专题闯关一 立体图形的切拼-表面积（第六单元 长方体和正方体）导图++技巧点拨+三难度分层练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项三难度分层训练【经典题集训】 专题闯关一 立体图形的切拼-表面积『第六单元 长方体和正方体』 （导图指引+技巧点拨+三难度分层练） 〔解析版〕 模块一 导图指引 梳理脉络 模块二 知识精讲 技巧点拨 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 模块三 分层训练 突破自我 〔基础入门〕：「步步扎实 稳扎稳打」 1．（25-26六年级上·江苏宿迁·月考）如图，在一个长方体木块中，挖掉一个正方体木块后，下面说法正确的是（    ）。 A．表面积和体积都不变 B．表面积不变，体积变小 C．表面积变小，体积不变 D．表面积和体积都变小 【答案】B 【思路引导】从图中可知，在长方体木块的右上角挖掉一个正方体木块，那么体积就减少这个正方体木块的体积。 在没挖之前，长方体右上角处有3个面，挖掉一小块后，这个位置又露出了与原来相同的3个面，所以表面积没有变化。 【规范解答】物体的体积＝长方体的体积－1个正方体的体积 物体的表面积＝原来长方体的表面积 在一个长方体木块中，挖掉一个正方体木块后，表面积不变，体积变小。 故答案为：B 2．（25-26六年级上·江苏宿迁·月考）把一个棱长是3分米的正方体，切成两个完全相同的长方体，表面积增加了（    ）平方分米。 A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】C 【思路引导】将正方体切成两个长方体，表面积增加的部分是两个截面的面积。正方体每个面的面积为3×3＝9平方分米，切开后新增两个这样的面，故增加9×2＝18平方分米。 【规范解答】3×3×2 ＝9×2 ＝18（平方分米） 表面积增加了18平方分米。 故答案为：C 3．（25-26六年级上·广西防城港·月考）把2个棱长2分米的正方体拼成一个长方体（如下图），拼成的长方体的表面积是（    ）平方分米。 A．24 B．40 C．48 【答案】B 【思路引导】把2个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，则这个长方体的宽和高均为2分米，长为2×2＝4分米，那么根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可求解。 【规范解答】2×2＝4（分米） （4×2＋4×2＋2×2）×2 ＝（8＋8＋4）×2 ＝20×2 ＝40（平方分米） 即拼成的长方体的表面积是40平方分米。 故答案为：B 4．（25-26六年级上·江苏淮安·月考）把3个棱长为3分米的正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 126 81 【思路引导】把3个棱长为3分米的正方体摆成一个长方体（以这三个正方体横着摆成一行为例，其他摆法计算方式同理），则这个长方体的长是（3×3）分米，宽是（1×3）分米，高是（1×3）分米。长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【规范解答】这个长方体的长：3×3＝9（分米） 宽：1×3＝3（分米） 高：1×3＝3（分米） （9×3＋3×3＋9×3）×2 ＝（27＋9＋27）×2 ＝（36＋27）×2 ＝63×2 ＝126（平方分米） 9×3×3 ＝27×3 ＝81（立方分米） 把3个棱长为3分米的正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积是126平方分米，体积是81立方分米。 5．（24-25五年级下·陕西汉中·期中）如图，用形状大小完全相同的正方体堆成两个新图形甲和乙，甲的表面积( )乙的表面积，甲的体积( )乙的体积。（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 ＜ ＝ 【思路引导】观察图形可知，甲是一个正方体，正方体有6个面。且每个面都有4个小正方形的面。假如每个小正方形面的面积为1，那么甲的表面积为6×4＝24。乙上下各有4个小正方形的面，前后都有6个小正方形的面，左右都有4个小正方形的面，所以乙的表面积为4×2＋6×2＋4×2＝8＋12＋8＝28。28＞24，所以甲的表面积比乙的表面积小。 观察图形可知，甲是一个棱长为2的正方体，根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，那么甲的体积为2×2×2＝8。乙是由一个长为3，宽为1，高为2的长方体和一个长为1，宽为1，高为2的长方体组成。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，则乙的体积为3×1×2＋1×1×2＝6＋2＝8，所以甲的体积与乙的体积相等。 【规范解答】假设每个小正方形面的面积为1。 甲表面积：6×4＝24 乙表面积： 4×2＋6×2＋4×2 ＝8＋12＋8 ＝28 假设小正方体棱长为1。 甲体积：2×2×2＝8 乙体积： 3×1×2＋1×1×2 ＝6＋2 ＝8 所以甲的表面积＜乙的表面积，甲的体积＝乙的体积。 6．（24-25五年级下·河南郑州·期中）把一根长1.5米的长方体木料，平均锯成6段，表面积比原来增加了20平方分米，这根木料原来的体积是( )立方分米。 【答案】30 【思路引导】将长方体木料锯成6段，需要锯6－1＝5次，每次增加2个横截面，共增加2×5＝10个横截面。表面积增加的20平方分米对应这10个横截面的总面积，单个横截面积为20÷10＝2平方分米。长方体木料长1.5米（可看作长方体的高），底面积2平方分米，根据体积＝底面积×高，把数据代入计算即可。计算时注意统一单位。 【规范解答】6－1＝5（次） 2×5＝10（个） 20÷10＝2（平方分米） 1米＝10分米 1.5×10＝15（分米） 2×15＝30（立方分米） 这根木料原来的体积是30立方分米。 7．（25-26五年级·全国·寒假作业）把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了3。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，如下图所示： 所以减少了拼接处的4个正方形的面。先根据“正方形的面积＝边长×边长”用1乘1计算出一个面的面积；再用一个面的面积乘4即可。 【规范解答】根据分析： 1×1×4 ＝1×4 ＝4（dm2） 把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了4dm2。原说法错误。 故答案为：× 8．（24-25五年级上·山东威海·期末）把一个正方体分成两个完全一样的长方体，两个长方体的总体积和总表面积与原来都不变。( )（判断对错） 【答案】 × 【思路引导】所有立体图形外面的面积之和叫做它的表面积；物体所占空间的大小叫做它的体积。 【规范解答】把一个正方体分成两个完全一样的长方体，总体积不变；但总表面积增加，因为分割时增加了两个切面。所以原题说法错误。 故答案为：× 9．（24-25五年级下·河北张家口·期中）一个长方体的长是12厘米，宽是8厘米。沿长边的中点处将其切成两个相等的长方体，这两个长方体的表面积之和比原长方体的表面积增加了48平方厘米（如图）。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】288立方厘米 【思路引导】沿长边中点切割后，表面积增加的部分是两个相同的长方形面，长方形的长是原长方体的宽（8厘米），宽是原长方体的高。已知表面积增加了48平方厘米，即两个新增长方形面的面积和为48平方厘米，那么一个面的面积是48÷2＝24平方厘米。又因为这个面的长是8厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，可得高为24÷8＝3厘米。根据长方体体积公式V＝长×宽×高，原长方体长12厘米、宽8厘米、高3厘米，把数据代入计算即可。 【规范解答】48÷2＝24（平方厘米） 24÷8＝3（厘米） 12×8×3＝288（立方厘米） 答：原来长方体的体积是288立方厘米。 10．（24-25五年级下·贵州六盘水·期末）中国文化中的“节俭哲学” “方匣累叠藏规矩，前后左右露真容，重叠之处需相减，表面积中算分明。”体现了中国文化中的“节俭哲学——物尽其用”的思想。长城城砖、传统木箱制作都是将多余材料的表面积降至最低，减少材料浪费，做到了实用与环保的统一。数学中的图形拼接问题也蕴含了这样的思想。例如：用3个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体进行拼组。 【答案】上下拼更减少材料浪费 【思路引导】根据立方体的拼接，由图可知上下拼，左右拼，前后拼都减少4个面，分别计算出减少的面积，再比较大小，据此解答即可。 【规范解答】上下拼表面积减小4个面，减少5×4×4＝80（平方厘米）， 前后拼表面积减小4个面，减少5×3×4＝60（平方厘米） 左右拼表面积减小4个面，减少4×3×4＝48（平方厘米） 80＜60＜48 答：上下拼将表面积降至最低，减少材料浪费。 〔进阶提升〕：「小试牛刀 举一反三」 11．（25-26六年级上·江苏南京·期末）理理把一个长方体木块正好锯成了两个相同的正方体，每个正方体的表面积是长方体表面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】把一个长方体木块锯成两个完全相同的正方体，据此可设这个长方体的长为2a，宽a，高为a，然后根据正方体的表面积＝6×边长×边长，据此求出正方体的表面积；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可求出长方体的表面积，再用正方体的表面积除以长方体的表面积即可求出每个正方体的表面积是长方体表面积的几分之几，据此解答即可。 【规范解答】正方体的表面积＝6×a×a＝6a2； 长方体的表面积＝（2a×a＋2a×a＋a×a）×2 ＝5a2×2 ＝10a2 6a2÷10a2＝ 即每个正方体的表面积是长方体表面积的。 故答案为：A 12．（25-26六年级上·河南平顶山·期末）将一个长方体按如图三种方法分割成两个长方体，表面积分别增加了48平方厘米、64平方厘米、24平方厘米，原来长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．285 B．68 C．272 D．136 【答案】D 【思路引导】第一种切法多了前后两个面的面积和，即前后两个面的面积和是48平方厘米；第二种切法多了上下两个面的面积和，即上下两个面的面积和是64平方厘米；第三种切法多了左右两个面的面积和，即左右两个面的面积和是24平方厘米；长方体的表面积等于前、后，左、右，上、下6个面面积之和，据此解答。 【规范解答】 （平方厘米） 原来长方体的表面积是136平方厘米。 故答案为：D 13．（24-25六年级上·江苏镇江·期末）如图是用相同的小正方体拼成的两个立体图形甲与乙，下列说法正确的是（    ）。 A．体积不相等，甲的表面积大 B．体积相等，乙的表面积大 C．体积相等，甲的表面积大 D．体积相等，表面积也相等 【答案】C 【思路引导】分别数出两个立体图形中小正方体的数量，小正方体多的立体图形体积大，小正方体少的立体图形体积小，如果两个立体图形中小正方体的数量相等，那么它们的体积也相等；计算立体图形甲的表面积时，需要计算6个面的面积，每个面分别有4个小正方形，一共要计算4×6＝24个小正方形的面积；计算立体图形乙的表面积时，需要计算6个面的面积，前后上下四个面中每个面分别有4个小正方形，左右两个面分别有3个小正方形，一共要计算4×4＋3×2＝16＋6＝22个小正方形的面积，据此解答。 【规范解答】分析可知，两个立体图形中分别有6个小正方体，所以两个立体图形的体积相等；立体图形甲的表面积需要计算24个小正方形的面积，立体图形乙的表面积需要计算22个小正方形的面积，所以立体图形甲的表面积比立体图形乙的表面积大，即体积相等，甲的表面积大。 故答案为：C 14．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）如图，用n个棱长2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】16n＋8 【思路引导】n个棱长为2厘米的小正方体排成一排拼成长方体，长方体的长为n×2＝2n厘米，宽和高均等于小正方体的棱长。据此代入长方体表面积公式S＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2中求解即可。 【规范解答】拼成的长方体的长为2n厘米，宽和高均为2厘米，因此表面积为： （2n×2＋2n×2＋2×2）×2 ＝（4n＋4n＋4）×2 ＝（8n＋4）×2 ＝8n×2＋4×2 ＝16n＋8（平方厘米） 15．（25-26六年级上·河南平顶山·期末）工地上有一根石柱，它的底面是一个正方形。这根石柱高为1.8米，为了满足建筑设计需求，工人师傅将其沿横截面截成3段，截完后石柱的表面积比原来增加了90平方分米。请问，原来这根石柱的体积是( )立方分米。 【答案】405 【思路引导】根据题意可知，把这根底面为正方形的柱体的石柱横截成3段后，表面积比原来增加（2×2＝4）个截面的面积，据此用增加的面积除以4可以求出一个截面的面积，然后根据长方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。 【规范解答】90÷（2×2） ＝90÷4 ＝22.5（平方分米） 1.8×10＝18（分米） 22.5×18＝405（立方分米） 即原来这根石柱的体积是405立方分米。 16．（25-26六年级上·江苏连云港·期末）如图所示，一个正方体，如果高减少2厘米，这时表面积比原来减少40平方厘米，原来正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】150 【思路引导】由题意可知，减少部分是一个长方体，长方体的上下底面是正方形，四个侧面是完全相同的长方形，这个正方体的高减少2厘米后，表面积减少了长方体四个侧面的面积，根据减少的表面积求出长方体一个侧面的面积，再根据“长＝长方形的面积÷宽”求出长方形的长，即正方体的棱长，最后利用“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出原来正方体的表面积，据此解答。 【规范解答】40÷4÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 所以，原来正方体的表面积是150平方厘米。 17．（25-26六年级上·河南平顶山·期中）求下面物体的表面积和体积。 【答案】96 cm2；56 cm3 【思路引导】观察图可知：这个物体的表面积比大正方体少了3个小正方形的面积，然后切割部分多了3个小正方形的面积，即表面积和原来大正方体的表面积相等。体积用大正方体的体积减去小正方体的体积，即可求得物体的体积。根据正方体的表面积：棱长×棱长×6；正方体的体积：棱长×棱长×棱长，把数代入即可求解。 【规范解答】表面积： 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 体积： 4×4×4－2×2×2 ＝64－8 ＝56（cm3） 18．（24-25六年级上·江苏镇江·期末）把下面的长方体切割成两个完全相同的长方体，切割后的两个长方体表面积之和最多是多少平方厘米？ 【答案】1168平方厘米 【思路引导】根据长方形面积＝长×宽，分别求出长方体的长与宽的面的面积；长与高的面的面积；宽与高的面的面积；比较3个图形的面积大小；由于切割后，会增加两个切面的面积，再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个长方体表面积，再加上切割后最大的2个面的面积和，即可解答。 【规范解答】18×8＝144（平方厘米） 18×10＝180（平方厘米） 8×10＝80（平方厘米） 180＞144＞80，竖着切割面积最大。 （18×8＋18×10＋8×10）×2＋180×2 ＝（144＋180＋80）×2＋180×2 ＝（324＋80）×2＋180×2 ＝404×2＋180×2 ＝808＋360 ＝1168（平方厘米） 答：切割后的两个长方体表面积之和最多是1168平方厘米。 19．（24-25五年级·全国·随堂练习）乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 【答案】 图见详解；7200平方厘米 【思路引导】将该长方体中最大的面重合叠放最节省包装纸，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。 【规范解答】（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米） 所以将的面重叠包装最节省包装纸，如下图： （厘米） （平方厘米） 答：将的面重叠包装最节省包装纸，最少需要7200平方厘米的包装纸。 20．（25-26六年级上·山西大同·期中）拥有“不用一颗钉，能用50年”之称的官渡木椅制作技艺入选十堰市非物质文化遗产名录。如图，鲁班木材加工厂将一根2.5米长的长方体木料锯成3段后，表面积比原来增加了48平方分米。原来这根木料的体积是多少立方分米？ 【答案】300立方分米 【思路引导】由题意可知，把这根长方体木料锯成3段后，表面积增加了4个截面的面积，先根据增加的表面积求出一个截面的面积，再根据“长方体的体积＝底面积×高”求出原来这根木料的体积，据此解答。 【规范解答】2.5米＝25分米 2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 48÷4×25 ＝12×25 ＝300（立方分米） 答：原来这根木料的体积是300立方分米。 〔挑战拓展〕：「突破自我，再攀高峰」 21．（25-26六年级上·安徽滁州·期末）把两个长是9厘米、宽是6厘米、高是4厘米的礼品盒包装在一起，至少要用（    ）平方厘米的包装纸。 A．408 B．348 C．384 D．248 【答案】B 【思路引导】要使包装纸最少，就要把两个礼品盒最大的面（9×6）叠在一起，这样减少的表面积最大，此时长方体包装纸长9厘米、宽6厘米、高4×2＝8厘米，根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”即可求出需要包装纸的面积。据此解答。 【规范解答】4×2＝8（厘米） （9×6＋9×8＋6×8）×2 ＝（54＋72＋48）×2 ＝（126＋48）×2 ＝174×2 ＝348（平方厘米） 所以至少要用348平方厘米的包装纸。 22．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）在一个棱长为a的大正方体中，挖去一个棱长为b的小正方体，图①、图②和图③是三种不同的方法。（    ）剩下的表面积最大。 A．图① B．图② C．图③ D．无法确定 【答案】A 【思路引导】只要比较挖掉小正方体后表面积和原来的表面积的增减情况图即可： ①：在大正方体的一个面中间挖去小正方体。 原来的大正方体表面减少了1个小正方形的面积，但内部又新增了5个小正方形的面积，所以整体表面积增加了4个小正方形的面积。 图②：在大正方体的一个顶点处挖去小正方体。 原来的大正方体表面减少了3个小正方形的面积，内部又新增了3个小正方形的面积，所以整体表面积不变。 图③：在大正方体的一条棱上挖去小正方体。 原来的大正方体表面减少了2个小正方形的面积，内部新增了4个小正方形的面积，所以整体表面积增加了2个小正方形的面积。 【规范解答】图①表面积比原来新增4个小正方形的面积。 图②表面积和原来一样保持不变。 图③表面积比原来新增2个小正方形的面积。 所以图①剩下的表面积最大。 【考点剖析】关键在于判断挖去小正方体的位置，从而确定表面积是增加、减少还是不变。 23．（25-26六年级上·河南周口·期中）如图，从一个长方体木块上边和下边分别截去高为2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积比原来减少了120平方厘米，原来长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．360 B．396 C．400 【答案】B 【思路引导】由图可知：截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的侧面积，也就相当于减少的是高为（2＋3）厘米的长方体的侧面积，因此高为5厘米的长方体底面周长是120÷5＝24（厘米），因为底面是一个正方形，所以正方形的边长就是24÷4＝6（厘米），则长方体原来的高就是6＋5＝11（厘米）。最后根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把长6厘米，宽6厘米，高11厘米，代入即可求出长方体的体积。据此即可解答。 【规范解答】截去总高：2＋3＝5（厘米） 底面周长：120÷5＝24（厘米） 底面边长：24÷4＝6（厘米） 原长方体高：6＋5＝11（厘米） 体积：6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 所以原来长方体的体积是396立方厘米。 故答案为：B 【考点剖析】本题关键在于明确减少的120平方厘米表面积是截去部分的侧面积，用侧面积除以截去的总高度得到底面周长，再结合截后是正方体这一条件求出底面边长，进而算出原长方体的高和体积。 24．（25-26六年级上·江苏南京·期中）一个正方体木块的表面积是96平方分米，把它切成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 64 32 【思路引导】 如图，把正方体切成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积＝正方体的表面积÷2＋1个正方形面的面积；正方体表面积÷6＝1个面的面积，再根据1个面的面积＝棱长×棱长，确定正方体棱长，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体体积÷2＝长方体体积，据此列式计算。 【规范解答】96÷6＝16（平方分米） 96÷2＋16 ＝48＋16 ＝64（平方分米） 16＝4×4 4×4×4÷2 ＝64÷2 ＝32（立方分米） 每个长方体的表面积是64平方分米，体积是32立方分米。 【考点剖析】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用正方体表面积和体积公式。 25．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）下图在棱长为12厘米的正方体上挖去三个棱长为2厘米的小正方体和长12厘米，宽和高都是2厘米的小长方体，如下图所示，这个几何体的表面积是( )平方厘米。 【答案】872 【思路引导】观察图形可知：通过面的平移，正方体上顶点处挖去的两个小正方体并没有减少正方体的表面积；面上挖去一个小正方体，正方体的表面积增加了4个边长为2厘米的小正方形的面积；挖去一个小长方体，正方体的表面积减少了长方体的左、右侧面的面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长，长方体的左、右侧面面积之和＝宽×高×2，据此分别代入数据求出原来正方体的表面积以及增加、减少部分的面积，最后用原正方体的表面积加上增加的面积，减去减少的面积，即可求出这个几何体的表面积。 【规范解答】12×12×6＋2×2×4－2×2×2 ＝864＋16－8 ＝872（平方厘米） 则这个几何体的表面积是872平方厘米。 【考点剖析】本题关键是明确不同部位挖去小正方体后对大正方体表面积的影响。 26．（25-26五年级上·山东东营·期中）有一个长方体木块，长是10cm，宽是8cm，高是6cm，把它切割成棱长是2cm的小正方体，这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 【答案】 1064平方厘米 【思路引导】本题要求计算长方体切割成小正方体后表面积的增加量。 首先，根据长方体的尺寸和小正方体的棱长，计算可切割的小正方体数量。 其次，计算每个小正方体的表面积和总表面积。然后，计算原长方体表面积。 最后，求差。 据此列式解答即可。 【规范解答】计算小正方体的数量： 长方向：10 ÷ 2 ＝ 5（个） 宽方向：8 ÷ 2 ＝ 4（个） 高方向：6 ÷ 2 ＝ 3（个） 小正方体总数：5 × 4 × 3 ＝20×3 ＝ 60（个） 计算每个小正方体的表面积： （平方厘米） 计算所有小正方体的总表面积： （平方厘米） 计算原长方体的表面积： （平方厘米） 计算增加的表面积： （平方厘米） 答：这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了1064平方厘米。 【考点剖析】增加的原因是切割后内部面暴露，增加了表面积。 切1次增2个面，小正方体总表面积减原长方体表面积，即得增量。 27．（25-26六年级上·江苏泰州·期中）用9个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是750立方厘米，则大长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】2250平方厘米 【思路引导】假设小长方体最长的棱为长，次长的棱为宽，最短的棱为高，根据图乙可得出：长＝3高，2长＝3宽。设小长方体的高为a，那么小长方体的长就是3a，宽就是3a×2÷3＝2a，那么小长方体的体积就是：3a×2a×a＝6a3，已知小长方体的体积是750立方厘米，即6a3＝750，那么a＝5，所以小长方体的长、宽、高分别是15厘米、10厘米、5厘米。再根据乙图求出大长方体的长、宽、高。最后根据长方体的表面积公式即可求出大长方体的表面积。 【规范解答】假设小长方体的高为a，则长为3a，宽为3a×2÷3＝2a。 3a×2a×a＝6a3 所以6a3＝750 6a3÷6＝750÷6 a3＝125 因为5×5×5＝125 所以a＝5 所以小长方体的长是：3×5＝15（厘米） 小长方体的宽是2×5＝10（厘米） 小长方体的高是1×5＝5（厘米） 大长方体的长：15×2＝30（厘米） 大长方体的宽：15×1＝15（厘米） 大长方体的高：10＋5＝15（厘米） （30×15＋30×15＋15×15）×2 ＝（450＋450＋225）×2 ＝1125×2 ＝2250（平方厘米） 答：大长方体的表面积是2250平方厘米。 【考点剖析】本题解题关键是根据乙图分析出小长方体的长、宽、高三者的关系，根据小长方体的体积求出长、宽、高。 28．（23-24五年级下·河北·单元测试）一种汽车玩具包装盒如下图。玩具厂生产的汽车玩具在出厂前计划用一种长方体纸箱装这种汽车玩具盒，每箱装18盒。 （1）请你设计一种符合要求的包装箱。 （2）与同学议一议：谁设计的包装箱用料最少？最少是多少？ 【答案】（1）包装箱的长180厘米；宽12厘米；高12厘米（答案不唯一） （2）包装箱长20厘米、宽36厘米，高36厘米；最少5472平方厘米 【思路引导】 （1）如图，可以设计一种能放下2层汽车玩具盒的包装箱，包装箱的长＝汽车玩具盒的长×9，包装箱的宽＝汽车玩具盒的宽，包装箱的高＝汽车玩具盒的高×2，据此分析，答案不唯一。 （2）要想用料最少，尽可能的将玩具盒较大较多的面拼起来，如图、、三种拼法，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别计算出表面积，比较即可。 【规范解答】（1）20×9＝180（厘米） 6×2＝12（厘米） 答：可以设计一种长180厘米，宽12厘米，高12厘米的包装箱。 （2）长：20厘米 宽：12×3＝36（厘米） 高：6×6＝36（厘米） （20×36＋20×36＋36×36）×2 ＝（720＋720＋1296）×2 ＝2736×2 ＝5472（平方厘米） 长：20×2＝40（厘米） 宽：12×3＝36（厘米） 高：6×3＝18（厘米） （40×36＋40×18＋36×18）×2 ＝（1440＋720＋648）×2 ＝2808×2 ＝5616（平方厘米） 长：20×3＝60（厘米） 宽：12×3＝36（厘米） 高：6×2＝12（厘米） （60×36＋60×12＋36×12）×2 ＝（2160＋720＋432）×2 ＝3312×2 ＝6624（平方厘米） 6624＞5616＞5472 答：当包装箱长20厘米、宽36厘米，高36厘米时用料最少，最少是5472平方厘米。 【考点剖析】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体表面积公式。 29．（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个长方体木块，如果从上部截去高为4分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】360立方分米 【思路引导】一个长方体木块，从上部截去高为4分米的长方体，便成为一个正方体，说明原来长方体木块的长和宽相等，长和宽相等的长方体，它的前后左右四个面完全相同。 表面积减少的部分就是截去的小长方体的前、后、左、右四个面的面积之和，且每个侧面都是形状相等的小长方形，则每个侧面的面积为：96÷4＝24（平方分米），因为截去的小长方体的高是4分米，所以小长方体的长＝24÷4＝6（分米），则原来大长方体的长为6分米，宽是6分米，高为：6＋4＝10（分米），再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【规范解答】96÷4÷4 ＝24÷4 ＝6（分米） 6×6×（6＋4） ＝6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方分米） 答：原来长方体的体积是360立方分米。 【考点剖析】一个长方体从上面水平截去一个小长方体时，大长方体表面积减少的部分就是小长方体侧面积（即前、后、左、右四个面的面积之后）。 30．（24-25六年级上·江苏淮安·期中）张华要给希望小学的孩子们寄去4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，请你设计出最省纸的包装方法，并计算出需要牛皮纸的面积。（接头处忽略不计） 【答案】先把2本字典最大的面拼在一起，再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起；1440平方厘米 【思路引导】 要求最省纸，则应把字典最大面拼在一起。先把2本字典的最大面拼在一起，则长是15厘米，宽是10厘米，高是6×2＝12厘米的长方体；这时，再增加同样的两本字典拼成长方体，要让长15厘米，高是12厘米的面拼在一起，变成一个长是15厘米，宽是10×2＝20厘米，高是12厘米的大长方体，如图：；再根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【规范解答】先把2本字典最大的面拼；再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起。 如图： 拼后的长方体的长是15厘米，宽是10×2＝20（厘米），高是6×2＝12（厘米）。 （15×20＋15×12＋20×12）×2 ＝（300＋180＋240）×2 ＝（480＋240）×2 ＝720×2 ＝1440（平方厘米） 答：需要牛皮纸的面积是1440平方厘米。 【考点剖析】解答本题的关键是先把2本字典拼成一个长方体，再把拼后的两个长方体的最大面拼在一起，进而利用长方体表面积公式进行解答。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项三难度分层训练【经典题集训】 专题闯关一 立体图形的切拼-表面积『第六单元 长方体和正方体』 （导图指引+技巧点拨+三难度分层练） 〔原卷版〕 模块一 导图指引 梳理脉络 模块二 知识精讲 技巧点拨 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 模块三 分层训练 突破自我 〔基础入门〕：「步步扎实 稳扎稳打」 1．（25-26六年级上·江苏宿迁·月考）如图，在一个长方体木块中，挖掉一个正方体木块后，下面说法正确的是（    ）。 A．表面积和体积都不变 B．表面积不变，体积变小 C．表面积变小，体积不变 D．表面积和体积都变小 2．（25-26六年级上·江苏宿迁·月考）把一个棱长是3分米的正方体，切成两个完全相同的长方体，表面积增加了（    ）平方分米。 A．6 B．9 C．18 D．27 3．（25-26六年级上·广西防城港·月考）把2个棱长2分米的正方体拼成一个长方体（如下图），拼成的长方体的表面积是（    ）平方分米。 A．24 B．40 C．48 4．（25-26六年级上·江苏淮安·月考）把3个棱长为3分米的正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 5．（24-25五年级下·陕西汉中·期中）如图，用形状大小完全相同的正方体堆成两个新图形甲和乙，甲的表面积( )乙的表面积，甲的体积( )乙的体积。（填“＞”“＜”或“＝”） 6．（24-25五年级下·河南郑州·期中）把一根长1.5米的长方体木料，平均锯成6段，表面积比原来增加了20平方分米，这根木料原来的体积是( )立方分米。 7．（25-26五年级·全国·寒假作业）把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了3。( )（判断对错） 8．（24-25五年级上·山东威海·期末）把一个正方体分成两个完全一样的长方体，两个长方体的总体积和总表面积与原来都不变。( )（判断对错） 9．（24-25五年级下·河北张家口·期中）一个长方体的长是12厘米，宽是8厘米。沿长边的中点处将其切成两个相等的长方体，这两个长方体的表面积之和比原长方体的表面积增加了48平方厘米（如图）。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 10．（24-25五年级下·贵州六盘水·期末）中国文化中的“节俭哲学” “方匣累叠藏规矩，前后左右露真容，重叠之处需相减，表面积中算分明。”体现了中国文化中的“节俭哲学——物尽其用”的思想。长城城砖、传统木箱制作都是将多余材料的表面积降至最低，减少材料浪费，做到了实用与环保的统一。数学中的图形拼接问题也蕴含了这样的思想。例如：用3个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体进行拼组。 〔进阶提升〕：「小试牛刀 举一反三」 11．（25-26六年级上·江苏南京·期末）理理把一个长方体木块正好锯成了两个相同的正方体，每个正方体的表面积是长方体表面积的（    ）。 A． B． C． D． 12．（25-26六年级上·河南平顶山·期末）将一个长方体按如图三种方法分割成两个长方体，表面积分别增加了48平方厘米、64平方厘米、24平方厘米，原来长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．285 B．68 C．272 D．136 13．（24-25六年级上·江苏镇江·期末）如图是用相同的小正方体拼成的两个立体图形甲与乙，下列说法正确的是（    ）。 A．体积不相等，甲的表面积大 B．体积相等，乙的表面积大 C．体积相等，甲的表面积大 D．体积相等，表面积也相等 14．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）如图，用n个棱长2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 15．（25-26六年级上·河南平顶山·期末）工地上有一根石柱，它的底面是一个正方形。这根石柱高为1.8米，为了满足建筑设计需求，工人师傅将其沿横截面截成3段，截完后石柱的表面积比原来增加了90平方分米。请问，原来这根石柱的体积是( )立方分米。 16．（25-26六年级上·江苏连云港·期末）如图所示，一个正方体，如果高减少2厘米，这时表面积比原来减少40平方厘米，原来正方体的表面积是( )平方厘米。 17．（25-26六年级上·河南平顶山·期中）求下面物体的表面积和体积。 18．（24-25六年级上·江苏镇江·期末）把下面的长方体切割成两个完全相同的长方体，切割后的两个长方体表面积之和最多是多少平方厘米？ 19．（24-25五年级·全国·随堂练习）乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 20．（25-26六年级上·山西大同·期中）拥有“不用一颗钉，能用50年”之称的官渡木椅制作技艺入选十堰市非物质文化遗产名录。如图，鲁班木材加工厂将一根2.5米长的长方体木料锯成3段后，表面积比原来增加了48平方分米。原来这根木料的体积是多少立方分米？ 〔挑战拓展〕：「突破自我，再攀高峰」 21．（25-26六年级上·安徽滁州·期末）把两个长是9厘米、宽是6厘米、高是4厘米的礼品盒包装在一起，至少要用（    ）平方厘米的包装纸。 A．408 B．348 C．384 D．248 22．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）在一个棱长为a的大正方体中，挖去一个棱长为b的小正方体，图①、图②和图③是三种不同的方法。（    ）剩下的表面积最大。 A．图① B．图② C．图③ D．无法确定 23．（25-26六年级上·河南周口·期中）如图，从一个长方体木块上边和下边分别截去高为2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积比原来减少了120平方厘米，原来长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．360 B．396 C．400 24．（25-26六年级上·江苏南京·期中）一个正方体木块的表面积是96平方分米，把它切成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 25．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）下图在棱长为12厘米的正方体上挖去三个棱长为2厘米的小正方体和长12厘米，宽和高都是2厘米的小长方体，如下图所示，这个几何体的表面积是( )平方厘米。 26．（25-26五年级上·山东东营·期中）有一个长方体木块，长是10cm，宽是8cm，高是6cm，把它切割成棱长是2cm的小正方体，这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 27．（25-26六年级上·江苏泰州·期中）用9个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是750立方厘米，则大长方体的表面积是多少平方厘米？ 28．（23-24五年级下·河北·单元测试）一种汽车玩具包装盒如下图。玩具厂生产的汽车玩具在出厂前计划用一种长方体纸箱装这种汽车玩具盒，每箱装18盒。 （1）请你设计一种符合要求的包装箱。 （2）与同学议一议：谁设计的包装箱用料最少？最少是多少？ 29．（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个长方体木块，如果从上部截去高为4分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 30．（24-25六年级上·江苏淮安·期中）张华要给希望小学的孩子们寄去4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，请你设计出最省纸的包装方法，并计算出需要牛皮纸的面积。（接头处忽略不计） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $