精品解析：湖南长沙市一中双语实验学校2025-2026学年第二学期九年级数学模拟练习(二)

九年级2025-2026学年第二学期数学模拟练习（二） 一、单选题（共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（ ） A. 3000 B. 4000 C. 6000 D. 60000 5. 如图①，在中，D是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点M，交于点N； ②以点D为圆心，以长为半径画弧，交线段于点P，交线段于点R； ③以点P为圆心，以长为半径画弧，交于点Q，点Q与点C在直线同侧； ④作直线，交于点E． 则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 关于一次函数下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. y随x的增大而减小 D. 当时， 7. 在中，，那么的值是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，为的外接圆，，点D 在优弧上，连接． 若，则（ ） A. B. C. D. 9. 2025年“湘超”联赛9月7日在长沙市贺龙体育场举行．本届赛事分常规赛（即每个参赛队都与所有其他队比赛且只比赛一场）和淘汰赛两阶段，在常规赛阶段中，来自湖南省各市州的多支本土男足劲旅在为期3个月的时间内展开了91场比赛．若设共有支本土男足劲旅参加比赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 使有意义的x的取值范围是______． 13. 一个不透明的袋子中有10个质地均匀、大小相同的球，其中3个红球，7个白球，随机摸出一个球是红球的概率为______． 14. 已知点，点关于原点对称，则的值为_________． 15. 如图，已知点C，D是以为直径的半圆O的三等分点，圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 三、解答题（共9个小题，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，，垂足分别为B，D，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 20. 在国产大模型持续引领全球科技热潮下，某校七年级的课外社团选修课也正如火如荼地展开，开设有定向越野、啦啦操、武术、飞盘四门选修课．小明为掌握七年级同学的选修课情况，在每个班随机抽取部分学生进行调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的七年级学生共有___________人；在扇形统计图中，“定向越野”对应的扇形圆心角度数为___________； （2）该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； （3）为庆祝端午节，学校从选“武术”这门选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名学生参加表演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加表演的概率． 21. 小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 22. 中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． （1）求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． （2）若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 23. 如图，在中，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交，于点O，E．在上取点F，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求AB的长． 24. 中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万乘休”．在函数的学习中，常常利用数形结合思想来探究函数的图象与性质．我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”． （1）在下列关于的函数中，是“之一函数”的是 (填序号)． ①；②；③． （2）①若关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于A，B两点(其中，与轴交于点C，且，求该二次函数的解析式． ②在（1）的条件下，点P是二次函数图象第一象限上的点，问是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． （3）若关于的二次函数是“之一函数”，其图象与轴交于A、B两点，顶点为点D，与轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点，已知且，，试求：的最大值． 25. 如图①，线段均为的直径，且过点D的切线与延长线交于点A，延长至点B，连接，使得，已知，交于点I，交于点G，点E为弧上动点（不与F，C重合），连接交于点N， （1）证明：与相切； （2）如图②，若点O，G，B在同一条直线上： ①此时，_________； ②连接，求出三条线段的数量关系并说明理由； （3）如图③，若点E为弧中点，令，，求出y关于x的函数关系式（不需写x的取值范围）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级2025-2026学年第二学期数学模拟练习（二） 一、单选题（共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义逐项分析求解即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B． 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意； D． 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算、分式的乘方及同底数幂的除法法则，需根据各运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴A选项错误； ∵===2≠， ∴B选项错误； ∵=≠， ∴C选项错误； ∵==， ∴D选项正确； 故选：D． 4. 要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（ ） A. 3000 B. 4000 C. 6000 D. 60000 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本数量除以所求量占样本的比例即可估计总量． 由题意已知池塘中有记号的鱼所占的比例，用标记的鱼数除以样本中标记鱼的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：（条）； 故选：A． 5. 如图①，在中，D是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点M，交于点N； ②以点D为圆心，以长为半径画弧，交线段于点P，交线段于点R； ③以点P为圆心，以长为半径画弧，交于点Q，点Q与点C在直线同侧； ④作直线，交于点E． 则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线等分线段定、三角形中位线定理等知识点，说明是解题的关键． 由作图过程可得，可判定A正确；再根据平行线的判定定理可得，由平行线的性质可判定B选项；根据平行线等分线段定理可判断C选项；先说明是的中位线可得，而和不一定相等，据此可判定D选项． 【详解】解：由作图可知，故选项A正确， ∴， ∴，故选项B正确， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴，即，故选项C正确； ∵，， ∴是的中位线， ∴ ∵和不一定相等， ∴不一定成立，故选项D错误． 故选：D． 6. 关于一次函数下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质应用．根据一次函数，得到图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，y随x的增大而增大，当时，，判断即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，一次函数y随x的增大而增大，且当时，， 故A，C，D都错误，B正确． 故选：B． 7. 在中，，那么的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求余弦，勾股定理，先求出，根据余弦定义计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，的邻边，斜边为， ∴， 故选：C． 8. 如图，为的外接圆，，点D 在优弧上，连接． 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等．根据等腰三角形性质求出，根据即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9. 2025年“湘超”联赛9月7日在长沙市贺龙体育场举行．本届赛事分常规赛（即每个参赛队都与所有其他队比赛且只比赛一场）和淘汰赛两阶段，在常规赛阶段中，来自湖南省各市州的多支本土男足劲旅在为期3个月的时间内展开了91场比赛．若设共有支本土男足劲旅参加比赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，单循环比赛场次的计算，关键是理解每个队比赛场次以及避免重复计算． 设共有支本土男足劲旅参加比赛，根据在为期3个月的时间内展开了91场比赛列出方程即可． 【详解】解：∵共有支队伍参赛， ∴每支队伍需与其余支队伍各赛一场， 又∵每场比赛会被重复计算一次， ∴总比赛场次为， ∵已知总场次为91场， ∴， 故选：B． 10. 如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【详解】解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴， 解得， 则的值可能是． 故选：B． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 12. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出，然后正确的解不等式即可． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， 即． 故答案为：． 13. 一个不透明的袋子中有10个质地均匀、大小相同的球，其中3个红球，7个白球，随机摸出一个球是红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，用红球的个数除以球的总个数即可得到结果． 【详解】解：∵袋子中共有10个质地均匀大小相同的球，其中3个红球， ∴随机摸出一个球是红球的概率为． 14. 已知点，点关于原点对称，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出与的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：点，点关于原点对称， ，， ． 15. 如图，已知点C，D是以为直径的半圆O的三等分点，圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，连接、，根据C，D是以为直径的半圆的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算求解即可． 【详解】解：连接、、， ∵C，D是以为直径的半圆的三等分点， ∴，， 又∵， ∴、是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为，由角平分线的性质可得，，结合反比例函数的解析式可得点．容易证明四边形是正方形，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到的面积． 【详解】解：如图，过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为， 由题意可知，平分，平分， ∵轴，轴，， ∴，， ∴， 解得（负根舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ． 三、解答题（共9个小题，共72分） 17. 计算： 【答案】7 【解析】 【分析】根据绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式和负整数指数幂的运算法则分别对每项进行化简，再进行加减计算即可． 【详解】解： =7 【点睛】本题考查实数的混合运算、熟练掌握绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式和负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项化简，最后代入计算结果． 【详解】解： 当时，原式． 19. 如图，，，垂足分别为B，D，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）12 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，求出和的面积，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 在国产大模型持续引领全球科技热潮下，某校七年级的课外社团选修课也正如火如荼地展开，开设有定向越野、啦啦操、武术、飞盘四门选修课．小明为掌握七年级同学的选修课情况，在每个班随机抽取部分学生进行调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的七年级学生共有___________人；在扇形统计图中，“定向越野”对应的扇形圆心角度数为___________； （2）该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； （3）为庆祝端午节，学校从选“武术”这门选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名学生参加表演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加表演的概率． 【答案】（1）50， （2）估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数为180人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据啦啦操的人数是10人，占总调查人数的，求出总人数；用总人数减去其余三组人数求出定向越野的人数，即可求出所对圆心角度数； （2）利用样本估计总体的方法求解即可； （3）根据列表法解答即可． 【小问1详解】 解：因此本次调查总人数为：人， 定向越野的人数为：人， 对应扇形圆心角为：； 【小问2详解】 解：由扇形统计图可知，选择“啦啦操”的人数占比为20%， （人）， 估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数为180人； 【小问3详解】 解：将这4名学生分别记作：男1，男2，男3，女，根据题意，列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 （男2，男1） （男3，男1） （女，男1） 男2 （男1，男2） （男3，男2） （女，男2） 男3 （男1，男3） （男2，男3） （女，男3） 女 （男1，女） （男2，女） （男3，女） 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到2名男生的结果有6种， （恰好抽到2名男生参加表演）． 21. 小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 【答案】（1） （2）峡谷AC的宽度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． （1）在中，根据求解即可； （2）连接，过点B作于点H，先证明四边形是矩形，得到，，然后在中，根据可求出的长，即可求得答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 即无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离是； 【小问2详解】 解：连接，过点B作于点H， 是水平线， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 峡谷的宽度约为． 22. 中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． （1）求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． （2）若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】（1）3辆；116人 （2）36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆 【解析】 【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意． （1）设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据“若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； 【小问2详解】 解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． 23. 如图，在中，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交，于点O，E．在上取点F，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，得是线段的垂直平分线，可知，，根据可证四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，根据三角函数求出，根据菱形面积公式计算即可. 【小问1详解】 证明：由题意，得是线段的垂直平分线， ∴，． 又∵， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在菱形中，，， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． 设菱形的面积为S，则， 即， 解得． 24. 中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万乘休”．在函数的学习中，常常利用数形结合思想来探究函数的图象与性质．我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”． （1）在下列关于的函数中，是“之一函数”的是 (填序号)． ①；②；③． （2）①若关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于A，B两点(其中，与轴交于点C，且，求该二次函数的解析式． ②在（1）的条件下，点P是二次函数图象第一象限上的点，问是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． （3）若关于的二次函数是“之一函数”，其图象与轴交于A、B两点，顶点为点D，与轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点，已知且，，试求：的最大值． 【答案】（1）③ （2）①；②存在， （3） 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数，反比例函数，二次函数的图象逐个判断即可．其中正比例函数，反比例函数可直接判断，二次函数需要画出草图，再判断． （2）①根据“之一函数”函数的定义推导，由化为， 从而得到，继而求出二次函数解析式； ②先求出点A、B、C的坐标，再作交于点Q，作轴于点D．证明，继而求出点Q的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组求出点P的坐标即可； （3）先利用根与系数的关系得到，，由顶点公式得到，根据根据“之一函数”函数的定义推导，由得到，再将前面的结论代入得，化简得，设，则，设，则，则当时，． 【小问1详解】 解：①在正比例函数中，，所以经过一、三象限，不是“之一函数”． ②反比例函数要么经过一、三象限，要不经过二、四象限，不是“之一函数”． ③令，解得， 令，得， 所以抛物线，经过点，，，画出草图图下： 所以抛物线经过一、二、四象限，是“之一函数”． 故答案为：③； 【小问2详解】 ①∵关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于，两点(其中， ∴，否则必定经过四个象限，不是“之一函数”， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴解析式为． ②存在符合条件的p点，理由如下： 由第①问知，二次函数， 由知：A点在B点左侧， 当时，， 当时，， 故，，，如图所示： 作交于点Q，作轴于点D． 则， ∴， ∵在中，， ∴ ∴ ∴， ∴，． ∴． ∴， 设直线的解析式是：， 则将点Q、C代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是∶ 联立方程组得：， 解得：或 ∴存在点P，使得，此时点P的坐标是； 【小问3详解】 设 即的两解是， ∴ ∴， 二次函数的顶点是． ∵关于的二次函数是“之一函数”， ∴其图象一定与x轴有两个交点，否则只能过两个象限，且两个交点必须同号，否则会过四个象限，即且 ∴同号， 又∵ ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， 设， ， ， ， ∵， ， ∴时， 【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，全等三角形的判定和性质，根与系数的关系，二次函数的顶点公式，待定系数法等知识，难度大，综合性大，拥有较强的运算能力和运用数形结合思想是解题的关键． 25. 如图①，线段均为的直径，且过点D的切线与延长线交于点A，延长至点B，连接，使得，已知，交于点I，交于点G，点E为弧上动点（不与F，C重合），连接交于点N， （1）证明：与相切； （2）如图②，若点O，G，B在同一条直线上： ①此时，_________； ②连接，求出三条线段的数量关系并说明理由； （3）如图③，若点E为弧中点，令，，求出y关于x的函数关系式（不需写x的取值范围）． 【答案】（1）证明：∵是直径，是的切线， ∴，即， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的半径， ∴与相切； （2）①60； ②，理由如下： 连接，过点作交的延长线于点， 由①可得， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∵ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先由圆的切线的性质得到，再证明即可； （2）①先证明，则，再由切线长定理得到，最后根据直角三角形的性质求解即可； ②连接，过点作交的延长线于点，先证明，得到，，再证明，则，然后进行线段和差证明即可； （3）连接，先证明，得到，再根据三角函数得到③，然后证明，得到⑤，由，得到④，再证明，得到，由已知化简可得，再证明，最后再代入化简即可求解函数关系式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵直线，是的切线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴； ②略 【小问3详解】 解：连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴③， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴⑤， ∵ ∴ ∴ ∴④ ∵， ∴ ∵在四边形中，，而， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 将①代入得， ∴② ∵点E为弧中点， ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 把②代入， 则 把③代入， 则 把④和⑤代入， 则 ∵, ∴ ∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $