精品解析：河南省周口市郸城县2026年初中学业水平模拟测评A卷 数学

2026年初中学业水平模拟测评A卷数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ） A. -2026 B. 2026 C. D. 2. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都相同，则该几何体有可能是（ ） A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 三棱柱 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数等于（　　） A. 20° B. 30° C. 35° D. 40° 5. 下列计算正确的是（　　　） A. （－a2）3=－a5 B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE的度数为（ ） A. 35° B. 55° C. 70° D. 110° 7. 不透明的盒子中有两张卡片，上面分别印有北京2022年冬奥会相关图案（如图所示），除图案外两张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是甲的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数的最大值为3 B. 该函数图象的对称轴为直线 C. 该函数图象开口向上 D. 当 时，函数值 随的增大而减小 10. 如图，中，点P从点C出发，匀速沿向点A运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为 中点时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 写出一个与是同类项的单项式：________． 12. 某运动员射击10次，成绩（单位：环）分别为9，10，9，8，8，7，10，7，6，8，则这组数据的众数为_____． 13. 如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为____． 14. 如图，在中，，，以 为边向外作正方形 ，连接 ，交 于点 ．若，则的面积为___________． 15. 如图，在 中，，，，将 绕点 旋转得到．点为 和的中点，连接．当 与 的一边平行时，的周长是___________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 17. “一分钟跳绳”是H市中考体育考试选考项目，某校为了解九年级男生“一分钟跳绳”训练状况，随机抽取了60名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩（个） 频数 8 17 12 3 ．成绩在这组的数据是（单位：个）： 170 170 170 170 171 172 172 173 173 174 174 174 根据以上信息，回答下列问题： （1）___________，这次测试成绩的中位数是___________个； （2）小明的“一分钟跳绳”测试成绩为172个，这60名九年级男生的平均成绩为个．所以小强评价说：“小明的成绩低于平均成绩，在抽取的60名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高．”你认同小强的说法吗？请说明理由． 18. 如图，在 中，对角线 与相交于点 ． （1）尺规作图：分别作的中点；（保留作图痕迹，不要求写出做法） （2）在（1）的条件下，连接，求证：四边形是平行四边形． 19. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） （1）求直吊臂 的长； （2）如图2，直吊臂 与的长度保持不变， 绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 20. 如图， 为 直径， 为弦，且 为 的切线，过D作于点E，延长 交 的延长线于点H． （1）求证：； （2）若E为 的中点，，，求此时圆的半径的长度． 21. 为助力“美丽乡村”建设，某村计划分两次采购甲、乙两种特色果树苗，第一次分别采购甲、乙两种果树苗20株和10株，共花费550元；第二次分别采购甲、乙两种果树苗15株和8株，共花费430元．每次采购果树苗的单价不变． （1）甲、乙两种果树苗每株的价格分别是多少元？ （2）若该村计划再采购甲、乙两种果树苗共40株，其中采购甲种果树苗n株，且数量少于总数的一半，采购果树苗的总费用为W元，求出W关于n的函数关系式和总费用最少时的采购方案． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交，其中一个交点为 ，点 的横坐标为．点 为抛物线上动点，其横坐标为． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标： （2）这条抛物线在点 右侧部分（包括点 ）的最低点的纵坐标为，求的值． 23. 【感知】如图①，在矩形 中，点O是边 的中点，连接 ．保持矩形 不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接 ．若旋转角的大小为，且，则的周长为______； 【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段 与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．求证：； 【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于180°），当点F落在矩形 的对称轴上，且，时，线段 与线段相交于点M，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟测评A卷数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ） A. -2026 B. 2026 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】解：的相反数是． 2. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都相同，则该几何体有可能是（ ） A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 三棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】需分别判断各选项几何体的三个视图是否全部相同即可得到结果． 【详解】解：A、 球从任意方向观察得到的视图都是等圆，主视图、左视图、俯视图都相同； B、圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为带圆心的圆，三个视图不相同； C、圆柱的主视图和左视图为矩形，俯视图为圆，三个视图不相同； D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，三个视图形状不相同． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中， 为整数． 【详解】解：∵ 科学记数法要求，原数， 将小数点向左移动11位，得到， ∴ ． 4. 如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数等于（　　） A. 20° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线定义求出∠AOC=∠EOC=35°，根据对顶角的定义即可求出∠BOD的度数． 【详解】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=70°， ∴∠AOC=∠EOC=35°， ∴∠BOD=∠AOC=35°． 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角、角平分线定义的应用，关键是求出∠AOC的度数． 5. 下列计算正确的是（　　　） A. （－a2）3=－a5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方，单项式的乘、除法，平方差公式逐个判断． 【详解】解：（－a2）3=－a6，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方，单项式的乘、除法，平方差公式，掌握整式的乘除法则以及平方差公式是解题的关键． 6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE的度数为（ ） A. 35° B. 55° C. 70° D. 110° 【答案】D 【解析】 【分析】 根据圆内接四边形的性质解答． 【详解】解：由题意可得：∠B+∠ADC=180°， ∵∠B=110°， ∴∠ADC=180°-110°=70°， ∴∠ADE=180°-∠ADC=110°， 故选D． 【点睛】本题考查圆内接四边形的应用，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． 7. 不透明的盒子中有两张卡片，上面分别印有北京2022年冬奥会相关图案（如图所示），除图案外两张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是甲的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次记录的图案都是甲的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果，其中两次记录的图案都是甲的结果数为1， 所以两次记录的图案都是甲的概率＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 8. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根． 当一元二次方程有两个相等实数根时，其判别式，据此建立关于k的方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴， 即， 展开得， 合并同类项得， 解得 ． 故选：D． 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数的最大值为3 B. 该函数图象的对称轴为直线 C. 该函数图象开口向上 D. 当时，函数值 随 的增大而减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 根据二次函数顶点式 的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，故C错误； 对称轴为直线，故B错误； 函数有最大值，最大值为 ，故A正确； 当时， 随 增大而增大，故D错误． 故选A． 10. 如图， 中，点P从点C出发，匀速沿向点A运动，连接 ，设点P的运动距离为x， 的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为 中点时， 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出 的值，从而得出 ，，当 为 的中点时，由勾股定理求出 长度． 【详解】解：∵ 点是从 点出发的， 为初始点，观察图象 时，则， 从 向 移动的过程中， 是不断增加的，而 从 向 移动的过程中， 是不断减少的， ∴转折点为 点， 运动到 点时，即时，，此时， 即，，，， ， 由勾股定理得：， 解得：， ，， 当点 为 中点时，， ． 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 写出一个与是同类项的单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是掌握同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项． 根据同类项的定义，写出一个与所含字母相同、相同字母指数也相同的整式即可． 【详解】解：的字母部分为，其中a的指数为2，b的指数为1．因此，与它同类项的整式必须具有相同的字母a和b，且a的指数为2，b的指数为1，系数可以不同， 例如，满足条件． 故答案为：（答案不唯一） 12. 某运动员射击10次，成绩（单位：环）分别为9，10，9，8，8，7，10，7，6，8，则这组数据的众数为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，掌握众数的定义是解决本题的关键． 众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10． 则其中6出现1次，7出现2次，8出现3次，9出现2次，10出现2次， 故众数为8． 故答案为：8． 13. 如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为____． 【答案】6 【解析】 【分析】连接AC，过C作，由反比例函数图象性质可得：，结合题意可得，那么，根据是直角三角形，C为OB的中点，那么斜边上的中线等于斜边的一半，可得：，因此，根据反比例函数k的几何意义，k是面积的2倍，即可得到k的值． 【详解】解：连接AC，过C作， 由反比例函数图象的对称性可得：， ∵C为OB的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，反比例函数的对称性，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，掌握反比例函数的性质以及灵活运用几何图形的性质是解题关键． 14. 如图，在中，，，以为边向外作正方形 ，连接 ，交于点 ．若，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点L，交的延长线于点H，则，由正方形的性质得，，推导出，进而证明，得，，由，根据角平分线的性质得，由，得，而，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点L，交的延长线于点H，则， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ 平分，且于点L，于点H， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在 中，，，，将 绕点 旋转得到．点为和的中点，连接．当 与 的一边平行时，的周长是___________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，，，，再分成、、三种情况讨论即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵ 绕点 旋转得到， ∴，，，， ∵点分别为和的中点， ∴，， ∵ 与 的一边平行， ∴共有三种情况， 当时，如图： ∵点 为的中点， ∴， 在 中， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴的周长为； 当时，如图，设 交 于点 ， ∵ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为的角平分线， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴的周长为； 当时， 与重合，即点 与点 重合，不符合要求，故舍去； 综上可得，的周长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂的性质化简，最后计算加减即可； （2）先计算括号内的加法，再计算分式的除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. “一分钟跳绳”是H市中考体育考试选考项目，某校为了解九年级男生“一分钟跳绳”训练状况，随机抽取了60名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩 （个） 频数 8 17 12 3 ．成绩在这组的数据是（单位：个）： 170 170 170 170 171 172 172 173 173 174 174 174 根据以上信息，回答下列问题： （1） ___________，这次测试成绩的中位数是___________个； （2）小明的“一分钟跳绳”测试成绩为172个，这60名九年级男生的平均成绩为个．所以小强评价说：“小明的成绩低于平均成绩，在抽取的60名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高．”你认同小强的说法吗？请说明理由． 【答案】（1）20； （2）不认同， 理由如下： ∵， ∴小明的测试成绩高于中位数，说明他比一半九年级所测男生成绩好． 【解析】 【分析】（1）用总人数减去已知频数即可求解 ；这次测试成绩的中位数是60名九年级男生的成绩从小到大排列后的中间两人的平均数； （2）根据小明的测试成绩与这次测试成绩的中位数比较即可解答． 【小问1详解】 解：； ∵这次测试随机抽取了60名九年级男生成绩，且， ∴这次测试成绩的中位数是成绩从小到大排列后第30名和第31名的平均数， 即; 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，对角线 与 相交于点 ． （1）尺规作图：分别作的中点；（保留作图痕迹，不要求写出做法） （2）在（1）的条件下，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点E，作线段的垂直平分线交于点F，则点E和点F即为所求； （2）根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的定义推出 ，则可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形． 19. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】（1）直吊臂的长为10米 （2）上升了5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据，即可解，即可求解； （2）记旋转后的点的对应点为，延长交于点 ，过点 作于点 ，可得四边形为矩形，则米，在中，由求出 ，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，米， ∴在中，（米）， 答：直吊臂的长为10米； 【小问2详解】 解：记旋转后的点的对应点为，延长交于点 ，过点 作于点 ，则， 由题意得：米，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴货物上升了5米． 20. 如图，为 直径， 为弦，且 为 的切线，过D作于点E，延长 交的延长线于点H． （1）求证：； （2）若E为的中点，，，求此时圆的半径的长度． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ，     ∵ 为 的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用等角的余角相等即可证明，再利用等腰三角形的判定定理即可证明； （2）设，则，利用三角函数的定义求出，根据勾股定理得出的 长，然后利用，可得半径的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 解得， ∴半径为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，三角函数的定义，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键． 21. 为助力“美丽乡村”建设，某村计划分两次采购甲、乙两种特色果树苗，第一次分别采购甲、乙两种果树苗20株和10株，共花费550元；第二次分别采购甲、乙两种果树苗15株和8株，共花费430元．每次采购果树苗的单价不变． （1）甲、乙两种果树苗每株的价格分别是多少元？ （2）若该村计划再采购甲、乙两种果树苗共40株，其中采购甲种果树苗n株，且数量少于总数的一半，采购果树苗的总费用为W元，求出W关于n的函数关系式和总费用最少时的采购方案． 【答案】（1）甲种果树苗每株10元，乙种果树苗每株35元； （2）关于的函数关系式为为整数，总费用最少时的采购方案为甲种果树苗19株，乙种果树苗21株； 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是： （1）设甲种果树苗的单价为 元/株，乙种果树苗的单价为 元/株，根据第一次分别采购甲、乙两种果树苗20株和10株，共花费550元；第二次分别采购甲、乙两种果树苗15株和8株，共花费430元；两次采购果树苗的单价不变，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）采购甲种果树苗株，则采购乙种果树苗株，结合（1）结论，列出一次函数解析式，再根据甲种果树苗数量少于总数的一半，可确定n的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种果树苗的单价为 元/株，乙种果树苗的单价为 元/株． 由题可得方程组： ， 解得． 所以，甲种果树苗单价为10元/株，乙种果树苗单价为35元/株． 【小问2详解】 解：已知采购甲种果树苗株，两种树苗共40株，则采购乙种果树苗株； 总费用甲的总价 + 乙的总价，即 甲种果树苗“数量少于总数的一半”，总数是40株，一半为20株， 所以； 同时树苗数量为正整数，所以，且为整数， 为整数 在一次函数中，， 所以随的增大而减小 因此，当取最大值19时，取得最小值 将代入解析式得， 元 关于的函数解析式为为整数； 当时，采购费用最少， 此时的采购方案为采购甲种果树苗19株，乙种果树苗21株. 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交，其中一个交点为 ，点 的横坐标为 ．点 为抛物线上动点，其横坐标为 ． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标： （2）这条抛物线在点 右侧部分（包括点 ）的最低点的纵坐标为，求 的值． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） 的值为或 【解析】 【分析】（１）已知二次函数与一次函数的交点 的横坐标，将横坐标代入一次函数解析式中，求出 点坐标，再将 点坐标代入二次函数解析式中，解出答案． （２）若点 在对称轴的左侧，则抛物线在点 右侧的最低点在顶点处取得；若点 在对称轴的右侧，则抛物线在点 右侧的最低点在点 处取得． 【小问1详解】 解：∵点 在一次函数上，且横坐标为 ， ∴将代入，解得， ∴， 将代入，解得， ∴二次函数解析式为． 二次函数的顶点横坐标，解得， 将代入，解得， 顶点坐标为． 【小问2详解】 解：当时，点 在对称轴的左侧， 则 点右侧部分最低点为顶点，即，解得； 当时， 点右侧部分最低点为点 ， ∵ （m，），最低点的纵坐标为， ∴，解得：或， ∵， ∴． 综上， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了求解二次函数的表达式与二次函数的增减性问题，清楚该函数的增减性和动点 的位置，即可快速求出答案． 23. 【感知】如图①，在矩形 中，点O是边的中点，连接 ．保持矩形 不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接．若旋转角的大小为，且，则的周长为______； 【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．求证：； 【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于180°），当点F落在矩形 的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点M，直接写出线段的长度． 【答案】【感知】：6； 【探究】：证明：连接 交于点H，如图； 由题意得，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分 ，即点 是的中点； ∵点O是边的中点， ∴ 是的中位线， ∴； 【拓展】：的长度为或 【解析】 【分析】【感知】利用旋转的性质、等边三角形的判定与性质即可求解； 【探究】连接 交于点H，由折叠的性质及点O是边的中点，得，从而可证明，有，则得垂直平分 ，由三角形中位线的性质即可证明； 【拓展】分两种情况：当点F落在的垂直平分线上时，则易得四边形是矩形，则；当点F落在的垂直平分线 上时，过O作于点H，则可得都是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】【感知】解：∵点O是边的中点，， ∴； 由旋转的性质得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为； 故答案为：6． 【探究】略 【拓展】解：当点F落在的垂直平分线上时， ∵点O是边的中点， ∴， ∴； 由旋转知， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当点F落在的垂直平分线 上时， 则分别是的中点， ∴； 如图，过O作于点H， 则四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形，且，； ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得． 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论，所涉及的知识点较多，灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $