ∴； ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴； ②∵，， ∴； ∵和的平分线和相交于点， ∴， ∴由（1）的结论可得； （3）解：如图所示，过点F作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5】利用平行线的判定与性质确定角度定值问题 21．如图1，已知直线．点A、B在直线上，点C、D在上．线段交点E，且． (1)求的值； (2)如图2，当F、G分别在线段上，，，标记为，为． ①若，求的度数： ②当_______时，为定值，此时定值为_______°． 【答案】(1) (2)①；②当时，为定值，此时定值为 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，则，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，则，通过计算，令计算结果中的的系数为 0 即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， 由（1）可得：，，， ， ， ①， ， ， ； ② ， 当，即时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 22．小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确． 证明过程如下： 如图1：延长到点D，过点C作， 图1 ∵， ∴_______，_______， ∵③_______， ∴． (1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容； (2)如图2，直线，点A，B分别在，上，C是上点A右侧的动点，点G在射线上，连接，平分，平分，交的延长线于E． ①若，求的度数； ②如图3，平分交于点M，且．在点C运动过程中，是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①A；②B；③180 (2)①；②是定值， 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算： （1）根据平行线的性质，平角的定义，进行作答即可； （2）①过点E作，进而得到，根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，根据三角形的内角和定理求出的度数，即可得出结果； ②由①可知：，根据角平分线的定义，三角形的内角和求出，进行计算即可． 【详解】（1）如图：延长BC到点D，过点C作， ∵， ∴，， ∵， ∴． （2）①过点E作， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ②为定值，理由如下： 由①可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 即为定值． 23．如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 24．如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用平行线性质推出，再结合平角定义求解，即可解题； （2）①过点作，利用平行线性质和判定推出，结合，进而得到，再结合平角定义求解，即可解题； ②设，由①可知，，推出，，再作差计算，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：①过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②设， 由①可知，， ， ， ， ， ， 与的差是定值． 25．综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动．如图1， ，点、分别在射线和上，．   　　  　　   (1)若，则= 度；探究中小聪同学发现，过点作即可得到的度数，请直接写出的度数； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过点作，交于，请你根据小明同学提供的辅助线，先确定该定值，并说明理由； (3)如图3，把“”改为“” （），其它条件保持不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，由两直线平行同旁内角互补，，由两直线平行同位角相等，，进而作答． （2）过点作，由两直线平行同旁内角互补， ，由两直线平行同位角相等， ，进而作答． （3）过点作，由两直线平行同旁内角互补， ，由两直线平行同位角相等， ，进而作答． 【详解】（1）解：如图1， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：60； （2）如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 无论如何变化，的值始终为定值，该定值为 ； （3）如图4，    过点作，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 无论如何变化，的值始终为定值，该定值为； 【点睛】本题考查平行线的相关知识．平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．辅助线的添加是解题的关键也是解题的难点． 【题型6】利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 26．问题情境： 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 探究发现： 如图1，小明把三角尺中角的顶点放在上，边与分别交于点． （1）若，求的度数． （2）如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 延伸拓展： （3）如图3，当的延长线与交于点时，，求的度数． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）过点C作，得到，推出，根据，，即可得到，即可求解； （2）过点C作，同（1）可证，根据邻补角的定义即可求解； （3）过点A作，得到，推出，进而推出，由平行线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，过点C作， ， ， ， ，， ； （2）如图2，过点C作， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点A作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质是几何中角度转化的重要依据，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角． 27．综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系． 【准备材料】如图，①三角尺中，，； ②三角尺中，，，． 【活动前提】已知：直线． 【活动一】 （1）“飞腾小组”选择三角尺按图1放置，当恰好平分时，则的度数是 ． 【活动二】 （2）“卓越小组”选择三角尺，三角尺按图2放置，点E、C、F、A在同一条直线上，则的度数是可求的，请你帮助他们求出答案并说明理由； 【活动三】 （3）“创新小组”将“卓越小组”的想法进行创新继续变化，将图2中三角尺固定不动，三角尺中的点A位置不动，重新摆放三角尺． 摆放方法①：当线段所在直线与线段所在直线垂直时，请求出的度数． 摆放方法②：当线段与三角尺的直角边平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）摆放方法①：或；摆放方法②：或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质得到的度数，据此可得答案； （2）过点E作，则，由平行线的性质得到，据此求出的度数即可得到答案； （3）摆放方法①：如图3所示，当时，延长交于点H，由平行线的性质可得；可证明，得到，则；如图3-1所示，当时，延长交于点H，证明，根据平行线的性质可求出，则； 摆放方法②：当，即时，由摆放方法①可知，此时的度数为或；如图3-2所示，当时，过点A作，延长交于点H，由平行线的性质可得，则；如图3-3所示，当时，过点A作，延长交于点H，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）摆放方法①：如图3所示，当时，延长交于点H， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴， ∴； 如图3-1所示，当时，延长交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； 摆放方法②：当，即时，由摆放方法①可知，此时的度数为或； 如图3-2所示，当时，过点A作，延长交于点H， 则， ∴， ∴； 如图3-3所示，当时，过点A作，延长交于点H， 则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 28．如图，直线，一副三角尺中，，，，． (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．此时____________； (3)若将图②中的固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线相交于点（图③），求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义等，熟知平行线的性质与判定定理是解题关键． （1）运用角平分线定义得到，由平行线性质得到，再证明即可证得结论； （2）如图，过E作，运用平行线判定与性质即可得出答案 （3）如图，分别过点作，，运用平行线判定与性质和角平分线定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，过E作， ， 又， ， ，， ， ； （3）解：如图，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 29．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1) (2)平分．理由见解析 (3)的度数为或或或． 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，准确找到各个角度是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时， 或； ②如图2，当时， ； ③如图3，当时， ； ④如图4，当时， ． 综上所述，当三角板的边与三角板的某条边平行时，的度数为或或或． 30．【实践与探究】在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板ABC模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，． 他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的______； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板以每秒的速度绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动的过程中，设三角板转动的时间为t（单位：），那么当三角板转动几秒时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的t的值． 【答案】(1)15 (2)①；② (3)10或25或40 【分析】（1）根据三角板中角度的特点和平行线的性质可得出的度数； （2）①根据平行线的性质和邻补角计算即可；②过点作，根据平行线的性质得出； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：①， ， ； ②如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：①当时，点在同一条直线上， ， ； ②当时， ∵，即， 又 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③当时，如图， ， ， ； 综上所述，t的值为10或25或40． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行线的判定和性质（期中复习专项训练） 题型导览 【题型1】判定是否能使直线平行 【题型4】利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 【题型2】利用平行线的性质求角度 【题型5】利用平行线的判定与性质确定角度定值问题 【题型3】平行线的判定和性质 【题型6】利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 题型汇总 【题型1】判定是否能使直线平行 1．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，下列图形中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】利用平行线的性质求角度 6．如图，，于点，若 ，则的度数是(   ) A． B． C． D． 7．图1为某学校大礼堂配备的可折叠礼堂椅实物图，图2是将其抽象得到的图形，，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 8．在光学实验中，平行于凸透镜主光轴的光线（注：平行于主光轴的光线经凸透镜折射后会聚于焦点）和，经过凸透镜折射后，折射光线相交于主光轴上的点（可认为是该凸透镜的焦点）已知，则______________°． 9．将一副直角三角尺和三角形（其中，，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间，，在同一直线上，若，则的度数为___________． 10．解答下列各题： (1)如图1，直线，若，，则 如图2，直线，则 如图3，直线，那么的度数是 (2)如图4，直线，连接，直线，及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） ①当动点落在第①部分时，求证：； ②当动点落在第②部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立） ③当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明． 【题型3】平行线的判定和性质 11．如图，，分别是，上的点，，，，求的度数． 12．如图，．求的度数． 13．如图，在中，于点，点在上，于点，过点作直线交于点，交的延长线于点，，，求的度数． 解：，（已知） ，（    ） ．（    ） ．（    ） ，（已知） ______．（同角的补角相等） ．（    ） ．（    ） ，（已知） （等量代换） （已知） （    ） ．（平角定义） ．（等式性质） （已证） （    ） 14．如图，在四边形中，，，E为延长线上的一点，连接，，交于点F． (1)请说明的理由． (2)若平分，，，求的度数． 15．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，求的度数． 【题型4】利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 16．如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数． (1)阅读并补充下面解答过程： 解：过点作， ___________，___________， ， ． (2)上述证明过程，了解并发现了“在解决几何时，适当地添加辅助线，可以有效地解决问题．”尝试解答下列问题： ①如图2，将直角三角板的顶点放在两平行线之间，，，探究与的数量关系，并说明理由； ②如图3，，，判断与的关系，并说明理由． 17．【问题背景】 2026马年春晚，26台人形机器人（G1／H2）与河南塔沟武术学校少年同台完成武术融合舞蹈《武BOT》的表演，实现了科技与传统武术的融合． 【提出问题】 图1是G1练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考问题】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． (1)【问题解决】解：如图2，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 所以（ ）． 因为． 所以 ， 所以 ． (2)【迁移应用】如图3是一款机器人推车的平面示意图，．请写出之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展提高】如图4，直线，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，交于点M，交于点，点、点在直线左侧，的角平分线相交于点，则_____． 18．嘉淇对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，嘉淇将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图2，嘉淇将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)嘉淇将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在射线上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 19．综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： (1)探究一：在图①中，试猜想，和之间存在什么数量关系，并说明理由． (2)探究二：在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． (3)探究三：在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，请直接写出的度数． 20．在几何光学中，凹透镜对光线起发散作用．如图1，平行于主光轴的光线和通过凹透镜后发散，发散光线和的反向延长线相交于主光轴上的点． 【提出问题】，和三个角之间有怎样的数量关系？ 【分析问题】可以利用平行线相关知识进行研究． 【解决问题】 (1)解：因为， 根据①__________， 所以． 因为， 所以②__________ 因为， 根据③__________， 所以，和三个角的数量关系是④__________． 【迁移应用】 (2)如图2，已知直线，点是，之间的一点，点，分别在直线，上，连接，．和的平分线和相交于点． ①写出，和之间的数量关系式：__________； ②若，则__________． 【拓展提高】 (3)如图3，，，，若，则的度数为__________． 【题型5】利用平行线的判定与性质确定角度定值问题 21．如图1，已知直线．点A、B在直线上，点C、D在上．线段交点E，且． (1)求的值； (2)如图2，当F、G分别在线段上，，，标记为，为． ①若，求的度数： ②当_______时，为定值，此时定值为_______°． 22．小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确． 证明过程如下： 如图1：延长到点D，过点C作， 图1 ∵， ∴_______，_______， ∵③_______， ∴． (1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容； (2)如图2，直线，点A，B分别在，上，C是上点A右侧的动点，点G在射线上，连接，平分，平分，交的延长线于E． ①若，求的度数； ②如图3，平分交于点M，且．在点C运动过程中，是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由． 23．如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 24．如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 25．综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动．如图1， ，点、分别在射线和上，．   　　  　　   (1)若，则= 度；探究中小聪同学发现，过点作即可得到的度数，请直接写出的度数； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过点作，交于，请你根据小明同学提供的辅助线，先确定该定值，并说明理由； (3)如图3，把“”改为“” （），其它条件保持不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【题型6】利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 26．问题情境： 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 探究发现： 如图1，小明把三角尺中角的顶点放在上，边与分别交于点． （1）若，求的度数． （2）如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 延伸拓展： （3）如图3，当的延长线与交于点时，，求的度数． 27．综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系． 【准备材料】如图，①三角尺中，，； ②三角尺中，，，． 【活动前提】已知：直线． 【活动一】 （1）“飞腾小组”选择三角尺按图1放置，当恰好平分时，则的度数是 ． 【活动二】 （2）“卓越小组”选择三角尺，三角尺按图2放置，点E、C、F、A在同一条直线上，则的度数是可求的，请你帮助他们求出答案并说明理由； 【活动三】 （3）“创新小组”将“卓越小组”的想法进行创新继续变化，将图2中三角尺固定不动，三角尺中的点A位置不动，重新摆放三角尺． 摆放方法①：当线段所在直线与线段所在直线垂直时，请求出的度数． 摆放方法②：当线段与三角尺的直角边平行时，请直接写出的度数． 28．如图，直线，一副三角尺中，，，，． (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．此时____________； (3)若将图②中的固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线相交于点（图③），求的度数． 29．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 30．【实践与探究】在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板ABC模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，． 他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的______； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板以每秒的速度绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动的过程中，设三角板转动的时间为t（单位：），那么当三角板转动几秒时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $