专项训练五 解决问题（第六单元 长方体和正方体）导图+三难度分层练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

**基本信息** 以分层训练构建长方体和正方体知识体系，通过基础应用、综合辨析到拓展拔高的逻辑链，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础入门|10题|聚焦棱长、表面积、体积公式直接应用，含展开图、三视图等基础概念|从几何体要素认识到公式初步应用，构建概念框架| |进阶提升|10题|突出体积与容积辨析、实际场景综合计算，如材料厚度、动态注水问题|深化概念联系，培养应用意识与推理能力| |挑战拓展|10题|涉及最值问题、动态变化及跨知识综合，如分割体表面积、水位变化分析|提升空间想象与数学思维，强化创新意识|

2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项三难度分层训练【典型题讲练】 专项训练五 解决问题『第六单元 长方体和正方体』 模块一 导图指引 梳理脉络 模块二 分层训练 突破自我 〔基础入门〕：「步步扎实 稳扎稳打」 1．（25-26六年级上·山西大同·期末）“仁、义、礼、智、信、孝”是我国的传统美德，强强将他们分别写在一个正方体的六个面上，下图是正方体的展开图，和“仁”相对的字是（    ）。 A．义 B．礼 C．智 D．信 2．（25-26六年级上·山西太原·期末）某产品说明书上标注包装尺寸为970mm×763mm×1885mm，它们分别表示这个长方体包装盒的长、宽、高，根据这组数据，联系生活实际想象一下，这个产品可能是（    ）。 A．一台电视机 B．一台微波炉 C．一部手机 D．一台冰箱 3．（24-25五年级上·山东东营·期末）一个占地面积为的鱼池，水深0.6m，在水底铺上一些沙石后，水面上升了0.2m，铺上的沙石的体积大约是（    ）。 A． B． C． D． 4．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）张师傅要焊接一个长方体框架模型，可供使用的铁条材料如下表。为了方便，不改变铁条的长度，张师傅选择了其中的12根作为长方体框架模型的棱。 长度／厘米 25 20 15 8 数量／根 5 7 3 4 (1)这个长方体框架模型的棱长总和是( )厘米。 (2)要给这个长方体框架模型糊上一层包装纸，至少要( )平方厘米的纸。 5．（24-25六年级上·安徽滁州·期末）用125个棱长是1厘米的小正方体能拼成一个棱长是5厘米的大正方体，要使拼成的大正方体的棱长是6厘米，还需要( )个棱长是1厘米的小正方体。 6．（25-26六年级上·广西桂林·期末）一个由小正方体搭成的立体图形（小正方体之间至少有一个面重合），从正面、上面和左面看到的形状都是，搭这个立体图形需要( )个小正方体。 7．（24-25六年级上·安徽滁州·期末）科学实验室里有一个正方体的容器，棱长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米、横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中，会溢出多少毫升水？ 8．（25-26六年级上·江苏南京·期末）一个长方体游泳池，长20米，宽18米，深2.5米。如果在游泳池的四壁和底面抹水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？这个游泳池的容积是多少立方米？ 9．（25-26六年级上·贵州毕节·期末）如图是一个密封的长方体玻璃容器，从里面量，底面是边长6分米的正方形，高12分米，里面的水深3.5分米。 (1)容器里面的水有多少升？ (2)这个长方体玻璃容器的容积是多少立方分米？ 10．（25-26六年级上·江苏镇江·期末）王师傅给1号长方体的表面刷油漆，正好用了一桶油漆。李师傅要给2号长方体的表面刷油漆，已知2号长方体的长、宽、高正好都是1号长方体长、宽、高的2倍。李师傅说：“我只要买两桶王师傅这样的油漆就够了。”李师傅说得对吗？说说你的理由。 〔进阶提升〕：「小试牛刀 举一反三」 11．（25-26六年级上·江苏淮安·期末）如图，用27个相同的小正方体搭一个大正方体，从上面拿走一些小正方体，剩下部分的表面积与原来大正方体的表面积相等的情况是（    ）。 A．拿走⑧ B．拿走②⑤ C．拿走①②③ D．拿走②③⑧⑨ 12．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）水族馆定制了两个玻璃鱼缸，从外面量两个鱼缸同样大。其中一个鱼缸用的玻璃厚度都是8毫米，另一个鱼缸用的玻璃厚度都是5毫米。比较这两个鱼缸，它们的（    ）。 A．体积不等，容积不等 B．体积不等，容积相等 C．体积相等，容积不等 D．体积相等，容积相等 13．（25-26六年级上·河南平顶山·期末）一个长方体的侧面展开图是一个边长40厘米的正方形，它的底面也是一个正方形。这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．1000 B．1600 C．3200 D．4000 14．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）晓明发现一个长方体包装盒很有趣，从一个顶点出发的三条棱的长度恰好是三个连续的自然数。如果这个长方体的棱长之和是120分米，那么从一个顶点出发的三条棱的长度之和是( )分米，做这个包装盒至少需要( )平方米的硬纸板，这个包装盒最多能装( )个棱长为2分米的小正方体。 15．（24-25六年级上·江苏徐州·期末）学校修筑一条长120米，宽10米的直跑道。先铺上4分米厚的三合土，再铺上3厘米厚的塑胶。需要三合土( )立方米，需要塑胶( )立方米。 16．（25-26六年级上·江苏苏州·期中）若甲容器体积比乙容器体积大，则甲容器容积一定比乙容器容积大。( )（判断对错） 17．（25-26六年级上·江苏徐州·期末）为了美化校园环境，学校用混凝土浇筑一根高3米，底面边长是0.8米的长方体文化柱。 (1)浇筑这根文化柱需要混凝土多少立方米？ (2)如果要在柱子的四周刷上彩色油漆装饰，刷漆的面积是多少平方米？ 18．（25-26六年级上·江苏南通·期末）学校劳动实践基地要浇筑一个无盖的混凝土水槽，浇筑完成后，从外面量，水槽长24分米、宽14分米、高8分米，水槽四周和底部的混凝土厚度均为2分米。（如下图） (1)这个水槽的容积是多少升？（提示：需考虑混凝土厚度对内部尺寸的影响） (2)浇筑这个水槽需要多少立方米的混凝土？ 19．（25-26六年级上·江苏徐州·期末）李大爷在花园里挖了一个长方体的鱼池，从里面量长是1.5米，宽是0.8米，深是0.7米。 (1)要在鱼池的侧面贴瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ (2)原来池中水深0.6米，放入一座高0.4米的假山后，池里的水溢出120升。如果把假山取出来，池里的水深是多少米？ 20．（25-26六年级上·青海海西·期末）小艾的爸爸买了一个观赏鱼缸，鱼缸内部长40厘米，宽30厘米，高30厘米，放入一个高20厘米，体积为4000立方厘米的假山石后，用水流量为每分钟4立方分米的水管向鱼缸注水，至少需要多少分钟能将假山石淹没？ 〔挑战拓展〕：「突破自我，再攀高峰」 21．（25-26六年级上·海南儋州·期末）用一根长48cm的铁丝围成一个长方体（长、宽、高均为整数）或正方体框架，体积最大是（    ）cm3。 A．16 B．32 C．64 22．（25-26六年级上·江苏南京·期中）东东想要在一个棱长5厘米的正方体上挖去一块长5厘米，宽和高都为1厘米的小长方体，在图（    ）的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 A． B． C． 23．两根铁丝同样长，一根做成一个长方体框架没有剩余，另一根做成一个正方体框架没有剩余。然后分别把两个框架的六个面都用彩纸围起来。这时（    ）的体积大。 A．长方体 B．正方体 24．（25-26六年级上·江苏镇江·期末）琳琳往一个从里面量长10分米，宽8分米，高12分米的长方体空水箱里注水，当水箱里的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，琳琳注入了( )升的水；当第二次出现正方形时，水与水箱接触的面积是( )平方分米。 25．（25-26六年级上·江苏南通·期末）小华将一个长6cm、宽3cm的长方体饮料盒展开，接头处忽略不计，但不小心撕坏了一小部分（如下图）。这个饮料盒的高是( )cm，原来的表面积是( )cm2。 26．（24-25五年级·全国·随堂练习）笑笑打算从4根长3cm和10根长6cm的小棒中选取12根小棒搭成一个长方体框架，给这个长方体框架的每个面都糊上红纸，至少需要红纸( )cm2。 27．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）把一个长方体分割为一个表面积是96平方厘米的正方体和一个表面积是144平方厘米的长方体，那么原来长方体的体积是多少立方厘米？ 28．（2025·吉林长春·小升初真题）有一个像如图①那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分。B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏。图②是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象。回答下面的问题： （1）求图②中D表示的数； （2）从B的洞中每秒钟流出多少升水； （3）图②中P表示的数为（    ），Q表示的数为（    ）。 29．（25-26五年级上·山东泰安·期中）用一根长240厘米的铁丝扎成一个长方体框架，把它的每个面糊上，做成一个长方体。已知从这个长方体的一个顶点引出的三条棱中，其中两条相等，另一条是这两条之和的2倍，求这个长方体占多大空间？ 30．如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项三难度分层训练【典型题讲练】 专项训练五 解决问题『第六单元 长方体和正方体』 模块一 导图指引 梳理脉络 模块二 分层训练 突破自我 〔基础入门〕：「步步扎实 稳扎稳打」 1．（25-26六年级上·山西大同·期末）“仁、义、礼、智、信、孝”是我国的传统美德，强强将他们分别写在一个正方体的六个面上，下图是正方体的展开图，和“仁”相对的字是（    ）。 A．义 B．礼 C．智 D．信 【答案】C 【思路引导】根据正方体展开图的特征：正方体展开图中，相对的面在折叠后不相邻，且在展开图中遵循“隔一相对”的规律，在同一行或同一列中，相隔一个正方形的两个面是相对面。异行“Z”字两端相对：不同行的面，呈“Z”字形两端的两个面，折叠后是相对面。 【规范解答】观察展开图，以“仁”为中心，先找它的相邻面，“仁”的右边是义（第一行相邻），仁的下方是礼（第二行相邻），因此义、礼都是相邻面，绝对不是相对面，直接排除A、B 选项。以“仁”为起点，沿展开图的结构画“Z”字：仁→义→礼→智，“仁”的Z字另一端，对应第二行的智，因此仁的相对面是智，对应选项为：C。 2．（25-26六年级上·山西太原·期末）某产品说明书上标注包装尺寸为970mm×763mm×1885mm，它们分别表示这个长方体包装盒的长、宽、高，根据这组数据，联系生活实际想象一下，这个产品可能是（    ）。 A．一台电视机 B．一台微波炉 C．一部手机 D．一台冰箱 【答案】D 【思路引导】根据1cm＝10mm，将包装盒的长、宽、高用厘米表示出来；联系生活实际，进行判断。 【规范解答】970mm＝97cm       763mm＝76.3cm         1885mm＝188.5cm A．大尺寸电视机（如75英寸以上）加包装材料后，长度约150cm，宽度约23cm，高度约100cm，76.3cm的宽度、188.5cm的高度都远超实际，排除。 B．常见微波炉的长：50～60cm，宽：30～40cm，高：30～40cm，97cm的长度，76.3 cm的宽度，188.5cm的高度都远超实际，排除。 C．手机长度通常为15～20cm，宽度7～10cm，厚度小于1cm，远小于题目中长、宽、高的尺寸，排除。 D．冰箱的尺寸通常较大，为了满足家庭的存储需求，其长、宽、高可以达到题目中970mm×763mm×1885mm的规格，符合。 包装尺寸为970mm×763mm×1885mm的产品可能是一台冰箱。 3．（24-25五年级上·山东东营·期末）一个占地面积为的鱼池，水深0.6m，在水底铺上一些沙石后，水面上升了0.2m，铺上的沙石的体积大约是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】水面上升的体积就是铺上的沙石的体积。鱼池占地面积×水面上升的高度＝铺上的沙石的体积，据此列式计算。 【规范解答】6×0.2＝1.2（） 铺上的沙石的体积大约是。 故答案为：B 4．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）张师傅要焊接一个长方体框架模型，可供使用的铁条材料如下表。为了方便，不改变铁条的长度，张师傅选择了其中的12根作为长方体框架模型的棱。 长度／厘米 25 20 15 8 数量／根 5 7 3 4 (1)这个长方体框架模型的棱长总和是( )厘米。 (2)要给这个长方体框架模型糊上一层包装纸，至少要( )平方厘米的纸。 【答案】(1)212 (2)1720 【思路引导】（1）长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长度15厘米的铁条只有3根，不能选择。只能选择长度25厘米的4根、长度20厘米的4根、长度8厘米的4根。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算。 （2）求包装纸的面积相当于求长方体表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【规范解答】（1）（25＋20＋8）×4 ＝53×4 ＝212（厘米） （2）（25×20＋25×8＋20×8）×2 ＝（500＋200＋160）×2 ＝860×2 ＝1720（平方厘米） 5．（24-25六年级上·安徽滁州·期末）用125个棱长是1厘米的小正方体能拼成一个棱长是5厘米的大正方体，要使拼成的大正方体的棱长是6厘米，还需要( )个棱长是1厘米的小正方体。 【答案】91 【思路引导】先根据正方体体积公式V＝a×a×a，求出棱长6厘米的大正方体体积，再除以棱长1厘米的小正方体体积，求出拼成棱长6厘米大正方体需要的小正方体总个数，最后用总个数减去已有的125个，即可求出还需要的数量。 【规范解答】（6×6×6）÷（1×1×1） ＝216÷1 ＝216（个） 216－125＝91（个） 6．（25-26六年级上·广西桂林·期末）一个由小正方体搭成的立体图形（小正方体之间至少有一个面重合），从正面、上面和左面看到的形状都是，搭这个立体图形需要( )个小正方体。 【答案】4/四 【思路引导】从上面看到的形状（俯视图）确定底层小正方体的分布，底层有3个小正方体。 从正面和左面看到的形状确定各位置的层数，有两层，上层为1个小正方体。最后算出总个数。 【规范解答】从上面看：形状是L形，说明底层有3个小正方体，第一列有2个，第二列有1个。 从正面看：形状是L形，说明左列2层、右列1层，只有左列可以加上层的小正方体。 从左面看：形状是L形，说明左列2层、右列1层，只有左列的位置可以加1个上层小正方体。 如下图： 计算总数： （个） 搭这个立体图形需要4个小正方体。 7．（24-25六年级上·安徽滁州·期末）科学实验室里有一个正方体的容器，棱长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米、横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中，会溢出多少毫升水？ 【答案】300毫升 【思路引导】容器注满水，溢出水的体积等于铁棒浸没在水中的体积。正方体容器棱长25厘米，即水深25厘米。铁棒长50厘米，大于水深，所以浸没部分的高度为25厘米。根据长方体体积公式：体积＝底面积×高求出浸没体积，再将立方厘米换算为毫升。 【规范解答】12×25＝300（立方厘米） 300立方厘米＝300毫升 答：会溢出300毫升水。 8．（25-26六年级上·江苏南京·期末）一个长方体游泳池，长20米，宽18米，深2.5米。如果在游泳池的四壁和底面抹水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？这个游泳池的容积是多少立方米？ 【答案】550平方米；900立方米 【思路引导】抹水泥部分的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；深相当于长方体的高，游泳池的容积＝长×宽×深，据此列式解答。 【规范解答】20×18＋20×2.5×2＋18×2.5×2 ＝360＋100＋90 ＝550（平方米） 20×18×2.5＝900（立方米） 答：抹水泥部分的面积是550平方米，这个游泳池的容积是900立方米。 9．（25-26六年级上·贵州毕节·期末）如图是一个密封的长方体玻璃容器，从里面量，底面是边长6分米的正方形，高12分米，里面的水深3.5分米。 (1)容器里面的水有多少升？ (2)这个长方体玻璃容器的容积是多少立方分米？ 【答案】(1)126升 (2)432立方分米 【思路引导】（1）容器底面积×水深＝水的体积，据此求出水的体积，根据1立方分米＝1升，统一单位即可。 （2）容器底面积×高＝长方体玻璃容器的容积，据此列式解答。 【规范解答】（1）（立方分米） 126立方分米升 答：容器里面的水有126升。 （2）（立方分米） 答：这个长方体玻璃容器的容积是432立方分米。 10．（25-26六年级上·江苏镇江·期末）王师傅给1号长方体的表面刷油漆，正好用了一桶油漆。李师傅要给2号长方体的表面刷油漆，已知2号长方体的长、宽、高正好都是1号长方体长、宽、高的2倍。李师傅说：“我只要买两桶王师傅这样的油漆就够了。”李师傅说得对吗？说说你的理由。 【答案】不对；理由见详解 【思路引导】解答这道题需明确：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；求一个数的几倍是多少，用乘法。题目中已知2号长方体的长、宽、高正好都是1号长方体长、宽、高的2倍。可以设1号长方体的长为，宽为，高为，则2号长方体的长为2，宽为2，高为2，据此求出两个长方体的表面积，再用2号长方体表面积除以1号长方体表面积计算，并根据倍数准备油漆。 【规范解答】根据分析： 设1号长方体的长为，宽为，高为，则2号长方体的长为2，宽为2，高为2。 1号长方体的表面积： 2号长方体的表面积： 所以，买4桶王师傅这样的油漆就够了。 答：李师傅说得不对，买4桶王师傅这样的油漆就够了。 〔进阶提升〕：「小试牛刀 举一反三」 11．（25-26六年级上·江苏淮安·期末）如图，用27个相同的小正方体搭一个大正方体，从上面拿走一些小正方体，剩下部分的表面积与原来大正方体的表面积相等的情况是（    ）。 A．拿走⑧ B．拿走②⑤ C．拿走①②③ D．拿走②③⑧⑨ 【答案】D 【思路引导】从大正方体中拿走小正方体时，表面积的变化取决于小正方体在顶点，棱，面的位置： 顶点位置的小正方体：有3个面露在外面，拿走后，会露出3个新的面，表面积不变； 棱上（非顶点）的小正方体：有2个面露在外面，拿走后，会露出4个新的面，表面积增加2个面； 面上（非棱上）的小正方体：有1个面露在外面，拿走后，会露出5个新的面，表面积增加4个面。 【规范解答】A．⑧位于面上（非棱上），共1个面露在外面，拿走后，会露出5个新的面，表面积增加4个面，不符合题意； B．②位于棱上（非顶点），⑤位于面上（非棱上），它们共3个面露在外面，同时拿走后，会露出7个新的面，表面积增加4个面，不符合题意； C．①③都位于顶点位置，②位于棱上（非顶点），它们共8个面露在外面，同时拿走后，会露出6个新的面，表面积减少2个面，不符合题意； D．②⑨位于棱上（非顶点），⑧位于面上（非棱上），③位于顶点位置，它们共8个面露在外面，同时拿走后，会露出8个新的面，表面积不变，符合题意。 12．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）水族馆定制了两个玻璃鱼缸，从外面量两个鱼缸同样大。其中一个鱼缸用的玻璃厚度都是8毫米，另一个鱼缸用的玻璃厚度都是5毫米。比较这两个鱼缸，它们的（    ）。 A．体积不等，容积不等 B．体积不等，容积相等 C．体积相等，容积不等 D．体积相等，容积相等 【答案】C 【思路引导】求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。 【规范解答】从外面量两个鱼缸同样大，因此体积相等。玻璃厚度分别是8毫米和5毫米，厚度不同，从里面测量，玻璃厚的鱼缸数据要比玻璃薄的数据小，玻璃厚的鱼缸比玻璃薄的鱼缸容积小。因此它们的体积相等，容积不等。 13．（25-26六年级上·河南平顶山·期末）一个长方体的侧面展开图是一个边长40厘米的正方形，它的底面也是一个正方形。这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．1000 B．1600 C．3200 D．4000 【答案】D 【思路引导】长方体侧面展开图是一个正方形，表示长方体底面周长等于长方体的高，都是40厘米，长方体底面是一个正方形，表示长方体的长和宽相等，都等于正方形的边长，正方形周长为40厘米，用40除以4，求得边长是10厘米，长方体长和宽都是10厘米，长方体体积＝长×宽×高，把数据代入公式计算即可。 【规范解答】40÷4＝10（厘米） 10×10×40 ＝100×40 ＝4000（立方厘米） 长方体的体积是4000立方厘米。 14．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）晓明发现一个长方体包装盒很有趣，从一个顶点出发的三条棱的长度恰好是三个连续的自然数。如果这个长方体的棱长之和是120分米，那么从一个顶点出发的三条棱的长度之和是( )分米，做这个包装盒至少需要( )平方米的硬纸板，这个包装盒最多能装( )个棱长为2分米的小正方体。 【答案】 30 5.98 100 【思路引导】已知长方体棱长之和为120分米，长方体有12条棱，包括4条长、4条宽、4条高，所以长＋宽＋高＝120÷4＝30（分米）。即从一个顶点出发的三条棱就是长、宽、高，因此三条棱的长度之和为30分米。设三条棱的长度分别为a分米、a＋1分米、a＋2分米（a为自然数）。分别计算出长方体的长、宽、高；求至少需要的硬纸板面积就是求长方体的表面积，根据长方体表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），计算出长方体的表面积，再根据1平方米＝100平方分米，把结果的单位换算成平方米；求最多能装棱长为2分米的小正方体数量：分别用长、宽、高除以2，得出沿长度方向、沿宽度方向、沿高度方向分别能放几个（答案取整数），最后把结果相乘得到能放的小正方体的个数。 【规范解答】120÷4＝30（分米） a＋a＋1＋a＋2＝30 3a＋3＝30 3a＝27 a＝9（分米） 9＋1＝10（分米） 9＋2＝11（分米） 9＋10＋11＝30（分米） （9×10＋9×11＋10×11）×2 ＝（90＋99＋110）×2 ＝299×2 ＝598（平方分米） 598平方分米＝5.98平方米 9÷2＝4（个）……1（分米） 10÷2＝5（个） 11÷2＝5（个）……1（分米） 4×5×5＝100（个） 所以，晓明发现一个长方体包装盒很有趣，从一个顶点出发的三条棱的长度恰好是三个连续的自然数。如果这个长方体的棱长之和是120分米，那么从一个顶点出发的三条棱的长度之和是30分米，做这个包装盒至少需要5.98平方米的硬纸板，这个包装盒最多能装100个棱长为2分米的小正方体。 15．（24-25六年级上·江苏徐州·期末）学校修筑一条长120米，宽10米的直跑道。先铺上4分米厚的三合土，再铺上3厘米厚的塑胶。需要三合土( )立方米，需要塑胶( )立方米。 【答案】 480 36 【思路引导】根据题意，求三合土的体积，就是求长是120米，宽是10米，高是4分米的长方体体积，求塑胶体积，就是长120米，宽是10米，高是3厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。 【规范解答】4分米＝0.4米 三合土的体积：120×10×0.4 ＝1200×0.4 ＝480（立方米） 3厘米＝0.03米 塑胶的体积：120×10×0.03 ＝1200×0.03 ＝36（立方米） 所以需要三合土480立方米，需要塑胶36立方米。 16．（25-26六年级上·江苏苏州·期中）若甲容器体积比乙容器体积大，则甲容器容积一定比乙容器容积大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】体积是指物体所占空间的大小，容积是指容器所能容纳物体的体积。容器的体积由其外部尺寸决定，包括容器壁的体积；容积由其内部尺寸决定。由此即可判断。 【规范解答】体积是物体所占空间的大小，容积是容器所能容纳物体的体积。容器的体积由其外部尺寸决定，而容积由其内部尺寸决定。如果甲容器的壁厚大于乙容器，即使甲容器的外部体积较大，其内部容积也可能较小。因此，甲容器体积比乙大，不一定甲容器容积比乙大。 故答案为：× 17．（25-26六年级上·江苏徐州·期末）为了美化校园环境，学校用混凝土浇筑一根高3米，底面边长是0.8米的长方体文化柱。 (1)浇筑这根文化柱需要混凝土多少立方米？ (2)如果要在柱子的四周刷上彩色油漆装饰，刷漆的面积是多少平方米？ 【答案】(1)1.92立方米 (2)9.6平方米 【思路引导】（1）结合生活实际长方体文化柱底面通常是正方形，根据长方体体积＝底面积×高，先根据正方形的面积＝边长×边长求出底面面积，再用底面积乘高求出体积； （2）根据长方体侧面积＝底面周长×高，先根据正方形的周长＝边长×4求出底面周长，再用底面周长乘高求出刷漆面积。 【规范解答】（1）0.8×0.8×3 ＝0.64×3 ＝1.92（立方米） 答：浇筑这根文化柱需要混凝土1.92立方米。 （2）0.8×4×3 ＝3.2×3 ＝9.6（平方米） 答：如果要在柱子的四周刷上彩色油漆装饰，刷漆的面积是9.6平方米。 18．（25-26六年级上·江苏南通·期末）学校劳动实践基地要浇筑一个无盖的混凝土水槽，浇筑完成后，从外面量，水槽长24分米、宽14分米、高8分米，水槽四周和底部的混凝土厚度均为2分米。（如下图） (1)这个水槽的容积是多少升？（提示：需考虑混凝土厚度对内部尺寸的影响） (2)浇筑这个水槽需要多少立方米的混凝土？ 【答案】(1)1200升 (2)1.488立方米 【思路引导】（1）根据长方体的容积等于长乘宽乘高，根据题意水槽四周和底部的混凝土厚度均为2分米，则真实容积就是用外面量出的水槽长减4分米，宽减4分米，高减2分米求出槽内的长宽高，再求水槽的容积。 （2）由（1）已知水槽内的体积，浇筑这个水槽需要的混凝土就是用外面量的长宽高的体积减去水槽内的体积，最后单位换算即可。 【规范解答】（1）水槽内长：24－4＝20（分米） 宽：14－4＝10（分米） 高：8－2＝6（分米） 水槽体积：20×10×6＝1200（立方分米） 1200立方分米＝1200升 答：这个水槽的容积是1200升。 （2）用水槽外测量数据求出水槽体积为： 24×14×8＝2688（立方分米） 2688－1200＝1488（立方分米） 1488立方分米＝1.488立方米 答：浇筑这个水槽需要1.488立方米的混凝土。 19．（25-26六年级上·江苏徐州·期末）李大爷在花园里挖了一个长方体的鱼池，从里面量长是1.5米，宽是0.8米，深是0.7米。 (1)要在鱼池的侧面贴瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ (2)原来池中水深0.6米，放入一座高0.4米的假山后，池里的水溢出120升。如果把假山取出来，池里的水深是多少米？ 【答案】(1)3.22平方米 (2)0.5米 【思路引导】（1）求需要瓷砖的面积，就是求这个长方体鱼池的侧面积，根据侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）用池水溢出的体积除以长方体鱼池的底面积，求出溢出水的高度，再用原来鱼池里水的高度－溢出水的高度，即可求出池里的水深，注意单位换算。 【规范解答】（1）（1.5×0.7＋0.8×0.7）×2 ＝（1.05＋0.56）×2 ＝1.61×2 ＝3.22（平方米） 答：至少需要瓷砖3.22平方米。 （2）120升＝0.12立方米 0.6－0.12÷（1.5×0.8） ＝0.6－0.12÷1.2 ＝0.6－0.1 ＝0.5（米） 答：池里的水深是0.5米。 20．（25-26六年级上·青海海西·期末）小艾的爸爸买了一个观赏鱼缸，鱼缸内部长40厘米，宽30厘米，高30厘米，放入一个高20厘米，体积为4000立方厘米的假山石后，用水流量为每分钟4立方分米的水管向鱼缸注水，至少需要多少分钟能将假山石淹没？ 【答案】 5分钟 【思路引导】假山石高20厘米，所以水位要达到20厘米才能将其完全淹没，根据“长方体体积＝长×宽×高”可得此时鱼缸内20厘米高的空间总体积为40×30×20＝24000立方厘米； 因为假山石本身占了一部分体积，所以实际需要注入的水量是总体积减去假山石的体积（4000立方厘米），即24000－4000＝20000立方厘米； 根据“1立方分米＝1000立方厘米”，将立方厘米换算成立方分米，20000立方厘米＝20立方分米； 水管流量为每分钟4立方分米，用需水量除以水管每分钟的流量，即可得到注水所需的时间。据此解答。 【规范解答】40×30×20 ＝1200×20 ＝24000（立方厘米） 24000－4000＝20000（立方厘米） 20000立方厘米＝20立方分米 20÷4＝5（分钟） 答：至少需要5分钟能将假山石淹没。 【考点剖析】水位必须达到假山石的高度（20厘米）才能将其完全淹没，而不是注满整个鱼缸；因为假山石已经占据了一部分空间，所以计算需要注入的水量时，必须用“水位到20厘米时的总体积”减去“假山石的体积”。 〔挑战拓展〕：「突破自我，再攀高峰」 21．（25-26六年级上·海南儋州·期末）用一根长48cm的铁丝围成一个长方体（长、宽、高均为整数）或正方体框架，体积最大是（    ）cm3。 A．16 B．32 C．64 【答案】C 【思路引导】长方体中长、宽、高各有4条，根据题意可知此长方体的周长是48cm；长＋宽＋高＝48÷4＝12cm；长宽高的和一定时，当长宽高相等时组成的体积最大，即围成正方体时体积最大；正方体棱长＝12÷3＝4cm；体积＝棱长×棱长×棱长＝4×4×4＝64cm3。 【规范解答】48÷4＝12（cm） 12÷3＝4（cm） 4×4×4＝64（cm3） 用一根长48cm的铁丝围成一个长方体（长、宽、高均为整数）或正方体框架，体积最大是64cm3。 故答案为：C 【考点剖析】当长宽高的和一定时，组成的正方体的体积最大。 22．（25-26六年级上·江苏南京·期中）东东想要在一个棱长5厘米的正方体上挖去一块长5厘米，宽和高都为1厘米的小长方体，在图（    ）的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】分别计算出剩下部分的表面积，比较即可。正方体表面积＝棱长×棱长×6。 A．剩下部分的表面积＝完整的正方体表面积－边长1厘米的正方形面积×2； B．剩下部分的表面积＝完整的正方体表面积＋长5厘米宽1厘米的长方形面积×4－边长1厘米的正方形面积×2； C．剩下部分的表面积＝完整的正方体表面积＋长5厘米宽1厘米的长方形面积×2－边长1厘米的正方形面积×2； 【规范解答】A．5×5×6－1×1×2 ＝150－2 ＝148（平方厘米） B．5×5×6＋5×1×4－1×1×2 ＝150＋20－2 ＝168（平方厘米） C．5×5×6＋5×1×2－1×1×2 ＝150＋10－2 ＝158（平方厘米） 168＞158＞148 在图的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 故答案为：B 【考点剖析】关键是具有一定的空间想象能力，能看明白图示中剩下部分的表面积的组成。 23．两根铁丝同样长，一根做成一个长方体框架没有剩余，另一根做成一个正方体框架没有剩余。然后分别把两个框架的六个面都用彩纸围起来。这时（    ）的体积大。 A．长方体 B．正方体 【答案】B 【思路引导】根据题意，可假设长方体的长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米，长方体的棱长总和＝（5＋4＋3）×4＝48（厘米），48÷12＝4（厘米），可求得正方体的棱长为4厘米，即可满足两个图形的棱长总和相等，再利用长方体和正方体的体积公式，分别求出两个图形的体积后再比较即可。 【规范解答】假设长方体的长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米， （5＋4＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 正方体棱长：48÷12＝4（厘米） 5×4×3＝60（立方厘米） 4×4×4＝64（立方厘米） 60＜64 所以正方体的体积大。 故答案为：B 【考点剖析】此题的解题关键是采用假设法，灵活运用长方体和正方体的棱长总和公式，求出正方体的棱长，再利用长方体和正方体的体积公式求解。 24．（25-26六年级上·江苏镇江·期末）琳琳往一个从里面量长10分米，宽8分米，高12分米的长方体空水箱里注水，当水箱里的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，琳琳注入了( )升的水；当第二次出现正方形时，水与水箱接触的面积是( )平方分米。 【答案】 640 440 【思路引导】①当水箱里的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，此时水面的高度等于长方体水箱的宽，即8分米。根据长方体的体积公式V＝abh，将a＝10分米，b＝8分米，h＝8分米代入公式计算。利用1立方分米＝1升进行单位换算即可。 ②当第二次出现正方形时，此时水面的高度等于长方体水箱的长，即10分米。水与水箱接触的面有5个面，底面和四周的面，接触的面积＝底面面积＋前后两面的面积＋左右两面的面积。根据底面面积＝ab，前或后面的面积＝ah，左或右面的面积＝bh，将a＝10分米，b＝8分米，h＝10分米代入公式，计算。 【规范解答】①10×8×8 ＝80×8 ＝640（立方分米） 640立方分米＝640升 ②底面面积：10×8＝80（平方分米） 前后两个面的面积： 10×10×2 ＝100×2 ＝200（平方分米） 左右两个面的面积： 8×10×2 ＝80×2 ＝160（平方分米） 80＋200＋160 ＝280＋160 ＝440（平方分米） 琳琳往一个从里面量长10分米，宽8分米，高12分米的长方体空水箱里注水，当水箱里的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，琳琳注入了640升的水；当第二次出现正方形时，水与水箱接触的面积是440平方分米。 【考点剖析】明确水形成的长方体出现相对的两个面是正方形时，对应的水面高度是解题关键。 25．（25-26六年级上·江苏南通·期末）小华将一个长6cm、宽3cm的长方体饮料盒展开，接头处忽略不计，但不小心撕坏了一小部分（如下图）。这个饮料盒的高是( )cm，原来的表面积是( )cm2。 【答案】 8 180 【思路引导】这是长方体展开的141形，依据“z”字形两端相对的规律，最下面的小长方形的宽3cm就是原长方体的宽，再依据22cm是由两条高和两条原长方体的宽组成，由此可以求出长方体的高，再根据长方体表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh）计算原来的表面积。 【规范解答】（22－2×3）÷2 ＝（22－6）÷2 ＝16÷2 ＝8（cm） 2×（6×3＋6×8＋3×8） ＝2×（18＋48＋24） ＝2×（66＋24） ＝2×90 ＝180（） 所以，这个饮料盒的高是8cm，原来的表面积是180。 【考点剖析】关键是通过展开图中的线段长度找出棱长之间的关系，从而求出未知的高，再计算表面积。 26．（24-25五年级·全国·随堂练习）笑笑打算从4根长3cm和10根长6cm的小棒中选取12根小棒搭成一个长方体框架，给这个长方体框架的每个面都糊上红纸，至少需要红纸( )cm2。 【答案】144 【思路引导】长方体有12条棱，分为3组，每组4条棱长度相等（分别对应长、宽、高）。题目中3cm的小棒仅4根，需全部使用作为一组 棱；6cm的小棒有10根，可提供另外两组棱各4根。因此长方体的长、宽、高只能是3cm、6cm、6cm。然后根据长方体的表面积公式，，把数据代入公式解答。 【规范解答】 至少需要红纸。 【考点剖析】本题考查了长方体的特征，以及长方体的表面积公式的灵活运用，关键是如何选择12根小棒搭成一个长方体框架。 27．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）把一个长方体分割为一个表面积是96平方厘米的正方体和一个表面积是144平方厘米的长方体，那么原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】176立方厘米 【思路引导】已知正方体表面积是96平方厘米，除以6得单个面面积是16平方厘米，因此棱长为4厘米，即原长方体的宽、高均为4厘米，分割出的新长方体也有一组边长为4厘米。新长方体表面积144平方厘米，先减去两个边长4厘米的正方形面的面积（32平方厘米），剩余112平方厘米是四个相同长方形面的总面积，除以4得单个长方形面面积28平方厘米，再除以4（长方形的宽），得出新长方体的长为7厘米。原长方体的长是正方体棱长（4厘米）加新长方体的长（7厘米），即11厘米，再根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，求出体积为176立方厘米。 【规范解答】96÷6＝16（平方厘米） 所以棱长 4 厘米（原长方体宽、高为4） 144－2×4×4 ＝144－8×4 ＝144－32 ＝112（平方厘米） 112÷4÷4 ＝28÷4 ＝7（厘米） （4＋7）×4×4 ＝11×4×4 ＝44×4 ＝176（立方厘米） 答：原来长方体的体积是176立方厘米。 【考点剖析】本题先通过正方体的表面积求出棱长，以此确定原长方体的宽和高，再利用新长方体的表面积求出其长，最后结合分割前后的边长关系算出原长方体的体积，核心是用正方体的棱长搭建起新旧长方体的尺寸联系。 28．（2025·吉林长春·小升初真题）有一个像如图①那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分。B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏。图②是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象。回答下面的问题： （1）求图②中D表示的数； （2）从B的洞中每秒钟流出多少升水； （3）图②中P表示的数为（    ），Q表示的数为（    ）。 【答案】（1）15 （2）0.3升 （3）54；30 【思路引导】（1）1升＝1000立方厘米，先将注水速度0.75升换算成750立方厘米。由图②可知，用750×15计算出前15秒注入A部分的水的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入A部分的长、宽和前15秒注入A部分的水的体积，即可计算高度D表示的数。 （2）由图②可知，从第15秒到第30秒之间，A部分高度保持不变，B部分开始边蓄水边漏水，注水时间为15秒，注入的水的体积为750×15立方厘米，用30×15×15求出B部分的水上升到挡板高度时的体积，再用750×15减30×15×15即可计算出15秒内漏掉的水，用漏掉的水除以15即可计算洞中每秒流出的水（注意单位换算）； （3）由图②可知，用（24－15）计算出第30秒到第P秒长方体容器内整体上升的高度为9厘米，长方体容器的长为（25＋15）厘米，宽为30厘米，用（25＋15）×30×9计算出第30秒到第P秒长方体容器内水上升的体积为10800立方厘米即10.8升；根据“注水速度－流出的速度＝实际注水速度”计算出长方体容器每秒实际储存的水为0.45升；用10.8÷0.45可计算注10.8升水所用的时间为24秒；最后用24加30就是P所表示的时间数54。 从54秒到70秒，用时16秒。注入的水的体积为0.45×16＝7.2升即7200立方厘米，用7200除以容器的底面积即可求出第54秒到第70秒上升的高度，再加上24即可求Q表示的数。据此解答。 【规范解答】（1）0.75升＝750立方厘米 750×15÷（25×30） ＝750×15÷750 ＝750÷750×15 ＝1×15 ＝15（厘米） 答：图②中D表示的数是15。 （2）（750×15－30×15×15）÷15 ＝（11250－6750）÷15 ＝4500÷15 ＝300（立方厘米） 300立方厘米＝0.3升 答：从B的洞中每秒钟流出0.3升水。 （3）（25＋15）×30×（24－15） ＝40×30×9 ＝10800（立方厘米） 10800立方厘米＝10.8升 0.75－0.3＝0.45（升） 10.8÷0.45＋30 ＝24＋30 ＝54（秒） 即P表示的数为54。 （70－54）×0.45 ＝16×0.45 ＝7.2（升） 7.2升＝7200立方厘米 7200÷[（25＋15）×30]＋24 ＝7200÷[40×30]＋24 ＝7200÷1200＋24 ＝6＋24 ＝30（厘米） 即Q表示的数为30。 图②中P表示的数为54，Q表示的数为30。 【考点剖析】本题通过分析注水图象，结合长方体体积公式，分别对A、B部分的注水、漏水情况进行分析计算。重点分析图②中每个时间段内容器内水量的变化。 29．（25-26五年级上·山东泰安·期中）用一根长240厘米的铁丝扎成一个长方体框架，把它的每个面糊上，做成一个长方体。已知从这个长方体的一个顶点引出的三条棱中，其中两条相等，另一条是这两条之和的2倍，求这个长方体占多大空间？ 【答案】 4000立方厘米 【思路引导】根据题意，长方体棱长总和为240厘米，由棱长总和公式可得长、宽、高之和为60厘米。已知其中两条棱相等，第三条棱是这两条之和的2倍，设相等的棱为x，则第三条棱为4x，列方程求解x，再计算体积。 【规范解答】解：设相等的两条棱为，第三条棱为2×（x＋x）＝4x，则 x＝10 第三条棱为：4×10＝40（厘米） 体积为：（立方厘米） 答：这个长方体占4000立方厘米的空间。 【考点剖析】结合长方体棱长的数量关系设未知数，通过棱长总和求出各边长度，再利用体积公式求解空间大小。 30．（22-23五年级下·浙江绍兴·期末）如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？ 【答案】不会溢出；15厘米 【思路引导】根据题意可知，长方体容器中水是一个长30厘米、宽16厘米、高10厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 放入铁块后，水面会上升，底面积由（30×16）平方厘米变成了（30×16－16×10）平方厘米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时容器内水的高度； 用此时容器内水的高度与长方体容器的高度进行比较，如果小于或等于容器的高度，则水不会溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水会溢出，进而求出溢出水的体积。 【规范解答】容器内水的体积： 30×16×10 ＝480×10 ＝4800（立方厘米） 放入铁块后水深： 4800÷（30×16－16×10） ＝4800÷（480－160） ＝4800÷320 ＝15（厘米） 15＜21 答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至15厘米。 【考点剖析】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键，掌握放入的物体没有完全浸没时，水上升高度的求法。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $