第2章 实数（单元自测卷）数学新教材湘教版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元检测卷 第二章 实数（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C D D C C B A C 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．或 12．4 13． 14． 15．2 16．或2或3 17．或． 18．19 三、解答题（共6小题，共58分） 19．（6分） 【详解】解：（1）原式 ；（3分） （2）原式 ．（6分） 20．（8分） 【详解】解：（1）原式 ．（3分） （2）原式 ， 将代入得：原式．（8分） 21．（8分） 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为：， ∴正方形的边长为；（3分） （2）方法：在方格中利用割补发得出一个面积为10的正方形，其边长即满足条件； 理由如下：四边形的面积为：， 正方形的边长为， 如图所示，线段即为所求 （8分） 22．（8分） 【详解】解：（1）由面积公式，可得． 当足够小时，略去，得方程． 解得．即；（3分） （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 设，可画出如下示意图， ，（6分） 由面积公式，可得， 整理得， 当足够小时，略去，得方程， 解得， ∴（8分） 23．（8分） 【详解】（1）解：（焦耳）； ∴探测器进入火星轨道时的动能为焦耳；（4分） （2）解：由题意得：， 解得：（米/秒）， ∴减速后的速度应降至约2828米/秒．（8分） 24．（10分） 【详解】（1）根据新定义运算可得：，（4分） （2）由题意可得：， ． ∵ ∴ ∴．（10分） 25．（10分） 【详解】（1）解：∵， ∴36是“连续合数”， 故答案为：是；（3分） （2）证明，设任何一个“连续合数”分成的两个连续偶数为（其中n表示自然数）， ， ∵n为自然数， ∴是奇数， ∴任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍；（6分） （3）证明：由题意得：，且的整数， ∴ ∴，且为整数， ∵“连续合数”是4的奇数倍， ∴是4的奇数倍， ∴为奇数， ∴或， 当时，则或， ∵为奇数， ∴， ∴此时， 当时，， ∵为奇数 ∴， ∴此时， ∴综上所述，所有符合条件的三位数为132，220．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元检测卷 第二章 实数 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列实数中，属于无理数的是 （     ） A． B．0.4 C．0 D． 2．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的立方根是 4．下列说法错误的个数为（     ） ①0的绝对值、相反数、倒数都等于它本身； ②单项式的次数是指单项式中所有指数之和； ③0.42万与的精确度不同；         ④一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列说法中正确的是（     ） A．的次数是3次 B．有理数与数轴上的点一一对应 C．是分数 D．四舍五入得到的近似数1.75万，精确到百位 6．若的立方为，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 7．已知，则的值为（     ） A． B．1 C．5 D．6 8．下列语句中正确的是（     ） A．近似数精确到千分位 B．近似数精确到个位 C．近似数万精确到千分位 D．近似数精确到百分位 9．如图所示，数轴上点、分别表示、，若点关于点的对称点为点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 10．下列说法中：①2.04（精确到0.1）取近似数是2.0；②两个三次多项式的和一定是三次多项式；③若是8的相反数，比的相反数小3，则；④若，则可能的值为0或；正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若，则 ． 12．若实数，，满足： ，则的值为 ． 13．据第7次全国人口普查统计，截至2020年11月1日零时，全国人口共141178万人，将141178这个数保留四个有效数字并用科学记数法表示是 ． 14．已知的一个平方根是5，的立方根是2，c是的整数部分，则的平方根是 ． 15．实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．    16．已知，则的值为 ． 17．方程的根是 ． 18．将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 19．（6分）计算： （1）； （2） ． 20．（8分）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 21．（8分）观察图： 每个小正方形的边长均是1， 我们可以得到小正方形的面积为1 ． (1)如图， 求阴影正方形的面积， 并由面积求正方形的边长． (2)在图： 正方形方格中， 由题（1）的解题思路和方法， 设计一个方案画出长为 的线段， 并说明理由． 22．（8分）（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是3的正方形的边长是，且．设，可画出如下示意图． 由面积公式，可得______________． 当足够小时，略去，得方程_______________． 解得____________．即_______________． （2）仿照上述方法，利用（1）的结论，再探究一次，使求得的的近似值更加准确．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 23．（8分）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能（单位：焦耳），表示运动物体的质量（单位：千克），表示物体的运动速度（单位：米/秒）． 探究太空探测器的动能：“天问一号”火星探测器质量为5000千克，进入火星轨道时速度为4000米/秒．科学家计划通过减速将其动能减少到焦耳以调整轨道．（参考数据：，，，．） (1)求探测器进入火星轨道时的动能；（结果用科学记数法表示．） (2)减速后的速度应降至约多少米/秒？ 24．（10分）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 25．（10分）材料一：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“连续合数”，如，因此4，12，20这三个数都是“连续合数”． 材料二：对于一个三位自然数，如果十位上的数字恰好等于百位上数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“行知数”例如：在自然数231和132中．，则231和132都是“行知数”；在自然数396和693中，，则称396和693是“行知数”． (1)请判断：36______“连续合数”；（填“是”或“不是”）； (2)证明：任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍； (3)已知三位数（其中a、b、c为整数，且）满足既是“连续合数”，又是“行知数”，求所有符合条件的三位数的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元检测卷 第二章 实数 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列实数中，属于无理数的是 （     ） A． B．0.4 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数，无理数是指无限不循环小数．根据无理数的定义判断各选项是否为无限不循环小数． 【详解】解：选项A：是开方不尽的数，无法表示为分数，属于无理数． 选项B：0.4是有限小数，可写为，属于有理数． 选项C：0是整数，属于有理数． 选项D：是整数，属于有理数． 故选：A． 2．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义及其特性解答即可． 本题考查了立方根，算术平方根，平方根，任意实数都有立方根，非负性有平方根，熟练掌握定义和条件是解题的关键． 【详解】A. ，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. 错误，不符合题意；     D. ，正确，符合题意； 故选：D． 3．下列说法正确的是（     ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的立方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根及立方根的概念． 需逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，3的算术平方根是，故A错误； B．负数没有平方根，无平方根，故B错误； C．0的算术平方根是0，故C正确； D．的立方根是，而是的结果，故D错误； 故选：C． 4．下列说法错误的个数为（     ） ①0的绝对值、相反数、倒数都等于它本身； ②单项式的次数是指单项式中所有指数之和； ③0.42万与的精确度不同；         ④一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用有理数的相关概念判断即可． 【详解】①0没有倒数，此项错误； ②单项式的次数是指单项式中所有字母指数之和，此项错误； ③0.42万与的精确度相同，此项错误； ④一个数的平方是正数，但这个数的立方也可能为负数，此项错误； 故选D． 5．下列说法中正确的是（     ） A．的次数是3次 B．有理数与数轴上的点一一对应 C．是分数 D．四舍五入得到的近似数1.75万，精确到百位 【答案】D 【分析】根据单项式次数定义、有理数与数轴上点的关系、分数的定义以及精确度解答． 【详解】解：A. 的次数是4次，故该项不符合题意； B. 有理数都可以用数轴上的点表示，故该项不符合题意； C. 不是分数，故该项不符合题意； D. 四舍五入得到的近似数1.75万，精确到百位，故该项不符合题意； 故选：D． 6．若的立方为，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键，根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：由题意得：， 则， 解得：． 故选：C． 7．已知，则的值为（     ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性． 根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性求出a、b的值，再求和即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即， 解得， ∴． 故选：C 8．下列语句中正确的是（     ） A．近似数精确到千分位 B．近似数精确到个位 C．近似数万精确到千分位 D．近似数精确到百分位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数的精确度，近似数精确到某一位，是指该数的最后一位数字所在的数位，逐项判断各选项的精确度即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：近似数，精确到百位，原选项说法错误，不符合题意； 、近似数精确到个位，原选项说法正确，符合题意； 、近似数万精确到千位，原选项说法错误，不符合题意； 、近似数精确到千分位，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 9．如图所示，数轴上点、分别表示、，若点关于点的对称点为点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，对称的性质，数轴上两点间的距离，设点所表示的数为，根据对称的性质得，继而得到，求解即可．利用方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设点所表示的数为， ∵数轴上点、分别表示、，且点关于点的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴点所表示的数为． 故选：A． 10．下列说法中：①2.04（精确到0.1）取近似数是2.0；②两个三次多项式的和一定是三次多项式；③若是8的相反数，比的相反数小3，则；④若，则可能的值为0或；正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查近似数，绝对值，相反数及整式加减，解题的关键是掌握相关概念，能进行准确计算．由四舍五入可判断①；根据整式的加减可判断②；求出a，b相加可判断③；根据，可判断出，中负数的个数为1个或2个，然后分类化简可判断④． 【详解】解：①2.04（精确到0.1）取近似数是2.0，故①正确； ②两个三次多项式的和不一定是三次多项式；故②错误； ③a是8的相反数，b比a的相反数小3，则，故③正确； ④∵， ∴中负数的个数为1个或2个， 当中负数的个数为1个时， 原式． 当中负数的个数为2个时， 原式，故④错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 12．若实数，，满足： ，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值，二次根式和完全平方式的非负性，根据几个非负数的和为0，则每个式子的值多位0，求出x、y、z的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， 且， ，，， ，，， ． 故答案为：4 13．据第7次全国人口普查统计，截至2020年11月1日零时，全国人口共141178万人，将141178这个数保留四个有效数字并用科学记数法表示是 ． 【答案】 【分析】用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍． 【详解】解：． 故答案为：． 14．已知的一个平方根是5，的立方根是2，c是的整数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，掌握这些知识点是解题的关键． 根据平方根及立方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的一个平方根是5， ， 解得：． 的立方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 15．实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．    【答案】2 【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴得出，，进而化简即可． 【详解】解：由数轴，得，， ∴，，， ∴原式 ， 故答案为：2． 16．已知，则的值为 ． 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 17．方程的根是 ． 【答案】或． 【分析】由得继而得，故或，求立方根即可． 本题考查了幂的运算的逆运算，平方根，立方根，熟练掌握公式和定义是解题的关键． 【详解】解：由得， 故， 故或， 解得或． 故答案为或． 18．将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ． 【答案】19 【分析】本题考查实数数字类规律，从题中实数的排列方式中找到规律是解决问题的关键．根据题中所给的实数排列方式，找到规律求解即可得到答案． 【详解】解：将实数按如图方式进行有规律排列，观察发现，具有如下规律： ①第行有个数； ②每行最后一个数字的绝对值等于行数； ③奇数行的最后一个为正； ④偶数行的最后一个为负； ∴第19行有个数， ∴根据如上规律可知，第19行的第37个数是19． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 19．（6分）计算： （1）； （2） ． 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）直接利用算术平方根以及立方根、有理数的乘方运算法则分别计算得出答案； （2）直接利用算术平方根以及立方根、绝对值的性质分别计算得出答案． 【详解】解：（1）原式 ；             （2）原式 ． 20．（8分）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了立方根与算术平方根、实数的混合运算、完全平方公式与平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题关键． （1）先计算立方根与算术平方根，再计算实数的加减法即可得； （2）先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ， 将代入得：原式． 21．（8分）观察图： 每个小正方形的边长均是1， 我们可以得到小正方形的面积为1 ． (1)如图， 求阴影正方形的面积， 并由面积求正方形的边长． (2)在图： 正方形方格中， 由题（1）的解题思路和方法， 设计一个方案画出长为 的线段， 并说明理由． 【答案】(1)面积为5，边长为 (2)在方格中利用割补发得出一个面积为10的正方形，其边长即满足条件；理由见解析 【分析】（1）根据方格中大的面积减去四个三角形的面积即为阴影部分的面积； （2）根据（1）中方法，找出方格中面积为10的正方形，其边长即满足条件． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为：， ∴正方形的边长为； （2）方法：在方格中利用割补发得出一个面积为10的正方形，其边长即满足条件； 理由如下：四边形的面积为：， 正方形的边长为， 如图所示，线段即为所求 22．（8分）（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是3的正方形的边长是，且．设，可画出如下示意图． 由面积公式，可得______________． 当足够小时，略去，得方程_______________． 解得____________．即_______________． （2）仿照上述方法，利用（1）的结论，再探究一次，使求得的的近似值更加准确．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】（1），，1，1；（2）见解析 【分析】（1）解方程即可得到结论； （2）画一个边长为2的正方形，大正方形的面积=左下角正方形的面积+2个长方形的面积+小正方形的面积得到，略去，求出y，从而得到的近似值． 【详解】解：（1）由面积公式，可得． 当足够小时，略去，得方程． 解得．即； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 设，可画出如下示意图， ， 由面积公式，可得， 整理得， 当足够小时，略去，得方程， 解得， ∴ 23．（8分）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能（单位：焦耳），表示运动物体的质量（单位：千克），表示物体的运动速度（单位：米/秒）． 探究太空探测器的动能：“天问一号”火星探测器质量为5000千克，进入火星轨道时速度为4000米/秒．科学家计划通过减速将其动能减少到焦耳以调整轨道．（参考数据：，，，．） (1)求探测器进入火星轨道时的动能；（结果用科学记数法表示．） (2)减速后的速度应降至约多少米/秒？ 【答案】(1)焦耳 (2)2828米/秒 【分析】本题考查了算术平方根的应用，科学记数法． （1）将相关数据代入求解，结果用科学记数法表示即可； （2）根据公式，列得方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：（焦耳）； ∴探测器进入火星轨道时的动能为焦耳； （2）解：由题意得：， 解得：（米/秒）， ∴减速后的速度应降至约2828米/秒． 24．（10分）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据新定义运算计算即可； （2）根据新定义运算即可列方程，进而可求出值． 【详解】（1）根据新定义运算可得：， （2）由题意可得：， ． ∵ ∴ ∴． 25．（10分）材料一：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“连续合数”，如，因此4，12，20这三个数都是“连续合数”． 材料二：对于一个三位自然数，如果十位上的数字恰好等于百位上数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“行知数”例如：在自然数231和132中．，则231和132都是“行知数”；在自然数396和693中，，则称396和693是“行知数”． (1)请判断：36______“连续合数”；（填“是”或“不是”）； (2)证明：任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍； (3)已知三位数（其中a、b、c为整数，且）满足既是“连续合数”，又是“行知数”，求所有符合条件的三位数的值． 【答案】(1)是 (2)证明见解析 (3)132，220 【分析】（1）根据即可得出结论； （2）设任何一个“连续合数”分成的两个连续偶数为（其中n表示自然数），利用平方差公式求出，由此即可得到结论； （3）由题意得：，，再根据“连续合数”的定义结合（2）的结论得到为奇数，从而得到或，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴36是“连续合数”， 故答案为：是； （2）证明，设任何一个“连续合数”分成的两个连续偶数为（其中n表示自然数）， ， ∵n为自然数， ∴是奇数， ∴任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍； （3）证明：由题意得：，且的整数， ∴ ∴，且为整数， ∵“连续合数”是4的奇数倍， ∴是4的奇数倍， ∴为奇数， ∴或， 当时，则或， ∵为奇数， ∴， ∴此时， 当时，， ∵为奇数 ∴， ∴此时， ∴综上所述，所有符合条件的三位数为132，220． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $