易错点1专项突破：相交与平行-2025-2026学年三年级下册数学苏教版（新教材）

第五单元 长方形和正方形 易错点1专项突破：相交与平行 一、选择题 1．下面每组直线的位置关系互相平行的是（    ）。 A．①③ B．①③④ C．②⑤ 【答案】A 【分析】在同一个平面内，永不不相交的两条直线叫作平行线，据此解答。 【详解】图中的①③的位置关系互相平行的。 A．都是互相平行的直线； B．①③是互相平行的直线，④不是互相平行的直线； C．都不是互相平行的直线。 故答案为：A 2．战国时期的墨家代表著作《墨经》中有一句话“平，同高也”，这句话描述了平行线的（    ）特点。 A．在同一平面内永不相交 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】B 【分析】理解“平，同高也”的含义，“平，同高也”意思是两条线是平行的，它们之间的高度（也就是距离）是相同的。并将其与各个选项所描述的平行线特点进行匹配。 【详解】A．“在同一平面内永不相交”强调的是平行线的位置关系，与“同高”所表达的距离相等的意思不符。 B．“两条平行线之间的距离处处相等”，正好与“平，同高也”所表达的两条线平行且距离相同的意思一致。 C．“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”描述的是一种判定平行线的方法，并非“同高”所体现的特点。 所以，“平，同高也”描述了平行线两条平行线之间的距离处处相等的特点。 故答案为：B 3．下面是三个同学画平行线的方法，你认为方法可行的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 【答案】C 【分析】平行线的特征：两条直线永不相交，没有交点，据此判断； 方法1：直尺的两条边互相平行，可以画平行线；方法2：方格纸上的同向的边平行，可以画平行线；方法3：两条平行线之间画了两条垂直线段，平行线间的垂直线段都平行，可以画平行线。 【详解】由分析可知：三个同学画平行线的方法都可行，有3个。 故答案为：C 4．下图中，从点P到已知直线最短的线段是（    ）。 A．① B．② C．③ 【答案】B 【分析】从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短，据此选择即可。 【详解】A．线段①和已知直线不垂直，不符合题意； B．线段②和已知直线垂直，符合题意； C．线段③和已知直线不垂直，不符合题意。 最短的线段是②。 故答案为：B 5．图中是明明立定跳远的情况，他在沙坑里的落脚点是A点，线段（    ）的长度表示他的成绩比较合理。 A．AB B．AC C．AD 【答案】B 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫这点到这条直线的距离，这个点与垂足之间的线段叫做垂线段；跳远量的是起跳线到沙坑落地点的垂线距离，据此解答。 【详解】由分析可知，线段AC的长度表示他的成绩比较合理。 故答案为：B 6．把一张长方形纸按下面的方法对折两次，再打开，则这几条折痕（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．不在同一平面 【答案】A 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 【详解】把一张长方形纸按下面的方法对折两次，再打开，则这几条折痕互相平行。 故答案为：A 二、填空题 7．下图中，道路①与道路( )平行，与道路( )垂直。 【答案】 ② ③ 【分析】平行：在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。垂直：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 由图可知，道路①是竖直方向的线段，道路②也是竖直方向，因此道路①与道路②平行；道路①（竖直）与水平方向的道路③相交成直角，因此道路①与道路③垂直。 【详解】道路①是竖直方向的线段，道路②也是竖直方向；道路①（竖直）与水平方向的道路③相交成直角。 道路①与道路②平行，与道路③垂直。 8．一张试卷上相邻的两条边互相( )，相对的两条边互相( )。若把这张试卷沿同一方向对折两次，则折痕间的关系是互相( )。 【答案】 垂直 平行 平行 【分析】试卷是长方形，根据长方形的特征以及平行、垂直的定义，长方形相邻边的夹角是90°，所以相邻两条边互相垂直；长方形对边永不相交，所以相对两条边互相平行；沿同一方向对折两次，折痕都和原边平行，因此折痕之间也互相平行。 【详解】根据长方形的特征和平行、垂直的定义，能判断出试卷邻边互相垂直、对边互相平行，同一方向对折两次的折痕也互相平行。 9．在两条平行线之间画3条垂直线段，第1条长6cm，第3条长( )cm。 【答案】6 【分析】两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离，平行线之间的距离处处相等，据此即可解答。 【详解】根据分析可得： 在两条平行线之间画3条垂直线段，第1条长6cm，第3条长6cm。 10．图中，直线③和直线④互相( )，直线( )和直线( )互相垂直。（填序号） 【答案】 平行 ① ⑤ 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 【详解】根据分析可知，直线③和④不相交故平行，直线①和⑤相交成直角故垂直。 11．如图，互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 【答案】 ①③ ②④ 【分析】这题考查的是平行线和垂直的概念。平行线是指在同一平面内，永不相交的两条线。两条线相交成直角，我们称之为这两条线相互垂直。 【详解】根据分析，①是平行，②是相交，③是平行，④是垂直，⑤是相交，⑥不是直线；所以相互平行的是①③，互相垂直的是②④。 12．端点分别在平行的两条直线上，与平行线垂直的线段有( )条，这些线段的长度都相等。 【答案】 无数 【分析】根据题意，因为两条直线平行，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线段，这些垂线段都与平行线垂直。根据平行线的性质，平行线之间的距离处处相等，所以这些垂线段的长度都相等。由于一条直线上有无数个点，因此可以作出无数条这样的垂线段。 【详解】根据分析可知： 端点分别在平行的两条直线上，与平行线垂直的线段有无数条，这些线段的长度都相等。 三、判断题 13．直尺相对的两条边互相平行，相邻的两条边互相垂直。( ) 【答案】√ 【分析】在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条线互相平行；两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直；据此解答。 【详解】看图可知，直尺相对的两条边互相平行，相邻的两条边互相垂直。 原题说法正确。 故答案为：√ 14．在同一平面内，不相交的两条直线一定互相平行。( ) 【答案】 √ 【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。根据平行线的定义，若两条直线不相交，则它们一定互相平行。 【详解】根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。因此，这个说法是正确的。 故答案为：√ 15．在一张白纸上画两条不平行的直线，则这两条直线互相垂直。( ) 【答案】× 【分析】同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况，据此判断即可。 【详解】 如图： 在一张白纸上画两条不平行的直线，不一定互相垂直，原题说法错误。 故答案为：× 16．9时30分，钟表的时针和分针是互相垂直的。( ) 【答案】× 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°；9时30分时，分针指向6，时针指在9与10的中间，时针与分钟之间有3个半大格，时针与分针之间的夹角是：30°×3＋30°÷2＝105°；两条互相垂直直线的夹角为90°，那么要想判断9时30分，钟表的时针和分针是否是互相垂直的，据此将计算出的此时的钟表的时针和分针的夹角与90°进行比较即可解答。 【详解】30°×3＋30°÷2 ＝90°＋15° ＝105° 因此9时30分，钟表的时针和分针的夹角不是90°的角，此时的时针和分针互相不垂直；原题说法错误。 故答案为：× 17．从直线外一点向直线上画一些线段，其中垂直的线段最短。( ) 【答案】√ 【分析】如下图，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫这点到这条直线的距离，从直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，从直线外一点向直线上画一些线段，其中垂直的线段最短，原说法正确。 故答案为：√ 18．只要两条直线互相垂直，那么这两条直线一定相交成直角。( ) 【答案】√ 【分析】根据垂直的定义，两条直线相交成直角时，这两条直线一定互相垂直，据此解答即可。 【详解】只要两条直线互相垂直，那么这两条直线一定相交成直角。原题说法正确。 故答案为：√ 四、作图题 19．分别过点A画已知直线l的垂线和平行线。 【答案】见详解； 【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】 20．点A到直线l的距离各是多少？画一画，量一量。 【答案】见详解 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，用三角尺画出垂线段；并用直尺测量出长度。 【详解】把三角板的一条直角边紧紧贴住直线，慢慢移动三角板，让另一条直角边刚好经过点A，沿着经过A的直角边，从A向直线画一条线段，直到和直线l相交，画的时候线段要直直的和直线形成直角。 把直尺的0刻度线对齐垂线段的端点A，看垂线段另一端对应的直尺刻度，这个刻度数就是点A到直线l的距离。 21．分别过直线外一点，画已知直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】利用三角板和直尺，根据平行线的判定方法来画已知直线的平行线。 1、把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边。 2、沿直尺移动三角板，使三角板原来与已知直线重合的直角边经过直线外一点。 3、沿三角板经过直线外一点的直角边画直线，这条直线就是已知直线的平行线。 【详解】 22．某工程队要修一条小路，这条小路先从居住区通往种植园，再从种植园通往小河，怎样修最近？画图表示。 【答案】图见详解 【分析】两点之间，线段最短。直接用直线连接“居住区”和“种植园”，这就是两点间的最短路径。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使修路最近，则从“种植园”向小河作一条垂线，这条垂线就是到小河的最短路径。 【详解】如图： 23．过点C画出直线a的垂线，过点C画出直线b的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】 24．下图中，过点A画已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】使用三角板即可画出垂线，把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】 25．画出芙蓉镇到公路最近的路。 【答案】见详解 【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把公路看作一条直线，芙蓉镇看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。 【详解】 如图： 26．（1）以点A为端点，过点B作一条射线。 （2）过点C作射线AB的垂线。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）射线的定义：以一个点为端点，向一个方向无限延伸的线。操作：连接点A和点B，然后从A出发，经过B向B的外侧无限延长，得到射线AB（端点是A）。 （2）垂线的定义：与已知直线（或射线）夹角为90°的直线。过C作射线AB的垂线：用三角尺的一条直角边与射线AB重合；移动三角尺，使另一条直角边经过点C；沿这条直角边画直线，与射线AB相交于一点（垂足），这条直线就是过C的射线AB的垂线。 【详解】（1）作图如下： （2）作图如下： 五、解答题 27．小明在装饰屋子，画框挂歪了吗？你能帮小明检查出问题吗？请你在图中画出来，并写出验证方法。 【答案】见详解 【分析】两条直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离。平行线之间的距离处处相等，根据画框底边两个端点到地面的距离是否相等来判断画框是否挂歪了，据此解答即可。 【详解】画框挂歪了，画框底边两个端点到地面的距离不相等（如下图），因为平行线间垂直线段的长度都相等，所以画框底边的任意一点到地面的距离相等时，这个画框的底边就是和地面平行，也就是画框挂正了，否则画框就挂歪了。 28．小明在游泳池里游泳，现在A处，他想尽快游上岸，你能帮他设计一条最近的游上岸的路线吗？把最短的路线画出来。 理由是：______________________________。 【答案】 作图见详解； 连接直线外一点到已知直线上任意一点的线段，垂直线段最短。 【分析】因为连接直线外一点到已知直线上任意一点的线段，垂直线段最短；所以要设计一条最近的游上岸的路线，只需从A点向最邻近的一边作垂直线段，这条垂直线段就是最短的路线。据此解答。 【详解】 理由是：连接直线外一点到已知直线上任意一点的线段，垂直线段最短。 29．木工师傅常常把两把尺子的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应尺子上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行，你能说出其中的道理吗？ 【答案】平行线之间的距离处处相等 【分析】根据垂直和平行的特征及性质，平行是指两个或多个线段、直线或平面在同一平面内且永远不相交。平行线的特点是它们的距离处处相等。垂直是指两个线段、直线或平面之间的关系，其中一个线段、直线或平面与另一个线段、直线或平面的交角为90度。垂直关系是平行关系的一种特殊关系。据此解答即可。 【详解】木工师傅常常把两把尺子的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应尺子上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行，依据平行线之间的距离处处相等。 答：平行线之间的距离处处相等。 30．运动会跳远比赛时，每个运动员都有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩。张阳在跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中的位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你画的两条线段互相（    ）。（填：“垂直”或“平行”） （3）张阳两次成绩分别为220厘米和196厘米，李康的成绩分别为：215厘米、205厘米和210厘米。你认为他俩谁会获胜？说说你的理由。 【答案】（1）见详解； （2）平行； （3）张阳；因为比赛规则是以最好的一次成绩作为最终成绩（理由答案不唯一） 【分析】（1）从图中2个位置分别画2条到踏跳板的垂线段，过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线； （2）同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况； （3）根据比赛规则，因为是以最好的一次成绩作为最终成绩，先分别比较出各自最好的成绩，再比较两人最好的成绩即可；据此解答。 【详解】根据分析： （1） （2）我画的两条线段互相平行。 （3）张阳：220＞196 李康：215＞210＞205 220＞215 答：我认为张阳会获胜，因为比赛规则是以最好的一次成绩作为最终成绩。（理由答案不唯一） 31．杏花村打算修一条小路与主干道相连，如何修最短？请你画下来，并简要说明理由。 理由：____________________________________________ 【答案】画图见详解 从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使修路最近，则从杏花村向主干道斜边作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】 理由：从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 32．下图是A市某街区的平面示意图。 （1）和解放路互相平行的是（    ）路，（    ）路和花园路互相平行。 （2）胜利小区需要铺设天然气管道，主管道在滨江路上，怎样铺设最节省材料？请你在图中画出来。 【答案】（1）滨江；光明；（2）见详解 【分析】（1）永不相交的两条直线互相平行，延长滨江路所在的直线与解放路所在的直线不会有交点，所以滨江路与解放路互相平行，花园路与解放路相交、也与滨江路相交，与光明路不会相交，由此可以知道花园路与光明路互相平行。 （2）要使天然气管道最节省材料，即从胜利小区到滨江路铺设的管道最短，要使其最短，即从胜利小区向滨江路作垂线段，将直角三角尺的一条直角边与滨江路重合，使得胜利小区在另一条直角边上，沿着这条直角边过胜利小区所在点的位置向滨江路画线段，即为垂线段，这条垂线段即为铺设管道的路线。 【详解】（1）和解放路互相平行的是滨江路，光明路和花园路互相平行。 （2） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 长方形和正方形 易错点1专项突破：相交与平行 一、选择题 1．下面每组直线的位置关系互相平行的是（    ）。 A．①③ B．①③④ C．②⑤ 2．战国时期的墨家代表著作《墨经》中有一句话“平，同高也”，这句话描述了平行线的（    ）特点。 A．在同一平面内永不相交 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 3．下面是三个同学画平行线的方法，你认为方法可行的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 4．下图中，从点P到已知直线最短的线段是（    ）。 A．① B．② C．③ 5．图中是明明立定跳远的情况，他在沙坑里的落脚点是A点，线段（    ）的长度表示他的成绩比较合理。 A．AB B．AC C．AD 6．把一张长方形纸按下面的方法对折两次，再打开，则这几条折痕（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．不在同一平面 二、填空题 7．下图中，道路①与道路( )平行，与道路( )垂直。 8．一张试卷上相邻的两条边互相( )，相对的两条边互相( )。若把这张试卷沿同一方向对折两次，则折痕间的关系是互相( )。 9．在两条平行线之间画3条垂直线段，第1条长6cm，第3条长( )cm。 10．图中，直线③和直线④互相( )，直线( )和直线( )互相垂直。（填序号） 11．如图，互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 12．端点分别在平行的两条直线上，与平行线垂直的线段有( )条，这些线段的长度都相等。 三、判断题 13．直尺相对的两条边互相平行，相邻的两条边互相垂直。( ) 14．在同一平面内，不相交的两条直线一定互相平行。( ) 15．在一张白纸上画两条不平行的直线，则这两条直线互相垂直。( ) 16．9时30分，钟表的时针和分针是互相垂直的。( ) 17．从直线外一点向直线上画一些线段，其中垂直的线段最短。( ) 18．只要两条直线互相垂直，那么这两条直线一定相交成直角。( ) 四、作图题 19．分别过点A画已知直线l的垂线和平行线。 20．点A到直线l的距离各是多少？画一画，量一量。 21．分别过直线外一点，画已知直线的平行线。 22．某工程队要修一条小路，这条小路先从居住区通往种植园，再从种植园通往小河，怎样修最近？画图表示。 23．过点C画出直线a的垂线，过点C画出直线b的平行线。 24．下图中，过点A画已知直线的垂线。 25．画出芙蓉镇到公路最近的路。 26．（1）以点A为端点，过点B作一条射线。 （2）过点C作射线AB的垂线。 五、解答题 27．小明在装饰屋子，画框挂歪了吗？你能帮小明检查出问题吗？请你在图中画出来，并写出验证方法。 28．小明在游泳池里游泳，现在A处，他想尽快游上岸，你能帮他设计一条最近的游上岸的路线吗？把最短的路线画出来。 理由是：______________________________。 29．木工师傅常常把两把尺子的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应尺子上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行，你能说出其中的道理吗？ 30．运动会跳远比赛时，每个运动员都有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩。张阳在跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中的位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你画的两条线段互相（    ）。（填：“垂直”或“平行”） （3）张阳两次成绩分别为220厘米和196厘米，李康的成绩分别为：215厘米、205厘米和210厘米。你认为他俩谁会获胜？说说你的理由。 31．杏花村打算修一条小路与主干道相连，如何修最短？请你画下来，并简要说明理由。 理由：____________________________________________ 32．下图是A市某街区的平面示意图。 （1）和解放路互相平行的是（    ）路，（    ）路和花园路互相平行。 （2）胜利小区需要铺设天然气管道，主管道在滨江路上，怎样铺设最节省材料？请你在图中画出来。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $