精品解析：湖南娄底市第一中学等校2026年春季学期九年级数学期中质量检测卷

2026年春季学期九年级数学期中质量检测卷 （时量；120分钟 满分：120分） 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 0.1 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故A不符合要求； B、是无限不循环小数，则仍是无限不循环小数，是无理数，故B符合要求； C、，是整数，属于有理数，故C不符合要求； D、是有限小数，可化为分数，属于有理数，故D不符合要求． 2. 在下列利用人工智能生成的LOGO图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一分析各个图形即可． 【详解】A项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，所以不是轴对称图形，故A错误； B项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，所以不是轴对称图形，故B错误； C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，所以是轴对称图形，故C正确； D项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，所以不是轴对称图形，故D错误． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C. 小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D. 从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意，选项错误； B、是必然事件，符合题意，选项正确； C、是随机事件，不符合题意，选项错误； D、是随机事件，不符合题意，选项错误； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，则，故A计算错误； B、，故B计算错误； C、，故C计算正确； D、，故D计算错误． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为：, 解集在数轴上表示如下： ． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，代入系数计算即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 9. 某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可． 【详解】解：设该车企去年5月交付新车辆， 根据题意得：， 故选：A． 10. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 请写出的一个同类项：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 12. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿立方米，人均占有淡水量居世界第110位．数27500用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据27500用科学记数法表示为； 故答案为：． 13. 要使二次根式有意义，实数的取值范围是______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 14. 分解因式：=_____. 【答案】 【解析】 【分析】用完全平方公式分解即可. 【详解】=. 故答案为. 【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍，是易错点． 15. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查画树状图法求等可能事件的概率；画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等． 两本是《三国演义》和《西游记》的结果有2种， 所以P（两本是《三国演义》和《西游记》）． 故答案为：． 16. 《九章算术注》中数学家刘徽提到了“不加借算”开平方方法：，当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算；某等边三角形花园的面积为，用“不加借算”的方法计算该等边三角形花园的边长约为___________． 【答案】 35.1 【解析】 【分析】先根据等边三角形面积公式求出边长的平方，再拆分变形，代入“不加借算”公式计算即可得到结果． 【详解】解：设等边三角形花园的边长为， 等边三角形的高为， ∴等边三角形花园的面积为， ∴， 整理得， ∵，，，，， ∴，此时最小， ∴． 三、解答题（本题共8小题，第17，18题每小题6分，第19，20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】5． 【解析】 【分析】先化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法，再计算实数的混合运算即可得． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，-1． 【解析】 【分析】对原式去括号、合并同类项化简，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式= = =， 当，时， 原式= =-1． 【点睛】本题考查整式的化简求值．能正确运用去括号法则去括号是解题关键． 19. 如图，是的内接三角形，是的直径，过点A作直线交的延长线于点D，使得________，请从“①；②”中任选一个条件填在横线上（填序号“①”或“②”），并解决下列问题： （1）题干横线上所填序号为：_______ （2）求证：为的切线； （3）若，，求的长度（结果保留）． 【答案】（1）①（或②） （2）证明：选择条件①： 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 选择条件②：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】（1）任选其中一个条件即可； （2）选择条件①：利用直径所对的圆周角是直角这一性质，结合等腰三角形的性质进行角度转换，从而证明半径与直径垂直，从而得证结论；选择条件②：根据圆周角定理可得，从而得到，从而得证结论； （3）利用解直角三角形求出圆的半径，进而计算出弧长． 【小问1详解】 ①（或②） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，， ∴，即， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，，且， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴． 20. 如图，为了解九年级学生的体能情况，娄星区某学校组织了一次体能测试，并随机选取了50名学生的成绩进行统计，得出相关统计表和统计图其中部分数据不慎丢失，暂用字母m，n表示根据图表所提供的信息回答下列问题： 成绩 人数 优秀 m 良好 30 合格 n 不合格 5 （1）统计表中的m=______，n= ______；并补全统计图； （2）若该校九年级有500名学生，请据此估算该校九年级学生体能良好及以上的学生有多少名？ （3）根据以往经验，经过一段时间训练后，有60%的学生成绩可以上升一个等级，求经过训练后九年级学生的体能达标率成绩在合格及以上． 【答案】（1）5，10， 补全统计图如下： （2）350名； （3）96% 【解析】 【分析】（1）由条形图可直接得到答案． （2）由用样本估算总体的计算方法可直接得到答案． （3）根据样本数据，依题意代入数计算即可得到答案． 【详解】解：根据条形图可以得到：m=5，n=50-5-30-5=10， 故答案为：5、10； 估计该校九年级学生体能良好以上的学生有人； 根据题意得：(35+10+5×60%)50=96%， 答：估计经过训练后九年级学生体能达标率为96%． 【点睛】本题考查条形统计图、用样本估算总体、数据分析；熟练掌握相关知识是解题的关键． 21. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】（1）甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）该公司最少需花费元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； 【小问2详解】 解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 22. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】（1）直吊臂的长为10米 （2）上升了5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据，即可解，即可求解； （2）记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，由求出，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，米， ∴在中，（米）， 答：直吊臂的长为10米； 【小问2详解】 解：记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，则， 由题意得：米，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴货物上升了5米． 23. 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）4； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由折叠的性质得：，再根据，可得，即可求解； （3）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵，即 ∴ ∴即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，或 （3），，， 【解析】 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． 【小问3详解】 解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期九年级数学期中质量检测卷 （时量；120分钟 满分：120分） 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 0.1 2. 在下列利用人工智能生成的LOGO图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C. 小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D. 从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 9. 某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 请写出的一个同类项：_______． 12. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿立方米，人均占有淡水量居世界第110位．数27500用科学记数法表示为__________． 13. 要使二次根式有意义，实数的取值范围是______ 14. 分解因式：=_____. 15. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是______． 16. 《九章算术注》中数学家刘徽提到了“不加借算”开平方方法：，当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算；某等边三角形花园的面积为，用“不加借算”的方法计算该等边三角形花园的边长约为___________． 三、解答题（本题共8小题，第17，18题每小题6分，第19，20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，是的内接三角形，是的直径，过点A作直线交的延长线于点D，使得________，请从“①；②”中任选一个条件填在横线上（填序号“①”或“②”），并解决下列问题： （1）题干横线上所填序号为：_______ （2）求证：为的切线； （3）若，，求的长度（结果保留）． 20. 如图，为了解九年级学生的体能情况，娄星区某学校组织了一次体能测试，并随机选取了50名学生的成绩进行统计，得出相关统计表和统计图其中部分数据不慎丢失，暂用字母m，n表示根据图表所提供的信息回答下列问题： 成绩 人数 优秀 m 良好 30 合格 n 不合格 5 （1）统计表中的m=______，n= ______；并补全统计图； （2）若该校九年级有500名学生，请据此估算该校九年级学生体能良好及以上的学生有多少名？ （3）根据以往经验，经过一段时间训练后，有60%的学生成绩可以上升一个等级，求经过训练后九年级学生的体能达标率成绩在合格及以上． 21. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 22. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 23. 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $