专题02平方差与完全平方公式 2025-2026学年七年级数学下学期期中复习专项训练（北师大版）

专题02 平方差与完全平方公式（期中复习专项训练） 题型导览 【题型1】判断是否乘法公式运算 【题型6】通过对完全平方公式变形求值 【题型2】求完全平方式中的字母系数 【题型7】平方差公式在几何图形中的应用 【题型3】平方差与完全平方综合进行运算 【题型8】完全平方公式在几何图形中的应用 【题型4】利用乘法公式进行简便运算 【题型9】利用完全平方公式求代数式的最值问题 【题型5】与乘法公式有关的化简求值问题 题型汇总 【题型1】判断是否乘法公式运算 1．能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 2．下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 3．下列整式乘法中，变形后能运用完全平方公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 4．下列乘法公式的运用中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列乘法公式的运用，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】求完全平方式中的字母系数 6．一个完全平方式展开后的结果为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 8．已知代数式是一个完全平方式，则常数m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 9．已知是完全平方式，则实数________． 10．若是完全平方式，则m的值等于_______． 【题型3】平方差与完全平方综合进行运算 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1)； (2)． 13．化简： (1) (2) 14．计算： （1）； （2）． 15．计算：． 【题型4】利用乘法公式进行简便运算 16．用乘法公式计算： (1)； (2)． 17．用乘法公式计算： (1)； (2)． 18．简便计算： (1)； (2)． 19．用乘法公式计算 (1) (2) 20．运用所学乘法公式等进行简便运算： (1) (2) (3) 【题型5】与乘法公式有关的化简求值问题 21．先化简，再求值：，其中，． 22．化简：，其中，． 23．先化简，再求值：，其中． 24．先化简，再求值：，其中，． 25．先化简，再求值：，其中． 【题型6】通过对完全平方公式变形求值 26．已知：，，且． (1)求的值； (2)求的值． 27．已知，求下列各式的值： (1) (2) 28．按要求完成下列各题： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，求下列各式的值： ①； ②． 29．已知：，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 30．【阅读材料】 整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题、解决问题的目的． 如：已知，求的值． 解：将和分别看作一个整体， 令，， 则，， 所以，即， 所以． (1)【直接应用】 已知，请仿照上例，求的值． (2)【变式应用】 已知，求的值． (3)【迁移应用】 如图，点是线段上的一点，分别以和为边作正方形和正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积为_________． 【题型7】平方差公式在几何图形中的应用 31．（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 32．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 33．如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． (1)上述操作能验证的等式是 ． A． B． C． (2)已知，，则 ． (3)应用所得的公式计算： (4)应用所得的公式计算： 34．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；  （请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 ，，求的值． ②计算： 35．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【题型8】完全平方公式在几何图形中的应用 36．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 37．阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 类比应用： (1)若，求的值； (2)若，则的值为________； (3)已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形和正方形的面积和． 38．【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． (1)若，则______． 【知识迁移】 (2)将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，连接，，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：[]． 39．如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑． (1)求绿化区域的面积（用含的式子表示）． (2)当时，求绿化区域的面积． 40．阅读理解：若满足，求的值． 解：设，，则， ， ． 解决问题： (1)若满足，则________； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，则　　，　　，若长方形的面积为120平方单位，则图中阴影部分的面积和为________平方单位． 【题型9】利用完全平方公式求代数式的最值问题 41．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． 42．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 43．数学课时，老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：求为何值时，代数式有最小值，并求出这个值； (2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______． 44．数学教科书中这样写道： “我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如，求代数式的最小值． 可知，当时，有最小值，最小值是－4． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当时，有最大值，最大值是15． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，求的值． 45．（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路： ①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程； ②可以用“数形结合”的方法，画出表示的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面正方形中画出图形，并作适当标注； （2）利用（1）的结论分解因式：______； （3）小明根据“任意一个实数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下： ① ∵ ∴ 故当x＝3时代数式的最小值为－2． ② ∵ ∴ 故当x＝－1时代数式的最大值为4． 请你综合以上表述，求当x，y满足什么条件时以下代数式有最小值，并确定它的最小值． ①； ②． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平方差与完全平方公式（期中复习专项训练） 题型导览 【题型1】判断是否乘法公式运算 【题型6】通过对完全平方公式变形求值 【题型2】求完全平方式中的字母系数 【题型7】平方差公式在几何图形中的应用 【题型3】平方差与完全平方综合进行运算 【题型8】完全平方公式在几何图形中的应用 【题型4】利用乘法公式进行简便运算 【题型9】利用完全平方公式求代数式的最值问题 【题型5】与乘法公式有关的化简求值问题 题型汇总 【题型1】判断是否乘法公式运算 1．能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的结构特征，平方差公式为，要求两个相乘的多项式中，存在一组相同项，另一组项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：、原式变形为，两组项都完全相同，不能用平方差公式计算，不符合题意； 、原式变形为，两组项都完全相同，不能用平方差公式计算，不符合题意； 、原式变形为，不能用平方差公式计算，不符合题意； 、原式变形为，其中相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，因此可以用平方差公式计算，符合题意． 2．下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的识别，平方差公式为，使用公式需满足两个因式中有一组相同项和一组相反项，结果为相同项的平方减去相反项的平方，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、，两项均为相同项，不存在相反项，不能用平方差公式计算，不符合要求； 选项B、中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的使用条件，能用平方差公式计算，符合要求； 选项C、中没有相同项，不能用平方差公式计算，不符合要求； 选项D、，两项均为相同项，不存在相反项，不能用平方差公式计算，不符合要求． 3．下列整式乘法中，变形后能运用完全平方公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项式子变形，判断是否能化为完全平方的形式即可，完全平方公式为，平方差公式结构为． 【详解】解：A选项，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除； B选项，，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除； C选项，，变形后符合完全平方公式结构，可以运用完全平方公式运算，符合要求； D选项，，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除． 4．下列乘法公式的运用中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式和完全平方公式，逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，A错误； B、，B错误； C、 ，C正确； D、 ，D错误． 5．下列乘法公式的运用，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式与平方差公式、多项式与多项式的乘法法则逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A选项：． ∴ A错误． B选项：． ∴ B错误． C选项：． ∴ C错误． D选项：，与等式右边一致． ∴ D正确． 【题型2】求完全平方式中的字母系数 6．一个完全平方式展开后的结果为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构对比系数即可求解的值． 【详解】解：是完全平方式，变形得， 中间项满足， 化简得， 即． 7．已知，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． 8．已知代数式是一个完全平方式，则常数m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】B 【分析】根据完全平方公式即可求出常数m的值． 【详解】解：∵代数式 是完全平方式， ∴． 9．已知是完全平方式，则实数________． 【答案】 【分析】根据完全平方式的特点求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴． 10．若是完全平方式，则m的值等于_______． 【答案】或． 【分析】根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得或． 【题型3】平方差与完全平方综合进行运算 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开，然后合并同类项即可； （2）将原式变形为，然后分别利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 13．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【题型4】利用乘法公式进行简便运算 16．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)41209 (2)1 【分析】（1）将写成，然后利用完全平方公式计算； （2）将写成，然后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9604 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用积的乘方的逆运算计算； （2）运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．用乘法公式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行简便运算，即可作答． （2）运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 20．运用所学乘法公式等进行简便运算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用积的乘方法则进行计算即可； （2）变形后利用平方差公式计算即可； （3）变形后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： （3）解： 【题型5】与乘法公式有关的化简求值问题 21．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 22．化简：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开原式，合并同类项化简后，代入的值计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ； 将代入得，原式． 24．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可，然后将，的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 25．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式 ． 【题型6】通过对完全平方公式变形求值 26．已知：，，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2)17 【分析】（1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方求得，；再利用完全平方公式变形求解即可； （2）利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，； ， 的值为21； （2）解：， 的值为17． 27．已知，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式得到，据此计算即可； （2）先将式子展开，再利用完全平方公式化简展开式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 28．按要求完成下列各题： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）先求出，再根据，代入求解即可； （2）设，，则，，可得把变形为，代入求解即可； （3）①由可知，两边同时除以即可得出； ②把两边同时平方，即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ． （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②由①可知， ∴， ∴． 29．已知：，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2)29 【分析】（1）构造完全平方公式 即可求解； （2）利用完全平方公式变形即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． 30．【阅读材料】 整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题、解决问题的目的． 如：已知，求的值． 解：将和分别看作一个整体， 令，， 则，， 所以，即， 所以． (1)【直接应用】 已知，请仿照上例，求的值． (2)【变式应用】 已知，求的值． (3)【迁移应用】 如图，点是线段上的一点，分别以和为边作正方形和正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，模仿题干的过程，求解即可； （2）根据完全平方公式，模仿题干的过程，求解即可； （3）根据直角三角形，正方形的面积结合图形可得阴影的面积为，模仿题干求解即可. 【详解】（1）解：令 ∴，， ∴即：， ∴即：； （2）解：令， ∴，， ∴，即：， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为：. 【题型7】平方差公式在几何图形中的应用 31．（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查平方差公式与几何图形，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据等积法可进行求解； （2）①由题意易得，然后代入进行求解即可； ②根据平方差公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为； （2）①， ， ， ； ② ． 32．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 33．如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． (1)上述操作能验证的等式是 ． A． B． C． (2)已知，，则 ． (3)应用所得的公式计算： (4)应用所得的公式计算： 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）因为图1的面积，图2的面积，得到，即可得到答案； （2）根据平方差公式得到，继而得到； （3）利用平方差公式计算即可； （4）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图1的面积，图2的面积， ， 故选：B； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 34．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；  （请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 ，，求的值． ②计算： 【答案】(1)C (2)①3；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）①把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； ②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解． 【详解】（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是，第二个图形的面积是， 则． 故选：C； （2）解：①∵，， ∴ 得：； ② ． 35．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）分别用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，也可以拼成底为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 【题型8】完全平方公式在几何图形中的应用 36．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 【答案】(1) (2)；② 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析即可． （1）理解每个代数式的意义，根据不同方法表示的阴影部分的面积相同列式即可； （2）根据（1）的结论代入进行计算即可． 【详解】（1）解： 观察图②可知为大正方形的面积，为小正方形的面积，为一个长方形面积；根据不同方法表示的阴影部分的面积相同得； （2）解：① 37．阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 类比应用： (1)若，求的值； (2)若，则的值为________； (3)已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)3 (2) (3)12 【分析】本题考查利用完全平方公式求解，解题的关键是正确的利用完全平方公式． （1）根据例题方法直接求解即可得到答案； （2）利用完全平方公式直接求解即可得到答案； （3）结合图形根据例题方法代入，结合完全平方公式直接求解即可得到答案． 【详解】（1）设， 则， ； （2）设， 则， ， （3）由题意可知： ． 图中阴影部分的面积为， 则正方形和正方形的面积和为． 38．【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． (1)若，则______． 【知识迁移】 (2)将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，连接，，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：[]． 【答案】(1)15 (2)14 【分析】本题考查完全平方公式，整体思想和数形结合思想，灵活运用代数式的变形是解题关键． （1）运用整体思想，可以把x和看作完全平方中的两个部分，它们的和为5，乘积也为5，通过公式变形求出； （2）类比第（1）问，可以设两个正方形的边长分别为m和n，由题意可得，，，而阴影面积为，利用完全平方公式变形得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：15； （2）解：如图2，根据题意，设，， ， ， ∴，即， ∵正方形和正方形的面积和为36， ∴， ， ， ，即阴影部分的面积为14． 39．如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑． (1)求绿化区域的面积（用含的式子表示）． (2)当时，求绿化区域的面积． 【答案】(1)平方米 (2)86平方米 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的化简求值， 对于（1），根据整式的乘法法则计算； 对于（2），将a，b的值代入计算得出答案． 【详解】（1）解：绿化区域的面积为 ． 答：绿化区域的面积为平方米； （2）解：当时，． 答：绿化区域的面积为86平方米． 40．阅读理解：若满足，求的值． 解：设，，则， ， ． 解决问题： (1)若满足，则________； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，则　　，　　，若长方形的面积为120平方单位，则图中阴影部分的面积和为________平方单位． 【答案】(1)12 (2)94 (3)，，256 【分析】本题考查整式混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）由，可得，故； （2）由，可得，故； （3）求出，，根据长方形的面积为120平方单位，有，又，可得，故，即图中阴影部分的面积和为256． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 故答案为：12； （2）， ， ， ， ； （3），，， ，， 长方形的面积为120平方单位， ， ， ， ， ； 图中阴影部分的面积和为256； 故答案为：，，256． 【题型9】利用完全平方公式求代数式的最值问题 41．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据，解答即可． （2）根据，解答即可． 本题考查了配方法，实数的非负性，熟练掌握配方和非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故的最小值是． （2）解： ． 故的最大值是9． 42．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 43．数学课时，老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：求为何值时，代数式有最小值，并求出这个值； (2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______． 【答案】(1)当时，的值最小，最小值为2 (2)2，大，9 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式对代数式变形得，可得当时代数式可取最小值2； （2）利用完全平方公式对的右边变形得，可得当时，y有最大值9． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴当时，的值最小，最小值为2， ∴当时，的值最小，最小值为2； （2）解： ， ∵， 当时，的值最大，最大值为9， ∴当时，的值最大，最大值为9； 故答案为：2，大，9． 44．数学教科书中这样写道： “我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如，求代数式的最小值． 可知，当时，有最小值，最小值是－4． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当时，有最大值，最大值是15． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)当，时，多项式有最小值4 (3)2 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）计算得，可知，即可比较大小； （2）由变形得，再根据，，可得答案； （3）先得到，然后代入到中得到据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ∵， ∴，即：， ∴； （2） ， ∵，， ∴ ∴当，时，多项式有最小值4； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 45．（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路： ①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程； ②可以用“数形结合”的方法，画出表示的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面正方形中画出图形，并作适当标注； （2）利用（1）的结论分解因式：______； （3）小明根据“任意一个实数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下： ① ∵ ∴ 故当x＝3时代数式的最小值为－2． ② ∵ ∴ 故当x＝－1时代数式的最大值为4． 请你综合以上表述，求当x，y满足什么条件时以下代数式有最小值，并确定它的最小值． ①； ②． 【答案】（1）①；②见解析；（2）；（3）①当时，有最小值为11；②当时，有最小值，为8． 【分析】（1）①运用完全平方公式进行计算即可得出绪论；②可画出边长为a+b+c的正方形即可； （2）将多项式组合后，运用完全平方公式进行因式分解即可； （3）将两式化成完全平方式即可判断出结果． 【详解】解：（1）①方法一： = = = =； 方法二： = = = =； ②如图，， （2） = = = 故答案为： （3）① = = = = ∵ ∴ 即当时，有最小值为11； ② = = = ∵， ∴当，即时，有最小值，为8． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何应用，能灵活运用完全平方公式解决问题是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $