精品解析：陕西渭南市韩城市象山中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

象山中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每题5分） 1. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 所以. 2. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得函数与的最小正周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】对函数，令，解得， 所以函数的对称中心为. 因为函数与的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期，且与图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又的最小正周期，所以，得， 故， 令，则，即的对称中心为， 所以，得， 又，所以. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向 【答案】C 【解析】 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 4. 在平行四边形ABCD中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合向量加减法的运算法则求解即可. 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形， 则，， 所以. 5. 已知向量，不共线，且，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，列出等式求解即可. 【详解】因为，则存在实数，使得，  整理得：，因为向量，不共线，根据平面向量基本定理，得方程组： ，解得 6. 若是不共线的向量，且，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故A错误； 因为，， 由，所以，所以三点共线，故B正确； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故C错误； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故D错误. 7. 已知平面向量，的夹角为，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积及向量的模计算即可. 【详解】因为平面向量，的夹角为，，， ， 所以． 8. 已知，为第二象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因，为第二象限角，则， 于是. 二、多选题（每题6分） 9. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由条件结合同角关系求，再结合诱导公式求，再利用二倍角公式求，利用两角和正弦公式求. 【详解】因为为第二象限角，，所以， ， ， 又因为， 所以. 10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，若，则， 根据正弦定理（是外接圆半径）， 可得， 所以，即，A正确； 对于B，由正弦定理， 代入得， 因为，且，（即）， 所以可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为， 所以有两解，B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以， 由基本不等式得，， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积，C正确； 对于D，若为钝角，则由余弦定理得，， 所以，即，D错误. 11. 已知函数，则下列命题正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的最大值是2 C. 若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则 D. 是函数的单调递减区间 【答案】BC 【解析】 【分析】首先化简函数，分别求函数的单调性，对称性及值域，选项C将函数数形结合，转化为交点问题. 【详解】 若函数图象关于点对称，则.但是，所以A错误； 因为的最大值为1，所以的最大值为，所以B正确； 方程在上恰好有三个实数解，即在有三个解， 此时，对应的三个解为：，则，所以C正确； 求的单调递减区间：，解得，所以D错误. 三、填空题（每题5分） 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】利用和差化积公式即可求解． 【详解】由． 故答案为：． 13. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故答案为：. 14. 若函数，在上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】通过化简得到，结合正弦函数的图象列不等式即可求出答案. 【详解】 ， 当时，， 又在上有且仅有两个零点， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用定义和齐次式化简求解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 . 16. 设函数． （1）求的最小正周期和单调区间； （2）求在区间的值域． 【答案】（1）最小正周期；在单调递减，无单调递增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）由正切函数的周期公式和单调性可解； （2）由正切函数的单调性可得值域. 【小问1详解】 的最小正周期， ，解得， 在单调递减，无单调递增区间． 【小问2详解】 由（1）得在区间单调递减． ， 所以的值域为 17. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到的图象． （1）求函数的解析式以及对称中心； （2）当时，求的值域； 【答案】（1），对称中心为， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据图象求函数的解析式，再结合函数图象变换可得函数的解析式，再根据余弦函数的性质求函数的对称中心. （2）结合余弦函数的图象求函数的值域. 【小问1详解】 由的图象得，，， ，即，此时， 又，则， 即，又，则， ， 把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象， 再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得， 再向上平移一个单位，得， 令，解得， 则的对称中心为，. 【小问2详解】 当时，， 则，即， 则的值域为. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示和正弦定理边化角得到，再结合，化简求解即可； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，即可求解. 【小问1详解】 由得：， 边化角得：， 在中，， 故， 代入上式得：， 展开化简得：， 因为，， 两边同除以得：​， 又， 因此：； 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入， 得： 由，代入，， 得， 即， 因为，故， 故的周长为​. 19. 已知向量，满足，，且，的夹角为． （1）求； （2）求在上的投影向量；（用表示） （3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量模及向量数量积的运算律，计算求解； （2）利用投影向量的计算公式计算求解； （3）结合已知条件构造不等式，解不等式求实数的取值范围 【小问1详解】 已知，，且，的夹角为， ， ． 【小问2详解】 根据投影向量的定义，在上的投影向量为， ，， 投影向量为． 【小问3详解】 已知向量与向量的夹角为钝角， ，且与不反向共线； 则， 即，解得； 若两向量反向共线，则存在实数，使得，， 即，将代入，得到， 由，解得， 与不反向共线， ， 综上可得，实数的取值范围是． 20. 已知、、分别为三个内角、、的对边， （1）求； （2）若的面积为，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围： 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求解； （2）余弦定理结合三角形面积公式求出即可； （3）利用正弦定理把周长表示成关于的函数求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理， 可变成， 又 则，又 ，, 则，即，又 ，则 ， 从而，所以. 【小问2详解】 由的面积为，得， 又由余弦定理，得，从而， 从而，得（负值舍去） 从而的周长 . 【小问3详解】 由正弦定理， 从而 ， 由为锐角三角形，得，解得， 从而 ,则 , ， 即的周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 象山中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每题5分） 1. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向 4. 在平行四边形ABCD中，，，则（ ）． A. B. C. D. 5. 已知向量，不共线，且，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 4 6. 若是不共线的向量，且，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 7. 已知平面向量，的夹角为，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知，为第二象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 11. 已知函数，则下列命题正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的最大值是2 C. 若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则 D. 是函数的单调递减区间 三、填空题（每题5分） 12. ________． 13. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________. 14. 若函数，在上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为______________. 四、解答题（共77分） 15. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点， （1）求的值； （2）求的值. 16. 设函数． （1）求的最小正周期和单调区间； （2）求在区间的值域． 17. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到的图象． （1）求函数的解析式以及对称中心； （2）当时，求的值域； 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 19. 已知向量，满足，，且，的夹角为． （1）求； （2）求在上的投影向量；（用表示） （3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 20. 已知、、分别为三个内角、、的对边， （1）求； （2）若的面积为，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $