专项训练三 长方体和正方体的体积（第六单元 长方体和正方体）导图+知识梳理+三难度分层练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项三难度分层训练【典型题讲练】 专项训练三 长方体和正方体的体积『第六单元 长方体和正方体』 （导图指引+知识精讲+三难度分层练） 〔解析版〕 模块一 导图指引 梳理脉络 模块二 知识精讲 技巧点拨 知识点一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3）：立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）：立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）：立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L）：升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL）：毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 模块三 分层训练 突破自我 〔基础入门〕：「步步扎实 稳扎稳打」 1．（23-24五年级下·吉林松原·期中）手工课上，萌萌把一块棱长为4cm的正方体粘土捏成了一个高8cm的长方体，这个长方体的底面积是（    ）cm2。 A．12 B．10 C．8 【答案】C 【思路引导】把正方体粘土捏成长方体后粘土的体积不变，则长方体的体积等于正方体的体积，先根据“”求出粘土的体积，再根据“”求出这个长方体的底面积。 【规范解答】4×4×4＝64（cm3） 64÷8＝8（cm2） 2．（24-25五年级下·福建厦门·期中）小军分别用8个同样的小正方体木块测量了下面三个盒子的容积，三个盒子的容积大小情况为（    ）。 A．①号最大 B．②号最大 C．③号最大 D．同样大 【答案】B 【思路引导】观察图形，盒子所能容纳的最大的小正方体木块数量，就是盒子的容积； ①图：长为3个小木块，宽为2个小木块，高为3个小木块； ②图：长为4个小木块，宽为3个小木块，高为3个小木块； ③图：长为4个小木块，宽为4个小木块，高为2个小木块； 根据这些信息，分别求出①图、②图、③图所能容纳的小正方体木块，以此来进行容积大小的比较。 【规范解答】①图所能容纳最大的小正方体木块数量：3×2×3＝18（个）； ②图所能容纳最大的小正方体木块数量：4×3×3＝36（个）； ③图所能容纳最大的小正方体木块数量：4×4×2＝32（个）； 18＜32＜36。 3．（23-24五年级下·内蒙古通辽·期中）一个长方体空水槽，宽1.2米，长2米，长方体水槽的体积是（    ）。 A．9.6平方米 B．9.6立方米 C．8.4立方米 D．无法计算 【答案】D 【思路引导】长方体体积＝长×宽×高，题目里只给出水槽的长和宽，缺少高度，无法计算其体积，据此解答。 【规范解答】已知水槽的宽1.2米，长2米，只能计算出其底面积，因为没给出高度，所以无法计算出体积。 4．（23-24五年级下·河南南阳·期中）把一根1m长的方木锯成三段后（如图所示），表面积比原来增加了16cm2，原来这根方木的体积是( )cm3。 【答案】400 【思路引导】先将长度单位m换算成cm；新增的面数＝2×（段数－1）；一个截面的面积＝增加的表面积÷新增的面数；方木的体积＝一个截面的面积×方木的长度。 【规范解答】 5．（23-24五年级下·河南南阳·期中）一个空的长方体容器的底面积是，倒入水后，水面高5cm（水未溢出），倒入了( )L水。 【答案】0.4 【思路引导】先将水面高度的cm换算成dm；水的体积＝容器底面积×水面高；最后将dm3换算成L（1dm3＝1L）。 【规范解答】5cm＝0.5dm 0.8×0.5＝0.4（dm3） 0.4dm3＝0.4L 6．（23-24五年级下·吉林松原·期中）把两个棱长为6cm的正方体木块拼成一个长方体，如下图。这个长方体的体积是( )。 【答案】432 【思路引导】长方体的体积＝正方体体积×2，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】6×6×6×2 ＝216×2 ＝432（） 7．（23-24五年级下·河南南阳·期中）把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，体积和表面积都不变。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】两个完全一样的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的体积等于原来两个正方体的体积之和，所以体积不变；拼接时两个正方体各有一个面重合，不再属于外露表面，所以拼成的长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和少了两个面的面积，表面积减少了。 【规范解答】根据分析：把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，体积不变，表面积减少了，所以原题说法错误。 故答案为：× 8．（23-24五年级下·吉林松原·期中）计算下面各立体图形的体积。 【答案】0.192；729 【思路引导】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】0.8×0.3×0.8＝0.192（） 9×9×9＝729（） 9．（23-24五年级下·内蒙古通辽·期中）一根长方体木柱占地面积15平方分米，高7分米，这根木柱的体积是多少？ 【答案】105立方分米 【思路引导】题干中给出的“占地面积”即为长方体的底面积，已知底面积和高，根据长方体体积公式“体积＝底面积×高”直接列式计算即可。 【规范解答】15×7＝105（立方分米） 答：这根木柱的体积是105立方分米。 10．（25-26五年级下·湖南娄底·期中）一个长方体水箱，从里面量长10分米、宽9分米，高8分米。先倒入4分米深的水，再放入一块棱长为6分米的正方体铁块，这时水面上升了多少分米？ 【答案】2.4分米 【思路引导】根据排水法原理，水面上升部分的体积等于浸入水中铁块的体积。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体铁块的体积，再除以水箱的底面积得到水面上升的高度。计算出上升高度后，应结合水箱高度和铁块棱长进行验证，确认水未溢出且铁块完全浸没，以保证结果符合实际情况。 【规范解答】（立方分米） （平方分米） （分米） 放入铁块后的水深：（分米） 因为 ，所以水未溢出。 因为 ，所以铁块完全浸没，计算成立。 答：这时水面上升了2.4分米。 〔进阶提升〕：「小试牛刀 举一反三」 11．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，一根长2m的长方体木料沿虚线锯成两段后，表面积增加100cm2，它的体积是（    ）。 A．200cm3 B．10000cm3 C．2dm3 D．1m3 【答案】B 【思路引导】长方体锯成两段后增加的面积是两个底面的面积即100cm2，求出长方体底面积，再根据长方体体积＝底面积×高，代入数据求体积，注意单位的统一。 【规范解答】100÷2＝50（cm2） 2m＝200cm 50×200＝10000（cm3） 长方体木料的体积是10000cm3。 12．（24-25五年级下·河南信阳·期中）一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．128 B．210 C．245 【答案】C 【思路引导】一个长方体高增加2厘米就变成正方体，说明这个长方体的长和宽相等，且比高多2厘米，这时表面积比原来增加56平方厘米，即4个侧面增加的面积和是56平方厘米，所以56除以4是每个侧面增加的面积，每个侧面增加的面积除以2，得到长方体的长或宽的值，用长方体的长减去2厘米，求出长方体的高，根据长方体的体积＝长×宽×高求出原来长方体的体积。 【规范解答】56÷4÷2 ＝14÷2 ＝7（厘米） 7×7×（7－2） ＝49×5 ＝245（立方厘米） 13．（23-24五年级下·吉林松原·期中）数学课堂上，王老师教了同学们用“排水法”测量不规则物体的体积，课下军军用这个方法测量一块石头的体积。他准备了一个长20cm、宽10cm、高12cm的长方体容器，容器中注入了8cm深的水，然后将石头完全浸入容器中的水里，如下图。这块石头的体积是（    ）。 A．300 B．1600 C．1900 【答案】A 【思路引导】水面上升的体积就是石头的体积，长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝石头的体积。 【规范解答】20×10×（9.5－8） ＝200×1.5 ＝300（） 这块石头的体积是300。 14．（23-24五年级下·湖北恩施·期中）一个正方体的棱长总和是60分米，它的体积是( )立方分米。 【答案】125 【思路引导】已知正方体的棱长总和是60分米，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出它的棱长；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出它的体积。 【规范解答】正方体的棱长： 60÷12＝5（分米） 正方体的体积： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 15．（23-24五年级下·湖北恩施·期中）如图，在一个长15cm，宽10cm，水面高度为10cm的长方体容器中，放入一个西红柿后（完全浸没），水面高度上升到12cm（没有溢出）。西红柿的体积是( )。 【答案】300 【思路引导】完全浸没的物体体积等于上升部分水的体积，上升部分的水是一个长15cm、宽10cm、高（12－10）cm的长方体，根据长方体体积公式即可计算。 【规范解答】15×10×（12－10） ＝15×10×2 ＝300（） 16．（23-24五年级下·河南南阳·期中）求出如图几何体的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】136cm²；80cm³； 404cm²；492cm³ 【思路引导】左图长方体的体积＝长×宽×高，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； 右图大正方体中间挖去了一个小长方体，这个图形的表面积相较于大正方体增加了2个面的面积，用大正方体的表面积加上增加的2个面的面积得出答案；这个图形的体积是大正方体的体积减挖去的小长方体的体积。分别代入数据，即可求解。 【规范解答】（1）（10×4＋10×2＋4×2）×2 ＝（40＋20＋8）×2 ＝68×2 ＝136（cm²） 10×4×2＝80（cm³） （2）8×8×6＋（8－3）×2×2 ＝384＋20 ＝404（cm²） 8×8×8－（8－4－2）×2×（8－3） ＝512－20 ＝492（cm³） 17．（23-24五年级下·山东济宁·期中）为创建文明校园，学校打算重修操场上的跳远沙坑，沙坑长7米，宽3米，运来10.5立方米的细沙，倒入沙池内的沙有多少厘米厚？ 【答案】50厘米 【思路引导】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，可得高＝体积÷（长×宽），代入数值即可解答，最后根据1米＝100厘米换算单位。 【规范解答】10.5÷（7×3） ＝10.5÷21 ＝0.5（米） 0.5米＝50厘米 答：倒入沙池内的沙有50厘米厚。 18．（23-24五年级下·山东济宁·期中）先认真阅读下面的背景材料，并从中选择恰当的数学信息解决问题。 三星堆博物馆里有个便民超市，超市房间从里面量长8米，宽5.6米，高3米，门窗面积共5.2平方米，超市收银台旁有一个长6分米、宽5分米、高4分米的长方体鱼缸。今年3月，超市进行了重新装修：房间的四壁和房顶贴上了新的墙纸，地面重新铺了正方形的地砖，鱼缸（无盖）的棱上贴上了装饰条，鱼缸里还放了美丽的珊瑚石…… (1)需要准备多长的装饰条装饰鱼缸？ (2)超市装修时至少用了多少平方米的墙纸？ (3)鱼缸里原来水深2.8分米，放入珊瑚石（完全淹没）后，水面上升到3分米，珊瑚石的体积是多少立方分米？（鱼缸的厚度忽略不计） 【答案】(1)60分米 (2)121.2平方米 (3)6立方分米 【思路引导】（1）求装饰条的长度就是求鱼缸的棱长总和，棱长总和＝（长＋宽＋高）×4； （2）根据无底长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，代入数据计算，求出超市房间的5个面的总面积，然后减去门窗面积就是需要贴墙纸的面积。 （3）把珊瑚石放入鱼缸中，水面上升了（3－2.8）分米，上升部分水的体积就等于珊瑚石的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据计算，求出珊瑚石的体积。 【规范解答】（1）（6＋5＋4）×4 ＝15×4 ＝60（分米） 答：需要准备60分米的装饰条装饰鱼缸。 （2）8×5.6＋8×3×2＋5.6×3×2 ＝44.8＋48＋33.6 ＝126.4（平方米） 126.4－5.2＝121.2（平方米） 答：超市装修时至少用了121.2平方米的墙纸。 （3）6×5×（3－2.8） ＝30×0.2 ＝6（立方分米） 答：珊瑚石的体积是6立方分米。 19．（23-24五年级下·山东济宁·期中）小苗家汽车的油箱是一个近似的长方体。从里面量长大约是5分米，宽大约是4分米，高大约是3分米。92号无铅汽油每升7.5元。 (1)如果给这个油箱加满油，带500元够吗？ (2)这辆汽车每行驶100千米大约耗油8升，这一箱油够开到相距800千米的青岛吗？ 【答案】(1)够 (2)不能 【思路引导】（1）根据长方体的体积＝长×宽×高，先求出油箱的体积，根据1立方分米＝1升换算单位，再根据总价＝单价×数量，求出加满这箱油需要的钱数，再与500元比较判断即可； （2）每100千米大约耗油8升，用800除以100求出需要几个8升，再乘8即可求出要开到青岛一共需要多少升油，把它和油箱的容积进行比较即可解答。 【规范解答】（1）5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60（升） 7.5×60＝450（元） 500元＞450元 答：带500元够。 （2）800÷100×8 ＝8×8 ＝64（升） 64＞60 答：这一箱油不能开到相距800千米的青岛。 20．（24-25五年级下·福建厦门·期中）张叔叔是一位“手工达人”，他准备制作一个无盖的长方体玻璃鱼缸用来养观赏鱼（如图所示）。 (1)每平方分米玻璃需要3元，张叔叔制作这个鱼缸至少需要多少钱？ (2)鱼缸中的水面高度是5分米，张叔叔将一块景观石完全浸入水中，水面升高了2分米，请你计算这块景观石的体积。 【答案】(1)1488元 (2)192立方分米 【思路引导】（1）无盖鱼缸只需要计算1个底面＋4个侧面的总面积，再乘每平方分米玻璃的价格即可；无盖鱼缸表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2； （2）排水法测物体体积：完全浸入水中的物体体积＝水面上升部分的水的体积＝容器长×宽×水上升的高度。 【规范解答】（1）无盖鱼缸表面积： 12×8＋2×12×10＋2×8×10 ＝96＋240＋160 ＝496（平方分米） 总费用：496×3＝1488（元） 答：张叔叔制作这个鱼缸至少需要1488元。 （2）12×8×2＝192（立方分米） 答：这块景观石的体积为192立方分米。 〔挑战拓展〕：「突破自我，再攀高峰」 21．下图中，分别用8个1立方厘米的小正方体测量3个玻璃盒的容积，第（    ）个玻璃盒的容积最大。 ①        ②        ③ A．① B．② C．③ 【答案】B 【思路引导】看图可知，第①个玻璃盒的长是3厘米，宽是2厘米，高是3厘米；第②个玻璃盒的长是4厘米，宽是3厘米，高是3厘米；第③个玻璃盒的长是4厘米，宽是4厘米，高是2厘米。根据长方体体积＝长×宽×高，分别求出3个玻璃盒的容积，再比较即可。 【规范解答】①3×2×3 ＝6×3 ＝18（立方厘米） ②4×3×3 ＝12×3 ＝36（立方厘米） ③4×4×2 ＝16×2 ＝32（立方厘米） 36＞32＞18 第②个玻璃盒的容积最大。 故答案为：B 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用长方体容积公式。 22．把3个高为5cm的相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（    ）。 A．180 B．120 C．60 【答案】C 【思路引导】把3个相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了 48cm2 ，减少的面积是小长方体的4个底面面积积，求出底面积，再乘高，求出3个长方体的体积之和，再求出一个小长方体体积即可。 【规范解答】 （立方厘米） 所以原来1个小长方体的体积是60立方厘米。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查长方体的表面积和体积，解答本题的关键是掌握长方体的表面积和体积计算公式。 23．如图是测量一颗铁球体积的过程。 ①将400mL的水倒进一个容量为600mL的杯子中； ②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满； ③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在（    ）。 A．50cm3～60cm3 B．30cm3～40cm3 C．40cm3～50cm3 D．20cm3～30cm3 【答案】C 【思路引导】先根据进率1mL＝1cm3，将400mL换算成400cm3，600mL换算成600cm3； 根据题意，将4颗相同的铁球放入水中，结果水没有满，可知4个铁球的体积要小于（600－400）cm3，那么1个铁球的体积就小于（200÷4）cm3； 再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出，可知5个铁球的体积要大于（600－400）cm3，那么1个铁球的体积就大于（200÷5）cm3。据此推测出一颗铁球体积的范围。 【规范解答】400mL＝400cm3 600mL＝600cm3 600－400＝200（cm3） 200÷4＝50（cm3） 200÷5＝40（cm3） 40cm3＜一颗铁球的体积＜50cm3 所以，这样一颗铁球的体积大约在40cm3～50cm3。 故答案为：C 【考点剖析】明确水上升部分的体积等于几颗铁球的体积，进而求出铁球的体积范围。 24．（25-26六年级上·河南洛阳·期末）下图是奇思在院子墙角处搭的一个长方体猫舍。已知搭猫舍共用去2.9米的钢筋，则这个猫舍的宽是( )米，搭这个猫舍至少需要( )平方米塑料网，这个猫舍占地( )平方米，猫舍所占的空间是( )立方米。（靠墙和地的地方不需要材料） 【答案】 0.7 2.74 0.84 0.84 【思路引导】猫舍靠墙角搭建，钢筋只围一条长、一条宽和一条高，用总长度减去长和高就能求出宽；塑料网不靠墙和地面，只需算出前面（长×高）、侧面（宽×高）和顶面（长×宽）三个面的面积和，占地面积用长乘宽计算，所占空间用长×宽×高求出体积。 【规范解答】宽：2.9－1.2－1＝0.7（米） 塑料网面积：1.2×1＋0.7×1＋1.2×0.7－ ＝1.2＋0.7＋0.84 ＝2.74（平方米） 占地面积：1.2×0.7＝0.84（平方米） 所占空间：1.2×0.7×1＝0.84（立方米） 25．用10个棱长1厘米的小正方体拼在一起（如图），从正面、后面、左面、右面、上面看，所看到的图形的面积的和是( )平方厘米，将如图几何体补成一个正方体，至少要添上( )个相同的小正方体。 【答案】 30 17 【思路引导】从正面、后面、左面、右面、上面这五个方向看，都看到的是6个小正方形，那么这个图形所看到的小正方形共有（6×5）个；根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个小正方形的面积，再乘小正方形的个数，即是这个图形的所看到的面积的和； 先数出这个几何体原有小正方体的个数，然后将这个几何体补成一个正方体，正方体的每条棱长至少要放3个小正方体，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出补成的正方体所需小正方体的总个数，再减去原有小正方体的个数，即是至少要添上的小正方体的个数。 【规范解答】（1）看到小正方形的个数：6×5＝30（个） 所看到图形的面积的和：1×1×30＝30（平方厘米） （2）原有小正方体个数： 3＋2×2＋1×3 ＝3＋4＋3 ＝10（个） 补成正方体所需的小正方体总个数： 3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 至少要添上小正方体： 27－10＝17（个） 【考点剖析】掌握不规则几何体的表面积、体积的计算方法是解题的关键。 26．一个长方体的储藏室，三个面的面积分别是18m2、12m2、6m2，如果要在它的四周刷上油漆，至少要刷( ) m2，这个储藏室容积是( ) m3。储藏室里放着一些茶叶礼盒，每个礼盒的底面周长是108cm，高20cm，棱长总和是( )cm。 【答案】 36 36 296 【思路引导】已知长方体的三个面的面积，根据长方体的特征可知，这三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高；把三个面的面积分解成两数相乘的形式，找出长方体的长、宽、高； 要在它的四周刷上油漆，即在长方体的前后面、左右面共4个面刷油漆，根据“长×高×2＋宽×高×2”代入数据计算，即可求出至少要刷油漆的面积； 根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出这个储藏室容积； 根据长方体的特征可知，长方体的底面是一个长方形，已知每个礼盒的底面周长是108cm，即2条长与2条宽的和是108cm；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，这个礼盒的棱长总和＝底面周长×2＋高×4，代入数据计算即可。 【规范解答】18＝6×3 12＝6×2 6＝3×2 所以这个长方体的长是6m，宽是3m，高是2m； 长方体的四周刷上油漆，至少要刷： 6×2×2＋3×2×2 ＝12×2＋6×2 ＝24＋12 ＝36（m2） 这个储藏室容积： 6×3×2 ＝18×2 ＝36（m3） 每个礼盒的棱长总和： 108×2＋20×4 ＝216＋80 ＝296（cm） 【考点剖析】本题考查长方体的表面积、体积（容积）、棱长总和公式的灵活运用，根据长方体的特征，结合三个面的面积找出这个长方体的长、宽、高是解题的关键。 27．求下列立体图形的表面积与体积。 （1）                                （2） 【答案】（1）324cm2；360cm3 （2）30m2；6m3 【思路引导】（1）根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 （2）组合图形的表面积＝正方体表面积－长方体上下面的面积＋长方体的侧面积，其中长方体上下面是2个边长为1m的正方形，长方体的侧面是4个相同的长为2m、宽为1m的长方形；根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方形的面积公式S＝a2，长方形的面积公式S＝ab；代入数据计算求解； 组合图形的体积＝正方体的体积－长方体的体积；根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【规范解答】（1）表面积： （12×6＋12×5＋6×5）×2 ＝（72＋60＋30）×2 ＝162×2 ＝324（cm2） 体积： 12×6×5＝360（cm3） 长方体的表面积是324cm2，体积是360cm3。 （2）表面积： 2×2×6－1×1×2＋2×1×4 ＝24－2＋8 ＝30（m2） 体积： 2×2×2－1×1×2 ＝8－2 ＝6（m3） 组合图形的表面积是30m2，体积是6m3。 28．（2024五年级下·全国·专题练习）一个长方体，高截去4厘米，表面积减少了96平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原长方体的表面积和体积是多少？ 【答案】312平方厘米；360立方厘米 【思路引导】根据题意，长方体的高截去4厘米后，表面积减少96平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是4厘米，长是原来长方体的长或宽，用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以4，即可求出原来长方体的长、宽；用长方体的长或宽加上4厘米，即是原来长方体的高； 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的表面积和体积。 【规范解答】长方体的长、宽是： 96÷4÷4 ＝24÷4 ＝6（厘米） 长方体的高是：6＋4＝10（厘米） 长方体的表面积是： （6×6＋6×10＋6×10）×2 ＝（36＋60＋60）×2 ＝156×2 ＝312（平方厘米） 长方体的体积是： 6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方厘米） 答：原长方体的表面积312平方厘米，体积是360立方厘米。 【考点剖析】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，关键是分析出减少的表面积是哪些面的面积，以此为突破口，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。 29．（23-24五年级下·河南三门峡·期中）连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 【答案】（1）8704立方厘米；1088平方厘米 （2）见详解；长24厘米；宽18厘米；高6厘米 【思路引导】（1）已知长方体礼盒的长、宽、高，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求出这个礼盒的体积。 要在礼盒的四周贴一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），求这圈商标纸的面积，就是求长方体的侧面积，长方体的侧面是4个长36厘米、宽8.5厘米的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘4即可。 （2）已知连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，那么长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数。在长方形纸板的四个角上分别剪去边长是6厘米、12厘米、18厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体礼盒，此时长方体的长＝长方形的长－2条边长，长方体的宽＝长方形的宽－2条边长，长方体的高＝正方形的边长；据此分情况讨论，求出哪种礼盒正好能装下12小盒连翘红茶，即可确定无盖长方体的长、宽、高，并画出裁剪示意图。 【规范解答】（1）32×32×8.5 ＝1024×8.5 ＝8704（立方厘米） 32×8.5×4 ＝272×4 ＝1088（平方厘米） 答：这样一个礼盒的体积是8704立方厘米，这圈商标纸至少是1088平方厘米。 （2）长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数； ①假设高是6厘米，那么： 长：36－6－6＝24（厘米） 宽：30－6－6＝18（厘米） 长可以装：24÷6＝4（盒） 宽可以装：18÷6＝3（盒） 高可以装：6÷6＝1（盒） 一共可以装：4×3×1＝12（盒） 刚好装下这12小盒连翘红茶，符合题意。 ②假设高是12厘米，那么： 长：36－12－12＝12（厘米） 宽：30－12－12＝6（厘米） 长可以装：12÷6＝2（盒） 宽可以装：6÷6＝1（盒） 高可以装：12÷6＝2（盒） 一共可以装：2×1×2＝4（盒） 4＜12 不能装下这12小盒连翘红茶，不符合题意。 ③假设高是18厘米，那么： 长：36－18－18＝0（厘米） 不符合题意。 裁剪示意图如下：        答：制作成的礼盒长是24厘米，宽是18厘米，高是6厘米。 【考点剖析】（1）掌握长方体的体积、表面积公式的运用，关键是分析出商标纸的面积是长方体哪些面的面积之和。 （2）掌握用长方形硬纸板做无盖长方体的方法，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。 30．一个棱长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）。这个铁块的体积是多少？ 【答案】400cm3 【思路引导】根据长方体的体积＝长×宽×高，先求出水深7cm时的水的体积；当放入一个铁块水满时的体积是正方体容器的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出此时的体积包含浸没在水中6cm高的铁块的体积与原来水的体积两部分，所以减去原来水的体积，就是浸没在水中6cm高的铁块的体积；再根据长方体的底面积＝体积÷高，其中高是6cm，得到铁块的底面积；最后用铁块的底面积乘高8cm，求出这个铁块的体积。 【规范解答】10×10×10－10×10×7 ＝1000－700 ＝300（cm3） 300÷6＝50（cm2） 50×8＝400（cm3） 答：这个铁块的体积是400cm3。 【考点剖析】明确铁块没有完全浸没时，造成水上升部分的体积就是铁块浸没在水中部分的体积，掌握长方体、正方体的体积公式并灵活运用是解题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项三难度分层训练【典型题讲练】 专项训练三 长方体和正方体的体积『第六单元 长方体和正方体』 （导图指引+知识精讲+三难度分层练） 〔原卷版〕 模块一 导图指引 梳理脉络 模块二 知识精讲 技巧点拨 知识点一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3）：立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）：立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）：立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L）：升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL）：毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 模块三 分层训练 突破自我 〔基础入门〕：「步步扎实 稳扎稳打」 1．（23-24五年级下·吉林松原·期中）手工课上，萌萌把一块棱长为4cm的正方体粘土捏成了一个高8cm的长方体，这个长方体的底面积是（    ）cm2。 A．12 B．10 C．8 2．（24-25五年级下·福建厦门·期中）小军分别用8个同样的小正方体木块测量了下面三个盒子的容积，三个盒子的容积大小情况为（    ）。 A．①号最大 B．②号最大 C．③号最大 D．同样大 3．（23-24五年级下·内蒙古通辽·期中）一个长方体空水槽，宽1.2米，长2米，长方体水槽的体积是（    ）。 A．9.6平方米 B．9.6立方米 C．8.4立方米 D．无法计算 4．（23-24五年级下·河南南阳·期中）把一根1m长的方木锯成三段后（如图所示），表面积比原来增加了16cm2，原来这根方木的体积是( )cm3。 5．（23-24五年级下·河南南阳·期中）一个空的长方体容器的底面积是，倒入水后，水面高5cm（水未溢出），倒入了( )L水。 6．（23-24五年级下·吉林松原·期中）把两个棱长为6cm的正方体木块拼成一个长方体，如下图。这个长方体的体积是( )。 7．（23-24五年级下·河南南阳·期中）把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，体积和表面积都不变。( )（判断对错） 8．（23-24五年级下·吉林松原·期中）计算下面各立体图形的体积。 9．（23-24五年级下·内蒙古通辽·期中）一根长方体木柱占地面积15平方分米，高7分米，这根木柱的体积是多少？ 10．（25-26五年级下·湖南娄底·期中）一个长方体水箱，从里面量长10分米、宽9分米，高8分米。先倒入4分米深的水，再放入一块棱长为6分米的正方体铁块，这时水面上升了多少分米？ 〔进阶提升〕：「小试牛刀 举一反三」 11．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，一根长2m的长方体木料沿虚线锯成两段后，表面积增加100cm2，它的体积是（    ）。 A．200cm3 B．10000cm3 C．2dm3 D．1m3 12．（24-25五年级下·河南信阳·期中）一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．128 B．210 C．245 13．（23-24五年级下·吉林松原·期中）数学课堂上，王老师教了同学们用“排水法”测量不规则物体的体积，课下军军用这个方法测量一块石头的体积。他准备了一个长20cm、宽10cm、高12cm的长方体容器，容器中注入了8cm深的水，然后将石头完全浸入容器中的水里，如下图。这块石头的体积是（    ）。 A．300 B．1600 C．1900 14．（23-24五年级下·湖北恩施·期中）一个正方体的棱长总和是60分米，它的体积是( )立方分米。 15．（23-24五年级下·湖北恩施·期中）如图，在一个长15cm，宽10cm，水面高度为10cm的长方体容器中，放入一个西红柿后（完全浸没），水面高度上升到12cm（没有溢出）。西红柿的体积是( )。 16．（23-24五年级下·河南南阳·期中）求出如图几何体的表面积和体积。（单位：cm） 17．（23-24五年级下·山东济宁·期中）为创建文明校园，学校打算重修操场上的跳远沙坑，沙坑长7米，宽3米，运来10.5立方米的细沙，倒入沙池内的沙有多少厘米厚？ 18．（23-24五年级下·山东济宁·期中）先认真阅读下面的背景材料，并从中选择恰当的数学信息解决问题。 三星堆博物馆里有个便民超市，超市房间从里面量长8米，宽5.6米，高3米，门窗面积共5.2平方米，超市收银台旁有一个长6分米、宽5分米、高4分米的长方体鱼缸。今年3月，超市进行了重新装修：房间的四壁和房顶贴上了新的墙纸，地面重新铺了正方形的地砖，鱼缸（无盖）的棱上贴上了装饰条，鱼缸里还放了美丽的珊瑚石…… (1)需要准备多长的装饰条装饰鱼缸？ (2)超市装修时至少用了多少平方米的墙纸？ (3)鱼缸里原来水深2.8分米，放入珊瑚石（完全淹没）后，水面上升到3分米，珊瑚石的体积是多少立方分米？（鱼缸的厚度忽略不计） 19．（23-24五年级下·山东济宁·期中）小苗家汽车的油箱是一个近似的长方体。从里面量长大约是5分米，宽大约是4分米，高大约是3分米。92号无铅汽油每升7.5元。 (1)如果给这个油箱加满油，带500元够吗？ (2)这辆汽车每行驶100千米大约耗油8升，这一箱油够开到相距800千米的青岛吗？ 20．（24-25五年级下·福建厦门·期中）张叔叔是一位“手工达人”，他准备制作一个无盖的长方体玻璃鱼缸用来养观赏鱼（如图所示）。 (1)每平方分米玻璃需要3元，张叔叔制作这个鱼缸至少需要多少钱？ (2)鱼缸中的水面高度是5分米，张叔叔将一块景观石完全浸入水中，水面升高了2分米，请你计算这块景观石的体积。 〔挑战拓展〕：「突破自我，再攀高峰」 21．下图中，分别用8个1立方厘米的小正方体测量3个玻璃盒的容积，第（    ）个玻璃盒的容积最大。 ①        ②        ③ A．① B．② C．③ 22．把3个高为5cm的相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（    ）。 A．180 B．120 C．60 23．如图是测量一颗铁球体积的过程。 ①将400mL的水倒进一个容量为600mL的杯子中； ②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满； ③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在（    ）。 A．50cm3～60cm3 B．30cm3～40cm3 C．40cm3～50cm3 D．20cm3～30cm3 24．（25-26六年级上·河南洛阳·期末）下图是奇思在院子墙角处搭的一个长方体猫舍。已知搭猫舍共用去2.9米的钢筋，则这个猫舍的宽是( )米，搭这个猫舍至少需要( )平方米塑料网，这个猫舍占地( )平方米，猫舍所占的空间是( )立方米。（靠墙和地的地方不需要材料） 25．用10个棱长1厘米的小正方体拼在一起（如图），从正面、后面、左面、右面、上面看，所看到的图形的面积的和是( )平方厘米，将如图几何体补成一个正方体，至少要添上( )个相同的小正方体。 26．一个长方体的储藏室，三个面的面积分别是18m2、12m2、6m2，如果要在它的四周刷上油漆，至少要刷( ) m2，这个储藏室容积是( ) m3。储藏室里放着一些茶叶礼盒，每个礼盒的底面周长是108cm，高20cm，棱长总和是( )cm。 27．求下列立体图形的表面积与体积。 （1）                                （2） 28．（2024五年级下·全国·专题练习）一个长方体，高截去4厘米，表面积减少了96平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原长方体的表面积和体积是多少？ 29．（23-24五年级下·河南三门峡·期中）连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 30．一个棱长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）。这个铁块的体积是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $