专项训练二 长方体和正方体的表面积（第六单元 长方体和正方体）导图+知识梳理+三难度分层练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项三难度分层训练【典型题讲练】 专项训练二 长方体和正方体的表面积『第六单元 长方体和正方体』 （导图指引+知识精讲+三难度分层练） 〔原卷版〕 模块一 导图指引 梳理脉络 模块二 知识精讲 技巧点拨 知识点一 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点二 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点三 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点四 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 模块三 分层训练 突破自我 〔基础入门〕：「步步扎实 稳扎稳打」 1．（23-24五年级下·河北张家口·期中）一根长方体木料，它的底面积是10平方厘米，把它截成三段，表面积增加（    ）平方厘米。 A．40 B．30 C．120 2．（25-26五年级下·河南洛阳·期中）下面图形不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（25-26五年级下·湖南娄底·期中）把4个同样大小的正方体摆成一排，拼成的长方体表面积与原来4个正方体表面积之和相比（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 4．（23-24五年级下·河北张家口·期中）亮亮不小心把家里长方体鱼缸（无盖）前面的玻璃打破了。已知这个鱼缸的长是8分米，宽是5分米，高是7分米，修理时需要配上的玻璃的面积是( )平方分米。 5．（25-26五年级下·浙江杭州·期中）如下图，①是一个正方体，它的展开图有6个面，图中给出了其中的5个面。从ABCD中选择一个面，使这个展开图成为完整的正方体展开图。这个面是( )。 6．（24-25五年级下·甘肃陇南·期中）一个长方体，其中有三个面的面积分别是9平方厘米、8平方厘米、6平方厘米，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 7．（25-26五年级下·湖北省直辖县级单位·期中）把两个棱长4厘米的小正方体，拼成一个长方体后表面积减少了32cm。( )（判断对错） 8．（23-24五年级下·广东江门·期中）一个正方体的表面积是24平方厘米，把它放到桌面上，所占的面积是4平方厘米。( )（判断对错） 9．（24-25五年级下·河南郑州·期中）计算下面各立体图形的表面积。           10．（25-26五年级下·湖南永州·期中）一个长方体饼干盒，底面是周长为40厘米的正方形，高12厘米。如果在它的侧面贴一圈商标纸，这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 〔进阶提升〕：「小试牛刀 举一反三」 11．（23-24五年级下·河南南阳·期中）把一个长方体的高截取4cm后，变成一个正方体，表面积减少了80cm2，原长方体表面积是（    ）。 A．225cm2 B．230cm2 C．150cm2 D．125cm2 12．（23-24五年级下·广东肇庆·期中）要制作12节长方体的铁皮通风管，每节长4分米，宽2分米，高0.5米（如图所示），至少要用（    ）平方分米的铁皮。 A．48 B．672 C．720 D．912 13．（23-24五年级下·河北沧州·期中）同学们正在排练课本剧《曹冲称象》。道具组找来若干个棱长1dm的正方体纸盒当作故事中的石块，并将纸盒摆放成甲、乙两个几何体（如图）。哪个几何体的表面积大一些？（    ） A．甲 B．乙 C．同样大 14．（23-24五年级下·河北沧州·期中）每年的4月1日为“国际爱鸟日”，护鸟小组制作了一个正方体形状的鸟笼，棱长总和是60厘米，那么这个鸟笼的占地面积是( )平方厘米；表面积是( )平方厘米。 15．（23-24五年级下·河北沧州·期中）挖一个长7米、宽5米、高3米的长方体水池，并在水池的底面铺上白色瓷砖，在四壁贴上彩色瓷砖。一共需要白色瓷砖( )平方米，彩色瓷砖( )平方米。 16．（24-25五年级下·福建厦门·期中）一个长方体长15厘米，宽8厘米，高12厘米，若高减少5厘米，则表面积减少( )平方厘米。 17．（23-24五年级下·吉林松原·期中）计算下面各立体图形的表面积。 18．（23-24五年级下·湖北恩施·期中）学校要用乳胶漆刷一间教室的四壁和天花板。已知教室的长是10米，宽6米，高是3米，（注：门窗的面积11.5平方米），每平方米大约要乳胶漆1.2千克，至少要多少千克乳胶漆？ 19．（23-24五年级下·吉林松原·期中）鸟类是人类的朋友，爱护鸟类，人人有责。希望小学用木板在树林中设置了若干个简易的人工鸟巢（如下图），鸟巢的形状是长方体，长3分米、宽3分米、高2分米。做一个这样的人工鸟巢，至少需要多少平方分米的木板？（人工鸟巢没有右侧面） 20．（23-24五年级下·广东肇庆·期中）把一个长30厘米，宽12厘米，高10厘米的长方体，截成2个长方体，这两个长方体的表面积之和与原长方体的表面积相等吗？表面积最多增加多少平方厘米？ 〔挑战拓展〕：「突破自我，再攀高峰」 21．如图是正方体展开图，这个正方体不可能是（    ）。 ​ A． B． C． D． 22．把一个表面积是300平方厘米的正方体，切成两个完全一样的小长方体，每个小长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．150 B．200 C．250 23．一根长方体木料长3m，宽12cm，高8cm，把它截成相同的4段，表面积至少增加（    ）cm2。 A．144 B．216 C．576 24．（24-25六年级上·河北唐山·期末）一个正方体木块，分三次摆放在桌上，（如图），木块上的1面对着( )。 25．（25-26六年级上·湖南邵阳·期中）一个长方体的长是5分米，宽是2分米，高是3分米。如果要使长方体的表面积增加20平方分米，宽和高都不变，长应增加( )分米。 26．（24-25五年级下·河南安阳·期中）灯笼又统称为“灯彩”，是一种古老的传统工艺品。王叔叔用木条钉了一个长方体灯笼框架，后因调整，又将这个长方体框架的高增加4cm，变成一个正方体框架（如图），制作灯笼所需纱布比原来增加了480cm2，原来长方体框架的高是( )cm。 27．计算组合图形的表面积。 28．（2025五年级·全国·竞赛）如图是由若干个小正方体组成的大正方体，阴影部分为贯通的空洞，现将这个大正方体的内外表面涂上红色，一个面都没有涂上红色的小正方体有几个？ 29．（23-24五年级下·浙江杭州·期中）将长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长1厘米的小正方体木块。在这些小正方体中，一面涂色的有几块？没有涂色的有几块？ 30．有n个同样大小的正方体，将它们摞成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原来长方体的表面积减少144平方厘米，那么n是多少？（写出简要解答步骤） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项三难度分层训练【典型题讲练】 专项训练二 长方体和正方体的表面积『第六单元 长方体和正方体』 （导图指引+知识精讲+三难度分层练） 〔解析版〕 模块一 导图指引 梳理脉络 模块二 知识精讲 技巧点拨 知识点一 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点二 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点三 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点四 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 模块三 分层训练 突破自我 〔基础入门〕：「步步扎实 稳扎稳打」 1．（23-24五年级下·河北张家口·期中）一根长方体木料，它的底面积是10平方厘米，把它截成三段，表面积增加（    ）平方厘米。 A．40 B．30 C．120 【答案】A 【思路引导】把木料截成3段，需要切2次，每切一次会增加2个底面，因此总共增加4个底面的面积。 【规范解答】3－1＝2（次） 2×2＝4（个） 10×4＝40（平方厘米） 即表面积增加40平方厘米。 2．（25-26五年级下·河南洛阳·期中）下面图形不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】正方体展开图有11种标准结构，包括1－4－1型、2－3－1型、2－2－2型、3－3型，只要符合这些类型就能折成正方体；如果出现“田”字形结构，或折叠时会出现面重叠的结构，就不能折成正方体，据此逐一判断即可。 【规范解答】A．属于1－4－1型，是正方体的标准展开图，可以折成正方体。 B．属于1－4－1型，是正方体的标准展开图，可以折成正方体。 C．不属于11种标准展开图，折叠时会出现面重叠的情况，不能折成正方体。 D．属于2－3－1型，是正方体的标准展开图，可以折成正方体。 所以不能折成正方体的是。 3．（25-26五年级下·湖南娄底·期中）把4个同样大小的正方体摆成一排，拼成的长方体表面积与原来4个正方体表面积之和相比（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 【答案】B 【思路引导】把2个同样大小的正方体摆成一排，会减少正方体的2个面；把3个同样大小的正方体摆成一排，会减少正方体的4个面；把4个同样大小的正方体摆成一排，会减少正方体的6个面。 【规范解答】把4个同样大小的正方体摆成一排，会减少正方体的6个面。所以长方体的表面积与原来4个正方体的表面积之和相比变小。 4．（23-24五年级下·河北张家口·期中）亮亮不小心把家里长方体鱼缸（无盖）前面的玻璃打破了。已知这个鱼缸的长是8分米，宽是5分米，高是7分米，修理时需要配上的玻璃的面积是( )平方分米。 【答案】56 【思路引导】修理时需要配上的玻璃即是前面的玻璃，长就是长方体鱼缸的长8分米，宽是长方体鱼缸的高7分米，根据长方形的面积＝长×宽，即可解答。 【规范解答】8×7＝56（平方分米） 5．（25-26五年级下·浙江杭州·期中）如下图，①是一个正方体，它的展开图有6个面，图中给出了其中的5个面。从ABCD中选择一个面，使这个展开图成为完整的正方体展开图。这个面是( )。 【答案】D 【思路引导】正方体展开图有11种基本类型，可围成正方体的类型有“1－4－1”型、“2－3－1”型、“3－3”型、“2－2－2”型，这个展开图属于正方体展开图中的“1－4－1”型，从上往下，中间一行的四个面，第一行的一个面与第三行一个面是相对的面，据此判断。 【规范解答】根据分析可知，展开图是正方体展开图中“1－4－1”型，第6个面的位置在从上往下第三行，这个面是D。 6．（24-25五年级下·甘肃陇南·期中）一个长方体，其中有三个面的面积分别是9平方厘米、8平方厘米、6平方厘米，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】46 【思路引导】长方体相对两个面面积相等，已知三个不同面的面积，表面积就是这3个面面积和的2倍。 【规范解答】（9＋8＋6）×2 ＝23×2 ＝46（平方厘米） 7．（25-26五年级下·湖北省直辖县级单位·期中）把两个棱长4厘米的小正方体，拼成一个长方体后表面积减少了32cm。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】两个正方体拼成一个长方体，会减少 2 个接触面的面积。先计算出减少的面积数值，再核对题干中给出的单位是否为面积单位。表面积的单位应为平方厘米，而题干中给出的是厘米，单位不一致。 【规范解答】两个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，减少了2个正方形面的面积。 减少的面积为： 4×4×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 题干中表述为“32cm”，“cm”是长度单位，而表面积应使用面积单位“平方厘米”。题目说法错误。 故答案为：× 8．（23-24五年级下·广东江门·期中）一个正方体的表面积是24平方厘米，把它放到桌面上，所占的面积是4平方厘米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】正方体6个面完全相同，表面积＝6×每个面的面积。把它放到桌面上，所占的面积即为底面积，也就是其中一个面的面积，等于表面积除以6。 【规范解答】24÷6＝4（平方厘米） 故答案为：√ 9．（24-25五年级下·河南郑州·期中）计算下面各立体图形的表面积。           【答案】112；54 【思路引导】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，分别代入数值计算即可。 【规范解答】 （） （） 10．（25-26五年级下·湖南永州·期中）一个长方体饼干盒，底面是周长为40厘米的正方形，高12厘米。如果在它的侧面贴一圈商标纸，这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 【答案】480平方厘米 【思路引导】商标纸围绕侧面粘贴，所求面积即为长方体的侧面积。根据侧面积＝底面周长×高，代入数值即可解答。 【规范解答】40×12＝480（平方厘米） 答：这张商标纸的面积至少是480平方厘米。 〔进阶提升〕：「小试牛刀 举一反三」 11．（23-24五年级下·河南南阳·期中）把一个长方体的高截取4cm后，变成一个正方体，表面积减少了80cm2，原长方体表面积是（    ）。 A．225cm2 B．230cm2 C．150cm2 D．125cm2 【答案】B 【思路引导】将一个长方体的高截取4cm， 则长方体的侧面积减少，根据侧面积＝底面周长×高，据此用减少的面积除以减少的高度，即可求出长方体的底面周长，因为减少4cm后，原长方体变成一个正方体，说明长方体的底面是一个正方形，根据正方形周长＝边长×4，用底面周长÷4，求出正方体的棱长，用棱长＋4cm，求出长方体原来的高，再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答。 【规范解答】80÷4÷4 ＝20÷4 ＝5（cm） 长方体的高为：5＋4＝9（cm） （5×5＋5×9＋5×9）×2 ＝（25＋45＋45）×2 ＝（70＋45）×2 ＝115×2 ＝230（cm2） 原长方体表面积是230cm2。 12．（23-24五年级下·广东肇庆·期中）要制作12节长方体的铁皮通风管，每节长4分米，宽2分米，高0.5米（如图所示），至少要用（    ）平方分米的铁皮。 A．48 B．672 C．720 D．912 【答案】C 【思路引导】铁皮通风管的连接口是没有铁皮的，也就是图中长方体上下面没有铁皮，只需要计算前后面以及左右面的面积即可。先算出一节铁皮通风管所需要的铁皮面积（统一单位），再乘12即可。 【规范解答】0.5米＝5分米 4×5×2＋2×5×2 ＝40＋20 ＝60（平方分米） 60×12＝720（平方分米） 至少要用720平方分米铁皮。 13．（23-24五年级下·河北沧州·期中）同学们正在排练课本剧《曹冲称象》。道具组找来若干个棱长1dm的正方体纸盒当作故事中的石块，并将纸盒摆放成甲、乙两个几何体（如图）。哪个几何体的表面积大一些？（    ） A．甲 B．乙 C．同样大 【答案】B 【思路引导】甲是棱长为2dm的正方体，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；乙是长4dm、宽1dm、高2dm的长方体，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；分别算出两个几何体的表面积，再比较大小。 【规范解答】甲：2×2×6 ＝4×6 ＝24（dm2） 乙：（4×1＋4×2＋1×2）×2 ＝（4＋8＋2）×2 ＝（12＋2）×2 ＝14×2 ＝28（dm2） 24＜28 几何体乙的表面积大一些。 14．（23-24五年级下·河北沧州·期中）每年的4月1日为“国际爱鸟日”，护鸟小组制作了一个正方体形状的鸟笼，棱长总和是60厘米，那么这个鸟笼的占地面积是( )平方厘米；表面积是( )平方厘米。 【答案】 25 150 【思路引导】正方体的棱长总和÷12＝正方体的棱长。据此算出这个鸟笼的棱长。 鸟笼的占地面积是一个正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，代入计算。 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入计算即可。 【规范解答】60÷12＝5（厘米） 5×5＝25（平方厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 所以，这个鸟笼的占地面积是25平方厘米，表面积是150平方厘米。 15．（23-24五年级下·河北沧州·期中）挖一个长7米、宽5米、高3米的长方体水池，并在水池的底面铺上白色瓷砖，在四壁贴上彩色瓷砖。一共需要白色瓷砖( )平方米，彩色瓷砖( )平方米。 【答案】 35 72 【思路引导】白色瓷砖用于底面，直接计算长方体的底面积（长×宽）；彩色瓷砖用于四壁，即长方体侧面积的总和，侧面积＝（长×高＋宽×高）×2。 【规范解答】白色瓷砖面积：7×5＝35（平方米） 彩色瓷砖面积： （7×3＋5×3）×2 ＝（21＋15）×2 ＝36×2 ＝72（平方米） 16．（24-25五年级下·福建厦门·期中）一个长方体长15厘米，宽8厘米，高12厘米，若高减少5厘米，则表面积减少( )平方厘米。 【答案】230 【思路引导】表面积减少的是前后左右4个面，减少的表面积＝长×减少的高×2＋宽×减少的高×2。 【规范解答】15×5×2＋8×5×2 ＝150＋80 ＝230（平方厘米） 17．（23-24五年级下·吉林松原·期中）计算下面各立体图形的表面积。 【答案】1350；248 【思路引导】根据“”和“”分别求出正方体的表面积和长方体的表面积。 【规范解答】15×15×6 ＝225×6 ＝1350（） （6×4＋6×10＋4×10）×2 ＝（24＋60＋40）×2 ＝124×2 ＝248（） 18．（23-24五年级下·湖北恩施·期中）学校要用乳胶漆刷一间教室的四壁和天花板。已知教室的长是10米，宽6米，高是3米，（注：门窗的面积11.5平方米），每平方米大约要乳胶漆1.2千克，至少要多少千克乳胶漆？ 【答案】173.4千克 【思路引导】刷漆就是要刷教室四壁和天花板，除去门和窗，也就是教室四壁和天花板的面积减去门窗的面积，根据题意，计算需要刷漆的总面积：先求出天花板面积（长×宽）和四壁面积[（长×高＋宽×高）×2]，相加后减去门窗面积。再计算所需乳胶漆质量：用刷漆总面积乘每平方米所需乳胶漆的质量。 【规范解答】10×6＋（10×3＋6×3）×2－11.5 ＝60＋（30＋18）×2－11.5 ＝60＋48×2－11.5 ＝60＋96－11.5 ＝156－11.5 ＝144.5（平方米） 144.5×1.2＝173.4（千克） 答：至少要173.4千克乳胶漆。 19．（23-24五年级下·吉林松原·期中）鸟类是人类的朋友，爱护鸟类，人人有责。希望小学用木板在树林中设置了若干个简易的人工鸟巢（如下图），鸟巢的形状是长方体，长3分米、宽3分米、高2分米。做一个这样的人工鸟巢，至少需要多少平方分米的木板？（人工鸟巢没有右侧面） 【答案】36平方分米 【思路引导】木板面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高。 【规范解答】3×3×2＋3×2×2＋3×2 ＝18＋12＋6 ＝36（平方分米） 答：至少需要36平方分米的木板。 20．（23-24五年级下·广东肇庆·期中）把一个长30厘米，宽12厘米，高10厘米的长方体，截成2个长方体，这两个长方体的表面积之和与原长方体的表面积相等吗？表面积最多增加多少平方厘米？ 【答案】不相等；720平方厘米 【思路引导】把一个长方体截成2个长方体时，会增加2个相同长方形截面的面积，因此表面积之和一定比原来大；要让增加的面积最多，就要选择面积最大的那个面作为截面。 【规范解答】把长方体截成2个长方体后，会多出2个截面的面积，所以两个长方体的表面积之和不等于原长方体的表面积，而是比原来大。 30×12＝360（平方厘米） 30×10＝300（平方厘米） 12×10＝120（平方厘米） 360＞300＞120 所以，选择360平方厘米的面作为截面表面积增加最多。 360×2＝720（平方厘米） 答：这两个长方体的表面积之和与原长方体的表面积不相等，表面积最多增加720平方厘米。 〔挑战拓展〕：「突破自我，再攀高峰」 21．如图是正方体展开图，这个正方体不可能是（    ）。 ​ A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先根据四个选项中前面上的图案确定展开图中哪个面是前面；再在展开图中确定好右面、上面；最后判断展开图能不能折成选项中的正方体。 【规范解答】 A．如图，则有。所以这个正方体有可能是A选项。 B．如图，即，则有。所以这个正方体有可能是B选项。 C．如图，即，则有。所以这个正方体有可能是C选项。 D．如图，折不成。所以这个正方体不可能是D选项。 故答案为：D 【考点剖析】对于正方体的展开与折叠的题目是极易出错的，此题的展开图中还印有图案，更易引起学生错误的判断，同学们可以制作相同的模型进行折叠加以判断。 22．把一个表面积是300平方厘米的正方体，切成两个完全一样的小长方体，每个小长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．150 B．200 C．250 【答案】B 【思路引导】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，那么正方体每个面的面积＝表面积÷6，据此求出正方体的一个面的面积。把这个正方体切成两个完全一样的小长方体，每个小长方体的表面积是正方体表面积的一半加上正方体一个面的面积，据此解答。 【规范解答】300÷6＝50（平方厘米） 300÷2＋50 ＝150＋50 ＝200（平方厘米） 故答案为：B 【考点剖析】本题考查正方体表面积公式的灵活运用，找到正方体的表面积和切成2个小长方体的表面积之间的关系是解题的关键。 23．一根长方体木料长3m，宽12cm，高8cm，把它截成相同的4段，表面积至少增加（    ）cm2。 A．144 B．216 C．576 【答案】C 【思路引导】把木料截成相同的4段，要截三次，表面积增加了6个面的面积，要求至少增加的表面积，应沿着最小的面来截，即增加的每个面都和长方体的侧面相等，先算出长方体的侧面面积，再乘6，即可作出选择。 【规范解答】12×8×6 ＝96×6 ＝576（平方厘米） 故答案选：C 【考点剖析】抓住关键词“至少”，理解增加的表面积是指长方体木料的哪些面积，找出增加的部分与原长方体木料之间的关系，这是解决此题的关键。 24．（24-25六年级上·河北唐山·期末）一个正方体木块，分三次摆放在桌上，（如图），木块上的1面对着( )。 【答案】6 【思路引导】根据正方体有6个面，相邻面一定不是相对面，由第一个图可知，1的相邻面是2、3，由第二个图可知，1的相邻面是4、5，所以1面对着6。 【规范解答】因此木块上的1面对着6。 【考点剖析】主要考查正方体的特征及其展开图，根据相邻面一定不是相对面，采用排除法。 25．（25-26六年级上·湖南邵阳·期中）一个长方体的长是5分米，宽是2分米，高是3分米。如果要使长方体的表面积增加20平方分米，宽和高都不变，长应增加( )分米。 【答案】 2 【思路引导】在宽和高都不变的情况下，要使长方体的表面积增加20平方分米，那么增加的表面积就是增加的小长方体上、下、前、后四个侧面的面积和（如下图所示）。设长应该增加分米，根据等量关系“增加的表面积＝（增加的长×高＋增加的长×宽）×2”代入数值列出方程并求解即可。 【规范解答】解：设长应该增加分米。 一个长方体的长是5分米，宽是2分米，高是3分米。如果要使长方体的表面积增加20平方分米，宽和高都不变，长应增加2分米。 【考点剖析】本题关键是确定增加的表面积是一个小长方体的侧面积。 26．（24-25五年级下·河南安阳·期中）灯笼又统称为“灯彩”，是一种古老的传统工艺品。王叔叔用木条钉了一个长方体灯笼框架，后因调整，又将这个长方体框架的高增加4cm，变成一个正方体框架（如图），制作灯笼所需纱布比原来增加了480cm2，原来长方体框架的高是( )cm。 【答案】26 【思路引导】这个长方体框架的高增加4cm，变成一个正方体框架，则原来的长方体是一个上下两个面是正方形的特殊长方体，则增加的表面积就是侧面四个宽是4cm的长方形面积和，则用增加的面积除以4得出每个长方形的面积，再除以4就是长方形的长和宽，也是这个长方体增加4cm后的高，减去4就是原来长方体的高。 【规范解答】480÷4＝120（cm2） 120÷4＝30（cm） 30－4＝26（cm） 则原来长方体框架的高是26cm。 27．计算组合图形的表面积。 【答案】428cm2 【思路引导】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积； 组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体的4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算即可。 【规范解答】长方体的表面积： （10×8＋10×7＋8×7）×2 ＝（80＋70＋56）×2 ＝206×2 ＝412（cm2） 正方体4个面的面积： 2×2×4 ＝4×4 ＝16（cm2） 一共：412＋16＝428（cm2） 组合图形的表面积是428cm2。 28．（2025五年级·全国·竞赛）如图是由若干个小正方体组成的大正方体，阴影部分为贯通的空洞，现将这个大正方体的内外表面涂上红色，一个面都没有涂上红色的小正方体有几个？ 【答案】2个 【思路引导】大正方体有4排4列4层，如果没有贯通的空洞，中间部分的小正方体是没有涂红色的，共有2×2×2＝8（个），由于有贯通的空洞，中间没有涂色的小正方体要减少2×3＝6（个）（贯通的空洞减少2个，空洞四周涂色又要减法4个），所以一个面都没有涂上红色的小正方体有8－6＝2（个），据此即可解答。 【规范解答】2×2×2－2×3 ＝8－6 ＝2（个） 答：一个面都没有涂上红色的小正方体有2个。 【考点剖析】先按没有空洞计算没有涂色的小正方体的个数，再减去由于有贯通空洞减少没有涂色的小正方体的个数。 29．（23-24五年级下·浙江杭州·期中）将长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长1厘米的小正方体木块。在这些小正方体中，一面涂色的有几块？没有涂色的有几块？ 【答案】一面涂色的有52块；没有涂色的有24块 【思路引导】根据分析可知，根据长方体的体积＝长×宽×高，用（6×5×4）÷（1×1×1）即可求出被切成的小正方体的块数；三个面均为油漆的是各顶点处的小正方体，长方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个； 在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，长被切成6个小正方体，所以一条长有（6－2）个两面油漆的小正方体，宽被切成5个小正方体，所以一条宽有（5－2）个两面油漆的小正方体，高被切成4个小正方体，所以一条高有（4－2）个两面油漆的小正方体，所以用（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4即可求出有几个两面涂色的小正方体； 在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆，用[（6－2）×（5－2）＋（6－2）×（4－2）＋（5－2）×（4－2）]×2即可求出几个一面涂色的小正方体； 最后用所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上面的结论，即可求得答案。 【规范解答】小正方体的总个数：（6×5×4）÷（1×1×1） ＝120÷1 ＝120（个） 有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个， 两面涂色的有：（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4 ＝4×4＋3×4＋2×4 ＝16＋12＋8 ＝36（个） 一面涂色的有：[（6－2）×（5－2）＋（6－2）×（4－2）＋（5－2）×（4－2）]×2 ＝[4×3＋4×2＋3×2]×2 ＝[12＋8＋6]×2 ＝26×2 ＝52（个） 没有涂色的有：120－8－36－52＝24（个） 答：一面涂色的有52块；没有涂色的有24块。 【考点剖析】此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上。 30．有n个同样大小的正方体，将它们摞成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原来长方体的表面积减少144平方厘米，那么n是多少？（写出简要解答步骤） 【答案】21 【规范解答】试题分析：根据题干，表面积减少的144平方厘米厘，是原来正方体的4个面的面积之和，所以原来正方体一个面的面积是：144÷4=36平方厘米，n个同样大小的正方体摞在一起所组成的长方体的表面积是由4n+2个正方体的面的面积之和，由此可得关于n的一元一次方程：36×（4n+2）=3096，解这个方程即可解决问题． 解：正方体一个面的面积是：144÷4=36（平方厘米），根据长方体的表面积可得： 36×（4n+2）=3096， 144n+72=3096， 144n=3024， n=21， 答：n是21． 点评：此题关键是根据正方体拼组长方体的特点，得出拿走一个正方体后，长方体的表面积是减少了4个正方体的面的面积，且n个正方体摞在一起的表面积是4n+2个正方体的面的面积之和． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $