精品解析：江苏镇江市2025-2026学年高一下学期6月期末测试数学样题

2025~2026学年第二学期期末样卷 高一数学 2026.6 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义，列出方程组，再结合选项筛选结果即可． 【详解】由复数是纯虚数， 则，解得，或， 所以结合选项得． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（　　） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对A，运用面面平行的性质即可判断；对B，运用线面垂直的性质即可判断；对C，运用线面平行的性质即可判断；对D，运用线面垂直的性质即可判断. 【详解】若，，，则或与异面，故A错误； 若，，则或与相交，故B错误； 若，，则或与相交或与异面，故C错误； 若，，则，又，则，故D正确． 故选：D. 4. 在 中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理即可求解. 【详解】由，有，所以. 5. 已知的内角 ，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，所以， 所以. 6. 在直角三角形中，，，点，将边三等分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，则，， 在中，， 在中，， 在中，， 所以， 所以. 7. 把一个上底半径，下底半径，高为的玻璃圆台融化后铸成一个玻璃球（不计损耗）则球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用圆台的体积公式及球的体积公式计算求解. 【详解】圆台体积公式得， 设球的半径为，再应用球的体积公式得，所以 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用两角差正弦公式计算判断A，C，再应用二倍角余弦公式计算求解判断B，D. 【详解】已知，且，     ，A，C选项错误； 又因为， 所以，B选项错误，D选项正确； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 与夹角为 C. D. 与共线的一个单位向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算可判断A；由即可判断B；根据模长公式计算即可判断C；由与共线的一个单位向量为即可判断D． 【详解】由题意得，， 则，故A错误； 可得，故B错误； 而，故C正确； 与共线的一个单位向量为，故D正确． 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. 存在正整数，使得为正实数 D. 为实数 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项：因为，所以，则，故不正确； 选项：因为，所以，，， 则，，即，故正确； 选项：因为，所以， 当时，， 当时，是正实数， 所以存在正整数，使得为正实数，故正确； 选项：因为，所以， 所以， ， 则是实数，故正确. 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是线段上动点，则（ ） A. 当点 为中点时，则 B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 线段长度最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，先证，结合平面，可得，故；对于B，由题可知点到平面的距离为，再求体积即可；对于C，可证平面平面，再由面面平行的性质可判断；对于D，由题可知，再求的最小值即可． 【详解】设的中点为，的中点为，如图， 对于A，当点 为中点时，易得四边形为平行四边形， ，又平面，平面， ，，故A正确； 对于B，由题易知平面，即平面， 所以点到平面的距离为，则，故B正确； 对于C，在正方体中，，， 平面，平面， 平面平面，又平面， 平面，故C正确； 对于D，根据题意，平面，平面， ，， 当线段取最小值时，即最小，则当时， 在正方体中，点到的距离为，则的最小值为， 线段最小值为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数的实部与虚部相等，且模为1.请写出一个满足条件的复数____________. 【答案】（答案不唯一，也符合要求） 【解析】 【详解】设复数，(其中)，则=1， 则， 取，则， 取，则， 故（答案不唯一，也符合要求）是满足条件的复数. 13. 求值：__________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可. 【详解】 ． 故答案为：． 14. 在直角梯形中，，，，，直线与直线相交于点.若（，），则____________，____________. 【答案】 ①. ## ②. 或 【解析】 【分析】分与进行讨论，若，以为坐标原点，建立适当平面直角坐标系，再表示出、、、，利用，，结合向量坐标运算求出、，从而得解；若，则可以为坐标原点，建立适当平面直角坐标系，再用同样的方法求解. 【详解】若，如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则、，设，则，由， 则，故（负值舍去），则、， 则、、、、， 故，， ， 又，则，， 由题意可得，， 则，解得， 则， ， 则； 若，如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则、、，则，由， 则，、、、、 故，， 又、，则， 由题意可得，， 则，解得， 则， ， 则； 综上可得：，或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，是夹角为的单位向量，，，（其中）. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积定义进行计算； （2）根据两向量垂直数量积为0列方程求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 因为，所以，所以， 即， 化简得，解得. 16. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）如果，，为中点.求证：平面平面. 【答案】（1）因为，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，而平面，所以平面， 同理，，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，而平面，所以平面， 由于和交于点，所以平面平面. （2）因为，为中点，所以， 同理，因为，所以， 在平面中，和交于点，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）根据中位线判断，，然后结合面面平行的判断定理即可判断； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，从而有平面，然后结合面面垂直的判断定理即可判断. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 17. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)换元转化已知角，通过二倍角运算得到倍角的三角函数值，再利用差角公式配凑求出； (2)建立目标角与已知角的关系，利用和角公式求出中间角，结合角度范围确定具体值后得到. 【小问1详解】 令，由得，，， ，， ，. 【小问2详解】 令，由得，，， ，， 又， 所以，. 18. 如图，城市位于海滨城市的南偏西的位置.现发现某台风中心位于城市南偏东，与城市距离处，同时在城市测得该台风中心位于北偏东处.台风中心正以的速度沿北偏西的方向移动. （1）求，两城市间距离； （2）台风侵袭的范围是半径为的圆形区域.问： ①城市，会不会都受到台风的侵袭？ ②如果某城市被台风侵袭，请说明几小时后会被侵袭，并求被台风侵袭的时间长. 【答案】（1） （2）①城市不会受到台风的侵袭，城市会受到台风的侵袭；②小时 【解析】 【分析】（1）根据题意判断中每个角的大小，然后结合正弦定理即可求解； （2）①分别求出城市，与台风路径的最短距离即可判断；②假设在小时后，城市到台风中心的距离等于，利用余弦定理得到二次方程，求解后得出时间差即可. 【小问1详解】 在中，根据题意确定角度：，，， 由正弦定理可得， 由于，，， 代入可得，解得，因此，两城市间距离为. 【小问2详解】 ①根据题意，台风中心的移动方向为北偏西，而在的北偏西，因此台风路径与的夹角为， 到台风路径的最短距离为，所以城市不会受到台风的侵袭； 在中，由余弦定理， 代入（1）中的数据，可得，解得， 根据题意，台风路径与的夹角为， 因此到台风路径的最短距离为，所以城市会受到台风的侵袭； ②设小时后台风到达点，则，，此时城市受到台风的侵袭， 在中，，应用余弦定理， 代入数值并化简得二次方程：，解得两个时间点：，， 因此，这样的点有两个，如图所示： 两者的时间差为小时，即城市被台风侵袭的时间长为小时. 19. 在中，，，点在边上，． （1）若，求的长； （2）若，将沿折起至的位置，如图： ①如果二面角的大小为，求二面角大小的正弦值； ②如果在中，，求此时与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出，再利用余弦定理求解； （2）①利用线面垂直定理找出二面角的平面角，利用几何法求出二面角的正弦值； ②利用已知条件结合余弦定理求出相关变量，利用等体积法结合几何法求解． 【小问1详解】 由正弦定理得， 由共线，则， 在中，由余弦定理： ， 故． 【小问2详解】 ①已知，则，折叠后， 又， 故平面，二面角的平面角为， 故， 在中，，，故， 在中，，，故， 过作于 ，由平面，得， 又， 故平面， 在中，， ， 故， 在平面中，过作于，连接， 平面，平面， 故， ， 故平面，又平面， 故，则为二面角的平面角， ， 又，解得， 在中，， 故二面角的正弦值为：； ②在中，过 作于 ，则， 由得，即， 则，故， 解得，故， 在中，由余弦定理， 故，， ， ， 设点 到平面的距离为，由得： ，解得， 设 与平面所成角为 ， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期末样卷 高一数学 2026.6 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. （ ） A. B. C. D. 3. 设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（　　） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 在 中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角 ，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 在直角三角形中，，，点，将边三等分，则（ ） A. B. C. D. 7. 把一个上底半径，下底半径，高为的玻璃圆台融化后铸成一个玻璃球（不计损耗）则球的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 与夹角为 C. D. 与共线的一个单位向量为 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. 存在正整数，使得为正实数 D. 为实数 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是线段上动点，则（ ） A. 当点 为中点时，则 B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 线段长度最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数的实部与虚部相等，且模为1.请写出一个满足条件的复数____________. 13. 求值：__________． 14. 在直角梯形中，，，，，直线与直线相交于点.若（，），则____________，____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，是夹角为的单位向量，，，（其中）. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）如果，，为中点.求证：平面平面. 17. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 18. 如图，城市位于海滨城市的南偏西的位置.现发现某台风中心位于城市南偏东，与城市距离处，同时在城市测得该台风中心位于北偏东处.台风中心正以的速度沿北偏西的方向移动. （1）求，两城市间距离； （2）台风侵袭的范围是半径为的圆形区域.问： ①城市，会不会都受到台风的侵袭？ ②如果某城市被台风侵袭，请说明几小时后会被侵袭，并求被台风侵袭的时间长. 19. 在中，，，点在边上，． （1）若，求的长； （2）若，将沿折起至的位置，如图： ①如果二面角的大小为，求二面角大小的正弦值； ②如果在中，，求此时与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $