专题01整式的乘除 2025-2026学年七年级数学下学期期中复习专项训练（北师大版）

专题01 整式的乘除（期中复习专项训练） 题型导览 【题型1】整式运算之选择题 【题型6】整式乘法中不含某项的参数 【题型2】科学记数法 【题型7】整式乘法与几何图形面积问题 【题型3】幂的运算与逆运算 【题型8】多项式乘多项式规律探究问题 【题型4】零指数幂、负整数指数幂的计算 【题型9】整式乘除中的新定义型问题 【题型5】整式的化简求值 题型汇总 【题型1】整式运算之选择题 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项法则与幂的基本运算性质，只需根据对应法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 2．下列整式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：与不是同类项，不能合并，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 3．下列运算中计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的运算与单项式乘法法则逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、和不是同类项，则，故A错误； 选项B、，故B错误； 选项C、，故C错误； 选项D、，故D正确． 【题型2】科学记数法 6．2025年7月2日，搭载于“天关”卫星上的宽视场X射线望远镜WXT（昵称“万星瞳”）在例行巡天观测中，发现一例突然出现，存在剧烈光变的暂现源，该源区发生一系列X射线闪耀变．已知最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳的光度约为，则该源区最亮时达到的光度（用科学记数法表示）约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵该源区最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳光度为， ∴该源区最亮时的光度 ． 7．根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法和同底数幂的乘法运算，解题思路为将芯片总数转化为科学记数法，再计算总运算次数，化简得到标准科学记数法形式即可． 【详解】解：∵万，单芯片每秒运算次数为次， ∴ 总运算次数为：． 8．“共享单车”被称作中国新四大发明，极大地方便了人们的出行．根据共享单车在进入临沂第100天后发布的《临沂单车出行大数据报告》，临沂用户累计骑行总距离达4201万公里，约等于绕地球1050圈，4201万用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将4201万化为普通整数，再根据科学记数法的定义，将其写成的形式，其中，为整数，即可得到正确结果． 【详解】解：∵ 4201万 ， 根据科学记数法的要求，需要满足，因此可得 ． 9．小鸣了解到2025年“苏超”各场比赛吸引现场总观众人数超2400000人次．将2400000用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】解：． 10．据统计年春节期间，盐城市大纵湖景区共接待游客352600人次，352600这个数可用科学记数法表示为_____． 【答案】 【详解】． 【题型3】幂的运算与逆运算 11．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则求解，再合并同类项即可求解； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 13．已知，，． (1)求的值； (2)试说明． 【答案】(1)81 (2)见解析 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）计算出的值，根据即可说明． 【详解】（1）解： （2）， 所以，即． 14．解答下列各题： (1)已知，，则的值是________． (2)已知，求的值． (3)已知，，请直接用含有字母的代数式表示________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将转化为，再将，代入求解即可； （2）根据逆用幂的乘方以及同底数幂的乘法得出，进而根据指数相等，即可求解； （3）将化为，代入，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴ （2）解： ∴ 解得： （3）解：∵，， ∴ 15．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 【答案】(1)x的值为3 (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算将变形为再计算即可； （2）由题意得，将变形为，再代入化简即可； （3）根据幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算将变形为，再代入即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为3． （2）解：∵，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：∵，， ∴． 【题型4】零指数幂、负整数指数幂的计算 16．计算： 【答案】 9 【分析】分别计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再依次进行加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 17．计算：． 【答案】1 【详解】解： ． 18．计算： 【答案】 【详解】解：原式． 19．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5】整式的化简求值 21．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 22．化简：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 23．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先计算括号内整式的乘法运算，最后计算多项式除以单项式，再把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 24．先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】先根据完全平方公式及多项式的相关运算法则进行化简，然后再代入求值． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 25．先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】化简结果为，值为 【分析】本题考查整式的化简求值，平方和绝对值的非负性，用到完全平方公式、平方差公式和整式乘除运算法则，解题思路为先展开括号内各项，合并同类项后计算整式除法，再根据非负性求出的值，代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： ∵，且， ∴， 得 将， 代入得原式 【题型6】整式乘法中不含某项的参数 26．关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）先将已知代数式整理后，根据题意求得的值； （2）根据，求得的值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ， ． （2）解：∵， ， ， 解得：， ． 27．已知代数式，． (1)与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； (2)先化简，再将（1）中的结果代入求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 28．已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 29．定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 30．【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 【题型7】整式乘法与几何图形面积问题 31．如图，某小区有一块长，宽的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）． (1)请用含a，b的代数式表示健身广场的面积； (2)物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用． 【答案】(1) (2) (3)2400元 【分析】（1）根据已知条件和长方形的面积公式，列出算式，再根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （3）根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，最后把，代入（2）中化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：健身广场的面积 ； （2）解：铺设地砖的面积 ； （3）解：把，代入中，可得：， 购买地砖的总费用为：元． 32．在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖，互相垂直且宽度均为米的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)剩余草坪的面积是多少平方米？ 【答案】(1)通道的面积是平方米 (2)剩余草坪的面积是平方米 【分析】（1）通道面积为长为米，宽为米的长方形面积加上长为米，宽为米的长方形面积，再减去一个边长为米的正方形面积，据此列式求解即可； （2）用最大的长方形面积减去通道面积即为剩余草坪的面积，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：通道的面积共有： 平方米， 答：通道的面积是平方米； （2）解：剩余草坪的面积为： 平方米， 答：剩余草坪的面积是平方米． 33．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为，宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案； （3）先计算，再根据题意得出，，先求出p，然后可得m的值． 【详解】（1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 可得对应的等式为：； （2）解：如图： 把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 所以； （3）解：， ∵式子无论x为多少时恒成立， ∴，， ∴， ∴． 34．如图，初一某班级的同学们在一块长为米，宽为米的长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为米的正方形区域内种植芍药． (1)求种植郁金香区域的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）； (2)当时，种植郁金香区域的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)61（平方米） 【详解】（1）解：由题意得，郁金香种植面积长方形面积正方形面积， 即郁金香种植面积． （2）解：当时，（平方米）． 35．某地有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周修建四个直角边长分别为米，米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． (1)用含的代数式表示长方形花坛的面积：__________平方米．（结果化到最简） (2)用含的代数式表示阴影部分规划的绿化地带面积．（结果化到最简） (3)若，，请求出阴影部分规划的绿化地带面积． 【答案】(1) (2)平方米 (3)平方米 【分析】（）根据长方形的面积公式列式计算即可求解； （）用长方形地块四个直角三角形的面积花坛的面积列式计算即可求解； （）把的值代入（）中的结果计算即可求解； 【详解】（1）解：∵长方形花坛的长为米，宽为米， ∴长方形花坛的面积为：平方米， 故答案为：； （2）解： ， ∴阴影部分规划的绿化地带面积为平方米； （3）解：当，时， ， ∴阴影部分规划的绿化地带面积为平方米． 【题型8】多项式乘多项式规律探究问题 36．1261年，我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书—《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式___________ (2)的展开式共有___________项，系数和为___________． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期___________． (4)直接写出的展开式中第三项的系数___________． (5)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)二 (4)420 (5)0 【分析】（1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）根据给出的等式，得出规律进行作答即可； （3）利用7天为一个周期，的最后一项是1，则的余数是1，即可得出答案； （4）求出的第三项为，令，进行求解即可； （5）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 ∴； （2）解：观察可知：的展开式有2项， 的展开式有3项， 的展开式有4项， 的展开式有5项， 依此类推， 共有项， 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 依此类推，的展开式的系数和为； （3）解：∵，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （4）解：的展开式的第三项为， 的展开式的第三项为； 的展开式的第三项为； ∴的展开式的第三项为， ∴的展开式的第三项为 ∴的展开式的第三项的系数为； （5）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴． 37．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： (1)【观察】①______； ②______； ③______；…… (2)【猜想】由此可得：______； (3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】（1）①利用平方差公式计算即可得出结果；②利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果；③利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）观察（1）中计算结果即可得出结论； （3）令，则，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①； ② ； ③ ； （2）解：由此可得：； （3）解：令， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据规律写出第n个等式：______； (2)根据规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式规律直接得到答案； （2）先根据已知式子总结多项式乘法的规律，再将所求式子凑成符合规律的形式，利用规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：根据规律写出第n个等式： （2）解：根据已知等式可得规律：， 设， 变形可得， 根据已知规律使，得：， 整理得， 等式两边同时除以，得：． 39．从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法．现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为10的两位数乘两位数． (1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式： …… ①仿照上述等式，写出________： ②探究规律 根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是1并且个位数字之和是10的两位数乘法有什么规律？设其中一个两位数的个位数字是，用等式进行表示规律为________，请证明这个等式成立： (2)拓展： 现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是10的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由； (3)推广应用：________． 【答案】(1)①；② (2)规律成立，等式为 (3) 【分析】（1）①根据题中的规律求解即可；②设两个十位为、个位分别为和的两位数为和，两位数乘法的规律为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立； （2）若两位数的十位均为，个位分别为和，则两位数的乘积为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立； （3）根据所得的规律求解即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和即， 则两位数乘法的规律为， 证明：展开等号左边： ， 展开等号右边： ， 等号左边等于等号右边，规律成立； （2）解：若两位数的十位均为，个位分别为和， 则两位数的乘积为， 展开等号左边： ， 展开等号右边： ， 等号左边等于等号右边，规律成立； （3）解：当时，代入得： ， 故答案为：． 40．【资料阅读】 史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”．据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”．欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． 【问题探究】 (1)将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为______；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为______． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该斜线经过的数之和为______． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】(1)①第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1．；② (2)55 (3)754 【分析】（1）①找到规律：第n行是的字母的系数，即可求解； ②数之和可以看作时的值，即可求解； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）找到规律：前一个长方形的长是后一个长方形的宽，长与宽的和是后一个长方形的长，即可求解． 【详解】（1）解：①观察图2可发现规律： 第2行：1，2，1，是中字母的系数， 第3行：1，3，3，1，是中的字母的系数， ∴第n行是的字母的系数， ∴第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1． ②∵第n行是的字母的系数， 数之和可以看作时的值， 即第100行的数之和用幂可以表示为． （2）观察图3可得： 第7条斜线经过的数之和为， 第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 第10条斜线经过的数之和为． （3）观察长方形①，长方形②，长方形③，长方形④的周长的规律： 前一个长方形的长是后一个长方形的宽，长与宽的和是后一个长方形的长， ∴序号为⑤的长方形周长为， 序号为⑥的长方形周长为， 序号为⑦的长方形周长为， 序号为⑧的长方形周长为， 序号为⑨的长方形周长为， 序号为⑩的长方形周长为， 序号为⑪的长方形周长为． 【题型9】整式乘除中的新定义型问题 41．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 【答案】(1)2；4； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：2；4； （2）解：∵若，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：∵（k为奇数）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为奇数时,． 42．爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据方方同学给出的定义，判断是不是平衡多项式？说明理由． (2)已知是平衡多项式，求平衡因子． 【答案】(1)不是平衡多项式 (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，理解平衡多项式的定义，列出算式是解题关键． （1）根据平衡多项式定义，计算即可判断； （2）根据平衡多项式定义计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴由定义可知，不是平衡多项式； （2）解：∵是平衡多项式， ∴， ∴， 由条件知， ∴， ∴， ∴平衡因子． 43．定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 44．定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 45．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)5000 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为5000． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘除（期中复习专项训练） 题型导览 【题型1】整式运算之选择题 【题型6】整式乘法中不含某项的参数 【题型2】科学记数法 【题型7】整式乘法与几何图形面积问题 【题型3】幂的运算与逆运算 【题型8】多项式乘多项式规律探究问题 【题型4】零指数幂、负整数指数幂的计算 【题型9】整式乘除中的新定义型问题 【题型5】整式的化简求值 题型汇总 【题型1】整式运算之选择题 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列整式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算中计算正确的是（  ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】科学记数法 6．2025年7月2日，搭载于“天关”卫星上的宽视场X射线望远镜WXT（昵称“万星瞳”）在例行巡天观测中，发现一例突然出现，存在剧烈光变的暂现源，该源区发生一系列X射线闪耀变．已知最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳的光度约为，则该源区最亮时达到的光度（用科学记数法表示）约为（    ） A． B． C． D． 7．根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 8．“共享单车”被称作中国新四大发明，极大地方便了人们的出行．根据共享单车在进入临沂第100天后发布的《临沂单车出行大数据报告》，临沂用户累计骑行总距离达4201万公里，约等于绕地球1050圈，4201万用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 9．小鸣了解到2025年“苏超”各场比赛吸引现场总观众人数超2400000人次．将2400000用科学记数法表示为______． 10．据统计年春节期间，盐城市大纵湖景区共接待游客352600人次，352600这个数可用科学记数法表示为_____． 【题型3】幂的运算与逆运算 11．计算：． 12．计算： (1) (2) 13．已知，，． (1)求的值； (2)试说明． 14．解答下列各题： (1)已知，，则的值是________． (2)已知，求的值． (3)已知，，请直接用含有字母的代数式表示________． 15．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 【题型4】零指数幂、负整数指数幂的计算 16．计算： 17．计算：． 18．计算： 19．计算： (1)； (2) 20．计算： (1)； (2)． 【题型5】整式的化简求值 21．先化简，再求值：，其中，． 22．化简：，其中，． 23．先化简，再求值：，其中，． 24．先化简，再求值：．其中． 25．先化简，再求值：，其中x，y满足． 【题型6】整式乘法中不含某项的参数 26．关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 27．已知代数式，． (1)与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； (2)先化简，再将（1）中的结果代入求值． 28．已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 29．定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 30．【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【题型7】整式乘法与几何图形面积问题 31．如图，某小区有一块长，宽的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）． (1)请用含a，b的代数式表示健身广场的面积； (2)物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用． 32．在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖，互相垂直且宽度均为米的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)剩余草坪的面积是多少平方米？ 33．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 34．如图，初一某班级的同学们在一块长为米，宽为米的长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为米的正方形区域内种植芍药． (1)求种植郁金香区域的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）； (2)当时，种植郁金香区域的面积为多少平方米？ 35．某地有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周修建四个直角边长分别为米，米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． (1)用含的代数式表示长方形花坛的面积：__________平方米．（结果化到最简） (2)用含的代数式表示阴影部分规划的绿化地带面积．（结果化到最简） (3)若，，请求出阴影部分规划的绿化地带面积． 【题型8】多项式乘多项式规律探究问题 36．1261年，我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书—《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)根据上面的规律，则的展开式___________ (2)的展开式共有___________项，系数和为___________． (3)运用：今天是星期一，经过天后是星期___________． (4)直接写出的展开式中第三项的系数___________． (5)若，求的值． 37．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： (1)【观察】①______； ②______； ③______；…… (2)【猜想】由此可得：______； (3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 38．观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据规律写出第n个等式：______； (2)根据规律计算：． 39．从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法．现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为10的两位数乘两位数． (1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式： …… ①仿照上述等式，写出________： ②探究规律 根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是1并且个位数字之和是10的两位数乘法有什么规律？设其中一个两位数的个位数字是，用等式进行表示规律为________，请证明这个等式成立： (2)拓展： 现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是10的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由； (3)推广应用：________． 40．【资料阅读】 史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”．据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”．欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． 【问题探究】 (1)将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为______；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为______． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该斜线经过的数之和为______． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【题型9】整式乘除中的新定义型问题 41．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 42．爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据方方同学给出的定义，判断是不是平衡多项式？说明理由． (2)已知是平衡多项式，求平衡因子． 43．定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 44．定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 45．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $