期中典型卷2025-2026学年下学期北京初中数学八年级

2025-2026学年下学期北京初中数学八年级期中典型卷1 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）（2024秋•开远市校级期中）当x＜0时，图中表示函数y的图象的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列哪个点在反比例函数y的图象上（　　） A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4） D．P4（2，） 3．（3分）（2025秋•秦都区校级期中）下列说法不正确的是（　　） A．点（1，2）在第一象限 B．点（﹣3，5）到y轴的距离为3 C．已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴 D．若xy＝0，则点（x，y）一定在x轴上 4．（3分）（2023春•淮安月考）如果0°＜∠A＜45°，那么sinA与cosA的差（　　） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 5．（3分）（2024•德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）米． A．20 B．15 C．12 D．10+5 6．（3分）（2025春•靖江市校级期末）定义：若x，y满足（m为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．下列说法正确的是（　　） ①P（2，2）是“和谐点”； ②直线 y＝﹣2x+5 上有且只有一个“和谐点”； ③当k＞2时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”； A．① B．①② C．①③ D．②③ 7．（3分）（2022秋•连山区月考）如图，点B，P在函数y（x＞0）的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，下列说法不正确的是（　　） A．长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等 B．点B的坐标为（4，4） C．的图象关于过点O与B的直线对称 D．长方形FOEP和正方形COAB面积相等 8．（3分）（2025•越秀区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A（5，4），点B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交BC于点D，若点D为线段BC的中点，则平行四边形OABC的面积为（　　） A．28 B． C． D．30 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（3分）（2024•昌平区校级开学）在反比例函数的图象上有两点（1，y1），（2，y2），则y1　 　 y2．（填“＞”或“＜”） 10．（3分）Rt△ABC的两条边长分别是6和8，则其最小角的正弦值是 　 　 ． 11．（3分）（2024•邗江区二模）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，则tan∠AOB的值为 　 　 ． 12．（3分）（2025•雁塔区校级一模）如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图象上，且OA⊥OB，则sinB＝ 　 　 ． 13．（3分）（2024秋•武侯区校级月考）如图，直线y＝ax+b（a＞0）与双曲线交于点A（1，3），则当x＞0时，不等式的解集是 　 　 ． 14．（3分）（2025•深圳模拟）如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN上的C、D两点反射到天花板上形成光斑A、B．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．由光的反射原理可知，∠PCM＝∠ACN＝α，∠PDM＝∠BDN＝β．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当α＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离AB为 　 　 米． 15．（3分）（2024•大连模拟）如图，直线y＝kx+b与函数的图象相交于点P（1，2），则不等式的解集为 　 　 ． 16．（3分）（2024•南山区校级模拟）如图，点D是Rt△ABC的斜边AC上一点，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BD为斜边作等腰Rt△BDE，使E，C在BD同侧，连接CE，则CE的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共11小题，满分72分） 17．（6分）（2024•南昌一模）（1）计算：； （2）已知a，b为实数，a+3b＝2，b≠1，求的值． 18．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值． 19．（6分）（2024•天元区校级一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A． （1）求点A的坐标． （2）若线段OA的垂直平分线BC交x轴于点D．求线段OD的长． 20．（6分）（2024•东营区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB，∠BAD＝α． （1）求AD的长； （2）求sinα的值． 21．（6分）（2023•大兴区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形； （2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝5，求EG的长． 22．（6分）（2023•平遥县一模）阅读与思考． 请仔细阅读并完成相应的任务． 利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c过点B作BH⊥AC于点H，则，即AH＝c•cosA，于是CH＝b﹣c•cosA．在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2，在Rt△BHC中，BH2＝BC2﹣CH2，∴c2﹣c2cos2A＝a2﹣（b﹣c•cosA）2，整理得a2＝b2+c2﹣2bc•cosA． 任务： （1）b2＝　 　 ，c2＝　 　 ； （2）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别是a，b，c，，b＝2，，求c． 23．（6分）（2023•鄞州区校级自主招生）阅读材料：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当a＝b时取“＝”，特别地：2（当且仅当a＝1时取“＝”）．因此，当a＞0时，a有最小值2，此时a＝1．简单应用： （1）函数的最大值为 　 　 ． （2）求函数，当x＝　 　 时，最小值为 　 　 ． 解决问题： （3）已知P（﹣2，3）是反比例函数图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值． 24．（6分）（2024秋•息县期末）如图，直线y1＝﹣x+4与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（1，m），经过点A直线y2＝x+b与x轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标； （2）直接写出不等式的解集． 25．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y＝x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上，如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）P为线段AB上一点（不与A、B重合），过点P作x轴的垂线PC与二次函数图象交于点Q，设线段PQ长为y，点P的横坐标为x．求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围． 26．（8分）（2024•船营区模拟）【特例感知】 （1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边AC、BC在直线l的两侧，过A作AD⊥l于点D，过B作BE⊥l于点E，求证：AD＝CE． 【应用拓展】 （2）当等腰直角△ACB的边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°的得到线段BE，连接AE，AE与射线BC交于点F． ①如图2，求证：AF＝EF； ②当BC＝3CF时，请直接写出AD：AC的值． 27．（8分）（2024春•山亭区校级月考）解下列不等式，并将他们的解集在数轴上表示出来． （1）2x﹣（9x+4）＜3； （2）； （3）． 2025-2026学年下学期北京初中数学八年级期中典型卷1 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D B B A B D 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）（2024秋•开远市校级期中）当x＜0时，图中表示函数y的图象的是（　　） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的图象．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；几何直观；推理能力． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象性质及自变量的取值范围可知． 【解答】解：函数y中的k＝1，故其图象在一、三象限，当x＜0时，其图象在第三象限． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数y的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 2．（3分）下列哪个点在反比例函数y的图象上（　　） A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4） D．P4（2，） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据y得k＝xy＝4，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于4，就在函数图象上． 【解答】解：A、1×（﹣4）＝﹣4≠4，所以点P1（1，﹣4）不在函数图象上，不符合题意； B、4×（﹣1）＝﹣4≠4，所以点P2（4，﹣1）不在函数图象上，不符合题意； C、2×4＝8≠4，所以点P3（2，4）不在函数图象上，不符合题意； D、24，所以点P4（2，）在函数图象上，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的基本性质是解题的关键． 3．（3分）（2025秋•秦都区校级期中）下列说法不正确的是（　　） A．点（1，2）在第一象限 B．点（﹣3，5）到y轴的距离为3 C．已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴 D．若xy＝0，则点（x，y）一定在x轴上 【考点】坐标与图形性质．版权所有 【专题】平面直角坐标系． 【答案】D 【分析】通过逐一分析各选项，判断其正确性即可． 【解答】解：A、点（1，2）的横坐标1＞0，纵坐标2＞0，则点（1，2）在第一象限，正确，不符合题意； B、点（﹣3，5）到y轴的距离|﹣3|＝3，正确，不符合题意； C、点M（2，3）和点N（﹣2，3）的纵坐标均为3， ∴MN∥x轴，正确，不符合题意； D、由xy＝0，得x＝0或y＝0，点可能在x轴上（y＝0）或y轴上（x＝0）或原点（x＝0，y＝0）， ∴不一定在x轴上，错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线条件等基础知识． 4．（3分）（2023春•淮安月考）如果0°＜∠A＜45°，那么sinA与cosA的差（　　） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【考点】锐角三角函数的增减性．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】由0°＜∠A＜45°，可得∠A＜90°﹣∠A，进而得到sinA＜sin（90°﹣∠A），再根据互余两锐角三角函数的关系进行解答即可． 【解答】解：∵0°＜∠A＜45°， ∴45°＜（90°﹣∠A）＜90°， ∴∠A＜90°﹣∠A， ∴sinA＜sin（90°﹣∠A）， 即sinA＜cosA， ∴sinA﹣cosA＜0， 故选：B． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握当∠A＜90°﹣∠A时，sinA＜sin（90°﹣∠A）以及sinA＝cos（90°﹣A）是正确解答的关键． 5．（3分）（2024•德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）米． A．20 B．15 C．12 D．10+5 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】B 【分析】设过点A的水平线于CD交于点E，在Rt△BCD中，用CD表示BD，在Rt△ACE中，用CD表示AE，再利用AE＝BD列方程即可求出CD． 【解答】解：设过点A的水平线于CD交于点E，如图， 由题意，知：四边形ABDE是矩形DE＝AB＝10米，AE＝BD， 在Rt△BCD中， BDCD， 在Rt△ACE中， AE（CD﹣DE（CD﹣10）， ∴（CD﹣10）CD， 解得CD＝15（米）， 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 6．（3分）（2025春•靖江市校级期末）定义：若x，y满足（m为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．下列说法正确的是（　　） ①P（2，2）是“和谐点”； ②直线 y＝﹣2x+5 上有且只有一个“和谐点”； ③当k＞2时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”； A．① B．①② C．①③ D．②③ 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】依据题意，由“和谐点的定义”以及联立方程组进行求解即可． 【解答】解：①由题意得，， ∴m＝﹣2． ∴，故①成立． ②由题意可得，， ∴m＝x2+6x﹣15， ∴． ∴将m＝x2+6x﹣15代入上式， ∴3x2﹣29x+40＝0，． ∴x＝8 或，故②错误． ③由题意，∵反比例函数最多有两个和谐点， ∴联立反比例函数与和谐点定义，则x4+3x3﹣3kx﹣k2＝0 ∴（x2﹣k）（x2+3x+k）＝0， ∴x2﹣k＝0或x2+3x+k＝0， ∵k＞2， ∴解x2﹣k＝0得x， 解x2﹣3x+k＝0， ∵Δ＝9﹣4k， ∴当k＝2.1时，Δ＝9﹣4k＞0， ∴x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴该方程可能有4个实根， 故③错误． 综上，正确的有①． 故选：A． 【点评】本题主要考查比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键． 7．（3分）（2022秋•连山区月考）如图，点B，P在函数y（x＞0）的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，下列说法不正确的是（　　） A．长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等 B．点B的坐标为（4，4） C．的图象关于过点O与B的直线对称 D．长方形FOEP和正方形COAB面积相等 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象的性质即可求解． 【解答】解：A、因为点B、点P为反比例函数上的点，所以BC×AB＝PF×PE＝4，则四边形COAB和四边形FOEP面积相等，所以长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等．所以A选项不符合题意； B、点B坐标对应x、y值相乘的积为4，所以点B的坐标为（2，2），所以B选项符合题意； C、因为四边形COAB为正方形，所以OB为正方形对角线，也是反比例函数的对称轴．所以C选项不符合题意； D、因为点B、点P为反比例函数上的点，所以BC×AB＝PF×PE＝4，则四边形COAB和四边形FOEP面积相等．所以D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义． 8．（3分）（2025•越秀区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A（5，4），点B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交BC于点D，若点D为线段BC的中点，则平行四边形OABC的面积为（　　） A．28 B． C． D．30 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】设C（0，n），由题意可知B（5，n+4），进一步求得D（，n+2），由点A、D在反比例函数的图象上，得到k＝5×4（n+2），解得n＝6，利用平行四边形的面积公式求得即可． 【解答】解：设C（0，n）， ∵平行四边形OABC的顶点A（5，4），点B在第一象限内，顶点C在y轴上， ∴B（5，n+4）， ∵点D为线段BC的中点， ∴D（，n+2）， ∵点A、D在反比例函数的图象上， ∴k＝5×4（n+2）， 解得n＝6， ∴OC＝6， ∴平行四边形OABC的面积为：6×5＝30． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，正确表示点的坐标是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（3分）（2024•昌平区校级开学）在反比例函数的图象上有两点（1，y1），（2，y2），则y1　＞　 y2．（填“＞”或“＜”） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】＞． 【分析】根据反比例函数的图象性质：当k＞0时，在第一象限内，y随x的增大而减小，根据0＜1＜2，可判断y1与y2的大小． 【解答】解：∵反比例函数y，k＝1＞0， ∴在第一象限，y随x的增大而减小， ∵0＜1＜2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质，对于反比例函数y（k≠0），当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大． 10．（3分）Rt△ABC的两条边长分别是6和8，则其最小角的正弦值是 　或　 ． 【考点】解直角三角形．版权所有 【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】或． 【分析】分两种情况讨论：当6和8是直角边长时，利用勾股求出斜边长是10，则最小角的正弦值；当6是直角边长，8是斜边长时，利用勾股求出另一条直角边长是，则最小角的正弦值． 【解答】解：当6和8是直角边长时，斜边长是10， 所以最小角的正弦值是； 当6是直角边长，8是斜边长时， 另一条直角边长是，即最短边长是， 所以最小角的正弦值是． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查勾股定理、解直角三角形，解题关键是熟知：在直角三角形中，①三边之间的关系：a2+b2＝c2；②边角之间的关系：sinA，cosA，tanA（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）． 11．（3分）（2024•邗江区二模）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，则tan∠AOB的值为 　3　 ． 【考点】解直角三角形．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】3． 【分析】过点A作BC的平行线AE，根据勾股定理求出AD，发现AD＝ED，再过点A作ED边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：过点A作BC的平行线AE，交DC延长线于点E，过点A作ED的垂线，垂足为M， 令小正方形的边长为1， 由勾股定理得， AD， ∴DE＝AD， ∴∠EAD＝∠AED， 又∵AE∥BC， ∴∠AOB＝∠EAD， ∴∠AOB＝∠AED． 在Rt△AEM中， tan∠AED， ∴tan∠AOB＝tan∠AED＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查解直角三角形，通过平行线的性质及等边对等角将∠AOB进行转化是解题的关键． 12．（3分）（2025•雁塔区校级一模）如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图象上，且OA⊥OB，则sinB＝ 　　 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形；反比例函数的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】作AC⊥y轴，垂足为C，BD⊥y轴，垂足为D，证明△ACO∽△ODB得到（）2，即tanB，求得∠B＝30°，从而求得sinB． 【解答】解：作AC⊥y轴，垂足为C，BD⊥y轴，垂足为D， ∵AO⊥BO， ∴∠AOC＝∠OBD＝90°﹣∠BOD， ∵∠ACO＝∠ODB＝90°， ∴△ACO∽△ODB， ∴（）2， ∵点A、B分别在反比例函数，的图象上， ∴S△ACO，S△ODB， ∴（）2， ∴， ∴tanB， ∴∠B＝30°， ∴sinB＝ ． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键． 13．（3分）（2024秋•武侯区校级月考）如图，直线y＝ax+b（a＞0）与双曲线交于点A（1，3），则当x＞0时，不等式的解集是 　0＜x＜1　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观． 【答案】0＜x＜1． 【分析】借助图象求出不等式的解集即可． 【解答】解：直线y＝ax+b（a＞0）与双曲线交于点A（1，3）， 观察图象，不等式的解集是0＜x＜1， 故答案为：0＜x＜1． 【点评】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是能够根据图象交点左右两侧y值大小关系求解． 14．（3分）（2025•深圳模拟）如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN上的C、D两点反射到天花板上形成光斑A、B．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．由光的反射原理可知，∠PCM＝∠ACN＝α，∠PDM＝∠BDN＝β．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当α＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离AB为 　（66）　 米． 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】（66）． 【分析】过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，根据题意可得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，从而可得∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，然后在Rt△PCE中，利用锐角三角函数的定义求出PE的长，从而求出AP的长，再在Rt△PDF中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而求出BP的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F， 由题意得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN， ∴∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°， 在Rt△PCE中，PE3（m）， ∴AP＝2PE＝6（m）， 在Rt△PDF中，PF3（m）， ∴BP＝2PF＝6（m）， ∴AB＝BP﹣AP＝（66）m， ∴光斑移动的距离AB为（66）m， 故答案为：（66）． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．（3分）（2024•大连模拟）如图，直线y＝kx+b与函数的图象相交于点P（1，2），则不等式的解集为 　0＜x＜1　 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】0＜x＜1 【分析】根据函数图象直接写出不等式的解集即可． 【解答】解：由图象可知，不等式的解集为：0＜x＜1． 故答案为：0＜x＜1． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 16．（3分）（2024•南山区校级模拟）如图，点D是Rt△ABC的斜边AC上一点，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BD为斜边作等腰Rt△BDE，使E，C在BD同侧，连接CE，则CE的最小值为 　2　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；垂线段最短；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力；应用意识． 【答案】2． 【分析】如图，过点C作CH⊥BC，使CH＝CB，连接BH，HD，利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到CE与DH的关系，则当CE取最小值时，DH最小；所以当HD⊥AC，由于垂线段最短，此时DH最小，接着利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得HD即可得出结论． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥BC，使CH＝CB＝4，连接BH，HD， 则△HCB为等腰直角三角形， ∴∠HBC＝45°． ∵△BDE为等腰直角三角形， ∴∠DBE＝∠BDE＝45°，BE＝DE， ∴∠DBE＝∠HBC， ∴∠DBH＝∠EBC． ∵， ∴△BDH∽△BEC， ∴CEDH， ∴当DH取最小值时，CE最小． ∴当HD⊥AC时，此时DH最小． ∵CH⊥BC，AB⊥BC， ∴CH∥AB， ∴∠HCD＝∠A＝30°， ∴HDHC＝2， ∴CEDH＝2， ∴CE的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键． 三．解答题（共11小题，满分72分） 17．（6分）（2024•南昌一模）（1）计算：； （2）已知a，b为实数，a+3b＝2，b≠1，求的值． 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）；（2）2． 【分析】（1）首先计算开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可； （2）根据a+3b＝2，可得a＝2﹣3b，把a＝2﹣3b代入，求出算式的值即可． 【解答】解：（1） ＝22 ＝2 ． （2）∵a+3b＝2， ∴a＝2﹣3b， ∴ ＝2． 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 18．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值． 【考点】互余两角三角函数的关系；同角三角函数的关系．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】；；；；． 【分析】根据sin2A+cos2A＝1可得cosA，根据∠A+∠B＝90°得sinB＝cosA，cosB＝sinA，再根据tanA，tanB即可得出答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝4/5， ∵sin2A+cos2A＝1， ∴cosA， ∵∠A+∠B＝90°， ∴sinB＝cosA，cosB＝sinA， ∴tanA，tanB． 【点评】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，同角三角函数的关系，熟练掌握 互余两角三角函数的关系，同角三角函数的关系是解决问题的关键． 19．（6分）（2024•天元区校级一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A． （1）求点A的坐标． （2）若线段OA的垂直平分线BC交x轴于点D．求线段OD的长． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）A（3，4）；（2）． 【分析】（1）解两个函数联立组成的方程组即可； （2）由题意可得：CD垂直平分OA，连接AD，如图，根据线段垂直平分线的性质可得AD＝OD，设D（m，0），根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案． 【解答】解：（1）解方程组， 得， ∵x＞0， ∴A（3，4）； （2）由题意可得：CD垂直平分OA， 连接AD，如图，则AD＝OD， 设D（m，0）， 则m2＝（m﹣3）2+42， 解得， ∴． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 20．（6分）（2024•东营区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB，∠BAD＝α． （1）求AD的长； （2）求sinα的值． 【考点】解直角三角形．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力． 【答案】（1）3； （2）． 【分析】（1）根据tanB，可设AC＝3x，得BC＝4x，再由勾股定理列出x的方程求出x，最后放在Rt△ACD中由勾股定理求AD； （2）要求sinα的值，想到把α放在直角三角形中，所以过点D作DE⊥AB，垂足为点E，然后放在直角三角形BDE中，利用tanB的值求出BE与DE，进而求得结果． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB，AB＝5， ∴可设AC＝3x，BC＝4x， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴（3x）2+（4x）2＝52， 解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1， ∴AC＝3，BC＝4， ∵BD＝1， ∴CD＝3， ∴AD3； （2）过点D作DE⊥AB于点E， 在Rt△BED中，tanB， ∴可设DE＝3y，则BE＝4y， ∵BE2+DE2＝BD2， ∴（3y）2+（4y）2＝12， 解得，y（舍），或y， ∴， ∴sinα． 【点评】本题考查了是解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键． 21．（6分）（2023•大兴区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形； （2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝5，求EG的长． 【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权所有 【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）证△FCE≌△ACD（ASA），得EF＝AD，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得DF＝AE＝5，再由等腰三角形的性质得CD＝BD＝2，则DE＝2CD＝4，进而由勾股定理得EF＝3，然后由面积法求出EG的长即可． 【解答】（1）证明：∵EF∥AD， ∴∠FEC＝∠ADC， 又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD， ∴△FCE≌△ACD（ASA）， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形； （2）解：如图， 由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形， ∴DF＝AE＝5， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝BD＝2， ∴CE＝CD＝2， ∴DE＝2CD＝4， ∵EF∥AD， ∴EF⊥BC， ∴∠DEF＝90°， ∴EF3， ∵EG⊥DF， ∴S△DEFDF•EGDE•EF， ∴EG， 即EG的长为． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22．（6分）（2023•平遥县一模）阅读与思考． 请仔细阅读并完成相应的任务． 利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c过点B作BH⊥AC于点H，则，即AH＝c•cosA，于是CH＝b﹣c•cosA．在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2，在Rt△BHC中，BH2＝BC2﹣CH2，∴c2﹣c2cos2A＝a2﹣（b﹣c•cosA）2，整理得a2＝b2+c2﹣2bc•cosA． 任务： （1）b2＝a2+c2﹣2accosB ，c2＝a2+b2﹣2abcosC ； （2）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别是a，b，c，，b＝2，，求c． 【考点】解直角三角形；勾股定理．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；推理能力． 【答案】（1）a2+c2﹣2accosB；a2+b2﹣2abcosC； （2）． 【分析】（1）直接根据a2＝b2+c2﹣2bc•cosA进行类比即可求解； （2）根据c2＝a2+b2﹣2abcosC代入数值可得c2＝5，继而求解即可． 【解答】解：（1）根据a2＝b2+c2﹣2bc•cosA进行类比，可得b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC． 故答案为：a2+c2﹣2accosB，a2+b2﹣2abcosC； （2）∵c2＝a2+b2﹣2abcosC，，b＝2，， ∴， 即c2＝5， 解得，（舍去）， ∴． 【点评】本题考查了解直角三角形，读懂题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 23．（6分）（2023•鄞州区校级自主招生）阅读材料：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当a＝b时取“＝”，特别地：2（当且仅当a＝1时取“＝”）．因此，当a＞0时，a有最小值2，此时a＝1．简单应用： （1）函数的最大值为 　﹣4　 ． （2）求函数，当x＝　　 时，最小值为 　8　 ． 解决问题： （3）已知P（﹣2，3）是反比例函数图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】（1）﹣4； （2），8； （3）当a＝4时，四边形ABCD的面积最小值为48． 【分析】（1）求得x6，进而求得结果； （2）变形y＝4x4（x﹣1）4，进一步求得结果； （3）设点A（a，0），B（0，b），求出AB的解析式和反比例函数的解析式，进而联立得出一元二次方程，由根的判别式为0，求得a，b的关系，进而表示出四边形ABCD的面积，进一步得出结果． 【解答】解：（1）∵x26， ∴y最大＝2﹣6＝﹣4， 故答案为：﹣4； （2）y＝4x4（x﹣1）4≥24＝8， 当4（x﹣1）时， 即：当x时，y最小＝8， 故答案为：，8； （3）把x＝﹣2，y＝3代入得， 3， ∴k＝﹣6， ∴y， 设点A（a，0），B（0，b），（a＞0，b＜0）， ∴直线AB的解析式为：yx+b， 由x+b得， bx2﹣abx﹣6a＝0， ∵直线AB与双曲线只有一个公共点， ∴Δ＝（ab）2+24ab＝0， ∴b， 由yx+6得：D（0，6），C（﹣4，0）， ∴AC＝a+4，BD＝6﹣b＝6， ∴S四边形ABCDAC•BD3（a）+24≥3×224＝48， ∴当a， 即当a＝4时，四边形ABCD的面积最小值为48． 【点评】本题反比例函数的综合题，考查了求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式等知识，解决问题的关键是设点的坐标，转化为一元二方程的有关问题． 24．（6分）（2024秋•息县期末）如图，直线y1＝﹣x+4与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（1，m），经过点A直线y2＝x+b与x轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标； （2）直接写出不等式的解集． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）；C（﹣2，0）；（2）x＜0或1＜x＜3． 【分析】（1）依据题意，把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，从而m＝﹣1+4＝3，可得A（1，3），进而可得反比例函数的表达式为，又直线y2＝x+b经过点A，从而求出b＝2，可得直线为y2＝x+2，最后令y2＝0，进而可以判断得解； （2）依据题意得，不等式的解集是一次函数y＝﹣x+4的图象在反比例函数y的上方对应的自变量的取值范围，然后联列方程组，可得B（3，1），再结合图象进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，把A（1，m）代入y1＝﹣x+4， ∴m＝﹣1+4＝3， ∴A（1，3）． ∵点A在双曲线上， ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数的表达式为． ∵直线y2＝x+b经过点A， ∴b＝2， ∴直线为y2＝x+2． 令y2＝0， ∴x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）． （2）由题意得，不等式的解集是一次函数y＝﹣x+4的图象在反比例函数y的上方对应的自变量的取值范围． ∵联列方程组， ∴或． 又∵A（1，3）， ∴B（3，1）． ∴结合图象可得，不等式的解集是x＜0或1＜x＜3． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 25．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y＝x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上，如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）P为线段AB上一点（不与A、B重合），过点P作x轴的垂线PC与二次函数图象交于点Q，设线段PQ长为y，点P的横坐标为x．求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（1）y（x﹣2）2； （2）y3x，0＜x＜6． 【分析】（1）先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后根据M点的坐标，用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，将A点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式． （2）PQ的长，实际是直线AB的函数值与抛物线的函数值的差．据此可得出y与x之间的函数关系式． 【解答】解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2， ∵直线y＝x+2与该二次函数的图象交于点A，点A在y轴上， ∴A（0，2）， ∴2＝a（0﹣2）2，解得a， 二次函数的解析式为y（x﹣2）2； （2）设P点坐标为：P（x，x+2），则Q点坐标为（x，（x﹣2）2） 依题意得，y＝（x+2）（x﹣2）23x， 由， 求得点B的坐标为（6，8）， ∴0＜x＜6． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 26．（8分）（2024•船营区模拟）【特例感知】 （1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边AC、BC在直线l的两侧，过A作AD⊥l于点D，过B作BE⊥l于点E，求证：AD＝CE． 【应用拓展】 （2）当等腰直角△ACB的边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°的得到线段BE，连接AE，AE与射线BC交于点F． ①如图2，求证：AF＝EF； ②当BC＝3CF时，请直接写出AD：AC的值． 【考点】几何变换综合题．版权所有 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ADC＝∠BEC＝90°，求得∠CBE＝∠ACD，根据全等三角形的性质得到； （2）①如图2，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，则∠EGF＝∠DCB＝90°，由（1）可得△DBC≌BEG，EG＝BC＝AC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； ②如图2，当点D在CA的延长线上时，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，设CF＝a，则AC＝BC＝3a，由①知，△ACF≌△EGF，得到FG＝CF＝a，求得BG＝5a，根据全等三角形的性质得到CD＝BG＝5a，求得AD：AC；当点D在线段AC上时，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，同理AD：AC． 【解答】（1）证明：∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BEC+∠ACD＝90°， ∠CBE+∠BEC＝90°， ∴∠CBE＝∠ACD， ∵AC＝BC， ∴△BCE≌△CAD（AAS） ∴AD＝CE； （2）①证明：如图2，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，则∠EGF＝∠DCB＝90°， 由（1）可得△DBC≌BEG，EG＝BC＝AC， ∵EG⊥BF，∠ACB＝90°， ∴∠G＝∠ACF＝90°， 又∵∠AFC＝∠EFG，AC＝EG， ∴△ACF≌△EGF（AAS）， ∴AF＝CF； ②解：如图2，当点D在CA的延长线上时， 过E作EG⊥BF交BF的延长线于G， ∵BC＝3CF， ∴设CF＝a，则AC＝BC＝3a， 由①知，△ACF≌△EGF， ∴FG＝CF＝a， ∴BG＝5a， 由（1）可得△DBC≌BEG， ∴CD＝BG＝5a， ∴AD＝2a， ∴AD：AC； 当点D在线段AC上时， 过E作EG⊥BF交BF的延长线于G， ∵BC＝3CF， ∴设CF＝a，则AC＝BC＝3a， ∴BF＝2a， 由①知，△ACF≌△EGF， ∴FG＝CF＝a， ∴BG＝a， 由（1）可得△DBC≌BEG， ∴CD＝BG＝a， ∴AD＝2a， ∴AD：AC； 综上所述，AD：AC的值为． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 27．（8分）（2024春•山亭区校级月考）解下列不等式，并将他们的解集在数轴上表示出来． （1）2x﹣（9x+4）＜3； （2）； （3）． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）x＞﹣1，数轴见详解； （2）x＞﹣2，数轴见详解； （3），数轴见详解． 【分析】（1）先去括号，再把含有x的项移到不等号左边，常数项移到右边，利用不等式的性质进行解答即可； （2）先去分母，然后再去括号，再把含有 x 的项移到不等号左边，常数项移到右边，利用不等式的性质进行解答即可； （3）先去分母，然后再去括号，再把含有x的项移到不等号左边，常数项移到右边，利用不等式的性质进行解答即可． 【解答】解：（1）2x﹣（9x+4）＜3， 2x﹣9x﹣4＜3， ﹣7x＜7， x＞﹣1， 解集在数轴上表示为： ； （2）， 4（1﹣x）＜12﹣3（x+2）， 4﹣4x＜12﹣3x﹣6， ﹣x＜12﹣6﹣4 x＞﹣2 解集在数轴上表示为： ； （3）， 2（x﹣3）﹣（4x﹣1）≤4， 2x﹣6﹣4x+1≤4， ﹣2x≤9， ， 解集在数轴上表示为： ． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤和不等式的性质． 考点卡片 1．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 2．在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 3．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 4．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 5．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 6．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 7．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 8．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 9．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 10．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 11．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 12．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 13．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点． 14．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 15．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 16．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 17．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 18．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 19．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 20．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 21．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 22．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 23．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 24．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 25．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1． 26．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 27．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 28．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 29．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 30．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 31．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 32．几何变换综合题 这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大． 33．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 34．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 35．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA或sinA＝tanA•cosA． 36．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 37．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°； cos30°；tan30°； sin45°；cos45°；tan45°＝1； sin60°；cos60°； tan60°； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 38．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 39．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 40．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/25 18:19:26；用户：组卷3；邮箱：zyb003@xyh.com；学号：41418966 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $