1.4三角形的中位线定理课件2025-2026学年湘教版数学八年级下册

三角形的中位线定理 1.4 数学湘教版 八年级下 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理。 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题。 学习目标 复习回顾 平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 边 角 对角线 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 老农场主的分地问题 问题背景 生活中数学无处不在，老农场主拥有一块三角形土地，打算平均分给四个孩子，聘请分地员设计分地方案。 初始分地方案 分地员将三角形土地的一边平分为四段，得到3个等分点，每个等分点与顶点相连，得到四个面积相等的三角形。 方案争议与提议 四兄弟按顺序选择土地，老四认为自己分得的土地呈又窄又长形态，老大提议共同学习土地划分知识后重新划分，分地员对此表示高度赞同。 待解决问题 四兄弟经讨论后提出问题：如何将这块三角形土地分割为四块形状、大小均一致的小三角形土地？ 情景引入 探究新知 知识点1： 三角形的中位线定理 A B C D E D、E 分别是 AB、AC 的中点 DE 为△ABC 的中位线 中位线 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE，像 DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 探究新知 问题1：一个三角形有几条中位线？ 你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ D E 一个三角形有三条中位线 . 如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF . F A B C 探究新知 问题2 三角形的中位线与中线一样吗？ 图形 相同点 不同点 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 都是与中点有关的线段；都有3条. 中位线是连接三角形两边中点的线段. 提出猜想 问题3：如图，DE 是△ABC 的中位线， DE 与 BC 有怎样的关系？ 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析： DE与BC的关系 猜想： DE∥BC ？ 是否能学过的知识去验证猜想 D E 验证猜想 D E 猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 问题4：如何证明你的猜想？ 平行 角相等 一条线段是另一条线段的一半 线段相等 平行四边形 全等 倍长短线 验证猜想 1. 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点. 求证：DE∥BC，DE = BC. D E F ∴ DE∥BC， ． 证明1： 延长DE到 F，使EF = DE,连接 AF、CF、DC. ∵ AE = EC，DE = EF， ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形． ∴ CF AD ∵ DE= DF ∴ DF BC． ∴ 四边形 BCFD 是平行四边形， ∵点D是AB的中点 ∴AD=BD ∴CF BD. 2.你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗 小明的做法：将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF. 证明二： 将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置，所以D，E，F在一条直线上. 由于旋转不改变图形的形状和大小， 所以有CF=AD =BD，DE =EF，∠F =∠ADE. 则 AD∥ CF， 即 BD ∥CF. ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形. ∴ DF BC. DF=BC 又 ∵DE =EF ∴ DE= = BC. ∴EF BC. 验证猜想 新知归纳 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. 几何语言描述： D E ∵ DE是△ABC 的中位线， ∴ DE∥BC，DE = BC． 回顾引入 那位老场主，他那一块三角形土地，准备分给四个孩子。 如何公平分地才能让四个人都满意呢？ 探索新知 ▱DEFB，▱DECF ▱AEFD，▱DEFB ▱AEFD，▱DECF △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED S△ADE = S△DBF = S△EFC = S△FED = S△ABC 问题 5 根据三角形的三条中位线能得到什么结论？ A C D E F B 典型例题 【例1】 已知：在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点. 若BC=6,∠C=60°求 DE 的长度和∠AED的大小  知识点1:三角形的中位线定理 解：∵D,E分别是AB,AC的中点； BC=6,∠C=60° ∴DE=DE∥BC ∴∠AED=∠C=60° 变式训练 【变式1】如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,AC,BC的中点,连接DE,EF,FD得到△DEF,如果△ABC的周长是24 ,那么△DEF的周长是多少？ ∵D、E、F 分别是△ABC的边AB, AC,BC 的中点 ∴DE、EF、DF是△ABC的中位线 ∴DE= BC,EF= AB,DF= AC ∵C△ABC=BC+AB+AC=24 ∴C△DEF=DE+EF+DF= (BC+AB+AC)= ×24=12 典型例题 【例2】如图,为测量位于一水塘旁的A,B两点间的距离,在地面上确定点O,分别取OA,OB的中点C,D,量得CD=10 m,则A,B之间的距离是( ) A. 5 m B. 10 m C. 20 m D. 40 m C 知识点2:三角形中位线定理的实际应用 变式训练 【变式2】如图,有一块等腰三角形空地ABC,已知D,E分别是AB,AC的中点,量得AC=12 m,AB=BC=8 m,若用篱笆围成四边形BCED,则需要篱笆的长是（ ） A A. 22 m B. 20 m C. 17 m D. 14 m 典型例题 【例3】如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点.求证:四边形BEFD是平行四边形. 证明:∵D,F分别是AB,AC的中点, ∴DF是的△ABC中位线 ∴DF∥BC,即DF∥BE. 又∵E,F分别是BC,AC的中点, ∴EF是的△ABC中位线 ∴EF∥AB,即EF∥DB. ∴四边形BEFD是平行四边形. 知识点3:运用三角形中位线定理证明 变式训练 【变式3】如图18-21-7,已知△ABC的中线BD,CE交于点O,F,G分别是OB,OC的中点. 求证:四边形DEFG是平行四边形. 解：∵在△ABC中D,E 分别是AC,AB 的中点 ∴ED是△ABC的中位线 ∴ED// BC, ED= BC ∵在△OBC中F,G 分别是OB,OC 的中点 ∴FG是△OBC的中位线 ∴.FG/ BC,FG = BC ∴ED//FG,FD=FG ∴四边形DEFG是平行四边形 归纳总结 平行四边形 性质定理 判定定理 应用 中位线定理 中位线：连接三角形__________的线段叫作三角形的中位线 中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 两边中点 课堂检测 基础巩固 1. 如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边BC的中点,连接OE.若CD=8,∠DAB=60°,∠ADB=80°,则∠1=　 　, OE=　 　.  40° 4 课堂检测 2. 在△ABC中,点D在BC上,且DC=AC,CE⊥AD于点E,F是AB的中点. 求证:BD=2EF. 证明:∵DC=AC,CE⊥AD, ∴E是AD的中点. ∵F是AB的中点, ∴EF是△ABD的中位线. ∴BD=2EF. 课堂检测 能力提升 3. 如图,在四边形ABCD中,E,F分别是边AB,AD的中点,BC=10,CD=6, EF=4,∠AFE=52°,则∠ADC= °.  142 课堂检测  4. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P是BD的中点,M是DC的中点, N是AB的中点. 请判断△PMN的形状,并说明理由. 解:△PMN是等腰三角形. 理由如下: ∵P是BD的中点,M是CD的中点,N是AB的中点 ∴PM是△DBC的中位线，PN是△ABD的中位线 ∴PM= BC， PN= AD. ∵AD=BC, ∴PM=PN. ∴△PMN是等腰三角形. 课堂检测 拓展延伸 5. (综合运用)如图,E为▱ABCD的边AD上的一点,连接EB并延长,使BF=BE,连接EC并延长,使CG=CE,连接FG.H为FG的中点,连接DH,AF. (1)若∠BAE=65°,∠DCE=25°,则∠BCE的度数为 　;  40° （2）求证:四边形AFHD为平行四边形; （3）连接E、H,交BC于点O,若OB=OE,求证:OH= BC. 课堂检测 （2）求证:四边形AFHD为平行四边形; 证明:(2)在▱ABCD中，AD=BC,AD∥BC ∵BF=BE,CG=CE, ∴BC是△EFG的中位线. ∴BC∥FG,BC= FG. ∵H为FG的中点, ∴FH= FG. ∴BC∥FH,BC=FH. ∴AD∥FH,AD=FH. ∴四边形AFHD是平行四边形. 课堂检测 （3）连接EH,交BC于点O,若OB=OE,求证:OH= BC. （3)证明：连接BH,CH. ∵CE=CG,FH=HG, ∴CH是△EFG的中位线 ∴CH= EF,CH∥EF. ∵EB=BF= EF, ∴EB=CH.∴四边形EBHC是平行四边形. ∴OB= BC,OE=OH. ∵OB=OE, ∴OE=OB=OH= BC. $