2026年九年级数学中考复习专题：直角三角形的边角关系

直角三角形的边角关系 一．选择题 1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AC和BD的端点都在网格线的交点上．若AC与BD相交于点E，则tan∠AEB的值为(   ) 第1题图 第2题图 第3题图 A． B． C． D．2 2．如图，与，直角顶点重合于点C，点D在上，，且，连接，若，，则长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F， 交于点G，若，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 4．如图，和均为等腰直角三角形，，，，点B在线段上，已知，，则的值为(    ) 第4题图 第5题图 A． B． C． D．3 5．如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为(    ) A． B． C． D． 二．填空题 6．如图，在中，．现分别以、、为边长在边同侧构造正方形，正方形，正方形，点D、E均落在上，交于M．已知阴影部分的面积为48，，则的值为_____________. 第6题图 第7题图 第8题图 7．如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．若sin∠B′AC=，则AC=_____． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，OA＝5，tan∠COA＝．若反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于 ． 9．在正方形ABCD中，点E在边CD上，，点F是正方形边上一点，，则的值为 ． 10．如图，在中，，，延长至点，使，则 ．    第10题图 第11题图 第12题图 11．如图，在菱形ABCD中，tanA＝ ，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时， 的值为　 　． 12．如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为 ． 13．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是________． 第13题图 第14题图 第15题图 14．如图，在中，，点E是的中点，延长到点D，点H是上一点，连接，过点E作垂足为点K，延长交于点F，，，则的长为 ． 15．如图，在菱形中，，，折叠该菱形，使点落在边上的点M处，折痕分别与边，交于点E，F．当点M的位置变化时，长的最小值为 ．  三．解答题 16．如图，在矩形中，点为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的值． 17．共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）（参考数据： ， ， ， ） 18．已知直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点，，AB⊥x轴于点B，若． (1)求反比例函数和直线的函数表达式； (2)过点O作直线AO的垂线，交直线AC于点P，求P点坐标． 19．如图，在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处． (1)若 ①求的长； ②若P，Q分别是线段上的动点，求的最小值． (2)若，记，，求的值． 20．上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 21．如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点G，F．    (1)求证：； (2)求的值； (3)求的值． 22．（1）如图，已知，求证：； （2）如图，在中，，点为斜边上的一点，连接．作使得，边与边相交于点．已知，，求的值（用含的代数式表示）； （3）如图，在中，，，，点为斜边上一点，且，点在边上，且，求的值． 23．如图1，P为内一点，连接，如果与相似，那么称点P为的“黄金点” (1)①等边三角形______“黄金点”（填“存在”或“不存在”）： ②中，，，若点P是的“黄金点”，则______°； (2)如图2，中，，，的中线交于点P，试说明：点P是的“黄金点”； (3)如图3，中，，，，若点P是的“黄金点”，且点P在的平分线上，求的长． 答案部分 1.设BG与AC交于点F，如图， ∵AB＝BH＝2，BFCH，∴BF是△AHC的中位线． ∴BF＝CH＝1.5，AF＝FC＝AC＝2.5． ∵BFCH，∴ ．∴． 设FE＝x，则CE＝2.5﹣x．∴．解得：x＝1.5． ∴BF＝FE＝1.5．∴∠BEF＝∠FBE．∴tan∠AEB＝tan∠GBD． 在Rt△BGD中，tan∠GBD＝＝．∴tan∠AEB＝tan∠GBD＝．故选：B． 2．解：∵，，∴， ∵，∴，∴， 在与，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，即，∴．故选：D． 3．过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P， 由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，∴BE=2， 又∵，∴BH=1，即H是BE的中点，∴AB=AE=4， 又∵AF是∠DAE的角平分线，，∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG， 又∵，，∴PF=AD=4， 设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，∵，∴∠AGP=∠AEB=∠B，∴cos∠AGP===， 解得x=；故选B． 4．解：和均为等腰直角三角形，， ， ，，， 在和中，，， ，，， ，，，， 在中，，故选：A． 5．解：∵四边形为正方形，． ∴，，∴，∴ ∵，，则， 设，则，∴解得：或 ∵，∴，∴,故选：C． 二．填空题 6．解：设AC=x，BC=y，∵AB=8，由题意可得：BD=AB=BG=8，CE=AC=x，BC=BJ=CK=y， ∴BE=y-x，DE=8+x-y， ∵阴影部分面积为48，∴，∴， ∵∠A=90°，∴，∴，解得：x=15，即AC=15， ∴tan∠ACB==， 7．如图，过点C作CD⊥BB′于D ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上 ∴CB=CB′=5，∠BCB′=90°∴△BCB′为等腰直角三角形∴BB′=BC=5 ∵CD⊥BB′∴CD=BB′= 在Rt△ACD中，sin∠DAC==∴AC=×=故答案为： 8．解：如图，作CD⊥OA于D，∵OA＝5，∵四边形OABC为菱形，∴OC＝OA＝5， 在Rt△OCD中，∵tan∠COA＝ ＝ ．∴设CD＝3x，OD＝4x， ∵OC2＝OD2+CD2，∴52＝（4x）2+（3x）2，解得x＝1，∴CD＝3，OD＝4，∴C（4，3）， 把C（4，3）代入y＝ 得k＝3×4＝12．故答案为12． 9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝DE＋EC，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，， ∵，∴设，则，BC＝AB＝AD＝CD=4x； 分两种情况： ①当点F在AD边上时，如图所示： 在和中，，， ，； ②当点F在CD边上时，如图所示： 在和中，，， ，，， ；故答案为：或． 10．解：过点D作DE⊥AC，与AC的延长线交于点E， ∵ AB=AC∴∠B=∠ACB，∵∠DCE=∠ACB∴∠DCE=∠B，∵sinB=，∴sin∠DCE=， 设DE=3x，则CD=5x，∴CE=，∵，∴AC=3CD=15x， ∴ AE=AC+CE=19x，∴tan∠CAD=，故答案为． 11．解：延长NF交DC于点H， ∵将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D， ∴∠E=∠A，∠B=∠DFN，AB=EF ∵EF⊥AD，菱形ABCD∴∠ADF=90°，AB∥DC，∠ADC=∠B，AD=AB， ∴∠A+∠ADC=180°即∠A+∠ADF+∠FDH=180°∴∠A+∠FDH=90°， ∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°∴∠A=∠DFH∴∠DFH+∠FDH=90°， ∴∠DHF=90°;在Rt△DME中 设DM=4x，则DE=3x，∴ ∴AD=AM+MD=EM+MD=5x+4x=9x，DF=EF-DE=9x-3x=6x， ∵∴ 解之：∴； ∵，∴ ∴.故答案为：. 12．解：作，垂足为点F， ∵矩形，，∴， ∴，∴，∵矩形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴的面积为，故答案为：． 13．解：如图，过点作于点，设， 在与中，，，，， ，tan∠ADB＝＝，设AB＝a，则AD＝2a，∴BD＝a， ∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a， ∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案为：． 14．解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图，   ，∴ ， 点是的中点，         ∴， ，，， ， 故答案为： ． 15． 解：根据折叠的性质，得，根据垂线段最短，得当时，最小，此时也最小，过点F作于点，当与点重合时，最小，此时也最小，过点D作于点， ∵菱形，，， ∴， ∴，故答案为：． 三．解答题 16．（1）解：∵是翻折得到的，∴，， ∴， 在矩形中，，， ∴，，，∴， ∴，∴，∴，∴，∴； （2）解：由（1）得，∴， ∴， 设，，∵， ∴，， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，∴，解得， ∴， ，， ， ∴． 17．解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm， 当CN=90cm时，CM=60cm， ∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°， ∴sin∠ABE=sin70°= ，∴BC≈64cm， ∴CE=BC-BE=64-40=24cm. 18．【详解】（1）∵，∴，∵，，∴AB=a，BM=4， ∴，∴a=3，∴，∴反比例函数关系式为， 将点和点代入直线解析式得：，解得：， ∴直线AM的函数表达式； （2）过点P作x轴的垂线，垂足为D， ∵直线AM的函数表达式∴设点P的坐标为， ∵AB⊥x轴，PD⊥x轴，∴∠ABO=∠PDO=90°，∴∠BAO+∠BOA=90°， ∵AO⊥OP，∴∠POD+∠BOA=90°，∴∠BAO=∠POD， ∴△ABO∽△ODP，∴即，解之得， ∴∴P点坐标为 19．【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质得，，在中，， 在中，，， 由勾股定理得，则，解得； ②连接，根据折叠性质得垂直平分， ∵P，Q分别是线段上的动点， ∴，如图，当F、P、Q共线，且时，最小值，最小值为的长， ∵，∴四边形是矩形，∴； （2）解：∵，∴， ∴，∴， ∴， 设，，， ∴，， ∵，∴， ∵，∴，则， 由得，∴， 即，整理，得，即， ∴，则（负值已舍去），∴． 20．解：如图，作平分交于，过作于， ∵，∴， ∵平分交于，，， 中，，即， 设，则，， ∵，∴ 即，∴， ∴；同理可得：，故答案为：，； 拓展应用： 解：连接，，，， ，，，， ，，； 设，，，， ，， ，，． 21．【详解】（1）解：，平分，，， 正方形，，， ，，，， ，，，，∴， ； （2）设正方形的边长为，则， ，，正方形， ，则，，， ， ，平分，，； （3），，，，， ，， 设正方形的边长为，由（2）得，，， 在中，，． 22．【详解】（1）证明：，，， ，即， 又，即，，； （2）解：如图所示， ，，，， ，即，， ，，，又，， ， 又，设，则，，，； （3）解：如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，，垂足为， ，，， ，， 又，， 由题意可知，，， ，，， ，由勾股定理得：，，， ，，，． 23．【详解】（1）解：①∵点P是为等边三角形内一点， ∵是等边三角形，∴, ∵点P是为等边三角形内一点，∴，， 即，，∴不可能是等边三角形， ∴与一定不相似，∴等边三角形不存在 “黄金点”，故答案为：不存在 ②∵在中，，，∴， 若，则,，∴此种情况不存在； 若，则,， 即点P在上，∴与P为内一矛盾，∴此种情况不存在； 若， 则,，， ∴此种情况成立；综上可知，故答案为： （2）在中，，，可设, ∴， ∵的中线交于点P， ∴，是的中位线，， ∴，，， ∴，∴，， ∵，∴是直角三角形，, ∴，∴点P是的“黄金点”； （3）若点P是的“黄金点”，由（1）中②可知，则，∴， ∵点P在的平分线上，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴,∴，∴，∴， ∴，∴，∵，∴，∴． 即的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $