20.1 勾股定理及其应用 同步分层试卷 2025--2026学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下册 20.1 勾股定理及其应用 同步分层试卷 一、夯实基础 1．已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．以上都不对 2．如图字母所代表的正方形的面积是（　　） A．12 B．13 C．144 D．194 3． 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 4． 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为（　　） A．480 m B．380 m C．580 m D．500 m 5．如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 6．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意如下：如图，有一形状是矩形的门，它的高比宽多6.8尺，它的对角线长10尺，问它的高与宽各多少？利用方程思想，设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（　　） A．x2+（x+6.8）2=102 B．x2+（x-6.8）2=102 C．x （x+6.8） =102 D．x（x-6.8）=102 7． 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为　 　. 8．如图，一个梯子长米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在上的位置上，如图，测得的长米，则梯子底端向右滑动了　 　米． 9．如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要　 　米． 10．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 二、能力提升 11．在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的横坐标在哪两个数之间（　　） A．0到1 B．1到2 C．2到3 D．3到4 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则　 　． 13．如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=　 　． 14．如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　 　． 15．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好组合得到如图2所示的四边形．若，．求的长； 三、拓展创新 16．在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是　 　；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是　 　． 17．实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4， 设斜边长为．根据勾股定理： ， 故选：A． 【分析】根据勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 2．【答案】C 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：∵， ∴字母所代表的正方形的面积． 故答案为：C． 【分析】根据勾股定理即可得出答案。 3．【答案】B 【知识点】勾股定理的证明 【解析】【解答】解：A. ∵， ∴， ∴该选项能用来验证勾股定理； B.该选项不能用来验证勾股定理； C.∵， ∴， ∴该选项能用来验证勾股定理； D.∵， ∴， ∴该选项能用来验证勾股定理； 故答案为：B. 【分析】结合图形，利用利用三角形和正方形等面积公式看是否能求出即可作答. 4．【答案】A 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：由题意得∠ABC=90°， ∴由勾股定理得， 故答案为： A 【分析】先根据题意得到∠ABC的度数，进而根据勾股定理即可求解。 5．【答案】B 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为， 故答案为：B． 【分析】由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求出答案. 6．【答案】A 【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【解答】解：∵矩形的门的高比宽多6.8尺，且门宽为x尺， ∴门高为（x＋6.8）尺． 根据题意得：x2+（x+6.8）2=102． 故答案为：A. 【分析】根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门高为（x＋6.8）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的方程，此题得解． 7．【答案】1800m 【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理 【解析】【解答】解： 如图，连结AC 根据题意，得∠DAB=52°，∠EBC=38°. ∵EF∥AD， ∴∠FBA=∠DAB=52°， ∴∠ABC=180°-(∠EBC+∠FBA)=90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=====×=600×3=1800(m). 故A，C两地之间的距离为1800 m. 故答案为：1800m. 【分析】根据题意得Rt△ABC，再根据勾股定理计算出AC的长. 8．【答案】 【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题 【解析】【解答】解：中， 中，， ， ； 故答案为：． 【分析】在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长，由线段和差求出CE的长，由题意易得AB=ED=25米，在Rt△CED中用勾股定理可得CD的长，最后再根据BD=CD-CB进而算出答案. 9．【答案】7 【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【解答】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：7． 【分析】本题主要考察勾股定理的应用和平移的性质，根据平移的性质可知，铺楼梯的地毯最短长度等于楼梯的水平宽度与垂直高度之和，解题时先在中利用勾股定理求出水平宽度的长度，再将与的长度相加即可得到结果。 10．【答案】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题 【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理可求得CD的长，进而即可得出，（米）；（2）首先可求得，进而根据勾股定理可求得（米），进而得出（米），即可得出答案。 （1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 11．【答案】C 【知识点】无理数的估值；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点 【解析】【解答】解：∵A（﹣1，0），B（0，3）， ∴OA＝1，OB＝3， 在Rt△OAB中，由勾股定理得： AB＝ ∴AC＝AB＝， ∴点C的横坐标为， ∵， ∴ ∴ 故答案为：C． 【分析】利用勾股定理求出AB＝，由同圆半径相等得AC=AB=，由OC=AC-OA求出点C距离原点的距离为，进而根据数轴上的点所表示数的特点得出点C的横坐标为，最后利用估算无理数大小的方法估算出的范围，即可得出答案. 12．【答案】53 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：53． 【分析】在Rt△AOD与Rt△BOC中，利用勾股定理得OA2+OD2=4，OB2+OC2=49，将两式相加得OA2+OD2+OB2+OC2 =53；在Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，把两式相加再整体代入可得答案. 13．【答案】7 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】在Rt△ABO中，由勾股定理可知OB=， 在Rt△OBC中，由勾股定理可知OC= ， 在Rt△OCD中，由勾股定理可知OD=， ∴OD2=7． 故答案为7. 【分析】根据勾股定理依次求得OB、OC、OD的长解答即可． 14．【答案】6 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：∵在中，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：6 【分析】本题考查勾股定理、圆的面积公式以及阴影部分面积的计算方法，阴影部分面积可通过“两个小半圆面积 + 直角三角形面积 - 大半圆面积”求解。首先，根据勾股定理计算斜边的长度，；然后分别计算三个半圆的面积，以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为；最后，代入阴影部分面积公式，可得，化简后的项相互抵消，结果为6。 15．【答案】解：在中，， 在中，. 【知识点】勾股定理 【解析】【分析】本题考查勾股定理在连续直角三角形中的应用，首先在中，以和为直角边，利用勾股定理求出的长度；再在中，以和为直角边，再次利用勾股定理，代入数值即可求出的长度。 16．【答案】；16 【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理 【解析】【解答】解：当点A，P，D三点共线时最小， 此时， ∴， ∴， 根据勾股定理，得，， 则， ∴． 这个代数式得最小值是； 根据题意，得， 如图所示，我们将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值. 当点A，P，D三点共线时最小， 此时，则， ∴， 根据勾股定理，得， 即， 解得则， ∴. 在中，， ∴， ∴． 这个代数式得最小值是16． 故答案为：；16． 【分析】当点A，P，D三点共线时最小，此时，则，根据边之间的关系可得PC，根据勾股定理可得AP，PD，根据边之间的关系可得最小值；根据题意，得，将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值，当点A，P，D三点共线时最小，此时，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得则，再根据含30°角的直角三角形性质可得DP，再根据边之间的关系即可求出答案. 17．【答案】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 绳子长度（）． 答：绳子总长度为18分米． （2）如图2，由题意可知，， 若物体C升高，则此时（）， 在中，由勾股定理得，（）， （）． 答：滑块B向左滑动的距离为． 【知识点】勾股定理；求算术平方根；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题 【解析】【分析】（1）设，则，在中，利用求解，最后算出绳子长度即可； （2）由题意可知，（），在中，由勾股定理得，，最后算得长度即可． 学科网（北京）股份有限公司 $