上海立信会计金融学院附属高行中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦解析几何，以直线、圆、圆锥曲线为核心，通过酒杯抛物面（填空12）、梯形围栏（解答19）等真实情境，融合基础运算与探究性问题，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题36分|直线倾斜角、椭圆离心率、双曲线渐近线等|结合抛物面玻璃球（题12）考查数学建模，体现数学眼光| |选择题|4题12分|抛物线切线、圆位置关系、中点轨迹最值|聚焦几何直观，如两直线夹角（题8）考查空间观念| |解答题|5题52分|圆切线方程（17）、抛物线焦点弦（18）、轨迹探究（20）|梯形围栏（19）融合实际应用，椭圆面积最值（21）培养推理能力，呼应真题探究趋势|

2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 直线的倾斜角的大小为___________. 1. 过点，且法向量是的直线的点法式方程为___________. 1. 若直线与直线互相垂直，那么的值等于_______. 1. 已知直线与圆相切，并且圆过点，则的最小值是___________. 1. 圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的标准方程为___________. 1. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线上有且只有一点满足，则直线的方程是___________. 1. 设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率___________. 1. 直线与直线相交，则这两条直线的夹角大小为___________. 1. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的方程为 1. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 1. 1已知圆：和：在第一象限内的公共点为，过点的直线分别交圆，于，两点（，异于点)，且，则直线的斜率为______. 1. 如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为______. 二、选择题（每题3分，共12分） 1. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 1. 若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 1. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 1. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 三、解答题（17题8分，18、19题10分，20、21题12分，共52分） 17.（8分）已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 18.（10分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)（4分）求抛物线的标准方程； (2)（6分）若直线的倾斜角为，求的长. 19.（10分）用细钢管焊接而成的花坛围栏构建如图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部有一段抛物线和一根横梁. 抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，抛物线与梯形下底的两个焊接点为. 已知梯形的高是40厘米，、两点间的距离为40厘米。 (1)（5分）以为原点，梯形的上底所在直线为轴，建立直角坐标系，求横梁的长度； (2)（5分）求梯形外框的用料长度。（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米） 20.（12分）已知点，圆：，为圆上的一个动点，线段的中垂线与交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线。 (1)（4分）求的方程； (2)（8分）若过定点且斜率存在的直线与曲线交于两点，试探究：在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 21.（12分）已知椭圆：的离心率为，且经过点。 (1)（4分）求椭圆的方程； (2)（8分）设椭圆的左、右顶点分别为，过轴上的一点作直线交椭圆于两点（异于点）。设直线斜率为，直线斜率为。 (i)（4分）求（用表示）； (ii)（4分）若，的面积为，的面积为，求的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $