5.2角平分线的性质 课件 2025-2026学年八年级数学上册（湘教版 ）

1.4角平分线的性质 祁阳市浯溪第一中学 张梅丽 湘教版八年级上册 1 1\21 学习目标 1 2 掌握角平分线的性质与判定. 掌握角平分线在实际生活中的应用. 3 能综合运用全等知识解决相关问题. 2 如图，小明家住在祁阳市盘龙小区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点上，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.问怎样修建管道最短？新修的两条管道长度有什么关系？ . P 暖气管 天然气管 情境引入 一、折一折 把∠AOB的纸片对折，使OA和OB重合，然后展开，这条折痕OC是∠AOB的 . 重合后，再把纸片折叠，使O点落再OA边上，再展开，得到两条折痕，量一量这两条折痕的长度和这两条折痕与∠AOB的两边的夹角度数. 二、量一量 探索新知 对折 A O B A O C A O C 折叠 A C B E D O P 展开 角平分线 探索新知 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等. A O B E D P C 证明：∵ PD ⊥OA,PE⊥ OB, ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°, 在△PDO 和△PEO 中, ∠PDO =∠PEO, ∠DOP =∠EOP, OP = OP, ∴ △PDO≌△PEO. ∴ PD = PE. 证明： 已知：OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E. 求证：PD=PE. 探究新知一 A O B E D P C 几何语言： ∵ 点P是∠AOB的平分线OC上一点, PD ⊥OA, PE⊥OB ∴ PD = PE 结论 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. A O B E D P C 三条件：一平分两垂直 一结论：相等 1 .如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，下列结论错误的是（　　） A. PD＝PE　 B. OD＝OE　 C. ∠DPO＝∠EPO　 D. PD＝OD 2、如图 ，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为　 　． 3 随堂练习 已知，点P在∠AOB的内部，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,PD=PE. 探究新知二 能否证明点P在∠AOB的平分线上呢？ B A D O P E 证明： 作射线OP ∴点P在∠AOB 角的平分线上. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90° ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 在Rt△PDO和Rt△PEO中， 几何语言： ∵ PD ⊥OA于点D， PE⊥OB于点E PD = PE ∴ 点P在∠AOB 的角平分线上. 结论 角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. A O B E D P 三条件：一相等两垂直 一结论：平分 例1.如图,点E 是∠AOB 的平分线上一点,EC⊥OA 于点C,ED⊥OB 于点D. 求证:（1）∠ECD=∠EDC; （2）OC=OD. 证明：（1）∵ 点E在∠BOA的平分线上,EC⊥AO,ED⊥OB. ∴ ED =EC. ∴ △EDC 是个等腰三角形. ∴ ∠ECD=∠EDC. （2）在Rt△OED和Rt△OEC中, ∵ OE=OE, ED=EC, ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC. 例题讲解 1.如图,在△OAB中,OE是它的角平分线,且EA=EB,EC、ED分别垂直OA,OB,垂足为C、D.求证：AC=BD. O A B E C D 变式训练 如图，小明家住在祁阳市盘龙小区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点上，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.问怎样修建管道最短？新修的两条管道长度有什么关系？ . P 暖气管 天然气管 解决问题 课堂小结 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 本节课你有什么收获？ 谢谢观看！ $