专题01整式的乘除 2025-2026学年七年级数学下学期期中复习专项训练（北师大版）

专题01 整式的乘除 （期中复习讲义+12重难题型+过关检测） 【题型1 判断整式运算是否正确】 3 【题型2 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 5 【题型3 完全平方式中的字母参数问题】 6 【题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 7 【题型5 幂的混合运算及其逆运算】 9 【题型6 零指数幂、负整数指数幂综合计算】 12 【题型7 整式混合运算——化简求值】 13 【题型8 利用乘法公式简便运算】 14 【题型9 整式乘法与图形面积】 16 【题型10 乘法公式中几何图形的应用】 22 【题型11 多项式乘法中的规律性问题】 28 【题型12 整式的运算中新定义型问题】 34 1. 掌握幂的运算法则（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），能熟练进行幂的混合运算及逆运算，理解法则的推导过程。 2. 掌握整式的乘除法则（单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式），能准确进行整式混合运算，熟练运用乘法公式简化运算。 3. 理解零指数幂、负整数指数幂的意义，掌握其运算性质，能进行相关综合计算，突破易错点。 4. 掌握科学记数法的表示方法，能准确用科学记数法表示绝对值小于1的数，区分绝对值大于1和小于1的科学记数法表示差异。 5. 能解决整式乘除相关的基础题型（含参数、化简求值、简便运算等），理解整式运算与图形面积、几何图形的联系，能解决相关应用问题。 6. 能应对整式运算中的规律性问题、新定义型问题，培养观察、归纳、推理能力，提升数学应用意识。 知识点1：幂的运算03 期中知识•梳理 1. 同底数幂的乘法：（m、n为整数，a≠0），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2. 同底数幂的除法：（m、n为整数，a≠0），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 3. 幂的乘方：（m、n为整数，a≠0），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 4. 积的乘方：（n为整数，a≠0、b≠0），即积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 5. 逆运算：以上法则均可逆用，如、，用于简便运算或求参数。 知识点2：零指数幂与负整数指数幂 1. 零指数幂：（a≠0），注意：0的0次幂无意义。 2. 负整数指数幂：（n为正整数，a≠0），即一个非零数的-n次幂，等于它的n次幂的倒数。 3. 运算注意：负整数指数幂运算后，结果需化为正指数幂形式；混合运算时，先算幂的运算，再算乘除。 知识点3：整式的乘法 1. 单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2. 单项式乘多项式：根据分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 3. 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 4. 乘法公式（重点）： · 平方差公式：（两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差）； · 完全平方公式：（两个数的和或差的平方，等于它们的平方和，加上或减去它们的积的2倍）。 知识点4：整式的除法 1. 单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2. 多项式除以单项式：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即。 知识点5：科学记数法 1. 定义：把一个数表示成的形式（其中，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法。 2. 绝对值小于1的数的表示：n为负整数，n的绝对值等于原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0），如。 知识点6：整式运算的应用 1. 与图形面积结合：通过整式运算表示图形的面积，或根据面积关系列出整式等式，解决相关问题。 2. 乘法公式的几何意义：用几何图形（正方形、长方形、梯形等）的面积表示平方差公式、完全平方公式，理解公式的推导过程。 3. 规律性问题：通过观察整式运算的结果，归纳总结规律，用于求解未知项或验证结论。 4. 新定义型问题：根据题目给出的新运算规则，结合整式运算知识，进行计算或求解。 易错点总结 1. 幂的运算出错：混淆同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的法则，如、等错误。 2. 负整数指数幂运算出错：忽略（a≠0），或未将结果化为正指数幂形式；零指数幂忽略a≠0的条件。 3. 乘法公式应用出错：平方差公式、完全平方公式混淆，如（漏写中间项）、等错误。 4. 整式混合运算顺序出错：先算加减、后算乘除，或忽略括号的优先级；合并同类项时符号、系数出错。 5. 科学记数法表示出错：a的取值不符合，或n的绝对值计算错误（漏数0的个数）。 6. 参数问题漏解：完全平方式、多项式不含某项等题型中，忽略参数的两个可能值，导致漏解。 04 期中题型•汇总 【题型1 判断整式运算是否正确】 核心考点：掌握幂的运算法则、整式乘除法则及乘法公式，能识别运算错误。 解题思路：逐一核对每一步运算，对照幂的运算法则、整式乘除法则及乘法公式，重点检查底数、指数、符号及公式应用是否正确，找出错误并判断。 【典例1】．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，，A计算错误． 选项B，，B计算正确． 选项C，，C计算错误． 选项D，，D计算错误． 【变式1】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项的运算法则和幂运算的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 【变式2】．下列运算中计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的运算与单项式乘法法则逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意． 【变式3】．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基本运算，根据同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项、完全平方公式，逐一判断即可． 【详解】选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A不符合题意； 选项B：∵积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指数相乘， ∴，B不符合题意； 选项C：∵合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变， ∴，C正确； 选项D：∵根据完全平方公式， ∴，D不符合题意． 【题型2 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 核心考点：掌握绝对值小于1的数的科学记数法表示方法，确定a和n的值。 解题思路：确定a（满足，提取原数中第一个非零数字及后面的数字）；确定n（负整数，绝对值等于第一个非零数字前所有0的个数），写出形式。 【典例2】．跨京杭运河特大桥主桥在国内首次采用分离式全焊接钢桁梁拱组合桥梁体系，总用钢量达12800吨．数据12800用科学记数法可表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的形式为，其中，为整数，按规则确定和的值即可得到答案； 【详解】解：． 【变式1】．，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，据第三方数据平台统计：截至年月日，的累计下载量约为亿次．年月，的月活用户为亿．将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将“亿”换算为对应的整数，再根据科学记数法的规则确定和的值即可． 【详解】解：亿， 亿． 【变式2】．广州新机场于月日开工，总投资亿元，计划“十五五”期间建成，该项目将补齐珠江西岸民航短板，助力构建世界级机场群．数据“亿”用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：亿． 【变式3】．华电西藏才朋光储电站是全球海拔最高的光储一体化项目，其最高海拔达到了5228米，总装机容量达15万千瓦．数据15万千瓦用科学记数法表示为（   ） A．千瓦 B．千瓦 C．千瓦 D．千瓦 【答案】B 【分析】将得到的科学记数法形式与选项对比，匹配出正确答案． 【详解】解：15万． 【题型3 完全平方式中的字母参数问题】 核心考点：熟练掌握完全平方公式，理解完全平方式的结构特征。 解题思路：将式子化为的形式，对比对应项，列出关于参数的方程，求解参数（注意参数有两个可能值，避免漏解）。 【典例3】．若多项式是完全平方式，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：完全平方式的结构为， 多项式中，首项，末项， 因此中间项满足， 整理得， 解得． 【变式1】．若代数式是一个完全平方式，则实数________． 【答案】 【分析】根据题意可得，展开比较等式左右两边的系数即可． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．若是完全平方式，则m的值等于_______． 【答案】或． 【分析】根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得或． 【变式3】．已知代数式 是一个完全平方公式的展开式，那么的值是_____． 【答案】7或 【分析】完全平方公式的展开式是，根据a的值确定一次项系数． 【详解】解：由题意得， ， ， 或． 【题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 核心考点：掌握多项式乘多项式法则，能合并同类项，理解“不含某项”即该项系数为0。 解题思路：先按多项式乘多项式法则展开，合并同类项；找到不含的项，令其系数等于0，列出方程，求解字母的值。 【典例4】．要使的展开式不含项，则m的值为______． 【答案】/1.5 【分析】利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，根据展开式不含项，得到项的系数为，列方程求解即可. 【详解】解： 展开式中不含项 解得： 【变式1】．已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为2，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则计算得出，再结合题意求出、的值，代入所求代数式，计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为2， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】．如果的乘积中不含的一次项，则的值为__________． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式法则将已知式子展开，可找出所有含x的项，合并同类项，令含x项的系数等于0，即可求的值． 【详解】解：根据多项式乘多项式的法则可知： ， ∵的乘积中不含的一次项， ∴， 解得：． 【变式3】．若计算的结果中不含项，则常数a的值为__________． 【答案】 【详解】解： ， ∵其结果中不含项， ∴， 解得， ． 【题型5 幂的混合运算及其逆运算】 核心考点：熟练掌握幂的各项运算法则，能灵活运用逆运算简化计算。 解题思路：先明确运算顺序（先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右）；灵活逆用幂的运算法则，将底数统一或指数拆分，简化运算，注意符号和底数不为0的条件。 【典例5】．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．思考并解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂的除法公式逆用以及幂乘方公式逆用求解即可． （2）根据幂的乘方公式得出，然后列出关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：∵ ∴ 则 ∴ ∴ 【变式3】．逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）将原式化为，进而计算即可； （2）将等式左边化为，根据列方程求解即可； （3）将化为，进而比较即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∵， ∴， ∴ 得 （3）解： ∵ ∴ ∴． 【题型6 零指数幂、负整数指数幂综合计算】 核心考点：掌握零指数幂、负整数指数幂的运算性质，能进行综合运算。 解题思路：先将负整数指数幂化为正指数幂（），零指数幂化为1（注意a≠0）；再按幂的混合运算顺序计算，最终化简结果。 【典例6】．计算： 【答案】 9 【分析】分别计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再依次进行加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式1】．计算：． 【答案】0 【详解】解：原式 ． 【变式2】．计算：． 【答案】1 【详解】解： ． 【变式3】．计算： 【答案】1 【详解】解： ． 【题型7 整式混合运算——化简求值】 核心考点：掌握整式混合运算顺序，能准确化简，再代入求值。 解题思路：先按运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）化简整式；再代入已知数值（注意先化简已知条件，避免直接代入复杂计算），计算最终结果。 【典例7】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式、多项式与多项式的乘除法运算法则化简所求式子，根据完全平方公式和绝对值的非负性求解、值，据此计算所求式子的值即可． 【详解】解： ， ， ，， ，， 即，， 原式． 【变式1】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，化简求值，先结合单项式乘多项式，多项式乘多项式以及完全平方公式展开，再合并同类项，得，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 【变式2】．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ； 当时，原式. 【变式3】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，最后代入已知值计算即可． 【详解】解：原式 ， 把代入得： 原式 ． 【题型8 利用乘法公式简便运算】 核心考点：灵活运用平方差公式、完全平方公式，简化整式运算。 解题思路：观察式子结构，将其转化为乘法公式的形式（如凑出、）；代入公式计算，避免繁琐的多项式乘法，注意符号和公式的逆用。 【典例8】．简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式解答； （2）先将原式整理为，再根据平方差公式解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】．利用整式乘法公式计算：． 【答案】99.91 【分析】将看成，将看成，再结合平方差公式求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2】．用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变形为，结合完全平方公式计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再利用平方差公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型9 整式乘法与图形面积】 核心考点：结合图形面积公式，用整式表示面积，解决与面积相关的问题。 解题思路：根据图形形状，利用面积公式（长方形、正方形等）列出整式；通过整式运算化简，结合题目条件（如面积相等、面积差等）求解未知量。 【典例9】．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为，宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案； （3）先计算，再根据题意得出，，先求出p，然后可得m的值． 【详解】（1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 可得对应的等式为：； （2）解：如图： 把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 所以； （3）解：， ∵式子无论x为多少时恒成立， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】．已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（），面积分别为和． (1)①用含m的代数式表示： ， ；（结果请化简） ②用“”“ ”或“”填空： ； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是 （用含m的代数式表示，并化简）； ②小方同学发现与的差是定值，请计算出这个定值． 【答案】(1)①；② (2)①；②1 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键． （1）①根据长方形面积公式列式计算即可；②用作差法比较大小即可； （2）①求出乙长方形的周长，即可求出该正方形的边长；②列式计算与的差，可知与m无关． 【详解】（1）解：①根据题意得： ； ； 故答案为：； ② ， ∵， ∴， ∴，即； 故答案为： （2）解：①根据题意得：该正方形纸片的边长是 ， 故答案为： ②， 所以与的差是定值，即小方同学的发现是正确的． 【变式2】．如图，长为，宽为的大长方形被分割成部分，除阴影图形外，其余部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为．    (1)计算：小长方形的长________，小长方形的周长________；（用含的代数式表示）； (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释． 【答案】(1)， (2)与值无关，理由见详解 【分析】（1）根据图示的分割情况即可求解； （2）根据图示分别表示出阴影图形与阴影图形的长、宽，并计算其周长，由此即可求解； 本题主要考查整式的混合运算与图形周长的关系，掌握整式的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图示可得，小长方形的长为， ∴小长方形的周长为， 故答案为：，． （2）解：由（1）可知，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影图形的长为，宽为，则阴影图形的周长为：， 阴影图形的长为，宽为，则阴影图形的周长为：， ∴阴影图形与阴影图形的周长之和为：， ∴与值无关． 【变式3】．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到：． (1)由图2可以得到：______； (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，则的值为______； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 【答案】(1) (2)①45；② 【分析】（1）利用大正方形的面积个小正方形的面积个长方形的面积求解即可； （2）①结合（1）可得出，再代入求值即可； ②根据同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方的逆用法则可得出，由题意可得出，再根据，代入求值即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：①由（1）可知 ． 故答案为：45； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查整式的应用，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方的逆用，代数式求值．解题的关键是将整体面积划分为几部分之和得出公式，并运用公式求值． 【题型10 乘法公式中几何图形的应用】 核心考点：理解平方差公式、完全平方公式的几何意义，能结合图形推导或验证公式。 解题思路：根据图形的拼接、分割，用不同方式表示图形的总面积；结合面积相等，推导或验证乘法公式，或根据公式解决图形中的边长、面积问题。 【典例10】．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 【变式1】．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；  （请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 ，，求的值． ②计算： 【答案】(1)C (2)①3；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）①把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； ②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解． 【详解】（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是，第二个图形的面积是， 则． 故选：C； （2）解：①∵，， ∴ 得：； ② ． 【变式2】．用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形． (1)根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)结合（1）中的结论，如果，，求的值； (3)结合以上结论，如果，求的值． 【答案】(1) (2)的值为15或 (3) 【分析】（1）用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各部分的面积之间的关系，即可得出答案； （2）根据（1）中的结论，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将和分别看作一个整体，结合（1）中结论即可求解． 本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及平方差公式的运用，熟练掌握平方差和完全平方公式的计算方法进行求解是解决本题关键． 【详解】（1）解：由题可知，大正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积， ． （2）解：，，， ． 或． ， ∴当时，； 当时，． 综上，的值为或． （3）解：设，，则， ． ． ． 故答案为：． 【变式3】．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个． (1)用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式：___________；用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系：___________； (2)若，求的值． (3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)13 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用,解题的关键是数形结合思想的运用. （1）根据大正方形的面积等于两个正方形的面积加上两个长方形的面积可得答案；根据大正方形的面积等于一个小正方形的面积加上四个长方形的面积可得答案； （2）根据完全平方差的变形式可得答案； （3） 可以利用，的已知条件得出，从而求得． 【详解】（1）∵大正方形的面积为， 两个小正方形的面积为，两个小长方形的面积和为， ∴ ∵大正方形的面积为， 小正方形的面积为，4个长方形的面积和为， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴ （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 即图中阴影部分的面积为． 【题型11 多项式乘法中的规律性问题】 核心考点：通过观察多项式乘法的结果，归纳总结规律，应用规律解题。 解题思路：先计算前几个简单多项式的乘积，观察结果的系数、次数、项数的变化规律；归纳出通用规律，再根据规律求解未知项、验证结论或计算复杂式子。 【典例11】．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）算式改写为，算式再乘，即可利用所得结论计算； （4）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得x的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为． （2） ． 故答案为：． （3） ． 故答案为：． （4）因为， 所以． 所以． 因为， 当时， 所以，． 所以． 【变式1】．【发现问题】 ， ， …… 小明在学习湘教版七年级下册数学教科书第21页“思考”栏目时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 （1）上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ （2）如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10且十位数字相同，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____；②_______________； （2）_______________=_____；…… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为a，个位上的数的和为10，设其中一个数的个位上的数字为b，请你用含有a，b的等式表示两数的积的规律，并证明． 【答案】（1）① ②10；11；11025 （2）5；6；21；3021 （3），证明见解析 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律并计算求值，熟练掌握整式的运算是解本题的关键，难度适中． （1）根据规律，直接计算求值即可； （2）根据规律，写出式子，计算求值即可； （3）根据规律，写出式子，利用整式的运算法则证明即可． 【详解】解：（1）① 故答案为：2025； ② 故答案为：10；11；11025． （2） 故答案为：5；6；21；3021． （3）   证明如下： 左边 ， 右边， 左边=右边， ． 【变式2】．我们可以发现日历中某些数满足一定的规律，我们利用（，且为整数）的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的个数，设这个数分别为，计算“”的值，并探索其运算结果的规律． (1)图①是2026年1月份的日历，当时，小明在其中画出两个的方框，计算出 ， ． 小明猜想的规律是 请你利用整式的运算对其加以证明． (2)请你根据小明的方法，借助2026年2月份的日历，继续进行探究： 可得“”方框的 （用含的式子表示） 【答案】(1)，，；见解析 (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，关键是 （1）根据日历中前后上下数字的关系列代数式化简即可； （2）根据日历中前后上下数字的关系列代数式化简即可． 【详解】（1）解：；； 规律：； 证明：设 ，则 ，，（日历中横向差，纵向差）， ， （2）设 ，则 ，，， ； 故答案为：（1）；（2）． 【变式3】．【问题提出】 计算： 【问题探究】 为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，原算式化为： 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： ① ②由①知，所以， （1）仿照②，写出进行因式分解的过程． 【发现规律】 （2）______． 【问题解决】 （3）计算：______（结果用乘方表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式的运算、数字规律、有理数的混合运算等知识点，发现解答的规律是解题的关键． （1）仿照②进行解答即可； （2）归纳①、②得到规律即可； （3）直接运用（2）的规律对原式进行变形，然后再计算即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ． （3） ． 【题型12 整式的运算中新定义型问题】 核心考点：理解题目给出的新运算规则，结合整式运算知识解决问题。 解题思路：先读懂新运算的定义（明确运算符号、运算顺序、运算规则）；将新运算转化为熟悉的整式运算（乘除、幂的运算、乘法公式等）；按规则计算，注意符号和运算顺序。 【典例12】．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的乘法运算与化简求值． （1）根据新定义运算进行计算即可求解； （2）根据新定义可得，再根据整式的乘法进行计算即可求解； （3）将字母的值代入（2）的化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： （3）解：当时， 【变式1】．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现：当m，n都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求x的值． 解：法一：∵，．，． 法二：∴．．． ②比较与的大小． 解：，，，． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求x的值． (2)比较，与的大小． (3)定义两个正数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方法则以及同底数幂相乘的运算法则，将变形为，从而可得，求解即可； （2）利用幂的乘方法则将三个数变成幂相同的数，比较底数的大小，即可得出结果； （3）设，则，设，则，结合幂的运算法则求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：，，， ， ； （3）解：设，则，设，则， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 【变式2】．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称；若关于的多项式关于对称，则______； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为，求时，多项式的值． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（）对多项式进行配方，即可求出关于对称，求出的对称轴，由关于对称，即可求解； （）对多项式进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可； 本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键． 【详解】（1）解：由， 则是关于对称， 由，关于对称， 由题意得， 故答案为：，； （2）由， ∵关于的多项式关于对称， ∴，解得， ∵当时，多项式的值为， ∴，解得， ∴关于的多项式为， ∴当时，． 【变式3】．在一节数学课上，学生在利用平方根定义解方程时，错解成，数学老师带领学生们探究的括号展开形式． (1)老师带领数学兴趣小组1用整体思想进行运算，过程如下： 解：（乘方的定义） （步骤②） 步骤②用到的依据是__________（使用的运算律）； 请你类比数学兴趣小组1的运算过程，推导出的括号展开形式； (2)老师带领数学兴趣小组2用“数形结合”的方法进行推导，具体操作如下： 如图1，将，分别看成边长为a，b的两个正方形，如图2，将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形的左上角，则图2中长方形ABCD与长方形AEFG的面积用a，b都可表示为__________，因此阴影部分的面积用a，b可表示为_________，还可以表示为__________，从而得到的展开形式． (3)拓展延伸： ①由平方的非负性，探究与的大小关系． ②应用：“开心”农场准备用一定长度的护栏围成一块面积为25的长方形花园，设长方形的长为，求护栏长度的最小值． 【答案】(1)乘法分配律，推导见解析 (2)，，或，， (3)①；②20 【分析】（1）根据乘法的分配律，展开计算即可，仿照示例解答即可． （2）根据题意，长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为，还可以表示为，或长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为还可以表示，解答即可． （3）①根据，得到，继而得到． ②根据长方形的面积为25，长为，得到宽为，表示周长为．解答即可． 本题考查了运算的分配律，实数的非负性，几何解释，应用，熟练掌握实数的非负性，公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：步骤②用到的依据是分配律． 故答案为：乘法分配律． 解：的展开形式推导如下： ． （2）根据题意，长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为，还可以表示为，或长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为还可以表示， 故答案为：，，或，，． （3）解：①由平方的非负性知， ∵， ∴， ∴． ②∵长方形的面积为25，长为， ∴宽为， ∴周长为：， ∴护栏长度的最小值为20． 05 期中过关•检测 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故选项A运算正确； B、，故选项B运算错误； C、，故选项C运算错误； D、，故选项D运算错误． 2．已知，，，且，则的值为（    ） A．5 B．15 C．3 D．10 【答案】C 【分析】利用积的乘方、幂的乘方法则对已知条件变形，对比同底数幂的指数即可得到的值． 【详解】解：，，， ， 又， 将代入得 ， ， ， ． 3．郑州某人工智能研发中心成功研制出一款语音识别芯片．该芯片中一个关键晶体管的栅极宽度约为米．将该数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的形式为，要求满足，的值等于原数小数点移动的位数．原数为，是绝对值小于的正数将原数的小数点向右移动位可得，满足，所以． 【详解】解：． 4．下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项法则，逐一判断每个选项的计算正误即可． 【详解】解：，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误． 5．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴． 6．计算的结果是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解： ． 7．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（   ） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【答案】C 【分析】根据长方形面积公式计算拼成的大长方形面积，展开后项的系数即为所需类卡片的张数． 【详解】解：∵拼成的长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为： ， ∵类卡片是长为、宽为的长方形，其面积为， ∴需要类卡片的张数为张． 8．如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先表示出空白部分的面积，可以把四块空白部分矩形拼成一个长为，宽为的较大矩形，然后用最大的矩形面积减去空白部分的面积即可． 【详解】解：由题意得，最大的矩形面积为，空白部分的面积为， ∴阴影部分的面积为． 9．若，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将左边的式子展开，再对比右边的式子的对应项的系数相同即可． 【详解】 ∵ ∴，． 10．已知不含x的一次项，则a的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用多项式乘多项式法则展开原式，根据“不含x的一次项”得到一次项系数为0，解方程即可求出a的值． 【详解】解： ， ∵不含x的一次项， ∴x的一次项系数为0，即， 解得． 11．如图1，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图2．根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形．第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，这两个图形的阴影部分的面积相等． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积，第二个图形中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴ ． 故选：B． 12．乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查多项式的运算与大小比较，解题的关键是通过作差法比较甲、乙球员击球旋转数的大小． 先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 【详解】解：展开甲球员的击球旋转数：， 展开乙球员的击球旋转数：， 作差比较：， ， ，即， 甲球员击出的球更转． 故选：A． 13．已知，则________． 【答案】 【分析】先求出，再将所求式子变形为，计算同底数幂的乘法、负整数指数幂即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 14．已知，，则a____b（用“>”，“=”，“<”连接） 【答案】< 【分析】先利用负整数指数幂计算，然后进行有理数大小比较即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴． 15．若的乘积中不含项，则a的值为____． 【答案】0 【分析】根据乘积中不含某一项，即该项的系数为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：， 乘积中不含项， 项的系数为， 即， 解得． 16．观察以下等式： 根据你所发现的规律，计算：________． 【答案】 【详解】解：根据已知等式可得规律：， 令，， 代入得：， 可得： 将其代入原式计算：． 17．已知，则代数式的值为______． 【答案】 49 【分析】利用平方差公式对原式变形后，结合已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ． 18．若一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足，为不大于的正整数，则称为差数，例如：，因为，所以是差数．按照这个规定，最小的差数是______；一个差数，记 ， ，若能被整除，为完全平方数，则满足条件最大的的值是_________． 【答案】 2319 5146 【分析】根据差数定义，要找最小的差数，优先让千位、百位尽可能小，再结合数字互不相等且不为的条件，得出最小四位数．根据差数定义和整式变形，结合的整除特征求出的值；再根据数位数字和为完全平方数，推导数位数字关系，从大到小枚举，筛选出满足条件的最大四位数． 【详解】解：差数满足：，且，，，互不相等且不为， 要使四位数最小，则，否则为负数，与矛盾， 当时，， ，此时才能使得最小， 由得， 故最小差4数为2319． 设， ∵是差数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵能被11整除， ∴能被11整除， ∵为不大于10的自然数， ∴， ∴，变形得：， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且不为0， ∴，即， 把代入，得，即， ∵为完全平方数， 代入，，得： ， ∵且互不相等， ∴， ∵为完全平方数，为偶数， ∴的可能取值为或或， 当时，，此时无满足条件的、的值， 当时，，此时，或，， ∵最大， ∴取，，此时不符合题意，舍去， ∴的可能取值为， ∴， ∴， 要使最大，优先让千位尽可能大： ，，， ∴， ∴当时，最大取，此时取，， 此时数字为，，，，互不相等且不为， ，，，符合条件， ，为完全平方数，符合条件， 故满足条件的最大为． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．已知，，． (1)求的值； (2)试说明． 【答案】(1)81 (2)见解析 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）计算出的值，根据即可说明． 【详解】（1）解： （2）， 所以，即． 21．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式. 22．已知代数式化简后，不含有项和常数项． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据乘法公式进行整式的化简，根据条件求参数，再代入求代数式的值． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，合并同类项后，根据不含有项和常数项这一条件得到的值． （2）根据乘法公式以及单项式乘多项式的运算法则化简，再合并同类项，最后代入已知字母的值，得到代数式的值． 【详解】（1）解：， ， ， ∵该代数式中不含有项和常数项， ∴，， ∴解得：，， 且， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∵，， ∴上式． 23．如图，某小区有一块长，宽的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）． (1)请用含a，b的代数式表示健身广场的面积； (2)物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用． 【答案】(1) (2) (3)2400元 【分析】（1）根据已知条件和长方形的面积公式，列出算式，再根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （3）根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，最后把，代入（2）中化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：健身广场的面积 ； （2）解：铺设地砖的面积 ； （3）解：把，代入中，可得：， 购买地砖的总费用为：元． 24．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立，证明如下： 设，，则，．． ，即． (1)根据上述规定，填空：①，； ②若，则． (2)计算：，并说明理由． (3)记，，．求证：． 【答案】(1)①5；3  ② (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）①②根据“雅对”定义解答即可； （2）设，，仿照题干所给例子解答即可； （3）由已知得出，，整理可得结论． 【详解】（1）解：①，； ，； ②，，； （2）设，，则，， ， ，即； （3）证明：，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 25．1261年，我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书—《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式___________ (2)的展开式共有___________项，系数和为___________． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期___________． (4)直接写出的展开式中第三项的系数___________． (5)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)二 (4)420 (5)0 【分析】（1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）根据给出的等式，得出规律进行作答即可； （3）利用7天为一个周期，的最后一项是1，则的余数是1，即可得出答案； （4）求出的第三项为，令，进行求解即可； （5）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 ∴； （2）解：观察可知：的展开式有2项， 的展开式有3项， 的展开式有4项， 的展开式有5项， 依此类推， 共有项， 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 依此类推，的展开式的系数和为； （3）解：∵，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （4）解：的展开式的第三项为， 的展开式的第三项为； 的展开式的第三项为； ∴的展开式的第三项为， ∴的展开式的第三项为 ∴的展开式的第三项的系数为； （5）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴． 26．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． (2)【拓展应用】根据图②所得的公式，若，，则______． (3)【学以致用】若x满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)17 【分析】（1）阴影部分的面积等于两个较小的正方形的面积之和，又等于大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此列式求解即可； （2）根据（1）所求代入求值即可； （3）设，则，根据，结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图②中阴影部分图形的面积和为； （2）解：∵，，， ∴； （3）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 27．定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：． 例如：． 【基础应用】 (1)求的值； 【转化求解】 (2)若，求x的值； 【拓展延伸】 我们学过的乘法公式（如完全平方公式）既可以“从左到右”正向使用，也可以“从右到左”逆向使用．例如：   正向使用，   逆向使用． 在解决某些问题时，逆向使用公式常常能帮助我们简化问题． (3)若，求的个位数． 【答案】(1)7 (2) (3)2 【分析】（1）根据新定义，进行有理数的混合运算； （2）根据新定义，得到一元一次方程，求解即可； （3）根据新定义，进行整式的混合运算，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由得：， 化简得：， 解得：； （3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 将代入，得 ， 计算2的幂次的个位数规律： ，个位数是2； ，个位数是4； ，个位数是8； ，个位数是6； ，个位数是2； ，个位数是4； 可以发现2的幂次的个位数是以2，4，8，6为周期循环的， ∵，其中1是余数， ∴的个位数与的个位数相同，即为2， ∴的个位数为2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘除 （期中复习讲义+12重难题型+过关检测） 【题型1 判断整式运算是否正确】 3 【题型2 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 4 【题型3 完全平方式中的字母参数问题】 5 【题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 5 【题型5 幂的混合运算及其逆运算】 5 【题型6 零指数幂、负整数指数幂综合计算】 6 【题型7 整式混合运算——化简求值】 6 【题型8 利用乘法公式简便运算】 7 【题型9 整式乘法与图形面积】 7 【题型10 乘法公式中几何图形的应用】 9 【题型11 多项式乘法中的规律性问题】 11 【题型12 整式的运算中新定义型问题】 14 1. 掌握幂的运算法则（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），能熟练进行幂的混合运算及逆运算，理解法则的推导过程。 2. 掌握整式的乘除法则（单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式），能准确进行整式混合运算，熟练运用乘法公式简化运算。 3. 理解零指数幂、负整数指数幂的意义，掌握其运算性质，能进行相关综合计算，突破易错点。 4. 掌握科学记数法的表示方法，能准确用科学记数法表示绝对值小于1的数，区分绝对值大于1和小于1的科学记数法表示差异。 5. 能解决整式乘除相关的基础题型（含参数、化简求值、简便运算等），理解整式运算与图形面积、几何图形的联系，能解决相关应用问题。 6. 能应对整式运算中的规律性问题、新定义型问题，培养观察、归纳、推理能力，提升数学应用意识。 知识点1：幂的运算03 期中知识•梳理 1. 同底数幂的乘法：（m、n为整数，a≠0），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2. 同底数幂的除法：（m、n为整数，a≠0），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 3. 幂的乘方：（m、n为整数，a≠0），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 4. 积的乘方：（n为整数，a≠0、b≠0），即积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 5. 逆运算：以上法则均可逆用，如、，用于简便运算或求参数。 知识点2：零指数幂与负整数指数幂 1. 零指数幂：（a≠0），注意：0的0次幂无意义。 2. 负整数指数幂：（n为正整数，a≠0），即一个非零数的-n次幂，等于它的n次幂的倒数。 3. 运算注意：负整数指数幂运算后，结果需化为正指数幂形式；混合运算时，先算幂的运算，再算乘除。 知识点3：整式的乘法 1. 单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2. 单项式乘多项式：根据分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 3. 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 4. 乘法公式（重点）： · 平方差公式：（两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差）； · 完全平方公式：（两个数的和或差的平方，等于它们的平方和，加上或减去它们的积的2倍）。 知识点4：整式的除法 1. 单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2. 多项式除以单项式：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即。 知识点5：科学记数法 1. 定义：把一个数表示成的形式（其中，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法。 2. 绝对值小于1的数的表示：n为负整数，n的绝对值等于原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0），如。 知识点6：整式运算的应用 1. 与图形面积结合：通过整式运算表示图形的面积，或根据面积关系列出整式等式，解决相关问题。 2. 乘法公式的几何意义：用几何图形（正方形、长方形、梯形等）的面积表示平方差公式、完全平方公式，理解公式的推导过程。 3. 规律性问题：通过观察整式运算的结果，归纳总结规律，用于求解未知项或验证结论。 4. 新定义型问题：根据题目给出的新运算规则，结合整式运算知识，进行计算或求解。 易错点总结 1. 幂的运算出错：混淆同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的法则，如、等错误。 2. 负整数指数幂运算出错：忽略（a≠0），或未将结果化为正指数幂形式；零指数幂忽略a≠0的条件。 3. 乘法公式应用出错：平方差公式、完全平方公式混淆，如（漏写中间项）、等错误。 4. 整式混合运算顺序出错：先算加减、后算乘除，或忽略括号的优先级；合并同类项时符号、系数出错。 5. 科学记数法表示出错：a的取值不符合，或n的绝对值计算错误（漏数0的个数）。 6. 参数问题漏解：完全平方式、多项式不含某项等题型中，忽略参数的两个可能值，导致漏解。 04 期中题型•汇总 【题型1 判断整式运算是否正确】 核心考点：掌握幂的运算法则、整式乘除法则及乘法公式，能识别运算错误。 解题思路：逐一核对每一步运算，对照幂的运算法则、整式乘除法则及乘法公式，重点检查底数、指数、符号及公式应用是否正确，找出错误并判断。 【典例1】．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列运算中计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【题型2 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 核心考点：掌握绝对值小于1的数的科学记数法表示方法，确定a和n的值。 解题思路：确定a（满足，提取原数中第一个非零数字及后面的数字）；确定n（负整数，绝对值等于第一个非零数字前所有0的个数），写出形式。 【典例2】．跨京杭运河特大桥主桥在国内首次采用分离式全焊接钢桁梁拱组合桥梁体系，总用钢量达12800吨．数据12800用科学记数法可表示为（  ） A． B． C． D． 【变式1】．，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，据第三方数据平台统计：截至年月日，的累计下载量约为亿次．年月，的月活用户为亿．将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．广州新机场于月日开工，总投资亿元，计划“十五五”期间建成，该项目将补齐珠江西岸民航短板，助力构建世界级机场群．数据“亿”用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．华电西藏才朋光储电站是全球海拔最高的光储一体化项目，其最高海拔达到了5228米，总装机容量达15万千瓦．数据15万千瓦用科学记数法表示为（   ） A．千瓦 B．千瓦 C．千瓦 D．千瓦 【题型3 完全平方式中的字母参数问题】 核心考点：熟练掌握完全平方公式，理解完全平方式的结构特征。 解题思路：将式子化为的形式，对比对应项，列出关于参数的方程，求解参数（注意参数有两个可能值，避免漏解）。 【典例3】．若多项式是完全平方式，则的值为___________． 【变式1】．若代数式是一个完全平方式，则实数________． 【变式2】．若是完全平方式，则m的值等于_______． 【变式3】．已知代数式 是一个完全平方公式的展开式，那么的值是_____． 【题型4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 核心考点：掌握多项式乘多项式法则，能合并同类项，理解“不含某项”即该项系数为0。 解题思路：先按多项式乘多项式法则展开，合并同类项；找到不含的项，令其系数等于0，列出方程，求解字母的值。 【典例4】．要使的展开式不含项，则m的值为______． 【变式1】．已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为2，则的值为______． 【变式2】．如果的乘积中不含的一次项，则的值为__________． 【变式3】．若计算的结果中不含项，则常数a的值为__________． 【题型5 幂的混合运算及其逆运算】 核心考点：熟练掌握幂的各项运算法则，能灵活运用逆运算简化计算。 解题思路：先明确运算顺序（先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右）；灵活逆用幂的运算法则，将底数统一或指数拆分，简化运算，注意符号和底数不为0的条件。 【典例5】．计算： (1)； (2) 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【变式2】．思考并解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 【变式3】．逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． 【题型6 零指数幂、负整数指数幂综合计算】 核心考点：掌握零指数幂、负整数指数幂的运算性质，能进行综合运算。 解题思路：先将负整数指数幂化为正指数幂（），零指数幂化为1（注意a≠0）；再按幂的混合运算顺序计算，最终化简结果。 【典例6】．计算： 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算： 【题型7 整式混合运算——化简求值】 核心考点：掌握整式混合运算顺序，能准确化简，再代入求值。 解题思路：先按运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）化简整式；再代入已知数值（注意先化简已知条件，避免直接代入复杂计算），计算最终结果。 【典例7】．先化简，再求值：，其中． 【变式1】．先化简，再求值：，其中． 【变式2】．先化简，再求值：，其中． 【变式3】．先化简，再求值：，其中，． 【题型8 利用乘法公式简便运算】 核心考点：灵活运用平方差公式、完全平方公式，简化整式运算。 解题思路：观察式子结构，将其转化为乘法公式的形式（如凑出、）；代入公式计算，避免繁琐的多项式乘法，注意符号和公式的逆用。 【典例8】．简便运算： (1) (2) 【变式1】．利用整式乘法公式计算：． 【变式2】．用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【变式3】．运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【题型9 整式乘法与图形面积】 核心考点：结合图形面积公式，用整式表示面积，解决与面积相关的问题。 解题思路：根据图形形状，利用面积公式（长方形、正方形等）列出整式；通过整式运算化简，结合题目条件（如面积相等、面积差等）求解未知量。 【典例9】．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【变式1】．已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（），面积分别为和． (1)①用含m的代数式表示： ， ；（结果请化简） ②用“”“ ”或“”填空： ； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是 （用含m的代数式表示，并化简）； ②小方同学发现与的差是定值，请计算出这个定值． 【变式2】．如图，长为，宽为的大长方形被分割成部分，除阴影图形外，其余部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为．    (1)计算：小长方形的长________，小长方形的周长________；（用含的代数式表示）； (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释． 【变式3】．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到：． (1)由图2可以得到：______； (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，则的值为______； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 【题型10 乘法公式中几何图形的应用】 核心考点：理解平方差公式、完全平方公式的几何意义，能结合图形推导或验证公式。 解题思路：根据图形的拼接、分割，用不同方式表示图形的总面积；结合面积相等，推导或验证乘法公式，或根据公式解决图形中的边长、面积问题。 【典例10】．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【变式1】．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；  （请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 ，，求的值． ②计算： 【变式2】．用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形． (1)根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)结合（1）中的结论，如果，，求的值； (3)结合以上结论，如果，求的值． 【变式3】．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个． (1)用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式：___________；用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系：___________； (2)若，求的值． (3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积． 【题型11 多项式乘法中的规律性问题】 核心考点：通过观察多项式乘法的结果，归纳总结规律，应用规律解题。 解题思路：先计算前几个简单多项式的乘积，观察结果的系数、次数、项数的变化规律；归纳出通用规律，再根据规律求解未知项、验证结论或计算复杂式子。 【典例11】．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 【变式1】．【发现问题】 ， ， …… 小明在学习湘教版七年级下册数学教科书第21页“思考”栏目时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 （1）上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ （2）如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10且十位数字相同，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____；②_______________； （2）_______________=_____；…… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为a，个位上的数的和为10，设其中一个数的个位上的数字为b，请你用含有a，b的等式表示两数的积的规律，并证明． 【变式2】．我们可以发现日历中某些数满足一定的规律，我们利用（，且为整数）的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的个数，设这个数分别为，计算“”的值，并探索其运算结果的规律． (1)图①是2026年1月份的日历，当时，小明在其中画出两个的方框，计算出 ， ． 小明猜想的规律是 请你利用整式的运算对其加以证明． (2)请你根据小明的方法，借助2026年2月份的日历，继续进行探究： 可得“”方框的 （用含的式子表示） 【变式3】．【问题提出】 计算： 【问题探究】 为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，原算式化为： 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： ① ②由①知，所以， （1）仿照②，写出进行因式分解的过程． 【发现规律】 （2）______． 【问题解决】 （3）计算：______（结果用乘方表示）． 【题型12 整式的运算中新定义型问题】 核心考点：理解题目给出的新运算规则，结合整式运算知识解决问题。 解题思路：先读懂新运算的定义（明确运算符号、运算顺序、运算规则）；将新运算转化为熟悉的整式运算（乘除、幂的运算、乘法公式等）；按规则计算，注意符号和运算顺序。 【典例12】．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【变式1】．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现：当m，n都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求x的值． 解：法一：∵，．，． 法二：∴．．． ②比较与的大小． 解：，，，． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求x的值． (2)比较，与的大小． (3)定义两个正数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，．求的值． 【变式2】．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称；若关于的多项式关于对称，则______； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为，求时，多项式的值． 【变式3】．在一节数学课上，学生在利用平方根定义解方程时，错解成，数学老师带领学生们探究的括号展开形式． (1)老师带领数学兴趣小组1用整体思想进行运算，过程如下： 解：（乘方的定义） （步骤②） 步骤②用到的依据是__________（使用的运算律）； 请你类比数学兴趣小组1的运算过程，推导出的括号展开形式； (2)老师带领数学兴趣小组2用“数形结合”的方法进行推导，具体操作如下： 如图1，将，分别看成边长为a，b的两个正方形，如图2，将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形的左上角，则图2中长方形ABCD与长方形AEFG的面积用a，b都可表示为__________，因此阴影部分的面积用a，b可表示为_________，还可以表示为__________，从而得到的展开形式． (3)拓展延伸： ①由平方的非负性，探究与的大小关系． ②应用：“开心”农场准备用一定长度的护栏围成一块面积为25的长方形花园，设长方形的长为，求护栏长度的最小值． 05 期中过关•检测 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，且，则的值为（    ） A．5 B．15 C．3 D．10 3．郑州某人工智能研发中心成功研制出一款语音识别芯片．该芯片中一个关键晶体管的栅极宽度约为米．将该数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（    ） A．2 B． C．1 D． 7．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（   ） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 8．如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为（   ） A． B． C． D． 9．若，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 10．已知不含x的一次项，则a的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 11．如图1，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图2．根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 12．乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 13．已知，则________． 14．已知，，则a____b（用“>”，“=”，“<”连接） 15．若的乘积中不含项，则a的值为____． 16．观察以下等式： 根据你所发现的规律，计算：________． 17．已知，则代数式的值为______． 18．若一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足，为不大于的正整数，则称为差数，例如：，因为，所以是差数．按照这个规定，最小的差数是______；一个差数，记 ， ，若能被整除，为完全平方数，则满足条件最大的的值是_________． 19．计算： (1)； (2)． 20．已知，，． (1)求的值； (2)试说明． 21．先化简，再求值：，其中，． 22．已知代数式化简后，不含有项和常数项． (1)求的值． (2)求的值． 23．如图，某小区有一块长，宽的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）． (1)请用含a，b的代数式表示健身广场的面积； (2)物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用． 24．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立，证明如下： 设，，则，．． ，即． (1)根据上述规定，填空：①，； ②若，则． (2)计算：，并说明理由． (3)记，，．求证：． 25．1261年，我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书—《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式___________ (2)的展开式共有___________项，系数和为___________． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期___________． (4)直接写出的展开式中第三项的系数___________． (5)若，求的值． 26．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． (2)【拓展应用】根据图②所得的公式，若，，则______． (3)【学以致用】若x满足，求的值． 27．定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：． 例如：． 【基础应用】 (1)求的值； 【转化求解】 (2)若，求x的值； 【拓展延伸】 我们学过的乘法公式（如完全平方公式）既可以“从左到右”正向使用，也可以“从右到左”逆向使用．例如：   正向使用，   逆向使用． 在解决某些问题时，逆向使用公式常常能帮助我们简化问题． (3)若，求的个位数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $