精品解析：上海立信会计金融学院附属高行中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 直线的倾斜角的大小为______ 【答案】 【解析】 【详解】， 所以直线的斜率为，故其倾斜角的大小为. 2. 过点，且法向量是的直线的点法式方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据点法式方程可直接求解. 【详解】过点且法向量是的直线的点法式方程为：. 故答案为： 3. 若直线与直线互相垂直，那么a的值等于______． 【答案】 【解析】 【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，所以. 4. 已知直线与圆相切，并且圆过点，则的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，得到，且，联立方程组，求得，由，得到，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为 因为直线与圆相切，可得， 又因为圆过点，可得， 所以，可得，解得， 因为，可得，所以， 又因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 5. 圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的标准方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心坐标与半径，可得圆的方程. 【详解】设圆心坐标为，则， 解得，即圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为 故答案为：. 6. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线上有且只有一点满足，则直线的方程是_____. 【答案】或 【解析】 【分析】求出椭圆的长半轴长和短半轴长1，由过点的直线上有且只有一点满足，可得直线与相切，即直线为过点的的切线方程，从而得到所求. 【详解】椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1.当点在的内部时，有； 当点在上时，有；当点在的外部时，有. 因为过点的直线上有且只有一点满足， 所以只有当直线与相切（直线与有唯一公共点）时，符合题意， 即直线为过点的的切线方程，所以此时直线的方程为或. 故答案为：或. 7. 设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得出，等式两边同时除以，可得出关于的方程，结合可求出的值. 【详解】因为椭圆的焦距为，且，即， 等式同时除以可得，即， 因为，解得. 故答案为： 8. 直线与直线相交，则这两条直线的夹角大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式求得正确答案. 【详解】直线的斜率为，其倾斜角为钝角； 直线的斜率为，其倾斜角为锐角. 设这两条直线的夹角大小为， 则 ， 由于，所以. 故答案为： 9. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的方程为_____ 【答案】 【解析】 【详解】由双曲线：的一条渐近线方程为，得， 由椭圆得双曲线的焦点为，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 10. 已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性可得四边形是平行四边形，再根据其面积得出，进而计算点的坐标，将其代入双曲线方程中，并结合渐近线方程可求. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为，的倾斜角为，则， 而，，由对称性得四边形是平行四边形， 其面积，解得， 设，由的倾斜角为，得，， 于是，即，又，则，解得， 所以的虚轴长为. 11. 已知圆O1：x2＋y2＝2和O2：(x－3)2＋y2＝5在第一象限内的公共点为A，过点A的直线分别交圆O1，O2于C，D两点(C，D异于点A)，且，则直线CD的斜率为______． 【答案】5 【解析】 【分析】联立两圆的方程，可得A(1，1)，设点D(x0，y0)，可得AD的中点为，结合题意列出斜率满足的关系求解即可. 【详解】联立方程得解得或，又点A在第一象限，则A(1，1). 设点D(x0，y0)，又，所以D为AC的中点，设AD的中点为， 此时，得，又，则可得，则直线CD的斜率为5． 故答案为：5 12. 如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为______ . 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可得：圆与只有一个交点，圆与只有两个交点，分别联立方程分析运算. 【详解】如图，由题意可得： 圆与只有一个交点， 联立方程，消去x得，解得或， 故，则， 圆与只有两个交点， 联立方程，消去x得， ∵，可得若有根，则两根同号， 根据题意可知：有且仅有一个正根， 故，则可得，解得， 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在处理实际问题时，体现数形结合的思想，将图形转化为代数，这样交点转化为方程的根或函数的零点，利用方程或函数的知识分析求解. 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 【答案】C 【解析】 【详解】因为点在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和对称轴平行，故3条． 14. 若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 15. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案. 【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 16. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和， 令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 三、解答题（17题8分，18、19题10分，20、21题12分，共52分） 17. 已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】或 【解析】 【详解】圆即， 所以圆心为，半径， 过点作圆的切线， 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 所以，解得或， 所以切线的方程为或. 18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）表示出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线性质求解. 【小问1详解】 由抛物线的性质，，故抛物线. 【小问2详解】 由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设， 联立， , 故. 19. 用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，，抛物线与梯形下底的两个焊接点为，．已知梯形的高是40厘米，、两点间的距离为40厘米． （1）以为原点，梯形的上底所在直线为轴，建立直角坐标系，求横梁的长度； （2）求梯形外框的用料长度．（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．） 【答案】（1）；（2）141cm． 【解析】 【分析】（1）以为原点，梯形的上底所在的直线为轴建立直角坐标系，设，代入点，求得的值，求得抛物线的方程，即可求得横梁的长度； （2）设，联立方程组，根据，求得直线的斜率，进而求得梯形外框的用料长度． 【详解】（1）如图所示，以为原点，梯形的上底所在的直线为轴，建立直角坐标系， 设梯形下底与轴交于点，抛物线的方程为， 由题意，代入可得，解得， 所以抛物线的方程为． 令，解得，即，， 所以，即横梁的长度约为． （2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点， 设． 联立方程组，整理得， 则，解得，即， 得，，可得，，， 梯形周长为． 20. 已知点，圆：，为圆上的一个动点，线段的中垂线与交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若过定点且斜率存在的直线与曲线交于两点，试探究：在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，坐标为或. 【解析】 【分析】（1）根据已知结合椭圆定义计算得出进而得出椭圆方程. （2）设出直线的方程与椭圆方程联立，再利用斜率公式计算即可得定值. 【小问1详解】 圆：的圆心，半径， 由线段的中垂线与交于点，得， 则， 因此点Q的轨迹是以为左右焦点，长轴长为4的椭圆， 长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线l的方程为，点， 由消去并整理得， 则，， ， 直线的斜率分别为，因此 ， 由，得，当时，为定值， 当时，为定值， 所以在轴上存在定点，使得直线的斜率之积为定值，坐标为或. 21. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，过轴上的一点作直线交椭圆于两点（异于点）.设直线斜率为，直线斜率为. （i）求（用表示）； （ii）若,的面积为,的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用离心率推得，结合点在椭圆上得，解得，即得椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据斜率公式化简计算即可；（ii）利用（i）的结论结合求得，分别表示出，借助于韦达定理和基本不等式即可求得的最大值. 【小问1详解】 由题可知，，化简得， 又因为在椭圆上，则， 联立解得，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）依题意，设直线的方程为， 则联立，消去得 其中，即， 设，则. 则 ； （ii）由（i）可得，解得，即， ，且. 因，， 则 令，则， ，当且仅当，即时等号成立. 的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 直线的倾斜角的大小为______ 2. 过点，且法向量是的直线的点法式方程为____. 3. 若直线与直线互相垂直，那么a的值等于______． 4. 已知直线与圆相切，并且圆过点，则的最小值是______． 5. 圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的标准方程为___________. 6. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线上有且只有一点满足，则直线的方程是_____. 7. 设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 _____. 8. 直线与直线相交，则这两条直线的夹角大小为______. 9. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的方程为_____ 10. 已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 11. 已知圆O1：x2＋y2＝2和O2：(x－3)2＋y2＝5在第一象限内的公共点为A，过点A的直线分别交圆O1，O2于C，D两点(C，D异于点A)，且，则直线CD的斜率为______． 12. 如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为______ . 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 14. 若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 15. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 16. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 三、解答题（17题8分，18、19题10分，20、21题12分，共52分） 17. 已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求. 19. 用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，，抛物线与梯形下底的两个焊接点为，．已知梯形的高是40厘米，、两点间的距离为40厘米． （1）以为原点，梯形的上底所在直线为轴，建立直角坐标系，求横梁的长度； （2）求梯形外框的用料长度．（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．） 20. 已知点，圆：，为圆上的一个动点，线段的中垂线与交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若过定点且斜率存在的直线与曲线交于两点，试探究：在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，过轴上的一点作直线交椭圆于两点（异于点）.设直线斜率为，直线斜率为. （i）求（用表示）； （ii）若,的面积为,的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $