精品解析：四川达州高级中学等校2025-2026学年高一下学期期中学情检测数学A2

学情检测数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章至必修第二册第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等 B. 若，，则 C. 若向量，是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 D. 若为的垂心，则 4. 已知复数是关于的方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 5. 某时钟的秒针端点到中心点的距离是4厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标3的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，记，两点间的距离为厘米，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若向量，的夹角是钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小正周期是 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增 10. 已知是锐角三角形，角，，的对边分别是，，，且，，则的值可能是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 11. 在中，，过点的直线分别交射线，于不同的两点，，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是___________. 13. 为打造“熊猫竹海”生态旅游线，护林员在山脚的点观测两竹海景观，（视为质点），测得景观位于点的北偏东75°方向上，距离点600米，景观位于点的东偏南30°方向上，距离点米，，，三点都在同一水平面上，则景观，之间的距离是______米. 14. 函数在上至少有3个零点，则的最小值是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别是，，，且，，且为锐角. （1）求的值； （2）若，求的周长. 16. 已知复数，. （1）若，求，的值； （2）若是纯虚数，且，求； （3）若，且在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 17. 已知函数（，）的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求在上的值域. 18. 如图，在中，，，，是线段的中点.. （1）当时，用，表示向量，. （2）当时，求向量，夹角的余弦值. （3）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图，在边长为6的正方形中，、分别为边，上的点（不包含端点），且. （1）求； （2）若，求的值； （3）求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学情检测数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章至必修第二册第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解题的关键是先根据复数乘法法则计算出，再根据共轭复数的定义求出. 【详解】因为，所以. 2. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且，所以， 由正弦定理可得，则. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等 B. 若，，则 C. 若向量，是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 D. 若为的垂心，则 【答案】D 【解析】 【详解】若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等或互为相反向量，A错误； 当时，得，，此时向量，不一定平行，B错误； 当四边形是平行四边形时，满足向量，是共线向量， 但点，，，不在同一条直线上，C错误； 若为的垂心，可得， 则，D正确. 4. 已知复数是关于的方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，即，解得. 5. 某时钟的秒针端点到中心点的距离是4厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标3的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，记，两点间的距离为厘米，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，得出，求出，最后解不等式即可. 【详解】设，则，所以， 若，则， 若，则，所以. 由，得，则， 因为，所以，则，解得. 6. 已知向量，，若向量，的夹角是钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】向量，由向量，的夹角是钝角， 得，解得或， 所以的取值范围是. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状. 【详解】在中，由正弦定理得，而， ∴ ，即， 又∵、为的内角，∴， 又∵，∴， ∴由余弦定理得：，∴， ∴为等边三角形. 故选：B. 8. 18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，，满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆， 因为，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小正周期是 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式化简，根据正弦函数的周期、单调性、对称轴和对称中心可得答案. 【详解】由题意可得，则的最大值是2，A错误； 的最小正周期，B正确； 因为，取得最小值， 所以的图象关于直线对称，C正确； 由，得， 正弦函数的单调递增区间为， 当时，单调递增区间为，， 则在上单调递增，D正确. 10. 已知是锐角三角形，角，，的对边分别是，，，且，，则的值可能是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】BC 【解析】 【分析】应用余弦定理及锐角三角形列式计算求解. 【详解】因为，，所以是锐角， 所以由题意可得， 即， 解得， 所以符合题意. 11. 在中，，过点的直线分别交射线，于不同的两点，，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量线性运算计算可判断AB；由向量线性运算及列式计算可判断C；由，根据基本不等式“1”的妙用计算可判断D. 【详解】因为，所以. 因为，， 所以，A正确，B错误. 因为三点共线，所以， 当时，, ，. 因为，，三点共线， 所以，即， 所以，解得，则，C正确. 因为三点共线，所以， 即，且，， 所以， 当且仅当时，等号成立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是___________. 【答案】 【解析】 【分析】应用投影向量公式结合数量积坐标公式计算求解. 【详解】由题意可得向量在向量上的投影向量为，其坐标为. 13. 为打造“熊猫竹海”生态旅游线，护林员在山脚的点观测两竹海景观，（视为质点），测得景观位于点的北偏东75°方向上，距离点600米，景观位于点的东偏南30°方向上，距离点米，，，三点都在同一水平面上，则景观，之间的距离是______米. 【答案】 【解析】 【详解】如图，由题意可知米，米，， 则，故米. 14. 函数在上至少有3个零点，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，且，所以. 因为在上至少有3个零点，所以，解得， 故的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别是，，，且，，且为锐角. （1）求的值； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦二倍角公式，同角三角函数关系可得答案； （2）由正弦定理和余弦定理可得，求出周长. 【小问1详解】 因为，且，所以， 由，可得， 因为为锐角，所以， 所以. 【小问2详解】 由，得，即， 由余弦定理可得，即， 所以，解得（舍去）， 则， 故的周长为 16. 已知复数，. （1）若，求，的值； （2）若是纯虚数，且，求； （3）若，且在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的加法运算及复数相等列式即可求出答案； （2）根据复数的乘法运算及纯虚数的概念可求出，再根据求出，根据即可求出答案； （3），根据复数的几何意义即可求出答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 则，解得，. 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为是纯虚数，所以且， 则， 因为，所以，所以， 则. 【小问3详解】 由，得， 则， 因为在复平面内对应的点位于第一象限， 所以， 解得，即的取值范围为. 17. 已知函数（，）的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求在上的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入最值点即可求得的值，从而可得函数的解析式； （2）结合余弦函数的单调性并利用整体代换法即可求解单调递减区间，即可求解； （3）当时，，进而利用整体代换法即可求解值域. 【小问1详解】 由图可知，，则， 所以，则， 又，则， 即，则，又，则， 所以. 【小问2详解】 令，得， 则函数的单调递减区间为. 【小问3详解】 当时，， 则，即， 则在上的值域为. 18. 如图，在中，，，，是线段的中点.. （1）当时，用，表示向量，. （2）当时，求向量，夹角的余弦值. （3）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由向量加减、数乘的几何意义，用表示出； （2）应用向量数量积的运算律求数量积、模长，再由夹角公式求夹角余弦值； （3）应用向量数量积的运算律及，列方程求参数值，即可得结论. 【小问1详解】 由题设， 【小问2详解】 由（1）， ，即， ，即， 所以. 【小问3详解】 存在使，理由如下： 由题设，而， 所以， 所以， 所以，即. 19. 如图，在边长为6的正方形中，、分别为边，上的点（不包含端点），且. （1）求； （2）若，求的值； （3）求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数概念，表示出各边长，再根据余弦定理，解三角形，进而求出角的大小即可； （2）根据三角函数概念表示出各边长，进而求出结果即可； （3）根据三角形面积公式，求出三角形面积表达式，根据三角函数值域，求出面积范围. 【小问1详解】 设，， 则，，，， 在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 将，代入上式并化简，得， 所以，因为，所以， 则， 【小问2详解】 由（1）可知，，则. 【小问3详解】 由（1）可知，，， 则的面积， 因为， 所以， 因为，，所以， 当时，取得最大值，且最大值为1， 则， 即当时，的面积取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $