精品解析：北京市育英学校（五四制）2025-2026学年 七年级第二学期期中练习 数学

北京市育英学校四年制初二第二学期期中练习数学 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，对选项逐个判断即可． 【详解】解：，A选项不能构成三角形，不符合题意； ，B选项不能构成三角形，不符合题意； ，C选项不能构成三角形，不符合题意； ，D选项能构成三角形，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键熟练掌握三角形三边关系． 3. 在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（ ） A. 点A与点B关于轴对称 B. 点A与点B关于轴对称 C. 点A与点B关于直线对称 D. 点A与点B关于直线对称 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴点与点关于轴对称． 4. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可． 【详解】∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°， ∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°， 故选C． 【点睛】考查了三角形外角的性质，解题关键是利用了三角形的外角的性质． 5. 如图，已知，，，则A，B两点间的距离（ ） A. 大于200m B. 等于200m C. 小于200m D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】只需要证明△AOB≌△DOC得到AB=CD=200m，即可得到答案． 【详解】解：∵AC=DB，AO=DO， ∴AC-AO=DB-DO，即OB=OC， 又∵∠AOB=∠DOC， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴AB=CD=200m， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形测距，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 6. 如图，在中，于点是上一点，若，，，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长． 【详解】解：， ，， 的周长． 7. 观察下列尺规作图的痕迹，能够说明的是（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图−基本作图，利用线段的垂直平分线的性质，三边关系，作一条线段等于已知线段判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图①，由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即． 如图②为作的角平分线，无法判定； 如图③中，由作图可知，， ∵点T在线段上， ∴，即． 如图④为过点C作的垂线，无法判定． 故选C． 8. 如图，在中，是的角平分线，将沿所在直线折叠得到，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，结合角平分线的定义可证三点共线，利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得 ，  ∴，， ∵是 的角平分线，  ∴， ∴， ∴点在线段 上 ， ∴ 是 的外角， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 已知等腰三角形的周长为，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，的形状、大小唯一确定 B. 当时，的形状、大小唯一确定 C. 当时，的形状、大小唯一确定 D. 当边上的高为时，的形状、大小唯一确定 【答案】B 【解析】 【分析】通过分类讨论每个选项中角、边的不同情况，判断是否存在多种符合条件的三角形即可解题． 【详解】解：∵是等腰三角形，周长为， A、当时，若为底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和定理， 因此只能是顶角，故三角形的形状大小唯一确定，A正确，不符合题意； B、当时， 若是顶角，底角为，存在满足周长的三角形； 若是底角，另一底角为，顶角为，也存在满足周长的三角形； 因此有两种不同的三角形，形状大小不唯一确定，B错误，符合题意； C、当时， 若为腰，则另一腰为，底边为 ， ，不符合三角形三边关系，舍去； 因此只能是底边，腰长为 ，，满足三边关系， 因此只有一种符合条件的三角形，形状大小唯一确定，C正确，不符合题意； D、当边上的高为时， ①若为底边，设腰长为，则 ，底边一半为，由勾股定理得，解得，三角形存在； ②若为腰，此时腰长和底边均需满足 ，周长需要满足 ，推导可知该情况不存在， 因此只有一种符合条件的三角形，形状大小唯一确定，D正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质求出边长，作点关于的对称点，连接交于点，连接，利用两点之间线段最短可知即为的最小值，再证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高，， ∴，，平分， 作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴在上，，， ∴， 即有最小值，为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 11. 工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是___________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 12. 如果，那么，这个命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】举反例说明其为假命题即可． 【详解】解：取，，符合， 此时， ∴如果，那么，这个命题是假命题． 13. 如图，在四边形中，，，若平分，则的面积为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 平分，，， ， ． 14. 如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，那么∠ABC的度数是_____． 【答案】45° 【解析】 【分析】根据题意可求出AB、AC、BC的长，发现正好满足勾股定理，即可求解． 【详解】由图可知：，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 15. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，．则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，推出，从而将的周长转化为，最后结合三角形周长公式计算即可． 【详解】解：边的垂直平分线分别交于点 的周长为 即 的周长 16. 等腰中，顶角，点在边上，且是等腰三角形，则___________ 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出的底角和 的度数，再分情况讨论中相等的两边，即可求出的度数． 【详解】解：∵等腰中，顶角，， ∴， 分三种情况讨论 ： ① 当时， ∴， ∴， ∴； ② 当时， ∴， ∴； ③ 当时， ∴， ∴， 综上可得，的值为或或． 17. 如图，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动．设点的运动时间为秒，当是锐角三角形时，满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】分两种临界情况讨论：①当时，②当时. 利用含角的直角三角形的性质求出的长，结合图形确定的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 要使是锐角三角形，则与均为锐角， ①当时，， 在中，，  ∴， ∴， ∴当时，； ②当时，， 在中，， ∴， ∴， ∴当时，； 综上，当时，是锐角三角形， 故答案为． 18. 甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件（点分别是点的对应点）．某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一分析判断每个结论即可． 【详解】解：①若第3轮甲添加， ∵，， ∴， ∴添加条件后可判定全等，甲失败，乙获胜，故①正确； ②若甲添加， ∵，， ∴点到的距离为， 此时唯一确定，可判定两个三角形全等， 添加条件后甲失败，故甲不能通过添加该条件获胜，故②错误； ③若乙修改第2轮条件为， 此时已知， 若第3轮甲添加对应边相等， 添加，可由判定全等， 添加，可由判定全等； 若甲添加对应角相等， 添加，可由判定全等， 添加可由判定全等， ∴无论甲添加任何等量条件，都可判定三角形全等，甲失败，乙获胜，故③正确． 三、解答题（本大题共46分，第19-20题每小题5分，第21-26题每小题6分） 19. 如图，线段与线段相交于点，，．求证：． 【答案】 证明：∵线段与线段相交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先由，，，根据全等三角形的判定定理“”证明，得，再根据等式的性质得，所以． 【详解】略 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 20. 如图，在中．．求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． （1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵垂直平分， ∴________（________）（填推理依据）． ∴． ∵， ∴，． ∴________． ∴． ∴． ∴点为线段的中点． 【答案】（1） 作图如图所示： （2）；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质； （1）根据题意作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． （2）根据垂直平分线的性质得出，等边等角可得，进而根据等角的余角相等，可得，得出，等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，分别是的中点，于点，于点，求证：． 【答案】证明： 连接， 是的中点，且， 是线段的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，可得， 同理，是的中点，且， 是线段的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，得， 且， ， 又是的中点， ， ． 【解析】 【分析】利用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，推导出，进而得到线段间的数量关系． 【详解】略 22. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系．使与关于轴对称，点的坐标为 （1）在图中画出平面直角坐标系： （2）画出关于轴对称的图形，并写出点，的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求，则． 【解析】 【分析】（1）根据与关于轴对称可确定y轴的位置，根据点B的坐标确定x轴的位置和原点的位置即可； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得到点，的坐标，据此描点，连线作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 已知，如图点在的外部，点在边上，若，求证：平分． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】先证明，再证明，则可证明，得到，由等边对等角得到，则可证明，即平分． 【详解】略 24. 如图，在中，，是边上的高，求证：． 【答案】 证明：如图所示，在上截取，连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴； ∵是边上的高， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】在上截取，连接，由三角形内角和定理和已知条件可证明，，则可证明；证明，得到，则可证明，得到，据此可证明，由等角对等边得到，则． 【详解】略 25. 如图，在中，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接．求证：． 【答案】 证明：延长至点G，使，连接，如下图所示： ∵D是边的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【解析】 【分析】延长至点G，使，连接，由题意可证，从而得到，再证明，利用三角形的边之间的关系即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且．则称点为线段的美好点． （1）若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是___________． （2）若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为___________．（直接写出答案） 【答案】（1）或； （2） ①如图所示，直线即为所求 ②． 【解析】 【分析】（1）根据新定义可得是等腰直角三角形，且是斜边；结合坐标系，写出点的坐标，即可求解； （2）①构造等腰直角三角形，结合坐标系得出美好点的坐标，进而可得美好点在象限平分线上，进而画出图形，即可求解； ②根据①的结论得出点的坐标为即，即可求解． 【小问1详解】 解：点满足最小，且， ∴，即是等腰直角三角形，且是斜边； ∵，，且，如图所示， 线段的美好点的坐标是或； 【小问2详解】 解：①理由如下， 如图所示，设，过点作轴，过点作于点， ∵，，则是的美好点； 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 即点在第二象限的平分线上， 如图所示，当在的另一侧时， 同理可得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 即点在第一象限的平分线上， 如图所示，同理可得在第三、四象限的平分线上， 综上所述，线段的所有美好点组成的图形为象限平分线； ②如图所示， 由①可得， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点横坐标为， 又∵点的坐标为， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市育英学校四年制初二第二学期期中练习数学 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（ ） A. 点A与点B关于轴对称 B. 点A与点B关于轴对称 C. 点A与点B关于直线对称 D. 点A与点B关于直线对称 4. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 5. 如图，已知，，，则A，B两点间的距离（ ） A. 大于200m B. 等于200m C. 小于200m D. 无法确定 6. 如图，在中，于点是上一点，若，，，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 观察下列尺规作图的痕迹，能够说明的是（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①③ D. ②④ 8. 如图，在中，是的角平分线，将沿所在直线折叠得到，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 已知等腰三角形的周长为，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，的形状、大小唯一确定 B. 当时，的形状、大小唯一确定 C. 当时，的形状、大小唯一确定 D. 当边上的高为时，的形状、大小唯一确定 10. 如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 11. 工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是___________． 12. 如果，那么，这个命题是___________命题（填“真”或“假”）． 13. 如图，在四边形中，，，若平分，则的面积为___________． 14. 如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，那么∠ABC的度数是_____． 15. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，．则的周长为___________． 16. 等腰中，顶角，点在边上，且是等腰三角形，则___________ 17. 如图，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动．设点的运动时间为秒，当是锐角三角形时，满足的条件是___________． 18. 甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件（点分别是点的对应点）．某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 三、解答题（本大题共46分，第19-20题每小题5分，第21-26题每小题6分） 19. 如图，线段与线段相交于点，，．求证：． 20. 如图，在中．．求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． （1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵垂直平分， ∴________（________）（填推理依据）． ∴． ∵， ∴，． ∴________． ∴． ∴． ∴点为线段的中点． 21. 如图，分别是的中点，于点，于点，求证：． 22. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系．使与关于轴对称，点的坐标为 （1）在图中画出平面直角坐标系： （2）画出关于轴对称的图形，并写出点，的坐标． 23. 已知，如图点在的外部，点在边上，若，求证：平分． 24. 如图，在中，，是边上的高，求证：． 25. 如图，在中，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接．求证：． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且．则称点为线段的美好点． （1）若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是___________． （2）若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为___________．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $