精品解析：山东德州市宁津县苗场中学2025−2026学年第二学期期中考试 八年级数学试题

2025－2026学年第二学期期中考试八年级数学试题 （120分钟 150分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 1，1，2 C. 2，3，4 D. ，， 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知钓竿的长为5m，露在水面上的鱼线的长为，某钓鱼人想看看鱼钩上的情况，把钓竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长为，则的长为（ ） A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 6. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，的边在数轴上，数轴，，点所表示的数为，点所表示的数为1，以点为圆心，以长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：（本大题共5小题，共20分） 11. 如果有意义，那么的取值范围是______． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 13. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是______． 14. 如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 15. 对于任意两个实数，，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算=______． 三、解答题：（本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. 计算： （1）． （2）． 17. 先化简，再求值：其中 18. 现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， （1）请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． （2）当时，求空白部分的面积． 19. 如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离，． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； （2）求证：． 20. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF． （1）求证：∠ACB＝∠DFE； （2）连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状． 21. 阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道； 例题求的值． 解：设，两边平方得：，即，， ． ，． （1）则的值是______． （2）请利用上述方法，求的值． （3）若，求n的值． 22. 某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示，测得， ，，，，已知． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面 的距离的大小． 23. 已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； （2）在（1）的基础上，如图②，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，设时间为秒； ①当时，t为何值时，． ②则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期中考试八年级数学试题 （120分钟 150分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．不是最简二次根式，不符合题意； B．不是最简二次根式，不符合题意； C．不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 1，1，2 C. 2，3，4 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加法、减法、除法分别进行进行计算即可得到答案． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 4. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，已知钓竿的长为5m，露在水面上的鱼线的长为，某钓鱼人想看看鱼钩上的情况，把钓竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长为，则的长为（ ） A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理分别求出和的长，再根据即可得出答案． 本题考查了勾股定理，解题关键是根据已知条件求出和的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”．根据题意可得是的中位线，是的中位线，推出，，结合，可得，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：点是对角线的中点，点、分别是、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， 故选：D． 7. 如图，的边在数轴上，数轴，，点所表示的数为，点所表示的数为1，以点为圆心，以长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 点对应的数为， 点表示的数是， 故选：C． 8. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握实数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 先判断，，，化简计算即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴ ∴ ． 故选：A． 9. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，面积转化知识点，掌握平行四边形对角线互相平分和全等三角形面积相等的性质是解题的关键． 逐个分析三个结论：①通过列举全等三角形的对数判断是否为4对；②利用平行四边形对角线互相平分和三角形三边关系求出的范围；③通过全等三角形的面积相等，将四边形的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴对角线互相平分，即  ∵ ∴ 在和中， ∴  同理可证  此外，还有 ，，， ∴图中共有6对全等三角形，结论①错误； ∵四边形是平行四边形 ∴  在中，根据三角形三边关系： ∵ ∴，结论②正确 ∵ ∴​ ​ ​ ∵​ ∴​ ∴​ ∴，结论③正确 综上所述，正确的结论是②和③． 故选：C． 二、填空题：（本大题共5小题，共20分） 11. 如果有意义，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，分式分母不为0列出不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知∶，且， 解得：， 故答案为： 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】12 【解析】 【分析】先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得． 本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，且，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 14. 如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； ②∵，不能判定， ∴不能判定四边形是平行四边形； ③添加不能判定四边形是平行四边形； ④∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①④． 15. 对于任意两个实数，，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算=______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据新定义运算的规则把运算转化为一般形式的运算，再根据二次根式的性质化简，合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 三、解答题：（本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：其中 【答案】，． 【解析】 【分析】先运用分式除法、同分母分式加减法法则进行计算，再将代入求值即可得出结论． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算的相关运算法则是解题的关键． 18. 现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， （1）请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． （2）当时，求空白部分的面积． 【答案】（1） （2）13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：， 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：空白部分的面积为：， 当时，原式． 19. 如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离，． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； （2）求证：． 【答案】（1）供水点到喷泉需要铺设的管道长为 （2） 证明：，，， ， 是直角三角形，． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键，要注意勾股定理逆定理的格式． （1）在中，先利用勾股定理求出，从而求出，再在中，利用勾股定理求出； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据斜边所对的角是直角从而得到． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 在中，， ， ， 在中，， ， 供水点到喷泉需要铺设的管道长为； 【小问2详解】 略 20. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF． （1）求证：∠ACB＝∠DFE； （2）连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状． 【答案】（1） 证明：∵AF=CD， ∴AF ＋ CF = CD ＋ CF， 即AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， △ABC≌△DEF（SSS） （2）四边形BFEC是平行四边形 【解析】 【分析】（1）证△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，则BC∥EF，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下： 由（1）可知，∠ACB=∠DFE， ∴BC EF， 又∶ BC = EF， 四边形BFEC是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行网边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键． 21. 阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道； 例题求的值． 解：设，两边平方得：，即，， ． ，． （1）则的值是______． （2）请利用上述方法，求的值． （3）若，求n的值． 【答案】（1） （2） （3）32 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算和性质，理解题中运算方法是解答的关键． （1）利用二次根式的性质求解即可； （2）仿照题干方法，利用二次根式的运算法则和性质求解即可； （3）仿照题干方法，给等式两边乘方，再利用二次根式的运算法则和性质求解即可． 【小问1详解】 解：由二次根式性质得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设，两边平方得：， 即，， ． ∵， ； 【小问3详解】 解：给两边平方， 得， ∴， 整理，得， ∴，解得． 22. 某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示，测得， ，，，，已知． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面 的距离的大小． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形 是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，进而得，可知，即可证明结论； （2）延长交于点，先证明四边形是平行四边形，即可得的值，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴在中， 由勾股定理得． 23. 已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； （2）在（1）的基础上，如图②，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，设时间为秒； ①当时，t为何值时，． ②则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 【答案】（1） （2）①；②或或或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及动点问题，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等、角平分线性质，结合等腰三角形和动点运动规律进行求解． （1）利用平行四边形对边平行得角相等，结合角平分线得出等腰三角形，再由推出是等边三角形，进而求出度数； （2）①根据确定点运动方向，利用平行四边形对边相等，结合列出等式求解；②根据平行四边形对边平行且相等，结合、的运动速度与路程关系，分不同运动阶段列出等式求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； 【小问2详解】 解：①当时，从向运动，速度为每秒，则， 从向运动，速度为每秒，则． 四边形是平行四边形，，要使，且， 四边形是平行四边形， 此时 即， 解得； t为时， ②如图： ∵， ∴当时，以四点组成的四边形是平行四边形． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； ∴或或或，以四点组成的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $