湖北孝感市奥美高中2026届高三数学测试试题（17）

**基本信息** 以毕业典礼寄语、生物繁殖统计等真实情境为载体，融合集合、复数、统计、导数等知识，考查数学抽象、数据分析、逻辑推理等核心素养，适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合真子集、复数虚部、椭圆离心率等|第6题结合“21840”寄语设计概率极限问题，体现数学眼光| |多选题|3/18|函数极值与单调性、正态分布、解三角形|第11题综合等差数列与外接圆面积，考查数学思维| |填空题|3/15|二项式定理、直线位置关系概率、不等式最值|第13题将骰子投掷与直线平行概率结合，渗透数学语言| |解答题|5/77|统计相关系数、立体几何线面平行、导数极值|15题以生物繁殖量为背景构建回归模型，19题分层探究导数单调性与最值，呼应高考命题趋势|

湖北省孝感市奥美高中2026届高三数学测试试题（17） 2026 04 29 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若，则A的真子集个数为（ ） A. 3 B. 8 C. 7 D. 6 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 若数据1，0，5，8，5的第百分位数为5，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. “……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的极大值为，极小值为 B. 当时，它的最大值为，最小值为 C. 它的单调递减区间为 D. 它在点处的切线方程为 10. 设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（　　） A. B. C. D. 11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上. 12. 设，则______. 13. 将一颗质地均匀的骰子投掷两次；第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条直线：，：平行的概率为，相交的概率为，若点在圆 的内部，则实数m的取值范围是__________. 14. 实数满足，，则的最小值是__________. 四、解答题：本大题共5小题，其中15题13分，16—17题15分，18—19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，. 16. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求角和边长； （2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积； （3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值． 17. 如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角的正切值为 ，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知和为双曲线上两点. （1）求的离心率； （2）在上是否存在点，使得的面积为？若存在，求所有满足要求的点的坐标；若不存在，说明理由. 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省孝感市奥美高中2026届高三数学测试（17） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若，则A的真子集个数为（ ） A. 3 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【详解】因为集合，所以的真子集有共7个. 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【详解】由条件可知， 所以的虚部为1. 故选：C 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D. 当时，，所以，排除B. 故选：A. 4. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】已知， 则，解得， 在方向上的投影向量为：． 5. 若数据1，0，5，8，5的第百分位数为5，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】将5个数从小到大排序为： 0，1，5，5，8. 因为，要使第百分位数为5，进行如下讨论： 如果为整数，则需取数据中第个和第个的数的平均数，只可能，即. 如果为非整数，则需取数据中将整数部分加1所在位置的数， 所以得到或解得， 综上可得. 故选：C. 6. “……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【详解】 中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为 ，取到偶数的概率为 ，  的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性. 设 ，，有 ； 考虑递推关系： 代入 ，， ， 当时， ，为奇数的概率为 ，故 . 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 当时，， 当时，. 故选：A 7. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】设是椭圆的右焦点，连接， 由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为，则， 在中，由余弦定理可得， 即， 解得，所以椭圆的离心率为.   故选：A. 8. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【详解】由解得，所以的定义域是. 由两边平方并化简得， 即，所以表示以为圆心，半径为的半圆. 由得， 的零点，也即与半圆的交点的横坐标， 与半圆的图象都关于直线对称， 画出与半圆的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称， 所以的零点和为. 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的极大值为，极小值为 B. 当时，它的最大值为，最小值为 C. 它的单调递减区间为 D. 它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 10. 设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【详解】依据二项分布相关公式，． 依据正态分布定义，． 故而由期望可加性，A选项正确． 由随机变量数学期望和方差的相关性质，， ，因此B选项正确，C选项错误． 由正态分布的相关性质，有， 而，所以，D选项正确． 故选：ABD 11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 【答案】ABD 【详解】由题意得，， 则由正弦定理得， 因为，所以，则，则，故A正确； 因为，所以， 则， 因为，所以，故B正确； 由，即，得， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，得， 则， 因为，所以， 则，故， 故周长取值范围为，故C错误； 设的外接圆半径为，，则，则， 故和面积之差为 ， 因为，所以，则， 故当时，；当时，当时， 故和面积之差的取值范围为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上. 12. 设，则______. 【答案】 【详解】由，则展开式通项为且， 当，则，故. 故答案为： 13. 将一颗质地均匀的骰子投掷两次；第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条直线：，：平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【详解】若，则，即，且， 则满足条件的为，所以； 若两直线重合，则，则，所以不成立， 所以两直线相交的概率, 则，得. 故答案为： 14. 实数满足，，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】由， 因为，可得， 所以， 又由，可得，所以在上单调递增， 又因为，则， 则， 表示函数图象上的点到直线上一点的距离， 则最小值为图象与直线平行的切线到直线的距离， 设切点为，其中，由，可得， 令，解得，可得，即切点为， 可得切点为直线距离为， 即的最小值是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，其中15题13分，16—17题15分，18—19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，. 【答案】（1），线性相关性很强 （2）， 【小问1详解】 由已知得，，， ，， ， 故， 所以与的线性相关性很强. 【小问2详解】 因为，，，， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以5月份该生物繁殖量的残差为. 16. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求角和边长； （2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积； （3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值． 【答案】（1）；；（2）；（3），． 【详解】（1）因为，∴ 在中，由余弦定理得，∴ （2）由角分线性质知：，所以 过做垂直于点， 则 所以 （3）由题意可知： ， ∴，. 17. 如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【详解】（1）是正三角形，为的中点， ． 又是直三棱柱， 平面ABC， ． 又， 平面． （2）连接，由（1）知平面， ∴直线与平面所成的角为， ． 是边长为2的正三角形，则， ． 在直角中，，， ． 建立如图所示坐标系，则，，，，． ，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为． ，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为． 设平面与平面夹角为，则 ． 平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知和为双曲线上两点. （1）求的离心率； （2）在上是否存在点，使得的面积为？若存在，求所有满足要求的点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）2 （2）存在，，，，. 【小问1详解】 解：由点和为双曲线上两点， 可得，解得，此时双曲线的方程为， 所以双曲线的离心率. 【小问2详解】 解：方法1：假设存在满足条件的点，且设为直线， 当垂直于轴时，，此时，满足题意； 当不垂直于轴时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且，可得且， 设，可得，所以， 则， 又因为到的距离为，所以的面积为， 令，可得或， 解得或或， 因为，故当时，， 又因为，可得，故； 同理可得，当时，；当时，， 综上，所有满足要求的点的坐标为，，，. 方法2：因为点和，可得， 且直线的方程为， 假设存在满足条件的点，设点到直线的距离为， 若的面积为3，则，解得， 设过且平行于直线的直线为，则， 解得或， 当时，可得，联立方程组，解得，， 代入的方程，可得或； 当时，可得，联立方程组，解得，， 代入的方程，可得或， 综上可得，所有满足要求的点的坐标为，，，. 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 【答案】（1）有极小值，无极大值； （2）答案见详解； （3） 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. 【小问2详解】 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 【小问3详解】 令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $