精品解析：贵州六盘水市纽绅中学2025-2026学年高三下学期4月质检数学试题

2025-2026学年高三下学期4月质检数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，则 2. 均为整数是为整数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若为整数，则为整数，故充分性成立； 若，则为整数，但不为整数，故必要性不成立， 故均为整数是为整数的充分不必要条件. 3. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】复数， 则. 4. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 160 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】将看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解. 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 故选：A 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式及余弦定理求解即可. 【详解】依题意，. 故选：C． 6. 已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移可得，再利用函数是奇函数，得到，，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度得到 ， 又是奇函数，所以， 得，，当时，. 故选：D. 7. 已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性可得，由，可求得. 【详解】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以． 故选：C. 8. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用椭圆的定义结合二次函数的最值的求法得出最大值及最小值，再结合计算即可得出离心率. 【详解】因为，所以， 所以当时，取得最大值， 因为，所以的最小值为， 因为的最大值是它的最小值的2倍，所以， 所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下面给出的结论中，正确的是（ ）． A. 的取值范围是 B. 的最小正周期可能是2 C. 在区间上可能恰有4个零点 D. 在区间上可能单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】令,则,结合题中条件可得有四个整数符合，可求出的取值范围，再根据三角函数的性质逐项分析即可. 【详解】由， 令，则， 因为函数在区间上有且仅有4条对称轴， 即有四个整数符合， 由，得， 则，即， 所以，故A正确； 若函数的最小正周期为，则，故B错误； 当时，， 又， 当时，有三个不同的零点； 当，有四个不同的零点， 则在区间上可能恰有4个零点,故C正确； 当时，， 因为 所以， 而，所以在区间上不单调递增，故D错误， 故选：AC. 【点睛】本题的关键点是：根据题中条件，求出的取值范围. 10. 在六月一号儿童节，某商家为了吸引顾客举办了抽奖送礼物的活动，商家准备了两个方案.方案一：盒中有6个大小和质地相同的球，其中2个红球和4个黄球，顾客从盒中不放回地随机抽取两次，每次抽取一个球，顾客抽到的红球个数等于可获得礼物的数量；方案二：顾客投掷一枚质地均匀的骰子两次，两次投掷中向上点数为3的倍数出现的次数等于可获得礼物的数量．每位顾客可以随机选择一种方案参加活动，则下列判断正确的是（ ） A. 方案一中顾客获得一个礼物的概率是 B. 方案二中顾客获得一个礼物的概率是 C. 方案一中顾客获得礼物的机会小于方案二中顾客获得礼物的机会 D. 方案二中“第一次向上点数是1”和“两次向上点数之和为7”相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助古典概率和事件的相互独立性，计算出相应的概率，进而选到答案. 【详解】A:方案一中顾客获得一个礼物的概率是,故A正确; B:方案二中顾客获得一个礼物的概率是,故B正确; C: 记方案一中顾客获得礼物的概率为， 记方案二中顾客获得礼物的概率为，,故C错误; D: 记方案二中“第一次向上点数是1”为事件, 两次向上点数之和为7为事件, ,, 所以方案二中“第一次向上点数是1”和“两次向上点数之和为7”相互独立,故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处（A1∉平面ABCD），若M为线段A1C的中点，平面A1DE与平面DEBC所成锐二面角α，直线A1E与平面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是（　　） A. 存在某个位置，使得BM⊥A1D B. △A1EC面积的最大值为 C. sinαsinβ D. 三棱锥A1﹣EDC体积最大时，三棱锥A1﹣EDC的外接球的表面积16π 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线线垂直、三角形的面积公式、面面角和线面角、几何体外接球等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A选项，设是的中点，连接， 由于是的中点，所以， 由于，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以是直线与直线所成角（或其补角）. 在三角形中，，所以，所以A选项错误. 对于B选项，由于，所以， 设分别是的中点，连接，则是三角形的中位线， 所以，则， 而，所以是平面与平面所成二面角，即. 当时，平面平面， 此时，由于平面平面， 所以平面，由于平面， 所以，由于平面，， 所以平面，由于平面，所以， 所以面积的最大值为，B选项正确. 对于C选项，过作，垂足为，连接， 由上述分析可知：，而平面， ，所以平面，由于平面， 所以，由于平面，， 所以平面，所以， 由于，而， 所以，所以C选项正确. 对于D选项，三棱锥体积最大时，平面平面， 由于平面平面，平面，， 所以平面，由于是的外心，是的外心， 所以是三棱锥的外接球的球心， 所以外接球的半径，表面积为，所以D选项正确.. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知.若的夹角为钝角，则的范围为__________. 【答案】且 【解析】 【分析】由已知且与不平行，结合向量的坐标运算可得出的取值范围. 【详解】若，的夹角为钝角，则，且与不平行， 即，且，求得且， 故答案为： 且. 13. 如图，在中，，为边上的一点，且，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】在中由正弦定理求出，即可求出，再代入求出，最后由为等腰直角三角形得解. 【详解】由题可知，在中，由正弦定理得， 即，得， 又，由图可得为钝角，所以， 所以，则， 则， 又，所以为等腰直角三角形，则． 故答案为： 14. 已知正四面体的棱切球（正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球的半径为______；若动点分别在与的球面上运动，且满足，则的最大值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】第一空：将正四面体放入正方体中，由等体积法可知，只需求出正四面体的表面积以及体积即可列式求解该正四面体的内切球的半径；第二空：由不等式可知，，只需求出、即可. 【详解】第一空： 连接，设交点为，则是中点， 如图所示，将正四面体放入正方体中， 由对称性可知正方体中心就是正四面体的中心， 设正方体棱长为，则棱切球球心到正四面体的六条棱的距离都等于， 设正四面体的棱切球的半径为， 所以，正方体棱长为2，， 而正四面体的体积为， 正四面体的表面积为， 设该正四面体的内切球的半径为， 则由等体积法可知，，解得； 第二空：取任意一点，使得， 所以点在面内（其中是中点）， 所以， 而点到平面的距离为， 所以， 等号成立当且仅当是正数且重合且， 综上所述，的最大值为. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出，由此即可顺利得解. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在数列中，，； （1）求，，的值； （2）设，求证数列是等比数列； （3）求数列的通项公式及前n项和的通项公式． 【答案】（1） （2） 已知，当时，， ， ，即， ， 是首项为3，公比为2的等比数列． （3）； 【解析】 【分析】（1）利用前项和的性质及递推式，运用赋值法计算求解； （2）结合已知条件，利用作差法求出的递推关系，进而证明结论； （3）结合（2）结论，结合等差数列的性质求出，利用递推关系求出． 【小问1详解】 已知， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， ， 是以为首项，为公差的等差数列， ， ，成立， ； 已知，把替换为得， ， 当时，，成立， 故． 16. 中国防沙治沙成绩斐然，不断书写“绿色奇迹”，截至2025年年底，中国53%的可治理沙化土地已得到有效治理，沙化土地面积净减少6500万亩，现调查统计了某荒漠地区2019~2025年绿化面积变化情况，得到如下折线图． （附：年份代码1~7分别对应的年份是2019~2025，经计算得， ，，，） （1）用线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01）； （2）求出y关于t的回归方程； （3）若该荒漠地区原面积共10万亩，预测该地区2026年绿化面积达到多少亩？ 附：（i）相关系数：； （ii）线性回归方程：，其中，． 【答案】（1）0.88 （2） （3）55000亩 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的计算公式求解即可； （2）根据回归方程的系数计算公式，以及回归方程经过即可求解； （3）根据拟合的回归直线方程代入求解即可． 【小问1详解】 因为， ， ， 所以， 即相关系数约为0.88． 【小问2详解】 因为， ， 所以． 【小问3详解】 当时，， 该地区2026年绿化面积为亩． 17. 如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体． （1）证明：平面平面； （2）若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围． 【答案】（1）证明：连接交于点，则四点共面，且为的中点， 所以四边形都是平行四边形，所以，， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 平面，平面，又在平面内相交于点， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证，，根据面面平行的判定定理证明； （2）以点为原点，为轴，求出平面的法向量，根据线面角的向量公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据正八面体结构，以点为原点，为轴，如图建立空间直角坐标系 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，， 所以，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为点为棱上的动点， 所以设， 则， 设直线与平面所成的角为， ， 又， 当时，，当或0时，， 故直线与平面所成角的正弦值的范围. 18. 设椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为上异于顶点的任意一点，且直线与的斜率之积为.作的两条互相垂直的切线，且这两条切线相交于点，切点为，. （1）求的方程. （2）证明：点的轨迹是圆. （3）过原点作交于，作交于，作，垂足为，设点的轨迹围成的封闭图形的面积为，点的轨迹围成的封闭图形的面积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）如图： 设.当， 的斜率都存在时， 设的方程为， 的方程为. 由得 . 由， 得. 同理可得， 所以，是关于的方程的两个根， 因为，所以，即. 当或 的斜率不存在时， 点的坐标为或或或， 此时点在圆上，所以点的轨迹是圆. （3）是， 【解析】 【分析】(1)设椭圆上异于顶点的点，利用直线、的斜率之积为列方程，化简求得椭圆的方程. (2)设点，设椭圆的切线方程，联立椭圆方程后利用判别式为0得到关于切线斜率的二次方程，结合两条切线垂直（斜率之积为 ），利用韦达定理推导点的坐标满足的方程，证明其轨迹为圆. (3)利用直角三角形 的面积关系推导，设直线的方程，联立椭圆方程求得、的表达式，代入计算得到为定值，确定点的轨迹，结合点的轨迹计算面积差，证明其为定值. 【小问1详解】 设（），由题意得，. 因为直线与的斜率之积为，所以， 即 （），所以的方程为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线与 交于点 ，直线与交于点， 易得四边形为矩形，所以 ， 所以，即， 所以. 当直线，的斜率都存在时，设的方程为， 则的方程为，由解得， 则，所以， 同理可得， 所以； 当直线或的斜率不存在时，，， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆. 故，是定值. 19. 若平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”． （1）圆的一个“切立方”的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”四条边所在直线的方程； （2）已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率的取值范围； （3）设函数的图象为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由． 【答案】（1） ，； （2） （3） 假设曲线存在切立方，由于函数为奇函数，其图象关于原点对称， 因此如果曲线C存在“切立方”，则正方形也关于原点对称，即正方形的中心为原点； 由曲线，则，设C与正方形的一条边的切点为， 则切线方程为，即， 即一条切线为，则与其平行的切线为， 同理可得正方形另两边所在直线为，． 依题意有，， 则， 设，，则， 整理得， 令，则， 令，则， 由于， 故在上单调递增，而， 故存在，使得，即， 则， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故 ， 令，，则， 令，则， 即，也即在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 即，即无解， 因此曲线C不存在切立方． 【解析】 【分析】（1）根据“切立方”的定义，设“切立方”的边所在的直线方程，结合点到直线的距离求解，即可求得答案； （2）根据“切立方”的定义，联立，整理得，可知其判别式等于0，即可求出的关系式，进而求得答案； （3）首先判断如果曲线C存在“切立方”，则正方形也关于原点对称；从而设切点坐标，可得切线方程，结合题意可得到相应方程，再结合导数判断函数的最值情况，即可判断方程解的情况，从而可得结论. 【小问1详解】 根据“切立方”的定义，设“切立方”的边所在的直线方程，， 则可得圆的圆心到直线的距离为，则， 圆的圆心到直线的距离也为，则， 故“切立方”四条边所在直线的方程为，； 【小问2详解】 由正方形的方程为，则， 由正方形为双曲线的一个“切立方”， 则联立，整理得， 则， 整理得，即， 由图可知，则， 所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期4月质检数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 均为整数是为整数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 160 D. 80 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下面给出的结论中，正确的是（ ）． A. 的取值范围是 B. 的最小正周期可能是2 C. 在区间上可能恰有4个零点 D. 在区间上可能单调递增 10. 在六月一号儿童节，某商家为了吸引顾客举办了抽奖送礼物的活动，商家准备了两个方案.方案一：盒中有6个大小和质地相同的球，其中2个红球和4个黄球，顾客从盒中不放回地随机抽取两次，每次抽取一个球，顾客抽到的红球个数等于可获得礼物的数量；方案二：顾客投掷一枚质地均匀的骰子两次，两次投掷中向上点数为3的倍数出现的次数等于可获得礼物的数量．每位顾客可以随机选择一种方案参加活动，则下列判断正确的是（ ） A. 方案一中顾客获得一个礼物的概率是 B. 方案二中顾客获得一个礼物的概率是 C. 方案一中顾客获得礼物的机会小于方案二中顾客获得礼物的机会 D. 方案二中“第一次向上点数是1”和“两次向上点数之和为7”相互独立 11. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处（A1∉平面ABCD），若M为线段A1C的中点，平面A1DE与平面DEBC所成锐二面角α，直线A1E与平面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是（　　） A. 存在某个位置，使得BM⊥A1D B. △A1EC面积的最大值为 C. sinαsinβ D. 三棱锥A1﹣EDC体积最大时，三棱锥A1﹣EDC的外接球的表面积16π 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知.若的夹角为钝角，则的范围为__________. 13. 如图，在中，，为边上的一点，且，则_________. 14. 已知正四面体的棱切球（正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球的半径为______；若动点分别在与的球面上运动，且满足，则的最大值为______． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在数列中，，； （1）求，，的值； （2）设，求证数列是等比数列； （3）求数列的通项公式及前n项和的通项公式． 16. 中国防沙治沙成绩斐然，不断书写“绿色奇迹”，截至2025年年底，中国53%的可治理沙化土地已得到有效治理，沙化土地面积净减少6500万亩，现调查统计了某荒漠地区2019~2025年绿化面积变化情况，得到如下折线图． （附：年份代码1~7分别对应的年份是2019~2025，经计算得， ，，，） （1）用线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01）； （2）求出y关于t的回归方程； （3）若该荒漠地区原面积共10万亩，预测该地区2026年绿化面积达到多少亩？ 附：（i）相关系数：； （ii）线性回归方程：，其中，． 17. 如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体． （1）证明：平面平面； （2）若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围． 18. 设椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为上异于顶点的任意一点，且直线与的斜率之积为.作的两条互相垂直的切线，且这两条切线相交于点，切点为，. （1）求的方程. （2）证明：点的轨迹是圆. （3）过原点作交于，作交于，作，垂足为，设点的轨迹围成的封闭图形的面积为，点的轨迹围成的封闭图形的面积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 若平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”． （1）圆的一个“切立方”的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”四条边所在直线的方程； （2）已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率的取值范围； （3）设函数的图象为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $