精品解析：广东茂名市2025-2026学年度第二学期质量监测（一）初三数学试卷

2025-2026学年度第二学期质量监测（一） 初三数学试卷 注意事项： 1.满分120分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列四个数中，是负整数的是（ ） A. B. 0 C. D. 7 2. 广州新机场于月日开工，总投资亿元，计划“十五五”期间建成，该项目将补齐珠江西岸民航短板，助力构建世界级机场群．数据“亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，交于点．若，则的长为（　　） A. B. 5 C. 10 D. 6. 如图，这是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 某中学书法兴趣小组12名成员的年龄情况如下表． 年龄/岁 12 13 14 15 16 人数 1 4 3 2 2 则这个小组成员年龄数据的中位数是（ ） A. 13 B. 14 C. 2 D. 3 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 该蓄电池的电压是 B. 当时， C. 当时， D. 当电阻越大时，蓄电池的电流越小 10. 如图，在中，延长斜边到点C，使，连接．若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. 计算的结果是_________． 13. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围为______． 14. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号、、、的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是_______． 15. 如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，连接，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，，则阴影部分的面积为___________．（结果保留） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 17. 如图，是的直径，交的中点于D，．求证：是的切线． 18. 每年的3月14日为国际数学日，为庆祝国际数学日，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要80元，购买5副七巧板和4副数独棋需要150元． （1）分别求七巧板和数独棋的单价． （2）若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过800元，则数独棋最多能购买多少副？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 20. 覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省粤西地区的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取200个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用（单位：cm）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图． 组别 /cm A B C D E 根据所给信息，解答下列问题． （1）在甲品种扇形统计图中，D组对应的扇形的圆心角为多少度？ （2）从乙品种芒果测量结果的D组数据中随机抽取8个数据，具体为：18.1，18.3，18.5，18.5，18.8，18.8，18.8，18.9． 这8个数据的众数是____________． 张明同学断定此数据为乙品种芒果D组测量数据的众数，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由． （3）结合市场调查，按照级别评定要求（一级品质最优，二级次之，三级最次），认定D组和C组的芒果为优级产品，B组和E组为基本合格产品，A组为次果．你认为哪个品种的芒果品质更优？请说明理由． 21. 【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 （1）当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． （2）如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 （1）任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 （2）任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 （3）任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） （4）任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 23. 定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： （1）以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： （2）如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： （3）如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期质量监测（一） 初三数学试卷 注意事项： 1.满分120分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列四个数中，是负整数的是（ ） A. B. 0 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．是负分数，不符合题意； B．既不是正数也不是负数，不符合题意； C．是负整数，符合题意； D．是正整数，不符合题意． 2. 广州新机场于月日开工，总投资亿元，计划“十五五”期间建成，该项目将补齐珠江西岸民航短板，助力构建世界级机场群．数据“亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：亿． 3. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、、不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，先求出，然后根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 5. 如图，在矩形中，，交于点．若，则的长为（　　） A. B. 5 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握和运用矩形的性质是解决本题的关键． 根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 故选：C． 6. 如图，这是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，根据三视图的形成，从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在三视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．准确把握俯视图是从上面看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键． 【详解】解：俯视图是从上面看组合体，得到的平面图形，如图所示： 故选：A． 7. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设矩形的一边长为米，则矩形的另一边长为米， 根据题意得，． 8. 某中学书法兴趣小组12名成员的年龄情况如下表． 年龄/岁 12 13 14 15 16 人数 1 4 3 2 2 则这个小组成员年龄数据的中位数是（ ） A. 13 B. 14 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将数据从小到大排列后，根据数据个数的奇偶性计算中位数即可求解． 【详解】解：∵数据按从小到大的顺序排列是：12，13，13，13，13，14，14，14，15，15，16，16，即第6个和第7个数据均为14， ∴中位数． 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 该蓄电池的电压是 B. 当时， C. 当时， D. 当电阻越大时，蓄电池的电流越小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象和性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，理解反比例函数的性质是解题的关键．先求出反比例函数的解析式，根据函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入解析式得，， ， ，选项正确，不符合题意； 当时，，选项正确，不符合题意； 由图象可知，当时，，选项不正确，符合题意； ， 在第一象限随的增大而减少，选项正确，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在中，延长斜边到点C，使，连接．若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正切的定义以及相似三角形等知识点，合理画出辅助线是解题的关键． 法一：过点C作，交的延长线于点E，由相似求出和的长，即可求解； 法二：过点D作，交于点F，由比例关系得出的长，即可得到解． 【详解】解： 在中，，， ， ∴， 方法一：如图，过点C作，交的延长线于点E， ， ， ， ，， ， 在中，； 方法二，如图，过点D作，交于点F， ， ， ，，， ， ， ， 在中，． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件事被开方数大于等于，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 计算的结果是_________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：原式． 13. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围为______． 【答案】m≤4## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据根的判别式大于或等于零求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：． 14. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号、、、的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键．先根据题意列表，再由列表得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，最后根据概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下： 由表格可知，共有12种等可能的情况，其中所标元素能组成“（一氧化氮）”的情况有2种， 即所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是， 故答案为： 15. 如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，连接，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，，则阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，特殊角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，扇形的面积公式，割补法求阴影部分的面积． 首先根据直径所对圆周角为直角，得到，根据勾股定理求的长度，根据直角边是斜边的一半得到，再计算的面积和扇形的面积，继而得到阴影部分的面积． 【详解】解：为半圆的直径， ， 在中，， 在中，，， ， ， 扇形的圆心角为，半径为， ， 阴影部分面积． ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2） 解：已知， 因式分解并移项： ， ； 提公因式： ； 化简求解： ， ， 则或， 解得，． 【解析】 【分析】本题一元二次方程的解法，等式的基本性质，理解“等式两边不能同时除以一个可能为 0 的代数式”是解题关键． （1）步骤②直接除以，未考虑可能为的情况，会丢失方程的根； （2）先对原方程右边因式分解，移项后提公因式，将方程化为乘积为的形式，再令各因式为，可求得方程的两个根． 【小问1详解】 解： 根据题意，可知步骤②两边同时除以， 未考虑可能为的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②． 【小问2详解】 略 17. 如图，是的直径，交的中点于D，．求证：是的切线． 【答案】证明：连接， 是的中点， ． ， ． 又， ． 是的切线． 【解析】 【分析】连接，只要证得即可得到是的切线． 【详解】略 18. 每年的3月14日为国际数学日，为庆祝国际数学日，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要80元，购买5副七巧板和4副数独棋需要150元． （1）分别求七巧板和数独棋的单价． （2）若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过800元，则数独棋最多能购买多少副？ 【答案】（1）七巧板和数独棋的单价分别为10元，25元． （2）数独棋最多能购买20副． 【解析】 【分析】 【小问1详解】 解：设七巧板和数独棋的单价分别为元，元 根据题意得， 解得：， 答：七巧板和数独棋的单价分别为10元，25元． 【小问2详解】 解：设数独棋购买的数量为副， 根据题意得：， 解得， 的最大值为20． 答：数独棋最多能购买20副． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 证明：由作图得 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线和矩形的判定，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”进行作图即可； （2）根据证明，得，再根据平行四边形的性质可证，即可证明四边形是矩形 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省粤西地区的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取200个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用（单位：cm）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图． 组别 /cm A B C D E 根据所给信息，解答下列问题． （1）在甲品种扇形统计图中，D组对应的扇形的圆心角为多少度？ （2）从乙品种芒果测量结果的D组数据中随机抽取8个数据，具体为：18.1，18.3，18.5，18.5，18.8，18.8，18.8，18.9． 这8个数据的众数是____________． 张明同学断定此数据为乙品种芒果D组测量数据的众数，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由． （3）结合市场调查，按照级别评定要求（一级品质最优，二级次之，三级最次），认定D组和C组的芒果为优级产品，B组和E组为基本合格产品，A组为次果．你认为哪个品种的芒果品质更优？请说明理由． 【答案】（1） （2）18.8；不正确，理由：没有给出其他的数据，不能判断众数 （3） 解：乙品种芒果的品质更优． 理由：甲品种芒果的优级产品所占的百分比为： ； 乙品种芒果的优级产品所占的百分比为： ． ， 乙品种芒果的品质更优． 【解析】 【分析】（1）用乘以D组所占的百分比即可得出答案； （2）根据众数的定义进行求解即可； （3）分别求出甲品种芒果的优级产品所占的百分比和乙品种芒果的优级产品所占的百分比，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：， ∴D组对应的扇形的圆心角为； 【小问2详解】 解：不正确． 理由：没有给出其它的数据，不能判断众数，故不正确； 【小问3详解】 略 21. 【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 （1）当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． （2）如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 【答案】（1）①1；②0.9米 （2）绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米 【解析】 【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：①如图，过点作于点， 由题意，得， 四边形是矩形. 又， 四边形是正方形， ， ， ②如图，过点作于点， ，. 在中，， 即，解得， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， 由表格可知，在12时-14时， 夹角的正切值逐渐减小，即逐渐减小， 14时点最靠近墙角， 在中，， ，解得， ， 则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 （1）任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 （2）任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 （3）任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） （4）任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 【答案】（1） （2）拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线， 理由：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； ∴， 在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、， 则， 则劣弧所对圆心角度数为， 即， 则， ∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： （3）横向限高杆离水面距离为米 （4）光线与抛物线之间的最小距离为米 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，可得，，由已知可得，可得，由三角形的内角和定理，即可得的度数； （2）假设该拱桥轮廓线是圆弧，设圆心为，设圆的半径为，在图1中，连接、，根据勾股定理可得，在图2中，连接、、，由三角形的内角和定理可得，可得，解，可得，可判断拱桥的轮廓线不是圆弧，是抛物线，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法即可得抛物线的解析式； （3）设横杆长度和竖杆长度分别为、，点，将点的坐标代入抛物线的解析式，可得，即可得横向限高杆离水面的距离； （4）作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点），交轴于点，过点，作，垂足为，设直线的解析式为，与抛物线的解析式联立，整理为关于的一元二次方程，由可得，可得直线的解析式，可得点的坐标，可得，结合已知解三角形即可得光线与拱桥之间的距离． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，以为轴，的垂直平分线为轴建立如下的坐标系， 则点、， 设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得， 则抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：如图，设横杆长度和竖杆长度分别为、， 则点， 将点的坐标代入得， 解得或（舍去）， ∴（米） ∴横向限高杆离水面距离为米． 【小问4详解】 解：作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点）， 交轴于点，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，解得， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， 光线与抛物线之间的最小距离为米． 23. 定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： （1）以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： （2）如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： （3）如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 【答案】（1）②③ （2） ①证明：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即四边形一定为“勾股四边形”； ② （3）4 【解析】 【分析】（1）根据“勾股四边形”的定义求解即可． （2）①由三角形内角和定理得出，由角的和差关系可知，然后根据勾股定理得出，即可证． ②先证明，由全等三角形的性质得出， 等量代换可得出，再由勾股四边形的定义可知，即可得出，由等边三角形的判定和性质即可求出的值． （3）连接，，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由，结合勾股四边形的定义进一步得出是直角三角形，且，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，，由等边三角形的性质得出． 【小问1详解】 解：根据“勾股四边形”的定义可知矩形和有一个角为直角的任意凸四边形为“勾股四边形”． 故答案为：②③ 【小问2详解】 解：①略 ②解：， ． 在与中， ， ． 又， ． 四边形为“勾股四边形”，且， ． 又， 是等边三角形， ， ． 【小问3详解】 解：连接，，过点作于点， 和是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中， ， ， 四边形是以、为勾股边的勾股四边形，且， ， ， 是直角三角形，且， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ， 由勾股定理可得，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $