23.3.2 一次函数与二元一次方程组 导学案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“一次函数与二元一次方程组”，引导学生理解两者联系并能用函数图象解释方程组的解。通过复习一次函数与一元一次方程、不等式的关系导入，搭建旧知到新知的学习支架，衔接知识脉络。 资料特色在于从“数”与“形”双角度探究关系，结合探测气球等实际问题培养模型意识，多样练习题发展推理能力。助力学生用数学眼光观察联系，用数学思维分析问题，用数学语言表达规律，提升学习效率与核心素养。

第二十三章 一次函数 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 第2课时 一次函数与二元一次方程组 教学目标： 1.理解二元一次方程组与一次函数之间的联系，能用函数图象解释二元一次方程（组）的解； 2.经历从代数解法到函数图象解法的探究过程，掌握通过函数图象求解方程（组）和不等式的方法. 教学重点：理解一次函数与二元一次方程组的关系，并能够利用函数图像解决二元一次方程组的问题； 教学难点：理解一次函数与二元一次方程组的关系，并能够利用函数图像解决二元一次方程组的问题. 活动一、复习导入 问题1：一次函数与一元一次方程的关系是什么？ 问题2：一次函数与一元一次不等式的关系是什么？ 活动二、探究新知1： 探究1.一次函数与二元一次方程 由于每个含未知数 x 和 y 的二元一次方程都可以转化为 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上. 探究2.一次函数与二元一次方程组 思考： 对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 分析： 方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x-1与y=−x+，解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解. 如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1与y=−x+的图象. 这两条直线的交点坐标为（1，1），由此得出方程组的解是 小结： 由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看， 解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 活动三、典例分析 例1 （教材P129例题） 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升;2号气球从距离地面15 m高处出发，以0.5 m/s的速度上升.两个气球都上升了1 min. (1)分别写出表示两个气球所在位置的高度 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：s)的函数解析式. (2)两个气球在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 【练一练】如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组的解是多少？ 例2 如图，求直线l1与l2 的交点坐标. 例3 如图，一次函数y1=ax+b（a,b为常数，且a≠0）与正比例函数y2=kx（k为常数，且k≠0）的图象交于点P(−4,−2)，则关于x的方程ax+b=kx的解是（ ） A． x=−4 B．x=−2 C．y=−2 D．y=−4 知识点一（一次函数与一元一次方程的关系） 每个含未知数 x 和 y 的二元一次方程都可以转化为 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式，每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上. 知识点二（一次函数与一元一次方程组的关系） 含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看， 解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 活动四、随堂检测 随堂练习1 若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线 y= － x+b－1上，则常数b=（　 　） A． B．2 C．﹣1 D．1 随堂练习2 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1，3)，则关于x的方程x+b=kx+4的解是（　　） A． x=−2 B．x=0 C．x=1 D．x=−1 随堂练习3 若直线y＝－x＋a与直线y＝x＋b的交点坐标为(2，8)，则a－b的值为(　 　) A．2 B．4 C．6 D．8 随堂练习4 已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中，直线 l1：y＝x＋5与直线 l2：y＝－x－1的交点坐标为_________． 随堂练习5 如图，若一次函数y=kx+b的图象经过A,B两点，则关于x的方程kx+b=0的解为________． 随堂练习6 直线y=−x+2与直线y=mx+n相交于点P(4,a)，则关于x，y的二元一次方程组的解为_________． 随堂练习7 用图像法解方程组 随堂练习8 如图，直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点 P（1，b）. （1）求 b 的值； （2）直接写出方程组的解：_________； （3）直线l3: y =nx +m是否经过点 P？请说明理由. 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 第2课时 一次函数与二元一次方程组 教学目标： 1.理解二元一次方程组与一次函数之间的联系，能用函数图象解释二元一次方程（组）的解； 2.经历从代数解法到函数图象解法的探究过程，掌握通过函数图象求解方程（组）和不等式的方法. 教学重点：理解一次函数与二元一次方程组的关系，并能够利用函数图像解决二元一次方程组的问题； 教学难点：理解一次函数与二元一次方程组的关系，并能够利用函数图像解决二元一次方程组的问题. 活动一、复习导入 问题1：一次函数与一元一次方程的关系是什么？ 解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 问题2：一次函数与一元一次不等式的关系是什么？ 解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 活动二、探究新知1： 探究1.一次函数与二元一次方程 由于每个含未知数 x 和 y 的二元一次方程都可以转化为 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上. 探究2.一次函数与二元一次方程组 思考： 对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 分析： 方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x-1与y=−x+，解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解. 如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1与y=−x+的图象. 这两条直线的交点坐标为（1，1），由此得出方程组的解是 小结： 由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看， 解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 活动三、典例分析 例1 （教材P129例题） 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升;2号气球从距离地面15 m高处出发，以0.5 m/s的速度上升.两个气球都上升了1 min. (1)分别写出表示两个气球所在位置的高度 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：s)的函数解析式. (2)两个气球在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 【解】(1)气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y＝x＋5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y＝0.5x＋15. (2) 两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值 (0≤x≤60)，函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15有相同的值y. (3) 法一：由此可以列二元一次方程组 解这个方程，得 这就是说，当上升20 s时，两个气球都距离地面25 m. 法二：还可以用一次函数的图象解决问题. 如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15的图象. 这两条直线的交点坐标为(20，25)，这也说明当上升20 s时，两个气球都距离地面25 m. 【练一练】如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组的解是多少？ 【解】由题意知，此方程组的解是 例2 如图，求直线l1与l2 的交点坐标. 【解析】由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标. 【解】因为直线l1过点(-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得直线l1的解析式为 y=2x+2.同理可求得直线l2的解析式为y=-x+3. 即直线l1与l2 的交点坐标为(，). 例3 如图，一次函数y1=ax+b（a,b为常数，且a≠0）与正比例函数y2=kx（k为常数，且k≠0）的图象交于点P(−4,−2)，则关于x的方程ax+b=kx的解是（ A ） A． x=−4 B．x=−2 C．y=−2 D．y=−4 【分析】由y2=kx的函数图象与函数的图象y1=ax+b相交交点坐标横坐标为x=−4，从而可得到方程的解． 【分析】由y2=kx的函数图象与函数的图象y1=ax+b相交交点坐标横坐标为x=−4，从而可得到方程的解． ∴方程ax+b=kx的解是x=−4． 知识点一（一次函数与一元一次方程的关系） 每个含未知数 x 和 y 的二元一次方程都可以转化为 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式，每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上. 知识点二（一次函数与一元一次方程组的关系） 含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看， 解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 活动四、随堂检测 随堂练习1 若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线 y= － x+b－1上，则常数b=（　B　） A． B．2 C．﹣1 D．1 随堂练习2 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1，3)，则关于x的方程x+b=kx+4的解是（　C　） A． x=−2 B．x=0 C．x=1 D．x=−1 随堂练习3 若直线y＝－x＋a与直线y＝x＋b的交点坐标为(2，8)，则a－b的值为(　B　) A．2 B．4 C．6 D．8 随堂练习4 已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中，直线 l1：y＝x＋5与直线 l2：y＝－x－1的交点坐标为__(－4，1)_． 随堂练习5 如图，若一次函数y=kx+b的图象经过A,B两点，则关于x的方程kx+b=0的解为___x=−2_____． 随堂练习6 直线y=−x+2与直线y=mx+n相交于点P(4,a)，则关于x，y的二元一次方程组的解为_________． 随堂练习7 用图像法解方程组 解：画出函数 y = -x+3与y = x+1的图象，可知这两条直线的交点坐标为(1，2)， ∴ 原方程组的解为 随堂练习8 如图，直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点 P（1，b）. （1）求 b 的值； （2）直接写出方程组的解： ； （3）直线l3: y =nx +m是否经过点 P？请说明理由. 解:（1）把P(1，b)代入y=x+1，得b = 1+1=2. （2）由题意知， （3）由（1）可知，P(1，2)在直线y=mx+n上， ∴m + n = 2. ∵把P(1，2)代入l3:y=nx+m的左右两边，即当x=1时，y=n+m= 2， ∴直线y=nx+m经过点P. 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $第二十三章一次函数 23.3一次函数与方程（组）、不等式 第2课时一次函数与二元一次方程组 教学目标 1.理解二元一次方程组与一次函数之间的联系，能用函数图象解释二元一次方程 (组)的解： 2.经历从代数解法到函数图象解法的探究过程，掌握通过函数图象求解方程（组） 和不等式的方法 教学重点：理解一次函数与二元一次方程组的关系，并能够利用函数图像解决二 元一次方程组的问题； 教学难点：理解一次函数与二元一次方程组的关系，并能够利用函数图像解决二 元一次方程组的问题 活动一、复习导入 问题1：一次函数与一元一次方程的关系是什么？ 问题2：一次函数与一元一次不等式的关系是什么？ 活动二、探究新知1： 探究1.一次函数与二元一次方程 二元一次方程 可转化为 一次函数 2x-y=1 有相同的解 y=2x-1 方程2xy=1的解 点都在这条直线上图象是一条直线， 为(，y),以(，y) 直线上每个点的 为坐标的点 点的坐标都是方程 坐标(x,y) 的解 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是 常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一 条直线这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解，以这个 二元一次方程的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上 探究2.一次函数与二元一次方程组 思考： 2x-y=1, 对于二元一次方程组3x+5y=8,你能从函数的角度对解这个方程组进行 解释吗？ 分析： 方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x1与y=x骨解这个 方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.因此，可以用画图象的 方法得到这个二元一次方程组的解. 如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1与y=x+的图象. I2x-y=1, x=1, 这两条直线的交点坐标为(1,1)，由此得出方程组3x+5y=8的解是y=1. y=2x-1 2x+ (1,1) 小结： 由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方 程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线： 从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两 个函数值相等，以及这个函数值是多少： 从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标 因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解。 活动三、典例分析 例1（教材P129例题）同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处 出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的 速度上升.两个气球都上升了1min. (1)分别写出表示两个气球所在位置的高度y(单位：m)关于上升时间x(单位：s) 的函数解析式， (2)两个气球在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多 长时间？位于什么高度？ 【练一练】如图，一次函数y=ax+b与y=Cx+d的图象交于点P,则方程组 (y=ax+b, (y=cx+d的解是多少？ y=ax+b 个 y=cx+d 2 3-2-10 273 D -6 例2如图，求直线1与12的交点坐标. 例3如图，一次函数y=ax+b(a,b为常数，且a≠0)与正比例函数y2=kx(k 为常数，且k≠0)的图象交于点P(-4,-2),则关于x的方程ax+b=kx的解是() A.x=-4 B.X=-2 C.y=-2 D.y=-4 2=k y=ax+b 知识点一（一次函数与一元一次方程的关系） 每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数。 k≠0)的形式，每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线这 条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方 程的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上 次函数与二元一次方程的关系 二元一次方程 可转化为 一次函数 kx+b-y=0 (k, y=kr+b(k,b是 b是常数，k≠0) 有相同的解 常数，k≠0) 点都在这条直线上 方程kr+by0 图象是一条直线，直 线上每个点的坐标 的解为(x,),以(x,) 点的坐标都是方程 (x,y) 为坐标的点 的解 知识点二（一次函数与一元一次方程组的关系) 含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应 两个一次函数，于是也对应两条直线 从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两 个函数值相等，以及这个函数值是多少： 从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标」 因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解 一次函数与二元一次方程组的关系 自变量为何值时， 方程组y=k1x+b1 相应的两个函数值 y=k2x+b2 相等 图象是两条直线，两 条直线的交点坐标 的解为y=y1 (X-X1 (x1,y1） 两条相应直线交点 的坐标 活动四、随堂检测 随堂练习1若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线 y=-x+b-1上，则常数b=( A.克 B.2 C.-1 D.1 随堂练习2数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y1x+b 与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3),则关于x的方程x+b=kx+4的解是 () A.x=-2 B.X=0 C.x=1 D.x=-1 yz=kx+4y Vi=x+b 随堂练习3若直线y=一x十a与直线y=x+b的交点坐标为(2,8)，则a一b的 值为( A.2 B.4 C.6 D.8 ∫x-y=-5, (x=-4, 随堂练习4已知二元一次方程组(x+2y=-2的解为(y=1.则在同一平面直角 坐标系中，直线1：y=x十5与直线1：y=一x-1的交点坐标为 随堂练习5如图，若一次函数y=kx+b的图象经过A,B两点，则关于x的方程 kx+b=0的解为 12 随堂练习6直线y=-x+2与直线y=mx+n相交于点P(4,a),则关于x,y的二元一 次方程组x+y一2=0n的解为_ =4 mx -y+n=0 y=-2 随堂练习7用图像法解方程组 X+y=3 x-y=-1 随堂练习8如图，直线l1y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b). (1)求b的值： y=x+1, (2)直接写出方程组y=mx+n的解： (3)直线l3:y=nx+m是否经过点P?请说明理由. 活动五、课堂总结第二十三章一次函数 23.3一次函数与方程（组）、不等式 第2课时一次函数与二元一次方程组 教学目标 1.理解二元一次方程组与一次函数之间的联系，能用函数图象解释二元一次方程 (组)的解： 2.经历从代数解法到函数图象解法的探究过程，掌握通过函数图象求解方程（组） 和不等式的方法 教学重点：理解一次函数与二元一次方程组的关系，并能够利用函数图像解决二 元一次方程组的问题； 教学难点：理解一次函数与二元一次方程组的关系，并能够利用函数图像解决二 元一次方程组的问题 活动一、复习导入 问题1：一次函数与一元一次方程的关系是什么？ 解一元一次方程←→对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。 即一次函数与x轴交点的横坐标」 ·次函数与一元一次方程的关系 求一元一次方程 从“函数 次函数y=+b x+b=0的解. 值”看 中，yO时x的值. 求一元一次方程 从“函数 9求直线y=x+b +b=0的解. 图象”看 与x轴交点的横 坐标 问题2：一次函数与一元一次不等式的关系是什么？ 解一元一次不等式←→对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自 变量的取值范围，即在x轴上方（或下方）的图象所对应的x取值范围， 0 求x+b>0(或<0) y=x+b的值 (k≠0)的解集 从“函数值”看 大于（或小于）0时 x的取值范围 D确定直线y=x+b 求x+b>0(或<0) 从“函数图象”看 在x轴上方（或下方） (k≠0)的解集 的图象所对应的x 的取值范围 活动二、探究新知1： 探究1.一次函数与二元一次方程 二元一次方程 可转化为 次函数 2x-y=1 有相同的解 y=2x-1 方程2xy=1的解 点都在这条直线上 图象是一条直线， 为(x,y),以(xy) 直线上每个点的 为坐标的点 点的坐标都是方程 坐标(c,y) 的解 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是 常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一 条直线这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解，以这个 二元一次方程的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上， 探究2.一次函数与二元一次方程组 思考： (2x-y=1, 对于二元一次方程组3x+5y=8,你能从函数的角度对解这个方程组进行 解释吗？ 分析： 方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x1与y=x+号，解这个 方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.因此，可以用画图象的 方法得到这个二元一次方程组的解. 如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1与y=x的图象. 2x-y=1,x=1, 这两条直线的交点坐标为(1,1)，由此得出方程组3x+5y=8的解是y=1. v=2x-1 5t+8 P(,1) 210 小结： 由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方 程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线 从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两 个函数值相等，以及这个函数值是多少： 从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标， 因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解。 活动三、典例分析 例1（教材P129例题） 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处 出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的 速度上升.两个气球都上升了1min. (1)分别写出表示两个气球所在位置的高度y(单位：m)关于上升时间x(单位：s) 的函数解析式。 (2)两个气球在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多 长时间？位于什么高度？ 【解】(1)气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15: (2)两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y =x+5和y=0.5x+15有相同的值y. y=x+5, (3)法一：由此可以列二元一次方程组 y=0.5x+15. 解这个方程， 形=2 这就是说，当上升20s时，两个气球都距离地面25m. 法二：还可以用一次函数的图象解决问题. 如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x十5和y=0.5x+15的图象. 这两条直线的交点坐标为(20,25)，这也说明当上升20s时，两个气球都距离 地面25m. y=x+5 y=0.5x+15 25 :P20,25) 20 方程组的解←→ 对应两条直线交点的坐标 【练一练】如图，一次函数y=ax+b与y=Cx+d的图象交于点P,则方程组 (y=ax+b, {y=x+d的解是多少？ v-ax+b v=cx+a 3-2-10 .2 x=2, 【解】由题意知，此方程组的解是 y=-1 例2如图，求直线1，与12的交点坐标. 543 10 【解析】由函数图象可以求直线1与12的解析式，进而通过方程组求出交点坐 标. 【解】因为直线1过点(-1,0)，(0,2)，用待定系数法可求得直线1的解析 式为y=2x+2.同理可求得直线1，的解析式为y=-x+3. 1 解方程组 y=2x+2, y=-x+3. 得 即直线h与2的交点坐标为传，， 例3如图，一次函数y,=ax+b(a,b为常数，且a≠0)与正比例函数y,=kx(k 为常数，且k≠0)的图象交于点P(-4,-2),则关于x的方程x+b=kx的解是(A) A.X=-4 B.X=-2 C.y=-2 D.y=-4 2=k y=ax+b 【分析】由y,=kx的函数图象与函数的图象y=ax+b相交交点坐标横坐标为x=-4, 从而可得到方程的解。 【分析】由y=kx的函数图象与函数的图象y=ax+b相交交点坐标横坐标为x=-4, 从而可得到方程的解 ∴.方程ax+b=kx的解是x=-4. 知识点一（一次函数与一元一次方程的关系） 每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数， k≠0)的形式，每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线这 条直线上每个点的坐标(x,Y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方 程的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上 ·次函数与二元一次方程的关系 二元一次方程 可转化为 一次函数 kx+b-y=0 (k, y=kx+b(k,b是 b是常数，k≠0) 有相同的解 常数，k≠0) 点都在这条直线上 方程kx+b-y0 图象是一条直线，直 线上每个点的坐标 的解为(，y),以(，y) 点的坐标都是方程 (x,y) 为坐标的点 的解 知识点二（一次函数与一元一次方程组的关系) 含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应 两个一次函数，于是也对应两条直线 从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两 个函数值相等，以及这个函数值是多少： 从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标」 因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解 一次函数与二元一次方程组的关系 自变量为何值时， 方程组 (y=k1x+b1 相应的两个函数值 y=k2x+b2 相等 图象是两条直线，两 条直线的交点坐标 的解为y=y1 (X=X1 (x1,y1) 两条相应直线交点 的坐标 活动四、随堂检浏 随堂练习1若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线 y=一2xb-1上，则常数b=(B) A,月 B.2 C.-1 D.1 随堂练习2数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y1x+b 与一次函数y2kx+4的图象交于点P1,3),则关于x的方程x+b-x+4的解是 (C) A.X=-2 B.X=0 C.x=1 D.x=-1 yz=kx+4y Vi=x+b 3 随堂练习3若直线y=一x+a与直线y=x+b的交点坐标为(2,8)，则a一b的 值为(B) A.2 B.4 C.6 D.8 x-y=-5, (x=-4, 随堂练习4已知二元一次方程组x+2y=-2的解为y=1.则在同一平面直角 坐标系中，直线1：y=x十5与直线1：y=一x一1的交点坐标为(-4，) 随堂练习5如图，若一次函数y=kx+b的图象经过A,B两点，则关于x的方程 kx+b=0的解为x=-2 、、B 12 1 随堂练习6直线y=-x+2与直线y=mx+n相交于点P(4,a,则关于x,y的二元一 次方程组x+y子0，的解为{=4 mx-y+n=0 y=-2 随堂练习7用图像法解方程组 X+y=3 x-y=-1 2) 3-2 -3 解：画出函数y=x+3与y=x+1的图象，可知这两条直线的交点坐标为(1,2)， (x=1, .原方程组的解为y=2. 随堂练习8如图，直线l1:y=x+1与直线l2y=mx+n相交于点P(1,b). (1)求b的值： y=x+1, x=1, (2)直接写出方程组y=mx+n的解： y=2.; (3)直线l3:y=nx+m是否经过点P?请说明理由， 解：(1)把P(1,b)代入y=x+1,得b=1+1=2. (x=1, (2)由题意知， y=2. (3)由（1)可知，P(1,2)在直线y=mx+n上， .m+n=2. .把P(1,2)代入ly=nx+m的左右两边，即当x=1时，y=n+m=2, .直线y=nx+m经过点P 活动五、课堂总结 自课堂总结 一次函数与二元一次方程（组）的关系： (1)二元一次方程组中的每个方程均可看作函数解析式. (2)求二元一次方程组的解可看作求两个一次函数的交点坐标.