广东茂名市2025-2026学年度第二学期质量监测（一）初三数学试卷

2025-2026学年度第二学期质量监测（一） 初三数学试卷 注意事项： 1.满分120分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列四个数中，是负整数的是（ ） A. B. 0 C. D. 7 2. 广州新机场于月日开工，总投资亿元，计划“十五五”期间建成，该项目将补齐珠江西岸民航短板，助力构建世界级机场群．数据“亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，交于点．若，则的长为（　　） A. B. 5 C. 10 D. 6. 如图，这是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 某中学书法兴趣小组12名成员的年龄情况如下表． 年龄/岁 12 13 14 15 16 人数 1 4 3 2 2 则这个小组成员年龄数据的中位数是（ ） A. 13 B. 14 C. 2 D. 3 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 该蓄电池的电压是 B. 当时， C. 当时， D. 当电阻越大时，蓄电池的电流越小 10. 如图，在中，延长斜边到点C，使，连接．若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. 计算的结果是_________． 13. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围为______． 14. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号、、、的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是_______． 15. 如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，连接，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，，则阴影部分的面积为___________．（结果保留） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 17. 如图，是的直径，交的中点于D，．求证：是的切线． 18. 每年的3月14日为国际数学日，为庆祝国际数学日，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要80元，购买5副七巧板和4副数独棋需要150元． （1）分别求七巧板和数独棋的单价． （2）若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过800元，则数独棋最多能购买多少副？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 20. 覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省粤西地区的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取200个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用（单位：cm）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图． 组别 /cm A B C D E 根据所给信息，解答下列问题． （1）在甲品种扇形统计图中，D组对应的扇形的圆心角为多少度？ （2）从乙品种芒果测量结果的D组数据中随机抽取8个数据，具体为：18.1，18.3，18.5，18.5，18.8，18.8，18.8，18.9． 这8个数据的众数是____________． 张明同学断定此数据为乙品种芒果D组测量数据的众数，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由． （3）结合市场调查，按照级别评定要求（一级品质最优，二级次之，三级最次），认定D组和C组的芒果为优级产品，B组和E组为基本合格产品，A组为次果．你认为哪个品种的芒果品质更优？请说明理由． 21. 【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 （1）当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． （2）如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 （1）任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 （2）任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 （3）任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） （4）任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 23. 定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： （1）以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： （2）如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： （3）如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 2025-2026学年度第二学期质量监测（一） 初三数学试卷 注意事项： 1.满分120分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】m≤4## 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 【16题答案】 【答案】（1）② （2） 解：已知， 因式分解并移项： ， ； 提公因式： ； 化简求解： ， ， 则或， 解得，． 【17题答案】 【答案】证明：连接， 是的中点， ． ， ． 又， ． 是的切线． 【18题答案】 【答案】（1）七巧板和数独棋的单价分别为10元，25元． （2）数独棋最多能购买20副． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 【19题答案】 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 证明：由作图得 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【20题答案】 【答案】（1） （2）18.8；不正确，理由：没有给出其他的数据，不能判断众数 （3） 解：乙品种芒果的品质更优． 理由：甲品种芒果的优级产品所占的百分比为： ； 乙品种芒果的优级产品所占的百分比为： ． ， 乙品种芒果的品质更优． 【21题答案】 【答案】（1）①1；②0.9米 （2）绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 【22题答案】 【答案】（1） （2）拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线， 理由：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； ∴， 在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、， 则， 则劣弧所对圆心角度数为， 即， 则， ∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： （3）横向限高杆离水面距离为米 （4）光线与抛物线之间的最小距离为米 【23题答案】 【答案】（1）②③ （2） ①证明：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即四边形一定为“勾股四边形”； ② （3）4 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $