高一下学期期末实战模拟卷四(复数)-【创新教程】2025-2026学年高一下学期数学期末实战模拟卷（人教B版）

高一下学期期末实战模拟卷四 命题范围：复数 测试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.若复数之=a2+i(a一1+i)是纯虚数，则实数a= ( 整 A.1 B.-1 C.±1 D.0 2.已知复数=？-i,则 ( c. 2 如 3.已知复数之=(1一i)(a+i)(a∈R),则“a<0”是“x的实部小于0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 识 4.若复数x满足(2+3i)z=24十802，则复数：在复平面内对应的点位于 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如图，在复平面内，复数之对应的点分别为乙1，乙2，则复数兰为 毁 A.-i B.-1 C.-3i D.-3 6.已知复数x=5+i,则|z2一5z= ( ) A./13 B.√26 C.2√13 D.2√26 夺 7.已知(1+i)b=a(i-1)+2i,其中a,b∈R,i为虚数单位，则以a,b为根的一个一元二次方 程是 () A.x2-1=0 B.x2+x=2 C.x2-x=0 D.x2+x=0 8.欧拉公式e=cos0+isin0是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的0取π就得到了欧拉 恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”，已知复数：满足=？，则|：一。1的最大 值为 B.1 c 3 数学试题（四）第1页（共4页） 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.在复数范围内，方程x2+x十1=0的两根记为x1,x2,则 () A.x1十x2=1 B.x1x2=1 C.|x1-x2|=√3 D.x1-x2=士3 10.已知之1=10一i,(1一2i)x2=i一3，若a,b∈R,之1十a为纯虚数，x2一bi为实数，则（) A.|x|=√2 B.x2的虚部为一i C.a=-1 D.b=-1 11.已知非零复数之，，之2，其共轭复数分别为之1，之2则下列选项正确的是 () A.= B.x1十x2=21十2 C.若|x2+1|=1,则|z2一1|的最小值为2 哥 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.向量a=(3,4),设向量a对应的复数为之，则z的共轭复数 ,= 13.已知复数1和复数2满足1十x2=3十4i,之1一2=一2+i(i为虚数单位)，则|z一号 14.已知复数之1,2满足之1十2z1=-3-i,之2一之1=1，则z2十2i的最大值为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演讲算步骤.） 15.(本小题满分13分)已知2一i是关于x的方程x2一mx+n=0(m,n∈R)的一个根. (1)求m,n的值； (2)若之=a2一na十m+（a-m)i是纯虚数，求实数a的值和|z. 数学试题（四）第2页（共4页） 16.(本小题满分15分)设复数x1=1-ai(a∈R),之2=3一4i. (1)若之1十之2是实数，求之1·之2： (2)若是纯虚数，求· 17.(15分)已知复数之=a十i,x2=1-ai(a∈R,i是虚数单位) (1)若之1一z2在复平面内对应的点落在第二象限，求实数α的取值范围； (2)若x2是实系数一元二次方程x2一(a+1)x十n=0的根，且z十mz,(m∈R)是实数， ++n十求1：-1川的值. 记之=1+1+ 数学试题（四）第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)已知2-i是关于x的方程x2十mx十n=0(m,n∈R)的一个根，其中 i为虚数单位， (1)求m+2n的值； (2)记复数x=m十ni,求复数千的模. 19.(本小题满分17分)在复数集中有这样一类复数：z=a+bi与之=a一bi(a,b∈R),我们 把它们互称为共轭复数，b≠0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数 的特点. (1)设≠士i,=1.求证1千。是实数： 些 (2)已知=3，之=5，之1-2=7，求兰的值； (3)设之=x十yi,其中x,y是实数，当|z=1时，求|z2-z+1|的最大值和最小值. 数学试题（四）第4页（共4页） 高一下学期期未实战摸拟卷四 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）☐ 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 错误填涂 涂写要工整、清晰。 样 事 3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 号器g 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题（共58分） 1A⑧@回 4ABC回 7 A BCD 10 ABCD 2A⑧回回 5ABC回 8A®@D 11A®@回 在各 3A®g回 6A®g回 9ABCD 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 答题 填空题（共15分） 域 12. 答 13. 4 超 边 解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（四）第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答 ,超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（四）第2页（共4页） 2 考生 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字，填写样例：若座号02，则填 必填 写为02 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（四）第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（四）第4页（共4页）18.解：(1)由题设及由正弦定理，得a十c=pb, (2)因为cos3= 5 a十c= 后且日为锐角， 3 所以sinB= 2,在△AOM中，由正弦定理得， /a+c=5 a= /1 4 AM OM 由 解得 1,或 a41 1 sin3sin∠MAo ac= c=1 4 313 (2)由余弦定理，b2=a2+c2-2 accos B=(a十c)2 即6v2 2 sin/MAO,所以sin∠MAO=2 aaccos B. 3 即p2=+os 由题意知∠A0B>受，所以∠MA0= 所以∠AB0=。一子，因为ma=2, 0<cosB1,p∈（侵2 所以sina= 2 由题茨知>0，<p<反 √56·osa=5 19.解：(1)在△AOM中，AO=15,∠AOM=3且cos3= 所以sin∠AB0=sim(a至)而 3,OM=33, 又∠AOB=π-a, √/131 所以sin∠AOB=sin(x-a)= 2 由余弦定理得，AM2=OA2+OM2-2OA·OM· 在△AOB中，AO=15, cos∠AOM=(3√13)2+152-2×3×√13×15× AB AO 3 =13×9+15×15-2×3×15×3=72. 由正弦定理得，sinAOB sin/AB0 /3 即AB15 所以AM=6√2，即大学M与站A的距离AM为 2 1， 6√2km. 所以AB=30√2，即铁路AB段的长为30√2km. 高一下学期期末实战模拟卷四 选择题答案速查 题号1 2 3 4 5 6 8 9 1011 答案 B 0 A B A D BC ACD BD 1.B [由之=a2+i(a-1+i)=a2-1+(a-1)i, 7.A[因为(1+i)b=a(i-1)+2i,所以b+bi=-a+(a 根据题意可知口2-1=0 +2)i, \a-1≠01 a=-1.] 所以=一a 2.C[因为之=2-i,所以之=2+i, 所以21 0+所以， 8”+1 因此所选方程的两根为士1，仅有x2一1=0符合 要求.] 3.B[因为之=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i, 8.D[设=x+i∈R),则z2+y2=, 若其实部小于0，则a十1<0，即a<-1, -e=x+yi-cos x-isin =x+1+yi, 显然a<0是a十1<0的必要不充分条件.] 4.D[因为(2+3i)之=i2024+8i2025, 所以|之-e|=|x+1+yi|=√(x+1)2+y2= 片以+-+会-8+0侣二部-2+ +D+-2+ 所以之=2一，所以复数之在复平面内对应的点为(2， ,所以1 因为x2+y2=1, 一1)，位于第四象限.] 5.A[依题意，在复平面内，复数之1，之2对应的点分别 所以：。的装大位鸡V2×宁十哥-号】 为Z1,Z2,则之1=1十2i,之2=-2+i, 9.BC[因为方程x2十x十1=0的两根记为x1,x2, 所以=1+21=1+2i0(-2-i)】 之2 2干产2+(-2号=] 解2++1-0得n=+停w=号. 6.B[由之=5+i可得x2-52=x(之-5)=(5+i)(5+i 所以x1十x2=-1,x1x2=1,因此A错误，B正确； 5)=5i+i2=-1+5i, |x1-=W3il=5,C正确：-x2=V5i或x2-x1 则|x2-5x|=|-1+5il=√(-1)2+52=√26.] 一√⑤i,故D错误.] 8 10.ACD[,1=0-i=1-i,.|1=√12+(-1) 14.解析：令复数之1=x十yi,x,y∈R,则之1=x一yi, =2,故A正确：(1-2i)2=i-3.2=12 -3+i 所以x1+2经1=3.x-yi=-3-i,所以x=-1,y=1, 即z1=-1+i (-3+i01+2D=-1-i,虚部为-1，故B错误： 又因为|2一之1=1，即在复平面内，复数2所对应 5 的点的轨迹是以（一1,1）为圆心，1为半径的圆. :1十a=1十a-i为纯虚数，∴.1十a=0,即a=-1, 又点(-1,1)到点(0，一2)的距离为 故C正确；，2一bi=一1一(b十1)i为实数，∴.b+1 √(-1-0)2+(1+2)3=√10， =0,解得b=-1,故D正确.] 1l.BD[设x1=a十bi,2=c+di(a,b,c,d∈R), 所以之2十2i的最大值为√10+1. 对A,号=a2+2abi-b2212=(a-bi)2=a2-2abi-b2, 答案：√10+1 15.解：(1)由2-i是方程x2-m.x十1=0的一个根，得 当a,b至少一个为0时，号=之 (2-i)2-m(2-i)+1=0, 当a,b均不等于0时，≠，故A错误： 整理得3一2m十n十(m一4)i=0,因此 对B,1十心2=(a十c)十(b+d)i,则1十x2=(a十c) 3-2m+1=0 -(b+d)i, 所以m=4,n=5. (m-4=0 而之1+2=a-bi+c-di=(a十c)-(b+d)i,故 (2)由(1)知，之=a2-5a十4+(a-4)i, 1十2=之1十2，故B正确； 对C,若|2十1|=1，即|(c十1)十di|=1,即 由之是纯虚数，得02-5a+4=0 ,解得a=1,则之= (a-4≠0 √(c+1)2+d=1, -3i, 即(c+1)2+d2=1,则(c,d)在复平面上表示的是以 所以x=√(-3)7=3. (一1,0)为圆心，半径r=1的圆， 16.解：(1)由之1=1-ai,之2=3-4i,得21十2=4-(4十 |2-1的几何意义表示为点(c,d)到点(1,0)的距 a)i,而之1十2是实数， 离，显然(1+1)2+02=4>1， 于是4十a=0,解得a=-4, 则点(1,0)在圆外，则圆心到定点(1,0)的距离d=2, 所以之1·之2=(1+4i)(3-4i)=19+8i. 则点(1,0)与圆上，点距离的最小值为d一r=2一1= 2)俊短喜是-票得格品 1,故C错误： 对 D, 1 a+bi (a+bi)(c-di) 3+4a十(4-3a)i是纯虚数， 25 22 c+di c2+d2 (3+4a=0 _actbd+(bc-ad)i 因此 4-3a≠01 解得a=一3 4 c2+d2 ac-bd bc-ad 所以1=1+子 c2+d2 c2+d2 17.解：(1)因为复数之1=a十i,22=1一ai,所以21一z2= (a2+b2)(c2+d2) a2+b2 a-1+(a+1)i, (c2+2)2 Vc2+d2 其对应的点为(a一1，a十1)，由题意 ja-1<0 解得 之1 之1 (a+1>01 而 Va2+b2 ,故 1z2 ,故D正确.] √c2+d 22 -1<a<1, 12.解析：向量a=(3,4),则向量a对应的复数为之=3十 即实数a的取值范围为（一1,1）： (2)由题意知x2-(a十1)x十1=0的根有22， 4i,故之=3-4i,|z|=√9+16=5. 则，(1-ai)2-(a+1)(1-ai)+n=0, 答案：3-4i5 整理得：-a2-a十n+(a2-a)i=0, 13.解析：设1=a十bi,22=c十di,a,b,c,d∈R, 解得a=1,n=2,.1=1+i, 则1-之2=(a-c)+(b-d)i,21-2=(a-bi)-(c 好十m21为实数， -di)=(a-c)-(b-d)i, .(1+i)2+m(1+i)为实数，即m+(2+m)i为实 所以21一之2=21一之2， 数，∴.2十m=0,m=-2, 因为31十之2=3十4i,之1-之2=-2+i 所以号-号=（之1十2）（之1-2）=(3+4i)(-2-i) 所以=+1+2 2025 之1 之2 =-6-3i-8i-4i2=-2-11i, 号+岁+-2+1+ 2 2 则|8-号引=|-2-11il=√(-2)2+(-11)z=55. 答案：5√⑤ 所以1-1=是子--9 9