仿真必刷卷09 -【匠心编题·直击考点】备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷（全国一卷通用）

**基本信息** 该卷为高考数学仿真模拟卷，以核心素养为导向，通过统计调查情境（如敏感性问题问卷设计）、圆锥截线与立体几何综合等创新题，覆盖函数、几何、统计等主干知识，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、统计（百分位数）、立体几何等|基础巩固与能力分层，如第3题结合研学人数考查百分位数应用| |填空题|3题/15分|向量夹角、排列组合（LABUBU装盒）、立体几何折叠|融入生活情境，如第13题以IP潮玩装盒考分组分配问题| |解答题|5题/77分|解三角形、导数证明、椭圆、统计调查、圆锥截线|突出综合应用，如第18题用敏感性问题调查考统计推断，第19题融合立体几何与圆锥曲线求方程及斜率定值证明|

2026年高考模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 n 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 巢 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A[B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 双阙 3[AB][C][D] 7[A][B][C][D] 4[AB][C][D] 8[A][B][C[D] 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A]B][C][D] 10[A][B][C[D] 11[A][B][C]D] 箭 三、填空题（每小题5分，共15分) 妇 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3贡（共6页）一 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6项） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5项（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) ◇ E B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）精选各地好题新题 贴合考场实战难度 备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷 必刷模拟卷09 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式可化为， 故不等式的解集为 ，又， 所以. 2．已知复数，则复数的虚部为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为复数，所以． 所以复数的虚部为0. 3．某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50，，55，45，.已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】D 【分析】结合题意得到，再对取值范围进行分类讨论，最后结合总体百分位数的估计求解最大值即可. 【详解】由题意得，解得， 不妨设，则，而当时，， 此时从小到大的排列顺序为，45，50，55，，而， 故第40百分位数，矛盾， 当时，，此时从小到大的排列顺序为45，，50，，55， 此时，得，于是， 此时，可知第70百分位数是，故D正确. 4．已知是空间中不重合的三条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若与异面，与异面，则与异面 【答案】A 【详解】选项A，由平行的性质得平行于同一条直线的两条直线平行，因此选项A正确； 选项B，垂直于同一条直线的两条直线不一定垂直， 也可能平行、相交或异面，因此选项B错误； 选项C，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行， 也可能相交或异面，因此选项C错误； 选项D，与异面，与异面， 与也可能是平行或者相交，此时与均共面，因此选项D错误. 5．已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【详解】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 6．已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先找到的外接圆圆心位置，结合三棱锥的体积确定外接球半径及外接球球心的位置，并利用勾股定理建立关于的方程求解，最后用球的表面积公式计算求解. 【详解】 已知，，所以的面积. ，直角三角形外接圆圆心为斜边中点， 设中点为，则. 因为三棱锥体积，代入得，， 又，为中点，由等腰三角形三线合一得， 且 ， 因此平面，即在底面投影为. 设，球半径为，则. ，， 联立得，解得，因此. 即球的表面积. 7．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．15 B．21 C．28 D．36 【答案】B 【详解】因为为等差数列，所以，又因为， 所以，，则公差， 则：. 8．已知定义在上的奇函数存在2个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由，对比展开式系数，得，，直接排除A、C、D；再由有2个极值点，得导函数有两个不同零点，由判别式得，判断B正确. 【详解】定义域为的奇函数满足对任意恒成立， 所以， 则，，即 . 对于A选项：由得，不确定，故不一定为1，A错误； 对于B选项： 化简得（），求导得， 若有2个极值点，则有两个不相等实根，二次方程判别式，即，B正确； 对于C选项：已得，若，则，，为一次函数，不存在2个极值点，C错误； 对于D选项：由前分析知，D错误； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点．过点的直线与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．若（为坐标原点），则抛物线的方程为 C．焦点到直线的距离的最大值为 D．中至多有3个角为锐角 【答案】ABD 【分析】设直线的方程为，联立方程组，由，求解，结合韦达定理和抛物线的性质，可判定A正确；根据向量的数量积的坐标运算，列出方程，求得，可判定B正确；利用距离公式，求得，结合，可判定C错误；根据向量的数量积的计算公式，分别求得和，结合数量积的符号，可得判定D正确. 【详解】对于抛物线，可得其焦点，准线方程为，则， 对于A，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得，解得或， 且， 由抛物线的定义，可得， 因为，可得同号， 又由且，所以，所以A正确； 对于B，由，可得， 因为，，可得，解得， 所以抛物线的方程为，所以B正确； 对于C，由焦点到直线的距离为， 因为，所以，所以C错误； 对于D，不妨设在之间， 由向量， 可得， 因为且，可得， 因为在之间，则,故, 所以,，所以为锐角，为钝角； 又由向量， 可得， 当时，可得，此时为锐角， 而，故也为锐角， 综上可得，所以中至多有3个角为锐角，所以D正确. 10．已知角的终边过点，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得，，则， 故AC正确，B错误； ，故D错误. 11．已知函数的定义域为，对都有，记，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等差数列 B．当时， C．当时， D． 【答案】BCD 【分析】令，可求出，再令，可得，可判断A正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过放缩完成判断；对于D，利用，结合裂项相消法可得答案. 【详解】令，得，解得， 令，得，显然，则， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，即， 则，所以，数列不是等差数列，A错误； 当时，， 因为，则，B正确； 当时， ， 故C正确； 由题，下证，即证， 由基本不等式这显然成立，则， 对于任意成立，当且仅当取等号. 故 ， 则，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【分析】先根据求出的值，再根据向量夹角的计算公式求出向量与的夹角的余弦值，最后求出夹角. 【详解】，，，，解得. ，故向量与的夹角为． 13．2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 【答案】150 【分析】先按和两种方式分组，再排列即可. 【详解】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： 按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组， 组数；按分组：先从个中选个为一组， 剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)， 组数，分配到3个不同的盒内，， 故装法总数. 14．如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 【答案】 【分析】作出辅助线，转化为三棱柱的外接球问题，结合正弦定理和余弦定理得到答案 【详解】如图，过作，且，过作，且， 连接，，，，根据题意可知，， 由题意知，，，所以， 又，是平面内的两条相交直线，所以⊥平面， 所以三棱柱为直三棱柱． 则三棱锥与直三棱柱的外接球相同，设其半径为． 由，知，设三角形的外接圆半径为， 则，求得． 设，则，在中，设，， 则，， 代入，解得或（舍），． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)证明：是的等差中项； (2)若为的中点，，，求的周长和面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)周长为，面积为 【分析】（1）根据正弦定理边化角，利用余弦定理求得，进而得即可证明； （2）由题知，再结合向量数量积的运算律得，再结合余弦定理得，再解方程得，最后求周长与面积即可. 【详解】（1）证明：因为，由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得， 又，所以，所以，即是的等差中项. （2）解：因为为的中点，所以， 所以，即，将代入得， 所以，① 由余弦定理可得，即， 所以，② 由①②得， 所以的周长为，面积为 16．（15分）已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）对进行求导，令求出实数的值，再验证即可； （2）要证，令只需要证明函数的最大值小于1即可. 【详解】（1）求导得， 又在处有极大值，，解得或， 当时，， 时，；时，，故为极大值点，符合题意， 当时，， 时，；时，，故为极小值点，不符合题意， 综上，实数的值为. （2）由（1）得， 要证，即证对成立， 令则， 令，解得或， 令，解得或， 所以函数在和上单调递增，在和上单调递减， 所以函数的极大值为和, 且，, 即对所有成立，成立. 17．（15分）已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆过得，再利用得，即可写出椭圆方程； （2）设直线方程并联立方程组，用韦达定理结合斜率之和的条件求出斜率，再用弦长和距离公式即可求出面积. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以，即， 又因为以长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且，即， 所以，故椭圆的方程为. （2）由（1）知，设过点的直线的方程为，设， 联立方程组，代入化简得：， 由韦达定理：， 又因为直线的斜率为：，直线的斜率为：， 且 所以， 解得，此时直线：， 方程变为， 判别式满足题意，且， 此时弦长， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 18．（17分）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”． (1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为，求的分布列和数学期望； (2)用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； (3)若，求的最小值并求出此时的值． 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)， 【分析】（1）先根据初中生和高中生的总人数比例，计算抽取的10名学生中初中生和高中生的人数，判断X服从超几何分布，再根据超几何分布的相关公式求解分布列和数学期望； （2）利用全概率公式，结合已知的写下①的人数对应的频率作为，建立关于的方程，进而求解； （3）首先利用条件概率公式，分别表示出和，再将它们相加化简得到关于的表达式，再利用函数求最值的方法进行求解，同时结合的条件确定此时的值. 【详解】（1）抽取的10名学生中有4名初中生，6名高中生 的可能取值为0，1，2，3． ，， ，． 的分布列为 0 1 2 3 ； （2）设事件“被调查者摸到白球” ， 当时， （3）， ， 当时，的最小值为. 19．（17分）如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且为弧的中点，点满足，点为线段的中点； (1)求直线与平面所成角的大小； (2)平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴（设以的方向为轴正方向），以线段的中垂线为轴（设以逆时针旋转后的方向为轴正方向），建立平面直角坐标系. ①求出曲线的标准方程； ②设为曲线上两动点，若的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【分析】（1）由题设建立适当空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量即可由向量夹角余弦公式计算求解，进而得解； （2）①先由题设结合（1）得到曲线是椭圆，由求出，接着求出点在平面内的坐标，由点在曲线上求出即可得解； ②设直线的方程为，与椭圆联立求出韦达定理，设点，由韦达定理与点坐标求出，同理求出点中的，即可计算直线的斜率是一个定值. 【详解】（1）由题设以为原点，分别以所在直线和正方向为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 故，则， 故直线与平面所成角的大小为. （2）①由（1）知，直线与圆锥母线所成的角为，且，故曲线为椭圆， 设该椭圆的方程为，故； 由（1）可得，设与的交点为， 则， 易得，即，且， 设的中点为，易得，故， 故点在平面内的坐标为， 因为点在曲线上，故有， 故曲线的标准方程为. ②易知直线的斜率存在，设其方程为， 联立得， 设点，由韦达定理与点坐标，则， 的平分线与轴垂直，故直线与直线的斜率互为相反数， 设直线的方程为， 设点，同理可得， 故直线的斜率为，是一个定值. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $精选各地好题新题贴合考场实战难度 备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷 必刷模拟卷09 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.设集合M={xx2-x-7<0},N={1,0,1,2},则M∩N=() A.{0,1,2} B.{-1,0,1} C.{0,1 D.1,2} 2.已知复数：=3计出，则复数0=：+的定部为() 6 A.0 B. c D.2 3.某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50，a,55,45,b.已知本次研学 活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是 () A.51 B.52 C.53 D.54 4.己知a,b,c是空间中不重合的三条直线，则下列命题为真命题的是() A.若al/b,cb,则a/lc B.若a⊥b,c⊥b,则a⊥c C.若a⊥b,c⊥b,则allc D.若a与b异面，c与b异面，则a与c异面 5.己知函数f(x)=e,g(x)=r2,若对任意的x,x2∈(0，+o),x1<x2'f31∫2大8182)恒成 立，则实数a的取值范围为() A.(-0,0] B. C.(-w,e] D.0, 6.已知三棱锥P-ABC的体积为9√5，∠BAC=90°，AB=AC=3√2，PB=PC=6.若该三棱锥的四个顶点 都在球O的球面上，则球O的表面积为() A.24元 B.48元 C.96π D.108π 7.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a,+a=5,4+2a4=8,则S,=() A.15 B.21 C.28 D.36 第1页共4页 精选各地好题新题贴合考场实战难度 8.已知定义在R上的奇函数f(x)=ax3+√a+bx2-cx+d存在2个极值点，则() A.b=1 B.ac>0 C.d=Ja D.a+b>0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知抛物线C:y=2Px(p>O)的焦点为F,准线与x轴交于点P.过点P的直线l与抛物线交于A,B两 点，则下列说法正确的是() PA RA A.PBFB B.若OA.OB=5(O为坐标原点)，则抛物线的方程为y2=4x c.焦点r到直线的距离的最大值为5p 2 D.∠PAF,∠PFA,∠PBF,∠PFB中至多有3个角为锐角 2 2 10.已知角8的终边过点Psin。兀，cos三π 3 下列选项正确的是() 3 A.sin=-1 5 2 B.cos0=- 2 C.tan0=-3 +3π)-V3 D.sin0 2-2 /可-T/小，记 f(xy) 11.已知函数∫(x)的定义域为(0，+o),对x,y∈(0，+o)都有f(y+1)= a,=√f(m),n∈N,则下列说法正确的是() A.数列{a}是等差数列 11、1 B.当n≥2时， a.a 2n C.当n≥2时， 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知向量a=1,0),i=化，2)，且a1(2a-),则向量a与方的夹角为 13.2025年泡泡玛特旗下的PLABUBU”突然爆火.现有5个不同造型的LABUBU',把这5个LABUBU 装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有 种不同的装法， 第2页共4页 精选各地好题新题贴合考场实战难度 14.如图，在平行四边形ABCD中，己知AB=√3，AD=2,BD=1,现将△ABD沿BD折起，得到三棱 锥A-BCD,且三棱锥A-BCD外接球的表面积为7π，则AC=· B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足m4-C_b-C sin B a+c (1)证明：A是B,C的等差中项： ②若D为Bc的中点，ADV37,a=V3,求VA6C的周长和面积 16.(15分)已知函数f(x)=x(x-a)2-x在x=0处有极大值. (1)求实数a的值： (2)证明： f<1. e .(15分)已知椭圆C:+术=10a>b0)过点Q),以c的长轴为直径的圆与y辅上半轴交于万， Q3メ、 且EF=1. (1)求C的方程： ②若过点F的直线I与C交于M,N两点，满足直线EM,BN的斜率之和为，求△BMW的面积 第3页共4页 精选各地好题新题贴合考场实战难度 18.(17分)在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问.对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查 方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供 真实情况.某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名 高中生进行了调查调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和 20个黑球的袋子每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟， 则写下①，若不吸烟，则写下②：摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①.由于问题的 答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合 实际情况的答案.设事件A=“被调查者吸烟'，B=“被调查者写下①”. (①)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取 10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为X, 求X的分布列和数学期望： (2)用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计P(A)的值： (3)若0<P(A)<1,求P(AB)+P(AB)的最小值并求出此时P(A)的值， 19.(17分)如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为α，截面与圆锥的轴 线的夹角为B,当B=时，截线是圆：当a<B<时，截线是椭圆；当α=B时，截线是抛物线；当a>p 时，截线为双曲线.如图2所示，P为圆锥的顶点，O为底面圆心，AB为圆O的一条直径，且PA=AB=4W3,Q 为弧AB的中点，点H满足PF=2HO,点E为线段PB的中点： B 图1 图2 (1)求直线PO与平面AHB所成角的大小： (2)平面AHE与圆锥PO的截线记为曲线G,在平面AHE内，以AE所在的直线为x轴（设以AE的方向为x 轴正方向)，以线段AE的中垂线为y轴（设以AE逆时针旋转90°后的方向为y轴正方向），建立平面直角坐 标系 ①求出曲线G的标准方程： ②设S,T为曲线G上两动点，若∠ST的平分线与x轴垂直，求证：直线ST的斜率是定值，并求出这个定 值 第4页共4页精选各地好题新题贴合考场实战难度 【匠心编题·直击考点】备战2026年高考数学 仿真必刷卷09·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 3 5 6 7 8 D A B B B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 10 11 ABD AC BCD 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 π 12.4 13.150 14.V分 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【详解11)证明：因为如8C名，由正孩定理可等9=- sin B a+c b a+c 整理得b2+c2-d2=bc,由余弦定理可得cosA=+c2-a-1, 2bc 2 又4(0，，所以4=号，所以8+C==24,即A是RC的等差中项 3 (2)解：因为D为BC的中点，所以2AD=AB+AC, 所以4HD2=AB2+AC2+2A丽AC,即c2+b+2 becos=37,将cosA=}代入得c2+b2+bc=37, 第1页共6页 精选各地好题新题贴合考场实战难度 所以(b+c)2-bc=37,① 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A,即b2+c2-bc=13, 所以(b+c2-3bc=13,② [bc=12 由①②得 b+c=7' 所以18C的周长为a+b+c=7+丽，面积为besin4=;x12x5-35 2 2 16.(15分) 【详解】(1)求导得f'(x=3x2-4ax+a2-1, 又f(x)在x=0处有极大值，∫'(0)=a2-1=0,解得a=1或a=-1, 当a=1时，f'x)=3x2-4x=x(3x-4, <0时，川>0：0<x<骨时，了八)<0，故=0为极大值点，符合题意， 当a=-1时，f'(x=3x2+4x=x3x+4), <x<0时，x<0:>0时，x>0,散x0为极小值点，不符合题意 综上，实数a的值为1. (2)由(1)得f(x)=x(x-1)2-x=x3-2x2, 要证d<1,即证-2x<1对xR成立， e ex e-2则g-4, e 令gx=-x-x-4>0,解得x<0或1<r<4, e 令gx-xx-x-40,解得0<x<1或x>4, 所以函数gx)在-0,0)和(1,4)上单调递增，在(4，+∞)和(0,1上单调递减， 所以函数8x的极大值为g(0)和g4), 且80=0<1，g141-2<1 x3-2x2 <1 f<1 即e 对所有xeR成立，e成立 17.(15分) 【详解】1)因为椭圆过点E(0,,所以京=1，即=1， 第2页共6页 精选各地好题新题贴合考场实战难度 又因为以长轴为直径的圆与y轴上半轴交于F(0,a),且EF=1,即a-1=1, 所以a=2,故椭圆的方程为≠y产1 (2)由(1)知F(0,2),设过点F的直线1的方程为y=x+2,设M(x,y),N(x2,y), y=+2 联立方程组x2 +221代入化简得：1+4k)x+16k+12=0, 16k 12 由韦达定理：玉+五=1+41+4状’ 又因为宜线EM的斜率为：《=己，宜线EN的斜来为：a=么 且y=kx1+2,y2=x2+2 16k 所以kw+ka=1+1气+1+，+1-2k+5+6=2k+1+4=2k-4北-2头-2 X1 X2x1 X2 X X2 12 3=3=3 1+4k2 解得k=1,此时直线：y=x+2, 方程变为5x2+16x+12=0, 52 判别式△=16-4×5×12=16>0满足题意，且+5=-16， 5 此孩长wy-FG+--T9号 点E(0,1)到直线1的距离为d=0-1+2斗-互 V2+(-)22 所以。EwN的面积为S=Nxd 14W222 Γ2525 18.(17分) 【详解】(1)抽取的10名学生中有4名初中生，6名高中生 X的可能取值为0,1,2,3. X=o石PX=CCg-y C。21 Px=2cS=,Px3c。30” X的分布列为 0 2 3 第3页共6页 精选各地好题新题贴合考场实战难度 1 1 3 1 6 2 10 30 E(X)=3x4=6 1059 (2)设事件C=“被调查者摸到白球” P八=c+POP川ao-P+-a-号P小， 当P川到-品时，川0 1 P(A -P川A (3)P(4IB)+P(4IB)-P(B)P(B)-2-1P(41-2-114 2(P(A)-2P(A)+2 6 6 -2 当P利-时，P18+P列的最小植为号 19.(17分) 【详解】(1)由题设以0为原点，分别以OA,00,0P所在直线和正方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐 标系， E O、 B 5.w.oto25j.io. B-25,0,0,E-5,03 放m-aa6,正-(3a丽-265 设平面AEH的一个法向量为i=(x,y,z, AEi=-33x+3z=0 则 所i=-25x+4 3y+2=0 ，令x=1,则i=(1,0,V 第4页共6页 精选各地好题新题贴合考场实战难度 故cos(On,)= OP五 6W5 同P+(可x6 2,则o丽列-=8 故直线PO与平面AHE所成角的大小为 2》①由《1》知，直线P0与图锥母线所成的角为云，且后雪受，放曲线G为椭国， 6 设该图的方程为号+后-10>6>0.24征：6，流0。 由(1)可得H0, 设PO与AE的交点为F, 则F(0,0,2,F7 d亚-3wo, 0, 易得F所.AE-0,即FH1AE,且FH=45 故F0'=1, 4v3 故点H在平面AHE内的坐标为1， Γ3 16 因为点H在曲线G上，故有上+3=1→b2=6' 9b2 故曲线G的标准方程为。+少 9+6 =1 ②号知直线SH的斜率存在，设其方程为)+45=kx-, 3 联立+上=1得3k2+2x2-(6k2+85kx+3k2+85k-2=0, 9 6 设点S(,),由韦达定理与H点坐标，则5-3+8v5k-2 3k2+2 ∠SHT的平分线与x轴垂直，故直线SH与直线TH的斜率互为相反数， 设直线H的方程为)y+4V5 3 -k(x-1, 设点7(3小，同理可得x,=3-85k-2, 3k2+2 -8k 故直线57的斜率为-业.+5-2_32。- x-X2x1-2 16V3k 6,是一个定值 3k2+2 第5页共6页 精选各地好题新题贴合考场实战难度 第6页共6页备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷 必刷模拟卷09 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 .: 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 第一部分（选择题共58分） .: : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 ·: : : 1.设集合M={xx2-r-7<0},N=千1,0,1,2}，则M∩N=() A.{0,1,2} B.{-1,0,1} C.0,1} D.{1,2} .: 2.己知复数z=3+4i 则复数0=z+二的虚部为() 。: : B. A.0 5 C.$ D.2 : 3.某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50,4,55,45，b.已知本次研学 活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是 () A.51 B.52 C.53 D.54 : 4.已知4，b,c是空间中不重合的三条直线，则下列命题为真命题的是() 赵 A.若aIb,cb,则allc B.若a⊥b,c⊥b,则a⊥c C.若a⊥b,c⊥b,则alc D.若a与b异面，c与b异面，则a与c异面 5.已知函数f(x)=e,8(x)=ax2,若对任意的，x2∈(0，+m),<x2,∫化∫2大8化8飞2)恒 : 成立，则实数a的取值范围为( .. A.(-0,0] B. -00, e C.(-n,e] D.(0,1 : 6.己知三棱锥P-ABC的体积为9√3，∠BAC=90°，AB=AC=3V2,PB=PC=6.若该三棱锥的四个顶点 都在球O的球面上，则球O的表面积为() A.24元 B.48π C.96π D.108π 7.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2+a,=5,a+2a4=8,则S,=() : A.15 B.21 C.28 D.36 试题第1页（共4页） : 8.已知定义在R上的奇函数f(x)=ax3+√a+bx2-cx+d存在2个极值点，则() A.b=1 B.ac>0 C.d=√a D.a+b>0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,准线与x轴交于点P.过点P的直线1与抛物线交于A,B两 点，则下列说法正确的是() PAFA A· PBFB B.若OA.OB=5(O为坐标原点)，则抛物线的方程为y2=4x C.焦点P到直线I的距离的最大值为5D 2 D.∠PAF,∠PFA,∠PBF,∠PFB中至多有3个角为锐角 2 2 10.己知角8的终边过点Psin三兀，cos号π，下列选项正确的是() 3 3 A.sin=-2 B.cos0=- 5 C.tan=- 3 .已知函数寸)的定义感为0+的，对VC0+可都有w号， a,=√f(m),neN，则下列说法正确的是() A.数列{a}是等差数列 11、1 B.当n≥2时， 2vn C.当n≥2时， D.G+4++G6>2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,0),b=化，2)，且a1(2a-),则向量a与6的夹角为 13.2025年泡泡玛特旗下的P“LABUBU突然爆火.现有5个不同造型的“LABUBU'.把这5个“LABUBU' 装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有 种不同的装法 试题第2页（共4页） 14.如图，在平行四边形ABCD中，己知AB=√3，AD=2,BD=1,现将△ABD沿BD折起，得到三棱 锥A-BCD,且三棱锥A-BCD外接球的表面积为7π，则AC=_一： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足sm4-siC=b-C sinB a+c (1)证明：A是B,C的等差中项： 回若D为C的中点，AD-,a=而，求yC的因长积 16.(15分)己知函数f(x)=x(x-a)-x在x=0处有极大值. (1)求实数a的值： （(2)证明：f田<1. e 17.15分)已知箱圆C:言+花-a~b>)过点0，以C的长轴为直径的圆与y精上半轴交于， 且EF=1. (1)求C的方程： 2 (2)若过点F的直线I与C交于M,V两点，满足直线EM,EN的斜率之和为二，求△EMN的面积. 试题第3页（共4页） 18.(17分)在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问.对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调 查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提 .· 供真实情况.某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120 O 名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白 球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸 烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①.由于问 题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出 ® 符合实际情况的答案.设事件A=“被调查者吸烟”，B=“被调查者写下①”. (1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取 长 10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为X, 求X的分布列和数学期望； 帐 (2)用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计P(A)的值： (3)若0<P(A)<1,求P(AB)+P(AB)的最小值并求出此时P(A)的值. 河 19.（17分)如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为α，截面与圆锥的 游 轴线的夹角为B,当B=时，截线是圆：当u<P<时，截线是椭圆：当α=B时，截线是抛物线；当a>B 游 时，截线为双曲线.如图2所示，P为圆锥的顶点，O为底面圆心，AB为圆O的一条直径，且 PA=AB=4V3,Q为弧AB的中点，点H满足PH=2HQ,点E为线段PB的中点： O 习 ⑧ A- 性 图1 图2 (1)求直线PO与平面AHE所成角的大小： O (2)平面AHE与圆锥PO的截线记为曲线G,在平面AHE内，以AE所在的直线为x轴（设以AE的方向为x 轴正方向)，以线段AE的中垂线为y轴（设以AE逆时针旋转90°后的方向为y轴正方向），建立平面直角 坐标系 ①求出曲线G的标准方程； : ②设S,T为曲线G上两动点，若∠SHT的平分线与x轴垂直，求证：直线ST的斜率是定值，并求出这个 定值 试题第4页（共4页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷 必刷模拟卷09 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则复数的虚部为（    ） A．0 B． C． D．2 3．某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50，，55，45，.已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 4．已知是空间中不重合的三条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若与异面，与异面，则与异面 5．已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．15 B．21 C．28 D．36 8．已知定义在上的奇函数存在2个极值点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点．过点的直线与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．若（为坐标原点），则抛物线的方程为 C．焦点到直线的距离的最大值为 D．中至多有3个角为锐角 10．已知角的终边过点，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，对都有，记，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等差数列 B．当时， C．当时， D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，且，则向量与的夹角为______． 13．2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 14．如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)证明：是的等差中项； (2)若为的中点，，，求的周长和面积. 16．（15分）已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 17．（15分）已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 18．（17分）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”． (1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为，求的分布列和数学期望； (2)用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； (3)若，求的最小值并求出此时的值． 19．（17分）如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且为弧的中点，点满足，点为线段的中点； (1)求直线与平面所成角的大小； (2)平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴（设以的方向为轴正方向），以线段的中垂线为轴（设以逆时针旋转后的方向为轴正方向），建立平面直角坐标系. ①求出曲线的标准方程； ②设为曲线上两动点，若的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $精选各地好题新题 贴合考场实战难度 备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷 必刷模拟卷09 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则复数的虚部为（    ） A．0 B． C． D．2 3．某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50，，55，45，.已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 4．已知是空间中不重合的三条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若与异面，与异面，则与异面 5．已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．15 B．21 C．28 D．36 8．已知定义在上的奇函数存在2个极值点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点．过点的直线与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．若（为坐标原点），则抛物线的方程为 C．焦点到直线的距离的最大值为 D．中至多有3个角为锐角 10．已知角的终边过点，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，对都有，记，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等差数列 B．当时， C．当时， D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，且，则向量与的夹角为______． 13．2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 14．如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)证明：是的等差中项； (2)若为的中点，，，求的周长和面积. 16．（15分）已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 17．（15分）已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 18．（17分）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”． (1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为，求的分布列和数学期望； (2)用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； (3)若，求的最小值并求出此时的值． 19．（17分）如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且为弧的中点，点满足，点为线段的中点； (1)求直线与平面所成角的大小； (2)平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴（设以的方向为轴正方向），以线段的中垂线为轴（设以逆时针旋转后的方向为轴正方向），建立平面直角坐标系. ①求出曲线的标准方程； ②设为曲线上两动点，若的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $