专题闯关四 不规则物体体积的算法（第六单元 长方体和正方体）导图++技巧点拨+三难度分层练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

**基本信息** 以导图指引梳理脉络，通过技巧点拨系统提炼排水法步骤与公式，结合三难度分层训练，构建“概念-原理-应用”完整知识逻辑，培养空间观念与转化思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导图指引|1导图|梳理知识脉络|构建知识框架| |知识精讲|2技巧点拨|排水法四步流程、三种体积公式；组合图形分解与加减|从转化思想到公式推导，再到综合应用| |分层训练|30题（基础10/进阶10/挑战10）|基础题直接用公式，进阶题结合容器尺寸与溢出，挑战题多物体与逆向计算|由易到难，覆盖基础计算、单位换算、复杂情境应用|

2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项三难度分层训练【经典题集训】 专题闯关四 不规则物体体积的算法『第六单元 长方体和正方体』 （导图指引+技巧点拨+三难度分层练） 〔原卷版〕 模块一 导图指引 梳理脉络 模块二 知识精讲 技巧点拨 技巧点拨一 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 技巧点拨二 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 模块三 分层训练 突破自我 〔基础入门〕：「步步扎实 稳扎稳打」 1．（25-26六年级上·贵州毕节·期末）小明用实验来测量一个土豆的体积。先在量杯中装入600毫升水，然后将土豆浸没在量杯中，此时量杯液面上升至800毫升，则土豆的体积是（    ）。 A．600立方厘米 B．1400立方厘米 C．800立方厘米 D．200立方厘米 2．（24-25五年级上·山东东营·期末）一个占地面积为的鱼池，水深0.6m，在水底铺上一些沙石后，水面上升了0.2m，铺上的沙石的体积大约是（    ）。 A． B． C． D． 3．（24-25五年级·全国·随堂练习）乐乐将一个铁球完全浸没在一个底面积是50dm2的长方体容器中，水面升高了2dm。这个铁球的体积是（    ）dm3。 A．100 B．52 C．48 D．25 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个量杯中原来装有300mL的水，把一个土豆放入其中（土豆浸没在水中且水未溢出），水面刻度指向556mL，这个土豆的体积是( )。 5． （24-25五年级下·全国·课后作业） （1）将桃子放入水里之前，水的体积是（    ）。 （2）将桃子放入水里之后，水和桃子的体积是（    ）。 （3）桃子的体积是（    ）。 6．（24-25五年级下·北京昌平·期末）下图所示长方体水箱的底面积是2dm²，石块的体积是( )dm³。 7．（24-25六年级上·山西太原·期末）把一个土豆浸没在水中后，水面从刻度600mL升高到800mL，土豆的体积是800cm3。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·广东汕尾·期末）求石块的体积。 9．（24-25五年级上·山东威海·期中）一个长20厘米、宽10厘米、高12厘米的长方体容器中，里面放有一块石头，向容器里倒满水，取出石块后，水面下降了4厘米，这块石块的体积是多少立方厘米？ 10．（24-25五年级下·河北唐山·期中）一个长方体容器，从里面量，长20厘米，宽16厘米，高10厘米，里面装有一些水，水深7厘米。如果把一块石头放入此容器里（石头完全浸没在水里），只是因为放入石头，水深就变为9厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 〔进阶提升〕：「小试牛刀 举一反三」 11．（25-26六年级上·江苏南通·期末）一个长方体玻璃鱼缸，从里面量长5分米、宽4分米、高3分米。鱼缸内的水离缸口还有1.5分米。下列说法错误的是（    ）。 A．鱼缸内水的体积是30升 B．水与鱼缸的接触面积是70平方分米 C．鱼缸的容积是60升 D．放入一个棱长2分米的正方体铁块，水不会溢出 12．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）将未拆封的整瓶饮料（如图）完全浸没在长方体容器中，容器中上升水的体积可能是（    ）毫升。 A．450 B．480 C．500 D．540 13．（25-26六年级上·福建宁德·期中）东东想知道一块珊瑚石的体积，他把这块珊瑚石放进一个长方体容器（如下图），根据图中信息，不能求出珊瑚石体积的算式是（    ）。 A． B． C． D． 14．（25-26六年级上·江苏南京·期末）我们来做一个数学实验。 第一步：准备一个长20厘米、宽10厘米、高15厘米的长方体玻璃容器（无盖），这个鱼缸的容积是( )升。 第二步：往里面倒入2升水，水深( )厘米。 第三步：将第一个石块完全浸没在水中，水面上升了3厘米。容器内水与玻璃内壁的接触面积增加了( )平方厘米，第一个石块的体积是( )立方厘米。 第四步：接着再放入第二个石块。完全浸没后，水溢出了。把第二个石块取出后，这时水面高度为12厘米，第二个石块的体积是( )立方厘米。 15．（25-26六年级上·河南周口·期中）一个长方体玻璃缸，从里面测得长是25厘米，宽是12厘米，高是15厘米，缸内水面高12厘米。如果在缸内完全浸没一个棱长为10厘米的正方体铁块，缸内的水会溢出( )毫升。 16．（24-25五年级下·全国·课后作业）A，B两个长方体容器中装有水的高度相同，把同一个西红柿分别完全浸入A，B两个容器中（水都未溢出），A容器的水面比B容器的水面低，说明( )容器的底面积大。 17．（24-25五年级下·四川巴中·期中）认真看图，想一想，你能计算出铁块的高度吗？ 18．（25-26六年级上·安徽滁州·期末）把5个同样的砝码投入到一个长6分米、宽2分米、深1分米的容器中，水面上升4厘米，每个砝码的体积是多少立方厘米？ 19．（25-26五年级上·山东东营·期中）如图，在长方体水槽（长为10厘米、宽为8厘米，初始水位高度8厘米和上升后高度9.5厘米）内放一个长为5厘米，宽为4厘米的长方体铁块，这个铁块的高是多少？ 20．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）一个无盖的长方体玻璃鱼缸。长40厘米，宽30厘米，高20厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？ （2）鱼缸里有一些水，往水里放入一些鹅卵石、水草等装饰品，水面上升了3厘米，这些装饰品的体积一共是多少立方厘米？ 〔挑战拓展〕：「突破自我，再攀高峰」 21．（24-25六年级上·江苏宿迁·期中）下图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（    ）。 A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下 22．如图是测量一颗铁球体积的过程。 ①将400mL的水倒进一个容量为600mL的杯子中； ②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满； ③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在（    ）。 A．50cm3～60cm3 B．30cm3～40cm3 C．40cm3～50cm3 D．20cm3～30cm3 23．（25-26五年级上·山东·课后作业）将一个棱长是16dm的正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了8dm，然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了25dm（水没有溢出），铁块的体积是( )。 24．（24-25六年级上·江苏南京·期末）如图所示，一个小球的体积是________；一个大球的体积是________。 25．（2024六年级·全国·竞赛）一个无水的观赏池中放有一块高28厘米，体积为4200立方厘米的假山石。如果以每分钟8立方分米的水量向池内注水，那么至少需要( )分钟才能将假山石完全淹没。 26．（24-25六年级上·江苏镇江·期末）“乌鸦喝水”的故事想必同学们都知道。在一个正方体的水槽里装了一些水（如图），乌鸦只能够到水槽最上沿喝水。在水槽的旁边有大小不一的三块石头，你能选择其中的两块石头，帮助乌鸦喝到水吗？你打算怎么做？填在括号里，并通过计算解释你的做法。 我的选择：（    ）号和（    ）号。 计算过程： 27．（24-25五年级下·北京西城·期末）张红家有一个长6分米，宽3分米，高5分米的无盖长方体玻璃鱼缸。由于鱼缸有一些破损，爷爷裁去了一部分，把它改造成了一个新型无盖鱼缸（如下图）。 （1）改造后鱼缸的玻璃总面积是多少平方分米？ （2）张红在改造后的鱼缸中倒入54升水，接着将一块假山石放入水中并完全浸没，此时鱼缸中水面的高度是3.5分米（如下图）。这块假山石的体积是多少立方分米？ 28．（24-25五年级下·河北保定·期中）学习了用“排水法”求不规则物体的体积以后，活动课上，同学们设计了一个数学小游戏：一个长方体玻璃缸，长18厘米，宽6厘米，高15厘米，往这个玻璃缸中倒入1080毫升的水，小明手里有若干个体积是120立方厘米的玻璃球，小刚手里有若干个体积是110立方厘米的玻璃球，两个人从小明开始依次将手中的玻璃球放入水中，每人每次只能放一颗，轮到谁的时候水会溢出？ 29．（2024五年级下·全国·专题练习）有一个长40厘米、宽30厘米、高20厘米的长方体容器，容器中的水深10厘米。在容器中放入一个底面积为200平方厘米、高15厘米的长方体铁块，求水面上升的高度。 30．（23-24六年级上·福建宁德·期末）一个长方体容器从里面量，长、宽、高分别是15厘米、8厘米、10厘米，容器里原来装有6厘米高的水，放入（完全浸没）一个铁块后，水面高度是9厘米。这个铁块的体积是多少？容器中水与容器的接触面积增加了多少平方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项三难度分层训练【经典题集训】 专题闯关四 不规则物体体积的算法『第六单元 长方体和正方体』 （导图指引+技巧点拨+三难度分层练） 〔解析版〕 模块一 导图指引 梳理脉络 模块二 知识精讲 技巧点拨 技巧点拨一 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 技巧点拨二 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 模块三 分层训练 突破自我 〔基础入门〕：「步步扎实 稳扎稳打」 1．（25-26六年级上·贵州毕节·期末）小明用实验来测量一个土豆的体积。先在量杯中装入600毫升水，然后将土豆浸没在量杯中，此时量杯液面上升至800毫升，则土豆的体积是（    ）。 A．600立方厘米 B．1400立方厘米 C．800立方厘米 D．200立方厘米 【答案】D 【思路引导】土豆浸没在水中，水位上升，上升的这部分的体积就是土豆的体积。已知先在量杯中装入600毫升水，然后将土豆浸没在量杯中，此时量杯液面上升至800毫升，那么上升的体积为800－600＝200毫升，因为1毫升＝1立方厘米，所以200毫升也就是200立方厘米，即土豆的体积是200立方厘米。据此解答。 【规范解答】800－600＝200（毫升） 200毫升＝200立方厘米 所以土豆的体积是200立方厘米。 故答案为：D 2．（24-25五年级上·山东东营·期末）一个占地面积为的鱼池，水深0.6m，在水底铺上一些沙石后，水面上升了0.2m，铺上的沙石的体积大约是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】水面上升的体积就是铺上的沙石的体积。鱼池占地面积×水面上升的高度＝铺上的沙石的体积，据此列式计算。 【规范解答】6×0.2＝1.2（） 铺上的沙石的体积大约是。 故答案为：B 3．（24-25五年级·全国·随堂练习）乐乐将一个铁球完全浸没在一个底面积是50dm2的长方体容器中，水面升高了2dm。这个铁球的体积是（    ）dm3。 A．100 B．52 C．48 D．25 【答案】A 【思路引导】一个铁球完全浸没在一个底面积是50dm2的长方体容器中，水面升高了2dm，水上升的体积等于铁球的体积；根据长方体的体积＝底面积×高求出水升高的体积，即可求出铁球的体积，据此解答。 【规范解答】铁球的体积＝水上升的体积：（dm3） 故答案为：A 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个量杯中原来装有300mL的水，把一个土豆放入其中（土豆浸没在水中且水未溢出），水面刻度指向556mL，这个土豆的体积是( )。 【答案】256 【思路引导】原来装有300mL的水，放入土豆后是556mL，根据：土豆的体积＝水与土豆一共的体积－水的体积，把数据代入计算即可。 【规范解答】 （mL）（cm3） 这个土豆的体积是256。 5． （24-25五年级下·全国·课后作业） （1）将桃子放入水里之前，水的体积是（    ）。 （2）将桃子放入水里之后，水和桃子的体积是（    ）。 （3）桃子的体积是（    ）。 【答案】（1）200 （2）350 （3）150 排水；放入物体前的体积 【思路引导】用排水法测量不规则物体体积的方法：不规则物体的体积＝放入物体后的体积-放入物体前的体积； （1）根据左图量杯的刻度，水位对准200mL的位置，1mL＝cm。因此将桃子放入水里之前，水的体积是200； （2）根据右图量杯的刻度，水位对准350mL的位置，1mL＝cm。因此将桃子放入水里之后，水和桃子的体积是350； （3）桃子的体积等于放入桃子后水和桃子的总体积减去放入桃子前水的体积；据此进行分析。 【规范解答】根据分析得： （1）将桃子放入水里之前，水的体积是200； （2）将桃子放入水里之后，水和桃子的体积是350； （3）桃子的体积：（cm） 桃子是不规则物体，测量不规则物体的体积可以用排水法，放入物体后的体积-放入物体前的体积＝不规则物体的体积。 6．（24-25五年级下·北京昌平·期末）下图所示长方体水箱的底面积是2dm²，石块的体积是( )dm³。 【答案】0.6 【思路引导】当把石块从水箱中取出后，水面下降，下降的水的体积就等于石块的体积。原来水面高度是2.1dm，取出石块后水面高度是1.8dm，则水面下降的高度为：2.1－1.8＝0.3（dm）。长方体水箱的底面积是2dm²，根据长方体的体积公式V＝Sh（其中V表示体积，S表示底面积，h表示高），这里的高就是水面下降的高度0.3dm，把数据代入公式即可解答。 【规范解答】2.1－1.8＝0.3（dm） 2×0.3＝0.6（dm³） 石块的体积是0.6dm³。 7．（24-25六年级上·山西太原·期末）把一个土豆浸没在水中后，水面从刻度600mL升高到800mL，土豆的体积是800cm3。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】当物体完全浸没在水中时，水面上升的体积等于物体的体积。水面从600mL上升到800mL，上升的体积为800mL－600mL＝200mL。由于1mL＝1cm3，因此土豆的体积应为200cm3，而不是800cm3。 【规范解答】土豆浸没在水中后，水面上升的体积即为土豆的体积。水面上升量为800mL－600mL＝200mL。因为1mL＝1cm3，所以土豆的体积是200cm3。题干中给出的800cm3是错误的。 故答案为：× 8．（24-25五年级下·广东汕尾·期末）求石块的体积。 【答案】240cm3 【思路引导】由图可知，容器是一个长方体，石块的体积就是水面上升部分的体积。容器的长a＝10cm，宽b＝6cm。水面上升的高度为12－8＝4cm。根据长方体体积公式V＝a×b×h，把数据代入公式即可解答。 【规范解答】12－8＝4（cm） 10×6×4＝240（cm3） 石块的体积是240cm3。 9．（24-25五年级上·山东威海·期中）一个长20厘米、宽10厘米、高12厘米的长方体容器中，里面放有一块石头，向容器里倒满水，取出石块后，水面下降了4厘米，这块石块的体积是多少立方厘米？ 【答案】800立方厘米 【思路引导】取出石块后水下降的体积即为这块石块的体积。水下降的体积为长方体，长为20厘米，宽为10厘米，高为水面下降的4厘米，利用长方体的体积公式即可求出这块石块的体积。 【规范解答】20×10×4 ＝200×4 ＝800（立方厘米） 答： 这块石块的体积是800立方厘米。 10．（24-25五年级下·河北唐山·期中）一个长方体容器，从里面量，长20厘米，宽16厘米，高10厘米，里面装有一些水，水深7厘米。如果把一块石头放入此容器里（石头完全浸没在水里），只是因为放入石头，水深就变为9厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】640立方厘米 【思路引导】当石头放入长方体容器中，水上升的高度为9－7＝2厘米，根据长方体体积公式V＝a×b×h（其中a是长，b是宽，h是高），容器的长是20厘米，宽是16厘米，水上升的高度即为高。把数据代入公式计算即可解答。 【规范解答】9－7＝2（厘米） 20×16×2＝640（立方厘米） 答：这块石头的体积是640立方厘米。 〔进阶提升〕：「小试牛刀 举一反三」 11．（25-26六年级上·江苏南通·期末）一个长方体玻璃鱼缸，从里面量长5分米、宽4分米、高3分米。鱼缸内的水离缸口还有1.5分米。下列说法错误的是（    ）。 A．鱼缸内水的体积是30升 B．水与鱼缸的接触面积是70平方分米 C．鱼缸的容积是60升 D．放入一个棱长2分米的正方体铁块，水不会溢出 【答案】B 【思路引导】先计算水的高度为3－1.5＝1.5分米，然后逐项分析： A．依据水的“体积＝长×宽×水高”计算出水的体积，再将立方分米换成升。 B．水与鱼缸的接触面积包括底面和四周水面以下的部分，分别计算出这些面的面积，最后再求和。 C．依据鱼缸“容积＝长×宽×高”公式计算出容积，然后立方分米换成升。 D．依据正方体积公式“体积＝棱长×棱长×棱长”计算出体积。 【规范解答】水的高度为：3－1.5＝1.5（分米） A．5×4×1.5 ＝20×1.5 ＝30（立方分米） 30立方分米＝30升 所以，说法正确 B．底面面积：5×4＝20（平方分米） 四周面积：（5×1.5＋4×1.5）×2 ＝（7.5＋6）×2 ＝13.5×2 ＝27（平方分米） 总面积：20＋27＝47（平方分米） 47＜70 所以，说法错误 C．5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 所以，说法正确 D．铁块体积： 2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方分米） 剩余容积： 5×4×1.5 ＝20×1.5 ＝30（立方分米） 8＜30 所以，水不会溢出，说法正确 故答案为：B 【考点剖析】掌握长方体体积、容积的计算方法，以及水与容器接触面积的计算逻辑。 12．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）将未拆封的整瓶饮料（如图）完全浸没在长方体容器中，容器中上升水的体积可能是（    ）毫升。 A．450 B．480 C．500 D．540 【答案】D 【思路引导】饮料瓶的净含量是500毫升，容器中上升的水的体积是饮料瓶的体积，同一个物体的体积比它的容积大，所以上升水的体积比500毫升多。 【规范解答】容器中上升水的体积是饮料瓶的体积，同一个物体的体积比容积大，所以上升水的体积比500毫升多。 故答案为：D 13．（25-26六年级上·福建宁德·期中）东东想知道一块珊瑚石的体积，他把这块珊瑚石放进一个长方体容器（如下图），根据图中信息，不能求出珊瑚石体积的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】方法1：先算出放入珊瑚石后上升部分水的高度，再根据“珊瑚石的体积＝容器的底面积×放入珊瑚石后上升部分水的高度”求出这块珊瑚石的体积； 方法2：分别求出珊瑚石和水的总体积与原来水的体积，再根据“珊瑚石的体积＝珊瑚石和水的总体积－水的体积”求出这块珊瑚石的体积； 方法3：分别求出放入珊瑚石之前空白部分的体积和放入珊瑚石后空白部分的体积，再根据“珊瑚石的体积＝放入珊瑚石之前空白部分的体积－放入珊瑚石后空白部分的体积”求出这块珊瑚石的体积，据此解答。 【规范解答】A．中，8×5表示容器的底面积，（12－4－6）表示放入珊瑚石后上升部分水的高度，珊瑚石的体积＝容器的底面积×放入珊瑚石后上升部分水的高度，该算式能求出珊瑚石的体积； B．中，（12－4）表示珊瑚石和水的总高度，8×5×（12－4）表示珊瑚石和水的总体积，8×5×4表示放入珊瑚石后空白部分的体积，两式相减不能求出珊瑚石的体积； C．中，（12－4）表示珊瑚石和水的总高度，8×5×（12－4）表示珊瑚石和水的总体积，8×5×6表示水的体积，珊瑚石的体积＝珊瑚石和水的总体积－水的体积，该算式能求出珊瑚石的体积； D．中，（12－6）表示放入珊瑚石之前空白部分的高度，8×5×（12－6）表示放入珊瑚石之前空白部分的体积，8×5×4表示放入珊瑚石后空白部分的体积，珊瑚石的体积＝放入珊瑚石之前空白部分的体积－放入珊瑚石后空白部分的体积，该算式能求出珊瑚石的体积。 故答案为：B 14．（25-26六年级上·江苏南京·期末）我们来做一个数学实验。 第一步：准备一个长20厘米、宽10厘米、高15厘米的长方体玻璃容器（无盖），这个鱼缸的容积是( )升。 第二步：往里面倒入2升水，水深( )厘米。 第三步：将第一个石块完全浸没在水中，水面上升了3厘米。容器内水与玻璃内壁的接触面积增加了( )平方厘米，第一个石块的体积是( )立方厘米。 第四步：接着再放入第二个石块。完全浸没后，水溢出了。把第二个石块取出后，这时水面高度为12厘米，第二个石块的体积是( )立方厘米。 【答案】 3 10 180 600 600 【思路引导】由题可知，无盖长方体玻璃容器，长20厘米、宽10厘米、高15厘米；单位换算1升＝1000立方厘米。 求鱼缸的容积先根据长方体的体积＝长×宽×高算出鱼缸的体积，再根据1升＝1000立方厘米换算成容积单位； 求倒入2升水，水深多少厘米。先统一单位2升＝2000立方厘米，鱼缸底面积＝长×宽，最后根据长方体体积公式的逆用，高＝体积÷底面积，即可解答； 求水面上升3厘米后，水与玻璃内壁接触面积的增加量。接触面积增加的部分仅为“水面上升3厘米”对应的长方体四周侧面积，长方体侧面积＝2×（长×上升高度＋宽×上升高度），据此解答； 求第一个石块的体积，石块完全浸没，挤占了水的空间，导致水面上升，上升部分水的体积与石块体积相等。石块体积＝鱼缸底面积×水面上升高度，据此解答。 求第二个石块的体积，第二个石块完全浸没后，水溢出了之后容器被装满，石块取出后水面高度为12厘米，减少的水的体积就是石块的体积。第二个石块的体积＝底面积×（容器高度－取出石块后的水面高度），据此解答。 【规范解答】 （立方厘米） （升） 这个鱼缸的容积是3升。 （立方厘米） （平方厘米） （厘米） 往里面倒入2升水，水深10厘米。 （平方厘米） 容器内水与玻璃内壁的接触面积增加了180平方厘米。 （立方厘米） 第一个石块的体积是600立方厘米。 （立方厘米） 第二个石块的体积是600立方厘米。 【考点剖析】这道题解题的关键是熟练掌握长方体的表面积和体积及其逆运用求高，并且掌握不规则物体的体积算法。 15．（25-26六年级上·河南周口·期中）一个长方体玻璃缸，从里面测得长是25厘米，宽是12厘米，高是15厘米，缸内水面高12厘米。如果在缸内完全浸没一个棱长为10厘米的正方体铁块，缸内的水会溢出( )毫升。 【答案】100 【思路引导】由题意知：长方体玻璃缸从里面测得长是25厘米，宽是12厘米，高是15厘米，而缸内水面高12厘米，则玻璃缸内空的部分高（15－12）厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，用25厘米×12厘米×（15－12）厘米计算出这个玻璃缸空白部分的体积。 在缸内完全浸没一个棱长为10厘米的正方体铁块，这个正方体的铁块体积＝棱长×棱长×棱长，将铁块放入水缸，空白部分的体积如果没有铁块的体积大，水就会溢出，且缸内的溢出水的体积＝铁块的体积－水缸内空白部分的体积，最后根据1立方厘米＝1毫升，换算单位填空即可。 【规范解答】10×10×10－25×12×（15－12） ＝10×10×10－25×12×3 ＝1000－900 ＝100（立方厘米） 100立方厘米＝100毫升 一个长方体玻璃缸，从里面测得长是25厘米，宽是12厘米，高是15厘米，缸内水面高12厘米。如果在缸内完全浸没一个棱长为10厘米的正方体铁块，缸内的水会溢出100毫升。 16．（24-25五年级下·全国·课后作业）A，B两个长方体容器中装有水的高度相同，把同一个西红柿分别完全浸入A，B两个容器中（水都未溢出），A容器的水面比B容器的水面低，说明( )容器的底面积大。 【答案】A 【思路引导】A，B两个长方体容器中装有水的高度相同，同一个西红柿分别完全浸入A，B两个容器中（水都未溢出），西红柿体积相同，浸入容器后水升高的体积也相同，A容器的水面比B容器的水面低，根据长方体的体积公式，体积相同时，升高高度越小，底面积越大，据此解答。 【规范解答】根据长方体的体积公式，体积相同时，升高高度越小，底面积越大；A容器的水面比B容器的水面低，故A容器的底面积大。 17．（24-25五年级下·四川巴中·期中）认真看图，想一想，你能计算出铁块的高度吗？ 【答案】8厘米 【思路引导】没放铁块时液体高度是8cm，放入铁块后液体高度变为10.5cm，那么液体上升的高度为：10.5－8＝2.5（cm），根据长方体的体积＝长×宽×高，先求出放入铁块后液体上升部分的体积，这部分体积就是铁块的体积。再根据正方形的面积＝边长×边长，求出铁块的底面积，最后根据公式：长方体的高＝体积÷底面积，求出铁块的高度。 【规范解答】10×8×（10.5－8） ＝10×8×2.5 ＝200（cm3） 200÷（5×5） ＝200÷25 ＝8（cm） 所以铁块的高度是8cm。 18．（25-26六年级上·安徽滁州·期末）把5个同样的砝码投入到一个长6分米、宽2分米、深1分米的容器中，水面上升4厘米，每个砝码的体积是多少立方厘米？ 【答案】960立方厘米 【思路引导】长方体体积（砝码的总体积）＝长×宽×水面上升的高度，计算体积前需统一单位。计算出砝码总体积除以5求出每个砝码的体积。 【规范解答】6分米＝60厘米 2分米＝20厘米 （立方厘米） （立方厘米） 答：每个砝码的体积是960立方厘米。 19．（25-26五年级上·山东东营·期中）如图，在长方体水槽（长为10厘米、宽为8厘米，初始水位高度8厘米和上升后高度9.5厘米）内放一个长为5厘米，宽为4厘米的长方体铁块，这个铁块的高是多少？ 【答案】6厘米 【思路引导】首先观察题目中的图形和条件：长方体水槽的长为10厘米、宽为8厘米，放入铁块后水面从8厘米上升到9.5厘米；铁块是长5厘米、宽4厘米的长方体。 思考过程：要计算铁块的高，需先确定铁块的体积——根据“排水法”，铁块的体积等于水面上升部分的水的体积（因为水槽是封闭的长方体容器，水面上升的空间体积就是铁块占据的体积）。 接下来，先计算水面上升的高度，再用“水槽底面积×水面上升高度”算出上升水的体积（即铁块体积），最后利用“长方体体积＝长×宽×高”的公式，变形得到“高＝体积÷（长×宽）”，代入铁块的长和宽即可求出高。 【规范解答】水面上升的高度：9.5－8＝1.5（厘米） 水槽的底面积：10×8＝80（平方厘米） 上升水的体积：80×1.5＝120（立方厘米） 铁块的底面积：5×4＝20（平方厘米） 铁块的高：120÷20＝6（厘米） 答：这个铁块的高是6厘米。 20．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）一个无盖的长方体玻璃鱼缸。长40厘米，宽30厘米，高20厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？ （2）鱼缸里有一些水，往水里放入一些鹅卵石、水草等装饰品，水面上升了3厘米，这些装饰品的体积一共是多少立方厘米？ 【答案】（1）4000平方厘米 （2）3600立方厘米 【思路引导】（1）题目给出玻璃鱼缸是无盖的，根据无盖长方体的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解； （2）根据不规则物体体积的计算方法：容器的底面积×水面上升的高度＝物体的体积，把数代入公式即可求解。 【规范解答】（1）40×30＋（40×20＋30×20）×2 ＝1200＋（800＋600） ＝1200＋1400×2 ＝1200＋2800 ＝4000（平方厘米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃4000平方厘米。 （2）40×30×3 ＝1200×3 ＝3600（立方厘米） 答：这些装饰品的体积一共是3600立方厘米。 〔挑战拓展〕：「突破自我，再攀高峰」 21．（24-25六年级上·江苏宿迁·期中）下图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（    ）。 A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下 【答案】C 【思路引导】先根据题意，求出杯子的剩余容量是多少：500－300＝200，再结合图2放入四颗玻璃球时，水没有满，可知：四颗玻璃球总体积小于200，和图3放入五颗玻璃球时，水满溢出，可知：五颗玻璃球总体积大于200，从而求出一颗玻璃球的体积范围，据此解答。 【规范解答】（1）根据图1“将300的水倒进一个容量500的杯子中”可知：杯子剩余容量：500－300＝200（）； （2）根据图2“将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满”可知：四颗玻璃球的总体积小于200，因为200÷4＝50（），因此，一个玻璃球的体积小于50； （3）根据图3“再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出”可知：五颗玻璃球的总体积大于200，因为200÷5＝40（），因此，一个玻璃球的体积大于40。 所以，一个玻璃球的体积在40以上，50以下。 故答案为：C 22．如图是测量一颗铁球体积的过程。 ①将400mL的水倒进一个容量为600mL的杯子中； ②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满； ③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在（    ）。 A．50cm3～60cm3 B．30cm3～40cm3 C．40cm3～50cm3 D．20cm3～30cm3 【答案】C 【思路引导】先根据进率1mL＝1cm3，将400mL换算成400cm3，600mL换算成600cm3； 根据题意，将4颗相同的铁球放入水中，结果水没有满，可知4个铁球的体积要小于（600－400）cm3，那么1个铁球的体积就小于（200÷4）cm3； 再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出，可知5个铁球的体积要大于（600－400）cm3，那么1个铁球的体积就大于（200÷5）cm3。据此推测出一颗铁球体积的范围。 【规范解答】400mL＝400cm3 600mL＝600cm3 600－400＝200（cm3） 200÷4＝50（cm3） 200÷5＝40（cm3） 40cm3＜一颗铁球的体积＜50cm3 所以，这样一颗铁球的体积大约在40cm3～50cm3。 故答案为：C 【考点剖析】明确水上升部分的体积等于几颗铁球的体积，进而求出铁球的体积范围。 23．（25-26五年级上·山东·课后作业）将一个棱长是16dm的正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了8dm，然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了25dm（水没有溢出），铁块的体积是( )。 【答案】12.8 【思路引导】正方体石块的体积就等于水面上升部分形成的水的体积，水面上升的部分是一个长方体，长方体体积＝底面积×高，所以用正方体的体积÷8可算出这个长方体水槽的底面积，放入一个铁块并浸没，水面又上升了25dm（水没有溢出），铁块的体积也相当于水面上升部分形成的水的体积，所以用刚才算出的长方体水槽的底面积×25dm可算出铁块的体积，最后根据1000dm3＝1m3将单位换算好。 【规范解答】16×16×16 ＝256×16 ＝4096（dm3） 4096÷8×25 ＝512×25 ＝12800（dm3） 12800dm3＝12.8m3 所以铁块的体积是12.8 m3。 【考点剖析】本题关键是将放入物品的体积转换成水面上升所形成的体积，并且能够用除法计算出长方体水槽的底面积，这个量求出来，就不难求出铁块的体积了。 24．（24-25六年级上·江苏南京·期末）如图所示，一个小球的体积是________；一个大球的体积是________。 【答案】 6 14 【思路引导】图一中有1个大球和1个小球，排出水的体积是20毫升，图二中有1个大球和4个小球，排出水的体积是38毫升，两次排出水的体积差就是（4－1）个小球的体积，由此求出每个小球和大球的体积。 【规范解答】（38－20）÷（4－1） ＝18÷3 ＝6（毫升） 6毫升＝6立方厘米 20－6＝14（毫升）＝14立方厘米 一个小球的体积是6立方厘米，一个大球的体积是14立方厘米。 【考点剖析】用两次排出水的体积除以两次球的个数差，就是每个小球的体积。 25．（2024六年级·全国·竞赛）一个无水的观赏池中放有一块高28厘米，体积为4200立方厘米的假山石。如果以每分钟8立方分米的水量向池内注水，那么至少需要( )分钟才能将假山石完全淹没。 【答案】3.5 【思路引导】当水面高度是28厘米时，假山石完全淹没。 此时假山石与注入的水的体积之和等于观赏池高28厘米时的容积。 假山石的体积已知，根据观赏池的尺寸，观赏池28厘米高时的容积可求，那么注入的水的体积也就可以求出来了。 已知注入水的体积和注水速度，根据时间=体积÷注水速度，时间可求。 【规范解答】8立方分米=8000立方厘米 46×25×28 =1150×28 =32200（立方厘米） 32200-4200=28000（立方厘米） 28000÷8000=3.5（分钟） 至少需要3.5分钟才能将假山石完全淹没。 【考点剖析】观赏池28厘米高时的容积包含假山石和注水的体积。 26．（24-25六年级上·江苏镇江·期末）“乌鸦喝水”的故事想必同学们都知道。在一个正方体的水槽里装了一些水（如图），乌鸦只能够到水槽最上沿喝水。在水槽的旁边有大小不一的三块石头，你能选择其中的两块石头，帮助乌鸦喝到水吗？你打算怎么做？填在括号里，并通过计算解释你的做法。 我的选择：（    ）号和（    ）号。 计算过程： 【答案】②③；见详解 【思路引导】从图中可知正方体水槽棱长为15厘米，现有水面高度13厘米，因此水面至少需要上升15－13＝2厘米，乌鸦才能喝到水。水面上升的部分是一个底面为正方形（边长15厘米）、高2厘米的长方体，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出长方体的体积，即石头需要达到的最小总体积。分别计算任意两块石头的体积和，判断是否大于石头需要达到的最小总体积，找出符合条件的石头组合。据此解答。 【规范解答】空白处的体积：15×15×（15－13） ＝15×15×2 ＝225×2 ＝450（立方厘米） ①＋②：103＋198＝301（立方厘米）＜450立方厘米，不符合； ①＋③：103＋256＝359（立方厘米）＜450立方厘米，不符合； ②＋③：198＋256＝454（立方厘米）＞450立方厘米，符合。 因此只有②号和③号石头的组合满足要求。 答：我选择②号和③号两块石头放到水槽里，乌鸦就能喝到水了。 【考点剖析】本题的关键在于：先根据水槽总高度15厘米和现有水面高度13厘米，算出水面需上升2厘米，进而求出水面上升所需的最小体积，再通过计算两块石头的体积和，筛选出只有②号和③号石头的体积和大于该最小体积，能让水面升至水槽上沿，帮助乌鸦喝到水。 27．（24-25五年级下·北京西城·期末）张红家有一个长6分米，宽3分米，高5分米的无盖长方体玻璃鱼缸。由于鱼缸有一些破损，爷爷裁去了一部分，把它改造成了一个新型无盖鱼缸（如下图）。 （1）改造后鱼缸的玻璃总面积是多少平方分米？ （2）张红在改造后的鱼缸中倒入54升水，接着将一块假山石放入水中并完全浸没，此时鱼缸中水面的高度是3.5分米（如下图）。这块假山石的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）99平方分米 （2）9立方分米 【思路引导】（1）观察图形可知，裁去了一部分后，左右面是梯形；那么新型无盖鱼缸的5个面分别是：下面是长为6分米、宽是3分米的长方形，前面是长为6分米、宽为（5－1）分米的长方形，后面是长为6分米、宽为5分米的长方形，左右面是上底为（5－1）分米、下底为5分米、高为3分米的梯形； 根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出5个面的面积，再相加即是改造后鱼缸玻璃的总面积。 （2）已知将一块假山石完全浸没入水中，此时鱼缸中水面的高度是3.5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水面高度是3.5分米时水和假山石的体积之和，再减去水的体积，即是假山石的体积。注意单位的换算：1升＝1立方分米。 【规范解答】（1）5－1＝4（分米） 下面：6×3＝18（平方分米） 前面：6×4＝24（平方分米） 后面：6×5＝30（平方分米） 左右面： （4＋5）×3÷2×2 ＝9×3÷2×2 ＝27（平方分米） 总面积： 18＋24＋30＋27＝99（平方分米） 答：改造后鱼缸的玻璃总面积是99平方分米。 （2）54升＝54立方分米 6×3×3.5 ＝18×3.5 ＝63（立方分米） 63－54＝9（立方分米） 答：这块假山石的体积是9立方分米。 【考点剖析】（1）本题考查长方体表面积公式的灵活应用，关键是分析出新型无盖鱼缸的5个面是由哪些图形组合而成，进而根据图形的面积公式求出鱼缸的总面积。 （2）本题考查长方体体积公式的实际应用，理解假山石浸没水中后水的高度3.5分米，此时的体积包含水和假山石的体积之和是解题的关键。 28．（24-25五年级下·河北保定·期中）学习了用“排水法”求不规则物体的体积以后，活动课上，同学们设计了一个数学小游戏：一个长方体玻璃缸，长18厘米，宽6厘米，高15厘米，往这个玻璃缸中倒入1080毫升的水，小明手里有若干个体积是120立方厘米的玻璃球，小刚手里有若干个体积是110立方厘米的玻璃球，两个人从小明开始依次将手中的玻璃球放入水中，每人每次只能放一颗，轮到谁的时候水会溢出？ 【答案】小明 【思路引导】已知长方体玻璃缸的长、宽、高，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出玻璃缸的总容积； 往这个玻璃缸中倒入1080毫升的水，用玻璃缸的总容积减去玻璃缸中水的体积，即是玻璃缸还剩余的空间； 已知小明、小刚往玻璃缸中放玻璃球，水面会上升，水上升部分的体积等于放入的玻璃球的体积；把两人各放一个玻璃球看作一轮，此时水上升的体积是120＋110＝230立方厘米； 用玻璃缸剩余的容积除以230，商表示可以放几轮，余数表示还剩下的空间； 用放了几轮后还剩下的空间与小明放的玻璃球体积进行比较，如果小明放的玻璃球体积大于剩下的空间，则水会溢出； 如果小刚放的玻璃球体积小于剩下的空间，则轮到小刚放时，水才会溢出。 【规范解答】18×6×15 ＝108×15 ＝1620（立方厘米） 1080毫升＝1080立方厘米 1620－1080＝540（立方厘米） 120＋110＝230（立方厘米） 540÷230＝2（轮）……80（立方厘米） 80＜120 答：轮到小明的时候水会溢出。 【考点剖析】除了熟悉不规则物体的容积的计算方法，还需要明确，每放完一轮玻璃球，余下的空间与玻璃球体积的大小关系能决定结论。 29．（2024五年级下·全国·专题练习）有一个长40厘米、宽30厘米、高20厘米的长方体容器，容器中的水深10厘米。在容器中放入一个底面积为200平方厘米、高15厘米的长方体铁块，求水面上升的高度。 【答案】2厘米 【思路引导】题干中没有注明是否完全浸没，首先假设完全浸没，长方体铁块完全浸没在水中会使与之体积相同的水上升，已知上升的水（铁块）的体积和容器底面积，即可求出上升的高度。根据长方体的体积V＝Sh，求出长方体铁块的体积，再用长方体铁块的体积÷长方体容器底面积＝水面上升高度。通过判断水面上升的高度，来判断是否完全浸没，如果完全浸没，则计算结束； 如果没有完全浸没，则根据放入前后水的体积不变，但是放入长方体铁块之后，长方体容器的底面积变小了，由此用水的体积÷（长方体容器底面积－长方体铁块的底面积）得出此时水面的高度，再减去原水面高度即可得出水面上升的高度。 【规范解答】假设铁块完全浸没： 200×15÷（40×30） ＝3000÷1200 ＝2.5（厘米） 10＋2.5＝12.5（厘米） 12.5厘米＜15厘米 所以，说明铁块没有完全浸没。 40×30×10÷（40×30－200） ＝12000÷（1200－200） ＝12000÷1000 ＝12（厘米） 12－10＝2（厘米） 答：水面上升的高度是2厘米。 【考点剖析】本题中没有注明铁块是否完全浸没，因此应该先假设其完全浸没，然后通过计算结果来判断其是否完全浸没。铁块完全浸没与否，需要使用两种不同的计算方法，所以判断其是否完全浸没至关重要。 30．（23-24六年级上·福建宁德·期末）一个长方体容器从里面量，长、宽、高分别是15厘米、8厘米、10厘米，容器里原来装有6厘米高的水，放入（完全浸没）一个铁块后，水面高度是9厘米。这个铁块的体积是多少？容器中水与容器的接触面积增加了多少平方厘米？ 【答案】360立方厘米；138平方厘米 【思路引导】根据题意，将一个铁块完全浸入有水的长方体容器中，水面上升了（9－6）厘米，那么这个铁块的体积等于水上升部分的体积；水上升部分是一个长15厘米、宽8厘米、高（9－6）厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个铁块的体积。 容器中水与容器增加的接触面积等于前后面与左右面增加的面积之和，前后面增加了两个长15厘米、宽（9－6）厘米的长方形，左右面增加了两个长8厘米、宽（9－6）厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算求解。 【规范解答】15×8×（9－6） ＝15×8×3 ＝120×3 ＝360（立方厘米） 15×（9－6）×2＋8×（9－6）×2 ＝15×3×2＋8×3×2 ＝90＋48 ＝138（平方厘米） 答：这个铁块的体积是360立方厘米，容器中水与容器的接触面积增加了138平方厘米。 【考点剖析】求不规则物体的体积，关键是将求铁块的体积转移到求水上升部分的体积，再根据长方体的体积公式列式计算。 求水与容器的增加的接触面积，关键是分析出增加的接触面积是哪些面的面积，再根据长方形的面积公式求解。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $