精品解析：上海市海事大学附属北蔡高级中学2025-2026学年高二下学期期中数学试题

2025学年第二学期海大附中高二年级期中教学质量检测（数学） （满分100分 时间90分钟） 学校：__________ 姓名：__________ 班级：________ 考号：________ 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 4和10的等差中项是__． 【答案】7 【解析】 【分析】根据等差中项的概念计算即可. 【详解】解：由已知得4和10的等差中项为， 故答案为：. 【点睛】本题考查等差中项的概念，是基础题. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 【答案】27 【解析】 【详解】依题意，. 3. 已知数列的首项，满足，则_____________. 【答案】28 【解析】 【详解】因，由可得， ，. 4. 已知正整数满足，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】按组合数、排列数公式列出等式求解即可. 【详解】由题意得，且，得，即. 故答案为：5. 5. 首项为1的无穷等比数列，满足，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的公比，再利用无穷递缩等比数列所有项和的公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得，而，解得， 所以. 故答案为： 6. 从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2人，则甲未被选中的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求出甲被选中的概率，结合对立事件的概念即可求解. 【详解】甲被选中，只需从其余3人中，再选1人，即有种方法， 从4人中选2人，共有种方法， 所以甲被选中的概率为， 所以甲未被选中的概率为. 故答案为： 7. 用数学归纳法证明“”时，第一步需要验证的不等式为___________ 【答案】 【解析】 【分析】因，故第一步需要验证的是时的不等式，代入整理即得. 【详解】用数学归纳法证明“”时， 第一步需要验证，当时，不等式，即成立， 故答案为：. 8. 在数列中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出通项公式. 【详解】在数列中，， 当时， ，而满足上式， 所以. 故答案为： 9. 五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有______种. 【答案】24 【解析】 【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的一人共“2人”排列，再插空排丙和丁. 【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有种， 再与丙和丁外的1人排列有种， 再排丙和丁有种， 故共有种排法. 故答案为：24. 10. 一个三位数字密码锁，每一位上的数字均从0—9中选取，且各位数字互不相同，已知密码的首位不能为0，末位必须是偶数，则满足条件的密码共有______个．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】第一类：首位排奇数.先排首位有种排法，接着排末位有种排法，再排中间位有种排法，故共有种排法； 第二类：首位排偶数.先排首位有种排法，接着排末位有种排法，再排中间位有种排法，故共有：种排法， 由分类加法计数原理满足条件的密码共有个. 11. 设数列为等差数列，前项和为，已知，若对任意，都有成立，则的可能值为______. 【答案】8或9 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解，利用二次函数的图像求最大值即可得解. 【详解】， ， ， ， 对称轴为，开口向下， ，或时，取最大值， 对任意，都有成立， 为的最大值，或，的可能值为或. 故答案为：或. 12. 定义：若数列中存在连续三项之和为4的倍数，则称该数列为“4性数列”；反之，则称其为“非4性数列”.已知数列满足，，且对任意整数，都有等于与之和除以4的余数.若从数列的前40项中任选两项、，将数列中到之间（包含和）的所有项取出，按原来的顺序构成一个新的数列，则取出的所有新数列中，不同的“4性数列”的个数为______. 【答案】207 【解析】 【分析】由题意得该数列周期为，在前8项中符合“4性数列”条件的有和，同样满足条件的还有，……，，共有12个三元数组，再考虑取出的数列长度进行分类求解． 【详解】，，，，，，，，……， 可以看出该数列周期为， 在前8项中符合“4性数列”条件的有和， 同样满足条件的还有，……，，共有12个三元数组. 考虑符合条件的取出的数列长度，. 若，共有2个； 若，共有4个； 若，各有6个； 当时，各有5、4、3、2、1个， 所以总计个. 故答案为：207 二、单选题（每题3分，共12分） 13. 在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件的概念判断. 【详解】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件. 故选：C 14. 利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（ ） A. 项 B. 项 C. 项 D. k项 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 15. 有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】利用不平均分组分配问题的解法即可得解. 【详解】依题意，4张电影票分成三组，有种分法， 再分配给甲、乙、丙3个人，有种分法， 所以不同分配方法的种数为. 故选：B. 16. 二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即 其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ） A. 1910 B. 1990 C. 12252 D. 12523 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和以及组合数问题可解 【详解】根据题意得 ，因为在中恰好有2个0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数 的个数为28． 所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为 故选：D． 三、解答题（8分+8分+11分+14分+11分，共52分） 17. 在的展开式中. （1）求展开式中常数项的值； （2）求展开式中所有项的系数之和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用展开式的通项公式，再令，即可求解； （2）取，代入计算，即得展开式中所有项的系数之和. 【小问1详解】 因为展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式的常数项为， 故展开式中常数项的值为. 【小问2详解】 令，则， 所以展开式中所有项的系数之和为. 18. 从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 【答案】（1）120 （2）360 【解析】 【分析】（1）利用组合计数，求选择的方法数； （2）利用分步计数原理，结合组合数和排列数的计算，求选派的方法数. 【小问1详解】 从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动， 选择方法数为种. 【小问2详解】 从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有种， 故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为种. 19. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； （3）求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 【答案】（1） （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）列举法写出样本空间； （2）由题意写出，根据古典概型求概率； （3）根据题意写出，根据古典概型求概率. 【小问1详解】 从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间为 . 【小问2详解】 由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，共1个样本点， 由（1）知样本点个数为，所以. 【小问3详解】 设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. 20. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，，求. （3）已知数列是公比大于1的等比数列，且，，，若数列是严格递减数列，求实数λ的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）已知前项和，当时，利用，代入和的表达式，化简后消去，得到的表达式，进而推出的通项，最后验证时通项成立. （2）由（1）求出的，得，将通分后进行裂项，转化为两个分式之差的形式，再将展开，通过中间项抵消(裂项相消法)，化简后得到的表达式. （3）已知是公比的等比数列，由、，利用等比数列性质求出，得到的通项；再结合表示出，根据是严格减数列，列出，整理后分离参数，构造新数列，利用新数列的单调性求出其最大值，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 已知，当时，，此为恒等式. 当时，. 由，代入得：. 化简得：，即，即. 当代入得，符合通项公式. 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由，则，裂项得：. 因此 化简得. 【小问3详解】 设数列的公比为，由题有，所以，所以. 即，所以. 由数列是严格减数列有恒成立，所以. 即. 令，即，又是单调递减数列. 所以，所以，即. 21. 若数列满足：对任意，总存在，使得，则称是融积数列．已知数列是融积数列，且． （1）求的所有可能取值； （2）若对任意，，求，的所有可能取值； （3）在（2）的条件下，记为数列的前项和，证明：对任意，有． 【答案】（1）8 （2）或 （3）因为，且对任意，总存在， 使得， 所以数列的任意一项都可以写成2的正整数指数幂的形式， 又因为对任意，，所以， 所以， 所以 【解析】 【分析】（1）根据融积数列则； （2）因为，所以数列为递增数列，再结合融积数列的定义分类求解即可； （3）结合融积数列的定义和（2）的结果，可得，所以，利用放缩法得到，再利用等比数列求和证明得到. 【小问1详解】 由于两实数相乘满足交换律，以下解答中不妨设． ； 【小问2详解】 若对任意，，则，或； ①若，则，或， 或，或； ②若，则，或， 或； 综上，或 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期海大附中高二年级期中教学质量检测（数学） （满分100分 时间90分钟） 学校：__________ 姓名：__________ 班级：________ 考号：________ 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 4和10的等差中项是__． 2. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 3. 已知数列的首项，满足，则_____________. 4. 已知正整数满足，则______. 5. 首项为1的无穷等比数列，满足，则___________. 6. 从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2人，则甲未被选中的概率为__________． 7. 用数学归纳法证明“”时，第一步需要验证的不等式为___________ 8. 在数列中，，则______. 9. 五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有______种. 10. 一个三位数字密码锁，每一位上的数字均从0—9中选取，且各位数字互不相同，已知密码的首位不能为0，末位必须是偶数，则满足条件的密码共有______个．（用数字作答） 11. 设数列为等差数列，前项和为，已知，若对任意，都有成立，则的可能值为______. 12. 定义：若数列中存在连续三项之和为4的倍数，则称该数列为“4性数列”；反之，则称其为“非4性数列”.已知数列满足，，且对任意整数，都有等于与之和除以4的余数.若从数列的前40项中任选两项、，将数列中到之间（包含和）的所有项取出，按原来的顺序构成一个新的数列，则取出的所有新数列中，不同的“4性数列”的个数为______. 二、单选题（每题3分，共12分） 13. 在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上答案都不对 14. 利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（ ） A. 项 B. 项 C. 项 D. k项 15. 有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 72 16. 二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即 其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ） A. 1910 B. 1990 C. 12252 D. 12523 三、解答题（8分+8分+11分+14分+11分，共52分） 17. 在的展开式中. （1）求展开式中常数项的值； （2）求展开式中所有项的系数之和. 18. 从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 19. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； （3）求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 20. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，，求. （3）已知数列是公比大于1的等比数列，且，，，若数列是严格递减数列，求实数λ的取值范围. 21. 若数列满足：对任意，总存在，使得，则称是融积数列．已知数列是融积数列，且． （1）求的所有可能取值； （2）若对任意，，求，的所有可能取值； （3）在（2）的条件下，记为数列的前项和，证明：对任意，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $