第2章 实数（高效培优单元测试·提升卷）数学新教材湘教版七年级下册

第二章 实数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列实数中，是无理数的是（   ）． A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数，据此对各选项判断即可． 【详解】解：对于A：是无限不循环小数，属于无理数，故A正确； 对于B：是整数，属于有理数，故B错误； 对于C：是整数，属于有理数，故C错误； 对于D：是整数，属于有理数，故D错误． 故选：A． 2．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过直接计算每个选项的左右值，判断等式是否成立，注意算术平方根和绝对值的性质． 本题考查了算术平方根、立方根、绝对值的性质，掌握算术平方根与立方根的计算规则、绝对值的化简方法是解题的关键． 【详解】解：A、∵=3，=2， ∴ =1，而≠1，故A错误，不符合题意； B、∵ ≈1.732 > 1， ∴ =，故B正确，符合题意； C、=3，而非±3，故C错误，不符合题意； D、== 9， ∴ =−9 ≠9，故D错误，不符合题意． 故选：B． 3．已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的整数部分的有关计算，求代数式的值． 通过估算和的范围，确定的整数部分和的小数部分，再计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为 12， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 4．观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 5．已知一些数的平方如下表所示，则无理数的大小在（   ）         6.8121 6.8644 6.9169 6.9696 7.0225 7.0756 7.1289 A．2.61与2.64之间 B．2.64与2.65之间 C．2.65与2.66之间 D．2.65与2.67之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据表格中的数据找到7在哪2个数的平方之间即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴ 即的大小在2.64与2.65之间， 故选：B． 6．已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 7．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的知识，熟练根据正数的平方根互为相反数列方程求解是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：∵正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 解得：． 故选：A． 8．若，则正整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定的取值范围，再得到的取值范围，进而求出正整数的值即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 又∵，且为正整数， ∴， 故选：． 9．在下列结论中，正确的是（    ） A． B．是的一个平方根 C．一定没有平方根 D．的立方根是4 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，需根据算术平方根的定义（非负性）、立方根的定义和平方根的性质判断每个选项． 【详解】解：选项A，∵，算术平方根结果非负，∴A错误； 选项B，∵，∴是的一个平方根，∴B正确； 选项C，∵当时，，有平方根，∴C错误； 选项D，∵，而的立方根为，∴D错误； 故选：B． 10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到数字变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是， ∵ ∴表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 同理可得， 可知以，两个数循环出现， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．16的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求解即可：若，则，x是a的平方根，注意正数的平方根有2个． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 12．比较大小：7 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数大小比较，通过比较平方的大小来判断原数的大小即可 【详解】解：因为，，且， 所以， 故答案为：． 13．若，为实数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握平方和算术平方根的非负性是解题关键．根据平方和算术平方根的非负性可求出和的值，再计算乘积即可． 【详解】解： ，，且 ， 且， 解得，， ． 故答案为：． 14．已知，则 【答案】 【分析】将转化为的形式，利用算术平方根的乘积运算性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 15．如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是能估算无理数的大小． 分别估算三个数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，， 被墨迹覆盖的数是， 故答案为：． 16．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，解二元一次方程组，根据绝对值和算术平方根的非负性，列出方程组并求解． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ， ， 即 ， 得：， 即 ， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．把下列各数填在相应的括号里：，，，0，，，2.9，1.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）． （1）整数：{                                                    …}； （2）分数：{                                                    …}； （3）无理数：{                                                    …}． 【答案】（1）整数：； （2）分数：； （3）无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0）}． 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键； 根据实数的分类将题干的八个数分别填到三个空内． 【详解】解：是整数；无法化简也不能化为分数形式，是无理数；是分数；0是整数，是无理数；是有限小数，是分数；是有限小数，是分数；（相邻两个3之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数； ∴整数：； 分数：； 无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0，…} ． 18．阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 【答案】(1)的整数部分是3，小数部分为 (2)6 【分析】本题考查了估算无理数的大小估算，立方根，平方根的含义，求代数式的值． （1）根据题干中的方法即可求出结果； （2）根据题意可得，，，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分是3，小数部分为． （2）解：∵a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分， ∴，，， ∴. 19．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）6（2）或 【分析】本题考查实数的混合运算，利用平方根解方程． （1）先进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可； （2）根据平方根的定义，解方程即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， 解得或． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 分别计算乘方、算术平方根、立方根和绝对值，然后再进行加减运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 22．如图，已知点A、B是数轴上的两点，点A对应的数为，点B在点A的右侧，点C为数轴上一动点，设点B对应的数为m，点C对应的数为x，若． (1)求m的值； (2)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点C为“优美关系”，求x的值． 【答案】(1)； (2)或或． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，轴对称的性质． （1）直接根据数轴上两点间的距离作答即可； （2）分三种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵点A对应的数为，点B在点A的右侧，， ∴点B对应的数为， 即； （2）解：如图，当点B、点C关于点A对称时， ∴， 即； 如图，当点A、点B关于点C对称时， ∴， 即； 如图，当点A、点C关于点B对称时， ∴， 即； 综上所述，x的值为或或． 23．提出问题： 单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．如何用数形结合的方法探究的近似值呢？ 探究方法： 面积为2的正方形边长为，可知，则的整数部分是1，因此设，且． 画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照上述的方法，探究的近似值（结果只包含2位小数），要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程； (2)综合上述具体探究，尝试计算：已知非负整数a、b、m，若，且，则______（用含a、b的代数式表示）； (3)应用上述探究结果，直接写出的近似值，______（结果只包含2位小数） 【答案】(1)，示意图和过程见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键． （1）参照题目的过程解题即可； （2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可； （3）根据（2）所求，结合可得答案． 【详解】（1）解：面积是23的正方形的边长是，且，即， 设，如图，面积为23的正方形分成2个小正方形和2个长方形， ∵， 而， ∴， 由于较小故略去，得方程，解得， 即； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴由（2）可得． 24．【阅读理解】 科技社团在设计精密零件时，需要估算某些尺寸的大小．我们可以利用完全平方公式：来近似计算算术平方根． 例如求的近似值： ∵， ∴， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 【尝试探究1】 小航用①的形式求的近似值的过程如下： ∵， ∴， 即． ∵比较小，忽略不计， ∴， 即， 得， 故． 【尝试探究2】 （1）请用②的形式求的近似值(结果保留2位小数)． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值更精确，请说明理由． 【答案】（1）； （2）用①的形式得出的的近似值更精确，理由见解析 【分析】本题考查利用完全平方公式近似估算算术平方根，核心是利用完全平方公式展开后，因未知数的绝对值很小，其平方项可忽略，从而将无理数估算转化为有理数计算． （1）设()，对等式两边平方并展开，忽略后建立关于的近似方程，求解后代入原式计算近似值，最后按要求保留两位小数； （2）分别计算两种方法所得近似值的平方，其结果与55的差的绝对值越小，则该方法越精确． 【详解】（1）解：∵()， ∴，展开得， ∵比较小，可忽略不计， ∴， ∴，解得， ∴； （2）解：用①的形式得出的的近似值更精确，理由如下： ∵，，而，，且， ∴方法①比较准确． 25．我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题：； ； ； ． (1)请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子；_____． (2)补全定义内容：_____，（用含、的代数式表示） (3)计算 (4)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)16 (4)不满足，见解析 【分析】（1）仔细观察等式的特点，写出一个符合规律的等式即可，答案不唯一． （2）根据式子的特点归纳新定义即可； （3）根据新定义解答即可计算； （4）根据定义，计算判断结果是否相等，相等，则满足，反之，不满足． 本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，熟练掌握定义和运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，答案如下： ， 故答案为：． （2）解：根据式子的特点，得到， 故答案为：． （3）解： ． （4）解：根据题意，得，， 由， 故， 故新定义的运算不满足交换律． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章实数（高效培优单元测试·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列实数中，是无理数的是（). A.√2 B.√4 C.-1 D.0 2.下列等式成立的是() A.5-√4=√5 B.11-5=5-1 C.27=±3 D.-V-9y2=9 3.己知7+√5的整数部分是a,15-√万的小数部分是b,则a+b的值为() A.13-√万 B.2-√万 C.14-V7 D.15-√万 4.观察下列各式： 依次类推请你用发现的规律表示第2021 个等式的结果，正确的是() 1 1 1 A.2020 B.202 C.202 D.2021 2020 V2022 V2023 V2023 5.已知一些数的平方如下表所示，则无理数√万的大小在() 2.61 2.622 2.632 2.64 2.65 6.8121 6.8644 6.9169 6.9696 7.0225 A.2.61与2.64之间 B.2.64与2.65之间 C.2.65与2.66之间 D.2.65与2.67之间 6.已知Va+2+b-1=0,那么(a+b226的值为() A.-1 B.1 C.32026 D.-32026 7.已知一个正数a的两个不同的平方根分别是x+5和4x-15,则x的值为() 20 A.2 B. 3 C.7 D.49 8.若n<√33-1<n+1,则正整数n的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 9.在下列结论中，正确的是() 1/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 52 A. -4 B.x2是x4的一个平方根 4 C.-x2一定没有平方根 D.√64的立方根是4 10.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把√2表示在数轴上点A处，记A右侧最近的整数点为B ,以点B为圆心，AB,为半径画半圆，交数轴于点A,记A右侧最近的整数点为B,以点B为圆心， A,B2为半径画半圆，交数轴于点A,如此继续，则AB。的长为() 0 1 A B A2 B2 A3 A.√2 B.V2-1 C.V2+1 D.2-√2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.16的平方根是 12.比较大小：7 √47.（填“><”或“=”) 13.若a,b为实数，且满足(a+4)2+√b-3=0,则ab= 14.已知√25.36≈5.036√253.6≈15.925，则√253600≈ 15.如图所示的数轴被墨迹覆盖，-√5，√万，√5中被墨迹覆盖的是 2-10下2345> 16.若x+2y-6+2x+y-3=0,则x+y-2的值为 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.把下列各数填在相应的括号里：√25，-√万， 2?,0,n,34,29,3030030003(相邻两个3 之间依次多一个0). (1)整数：{ .}: (2)分数：{ …}: 2/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)无理数：{ }. 18.阅读材料：因为，4<6<9， 所以，√4<√6<√，即，2<√6<3， 所以，√6的整数部分是2，小数部分为√6-2. 解答问题： (①)请你模仿材料中的解答过程，求√0的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是-5，c是√10的整数部分.求-2a+b-c的值. 19.(1)计算：（-22+64-√4： (2)解方程：（x-1)=16 20.计算： 0-12+4-8-(-3: (2)-22+-2-V4--27. 21.观察下列各式： 第1个等式： 10 第2个等式： 31 1- 429 5 第3个等式： 93 第4个等式： 73 164 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第6个等式： (②)根据等式的规律，请写出第n个等式；(n是正整数，用含的式子表示) (3)计算： 197 199 9801 10000 22.如图，己知点A、B是数轴上的两点，点A对应的数为-√2，点B在点A的右侧，点C为数轴上一动 点，设点B对应的数为m,点C对应的数为x,若AB=2. B -2-1012 (1)求m的值； (2)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点C为“优 3/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 美关系”，求x的值. 23.提出问题： 单项式“”可表示边长为α的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现.如何用数形结合的方 法探究√2的近似值呢？ 探究方法： 面积为2的正方形边长为√2，可知1<√2<2，则√2的整数部分是1，因此设√2=1+r,且0<r<1. 画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即 S正方形=r2+2×r+1,另一方面S正方影=2，则，2+2xr+1=2,由于，2较小故略去，得2r+1≈2，则r≈0.5， 即√2≈1.5 ()仿照上述的方法，探究√23的近似值（结果只包含2位小数），要求：画出示意图，标明数据，并写出求 解过程 (2)综合上述具体探究，尝试计算√m:已知非负整数a、b、m,若a<√m<a+1,且m=a2+b,则Vm≈ (用含a、b的代数式表示)： (3)应用上述探究结果，直接写出√107的近似值，√107≈ (结果只包含2位小数) 24.【阅读理解】 科技社团在设计精密零件时，需要估算某些尺寸的大小.我们可以利用完全平方公式： (a±b)2=a2±2ab+b2来近似计算算术平方根. 例如求√55的近似值： :49<55<64, 7<V55<8, 则√55可以设成以下两种形式： ①√55=7+x,其中0<x<1; 4/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②√55=8-y,其中0K1. 【尝试探究1】 小航用①的形式求√55的近似值的过程如下： :V55=7+x, 55=(7+x)2, 即55=49+14x+x2. :x比较小，x2忽略不计， .55≈49+14x, 即14x≈55-49， 放5=7+月748 【尝试探究2】 (1)请用②的形式求√5的近似值（结果保留2位小数）. 【比较分析】 (2)你认为用哪一种形式得出的√55的近似值更精确，请说明理由， 25.我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：⑧b=,定义的 内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题：1⑧3=1×4+3=7； 38-1=3×4-1=11: (-8)85=-8×4+5=-27; (-4)8-3)=-4)×4-3=-19. ()请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子：· (②)补全定义内容：a⑧b=,(用含a、b的代数式表示) (3)计算(-6)8[(+12)⑧(-8)] (4当a≠b时，这种新定义的运算是否满足交换律，即a⑧b=b⑧a是否成立，请说明理由. 5/5